高中数学双曲线基础练习题

双曲线基础练习1双曲线题目：1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是题目：2．双曲线36x 2－49y 2＝1的渐近线方程是题目：3．双曲线5x 2－4y 2＝1与5x 2－4y 2＝k 始终有相同的（）（A ）焦点（B ）准线（C ）渐近线（D ）离心率题目：4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（）题目：5．设双曲线1by a x 2222=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是43c ，则双曲线的离心率是（）题目：6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（）。

题目：7．双曲线9x 2－7y 2＝1的离心率是。

题目：8．已知方程k 3x 2++k2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是。

题目：9．若双曲线2222k4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是。

题目：10. 曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（）。

（A ）焦点在x 轴上的椭圆（B ）焦点在y 轴上的双曲线（C ）焦点在x 轴上的双曲线（D ）焦点在y 轴上的椭圆题目：11. 双曲线4x 2－9y 2=1的渐近线方程是题目：12. 若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋y=0，则此双曲线的标准方程是题目：13. 双曲线的两准线之间的距离是532，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是题目：14. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为题目：15. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±x 的双曲线方程是（）。

题目：16. 方程m 3x 2-－2m y 2+=1表示双曲线，则m 的取值范围是（）。

高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。

$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。

$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。

$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。

$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。

7 B。

23 C。

5 或 23 D。

7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。

A。

$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。

2, 1.
消去
y
得：(λ＋2)x2－4
2x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0 且 Δ>0，
4－λ ∴λ>2 或 λ<0 且 λ≠－2，x1·x2＝λ＋2，
3(4－λ)
uuur uuur 而 MAgMB ＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋ 2x1· 2x2＝3x1x2＝ λ＋2 ，
4－λ 3
y2
∴λ＋2＝－2，解得 λ＝－14.∴曲线 C 的方程是 x2－14＝1.
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0，右顶点为 3, 0 .
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程
uuur uuur （Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA OB 2 （其中 O 为原点），求 k 的
3．在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x﹣y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ）
A．
B．
C．
或
D．
x2
y2
x2 y2
4.已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝1（a＞b＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
为 ，则双曲线的离心率为（ A ）
A．2 B．
C．
D．
7．已知双曲线
y2 a2

x2 9
1 的两条渐近线与以椭圆 x2 25
y2 9

1
的左焦点为圆心、半径为
16 5
的圆相切，则双曲
线的离心率为（ A ）
A． 5 B． 5 C． 4 D． 6

1．已知双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或232．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1B ．x 23－y 22＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 3．双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A ． 2B ．2C ．322D ．225．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12(m －s )C ．m 2－s 2D ．m －s6．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40°C ．1sin 50°D ．1cos 50°7．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．48．(2020·郑州一中月考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P在双曲线上，且异于A ，B 两点．O 为坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．9．若F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 224＝1(y ≠0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＝6，则|PF 2|＝______，△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝_______.10．若椭圆x 216＋y 27＝1和双曲线x 2－y 28＝1有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|2＋|PF 2|2的值是________.11．若直线y ＝x －4与双曲线x 29－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为53.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点P 是双曲线C 上任意一点，且|PF 1|＝10，求|PF 2|.13. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．。

双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

双曲线练习题一、选择题1. 下列关于双曲线的方程中，正确的是（）A. x^2 y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. y^2 x^2 = 1D. x^2 y^2 = 02. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），则其渐近线方程为（）A. y = ±(a/b)xB. y = ±(b/a)xC. x = ±(a/b)yD. x = ±(b/a)y3. 双曲线的离心率e满足（）A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e ≤ 14. 下列关于双曲线的焦点坐标，正确的是（）A. (±c, 0)B. (0, ±c)C. (±a, 0)D. (0, ±a)二、填空题1. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，则其焦点到中心的距离是 _______。

2. 已知双曲线的一个焦点为(4, 0)，实轴长为6，则双曲线的方程为 _______。

3. 双曲线的离心率为2，实轴长为4，则双曲线的虚轴长为_______。

三、解答题1. 已知双曲线方程为 x^2/9 y^2/16 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）实轴长；（3）渐近线方程。

2. 设双曲线的方程为 y^2 x^2/4 = 1，求：（1）离心率；（2）焦点坐标；（3）渐近线方程。

3. 已知双曲线的两个焦点分别为(±5, 0)，且离心率为2，求双曲线的标准方程。

4. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。

5. 设双曲线的方程为 x^2/25 y^2/9 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）离心率；（3）渐近线方程。

四、计算题1. 已知双曲线的一个焦点为(2, 0)，且经过点P(4, 3)，求双曲线的标准方程。

2. 设双曲线的方程为 4x^2 9y^2 = 36，求该双曲线与直线 y = (2/3)x + 1 的交点。

(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。

通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。

2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。

1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。

1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。

这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。

继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

双曲线基础训练题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ D ） A ．x 2－4y 2=1B ．x 2－4y 2＝1C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[ B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x。

双曲线函数基础练习题(必做)
本练题旨在帮助学生加深对双曲线函数的理解和应用。

下面是一些基础练题，供学生进行练和巩固知识。

题目一
设双曲线函数 $f(x) = \frac{2}{x}$，求解下列问题：
1. 计算 $f(1)$ 的值。

2. 求解方程 $f(x) = 3$ 的解，并用图示法表示。

3. 求解方程 $f(x) = -2$ 的解。

题目二
考虑双曲线函数 $g(x) = \frac{3}{x} - 1$，回答以下问题：
1. 求解方程 $g(x) = 0$ 的解。

2. 计算 $g(-1)$ 的值。

3. 求解方程 $g(x) = 2$ 的解，并用图示法表示。

题目三
对于双曲线函数 $h(x) = \frac{x - 2}{x}$，完成以下练：
1. 计算 $h(2)$ 的值。

2. 求解方程 $h(x) = 0$ 的解。

3. 求解方程 $h(x) = -1$ 的解，并用图示法表示。

题目四
设双曲线函数 $k(x) = \frac{1}{x - 3}$，回答以下问题：
1. 计算 $k(4)$ 的值。

2. 求解方程 $k(x) = 2$ 的解，并用图示法表示。

3. 求解方程 $k(x) = -\frac{1}{2}$ 的解。

这些练习题旨在帮助学生熟悉双曲线函数的基本知识和计算方法。

通过反复练习，学生将能够更好地掌握双曲线函数的特性和应用。

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在Y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( )A.17B.15C.174D.1542．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）A ．x 2﹣y 2=1 B ．x 2﹣y 2=2 C ．x 2﹣y 2=D ．x 2﹣y 2=3.1（a ＞b ＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD 4．设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．5．的圆相切，）A B C D 6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )A.3B.62C.63D.337.已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为．12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝19．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．4810．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－82C ．14＋8 2D ．8 211．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ ）条。

A ．1B ．2C ．3D ．412．F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 )二、填空题： 13．以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是 ．14．已知双曲线C 过点，一条渐近线方程为，双曲线C 的标准方程为 ．15.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．16．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1·PF 2的最小值为________．三、解答题：17．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围18.已知双曲线的两个焦点为的曲线C 上．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为，求直线l 的方程．19.已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．。

高中数学双曲线练习题一、选择题1. 双曲线的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 分别表示什么？A. 焦点间距离的一半B. 横轴和纵轴的半轴长C. 横轴和纵轴的全轴长D. 渐近线与横轴的夹角2. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于：A. \( a \)B. \( b \)C. \( c \)D. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)3. 双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的焦距是：A. 10B. 8C. 6D. 54. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 上的点 \( P(x, y) \) 到右焦点的距离与到左焦点的距离之差为：A. 2B. 4C. 6D. 85. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 的一条渐近线方程是：A. \( x + 2y = 0 \)B. \( x - 2y = 0 \)C. \( y = \frac{x}{2} \)D. \( y = -\frac{x}{2} \)二、填空题6. 若双曲线的中心在原点，焦点坐标为 \( (±c, 0) \)，且 \( c = 5 \)，则 \( a \) 的值为______。

7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的一个顶点坐标为 \( (a, 0) \)，若 \( a = 3 \)，则 \( b \) 的值为______。

8. 已知双曲线 \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) 上的点\( M(3, -4) \) 到其一条渐近线的距离为______。

9. 若双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 上的点\( P \) 到右焦点的距离为 \( 10 \)，则 \( P \) 到左焦点的距离为______。

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

双曲线（易错必刷32题6种题型专项训练）➢双曲线定义➢双曲线的方程➢双曲线的性质➢双曲线的离心率➢直线与双曲线的位置关系一．双曲线的定义（共5小题）1.（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知()1,0A -，()10B ,，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．()22102y x x -=>B ．()22102y x y -=>C ．()22102x y x -=>D ．()22102x y y -=>2.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线22330x y -+=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且1215PF PF ×=，则12PF F V 的周长为 ．3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为12,F F 且在x 轴上，且双曲线上存在一点P使得212||PO PF PF =×，若2PF x ^轴，则该双曲线的离心率为 ．4.（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P 是双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：右支上一点，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，12PF F V 的内切圆与x 轴相切于点N ，若121344PN PF PF =+uuu r uuu r uuu u r，则双曲线C 的离心率为.5.（2025·安徽·一模）（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A B 、两点，其中点A 在第一象限．12AF F △的内心为11,I AI 与x 轴的交点为P ，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F V 的内切圆2I 的半径为2r ，则下列说法正确的有（）A ．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2B ．若12AF AF ^，且112BF AF a -=C ．若1,a b ==12r r -的取值范围是(D ．若直线l 112AI I P =，则双曲线的离心率为54二．双曲线的方程（共4小题）6.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程22113x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．13k <<C ．3k >D ．1k <或3k >7.（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F V 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为．8.（2024·江西九江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点()3,4P 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率互为倒数，证明：直线l 过定点．9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b -=>>与双曲线2222:12-=x y N m m 的离心率相同，且M 经过点()2,2,N 的焦距为(1)分别求M 和N 的方程；(2)已知直线l 与M 的左､右两支相交于点,A B ，与N 的左､右两支相交于点C ，D ，AB CD=l 与圆222:O x y a +=的位置关系.三．双曲线的性质（共9小题）10.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线221112211Γ:1(0,0)x y a b a b -=>> 与 222222222Γ:1(0,0)x y a b a b -=>>有共同的渐近线，则它们一定有相等的（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．离心率11.（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知0,0a b >>，则双曲线22122:1x y C a b-=与22222:4x yC a b -=有相同的（ ）A ．焦点B ．焦距C ．离心率D ．渐近线12.（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）（多选）已知双曲线22:5420C y x -=，则C 的（ ）A ．焦点在y 轴上B ．焦距为3C ．离心率为32D ．渐近线为y =13.（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线22:4C x y -=，点M 为C 上一点，过M 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAMB （O 为原点）的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．614.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过F 作PF 垂直于一条渐近线，垂足为P ，若点,P Q 关于原点对称，则PQF S =△ ．15.（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且2π4,3FB FA AFB =Ð=uuu r uuu r ，则双曲线的渐近线方程为 ．16.（24-25高三上·湖北·开学考试）过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是.17.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在C 上且MF x ^轴，直线1MA ，2MA 与y 轴分别交于点P ，Q ，若34OQ OP =（O 为坐标原点），则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±B ．y =±C ．y =±D ．y =±18.（23-24高二下·四川德阳·期末）（多选）双曲线C ：22154x y -=的左右顶点分别为A 、B ，P 、Q 两点在C上，且关于x 轴对称（ ）A ．以C 的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为22195x y +=B ．双曲线C C ．直线AP 与BQ 的斜率之积为45-D ．双曲线C 2四．双曲线的离心率（共8小题）19.（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）已知双曲线方程为22213x y a -=，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，点A 是双曲线上任意一点，若A 点关于1F 的对称点为点B ，点B 关于2F 的对称点为点C ，线段AC 的长度是8，则双曲线的离心率是（ ）A B ．2C ．D ．420.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，若34MA MB ×=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 21.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，Q 为双曲线C 左支上一点，11π,23OF Q QF Ð==C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线M 的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 且与实轴垂直的直线交双曲线M 于,A B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线M 的离心率为（ ）A B C ．2D 124.（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线C 于M N 、两点．若直线1MF 是圆2F 的切线，则该双曲线的离心率为（ ）A 1BC ．D 225.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12,,F F P 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，且12π3F PF Ð=，其离心率分别为12,e e ，则22123e e +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．1226.（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx a b Ð=Ð=，若tan tan 3a b =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C D 1五．直线与双曲线的位置关系（共5小题）27.（2023·河南周口·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F作倾斜角为30°的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()222222.0F P F Q F P F Q F P F Qæöç÷+-=ç÷èøuuu u r uuuu r uuu u r uuuu ruuu u r uuuu r ，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D28.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线G ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与圆O ：222x y a +=交于,A C 两点，设圆O 在,A C 两点处的切线与x 轴分别交于,B D 两点、若双曲线GABCD 周长的最大值为 ．29.（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点，若6AB =，则AB 中点横坐标的最小值为（ ）A．BCD ．16330.（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点，且12AB F F ^，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使面12PF F ^面12BF F ，若25cos 9PF B =Ð，则双曲线C 的离心率为 ．31.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点()2,0F ay -=的距离为(1)求C 的标准方程；(2)若过F 的直线与C 的左、右支分别交于点,A B ，与圆222:O x y a +=交于与,A B 不重合的,M N 两点.①求直线AB 斜率的取值范围；②求AB MN ×的取值范围.32.（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到 E 上的点的最小距离为2．(1)求E 的方程；(2)已知直线2l y x =-：与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ,B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ,C ,求四边形ABCD的面积.。

3.2 双曲线一、单选题1．已知椭圆221(1)x y a a+=>和双曲线221(0)x y m m -=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+【答案】A【解析】由题得椭圆221(1)x y a a +=>双曲线221(0)x y m m-=>11,2a m a m =-=+∴=+.2．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e3．设(),P xy 是双曲线22154x y -=的右支上的点，最小值为（ ）A B ．C D 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y -=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =2PF PF a PF ''=-=-()PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+PF PA AF ''-≤==当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()PA PF PF PA '-=--+4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，双曲线22212222:1,,2-=-x y C F F b a b 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若12PF F △的内切圆的圆心的横坐标为2，1C 和2C 的离心率之积为32，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】不妨设点P 在第一象限内，12PF F △的内切圆与边1122,,PF F F PF 的切点分别为,,A B C ，双曲线的焦距为2c .则()()1212PF PF PA AF PC CF -=+-+()()12PA BF PA BF =+-+12BF BF =-()()224c c =+--=，因为点P 在双曲线上，所以1224PF PF b -==，则2b =，又因为1C 和2C 的离心率之积为32，而椭圆的离心率1e ，双曲线的离心率为2e =所以1232e e=，解得4a=.5．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C 的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A1BC1D．【答案】C【解析】由题意(),F c o-，四边形MNOF为菱形，如图，则MN ON OF c===且//MN OF ，,M N分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得2Ncx=，过点N作NH x⊥轴交x轴于点H，则11,222cO c OH M NNN O====，所以60NOH∠=︒,则2NH c=，所以2cN⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以22223144c ca b-=，则22222234c b c a a b-=，即42e8e40-+=，解得2e4=+2e4=-e1>，所以取2e4=+e1=6．设双曲线222:1(0)4xC y aa-=>与直线:1l x y+=相交于两个不同的点A，B，则双曲线C 的离心率e的取值范围是（）A．)+∞B．)⋃+∞⎝C．⎫+∞⎪⎝⎭D．⎝【答案】B【解析】2221,41xyax y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩()222214880a x a x a⇒-+-=，所以()2422140,Δ6448140,a a a a ⎧-≠⎪⎨=+⨯->⎪⎩2214120a a a ⎧≠⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩(2,)e ⇒=+∞⎝ 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182xy +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C．y = D．y=【答案】C【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bxay -=，1=，1b=，∴a =，∴渐近线方程为y x =． 812的化简结果为（ ） A ．236x －264y ＝1B ．264x －236y ＝1C ．236x －264y ＝1(x ＞0) D ．264x －236y ＝1(x ＞0)【答案】C【解析】解：设A (−10,0)，B (10,0)，(,)P x y ，由于动点P (x ,y )12， 则|P A |−|PB |=12，故点P 到定点A (−10,0)与到定点B (10,0)的距离差为12， 则动点P (x ,y )的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支， 由于2a =12，c =10，则2221003664b c a =-=-=， 故P 的轨迹的标准方程为236x －264y ＝1(x ＞0).所以原方程可以化简为236x －264y ＝1(x ＞0).二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y -=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4CD ．渐近线方程为0x =【答案】BD【解析】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b =，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =，C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 10．已知圆1C ：2210100x y x y +--=和圆2C ：2262400x y x y +-+-=则（ ）A ．两圆相交B ．公共弦长为C ．两圆相离D ．公切线长【答案】AB【解析】圆1C 的标准方程为：()()225550x y -+-=，圆心为（5，5）半径为 1r =圆2C 的标准方程为：()()223150x y -++=，圆心为（3，-1）半径为 2r =所以两圆心的距离：d ==120,d r r ∴<<+∴两圆相交，选项A 正确，选项C 错误；设两圆公共弦长为L ，则有：()2221222L d r r r r ⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ∴=B 正确，选项D 错误.11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（ ） A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为y = C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为6【答案】ACD【解析】A ：由双曲线方程知：3a =，则C 的实轴长为6，正确；B ：由双曲线方程知：C 的渐近线为y x =，错误； C ：双曲线、圆如下：(4,0)D -为左焦点，当且仅当P 为x 轴交点，Q 为x 轴右交点时，PQ 最小为12，正确；D ：由(4,0)F 为右焦点，||||26PF PD a -==，则6||PA PD PA PF -=+-，要使PA PD -最小只需,,P A F 共线，此时min ()6||6PA PD AF -=-=.12．已知曲线2212:1,,9x y C F F m +=分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若3m =-，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π B ．若曲线C 的离心率2e =，则27m =-C ．若3m =，则曲线C 上不存在点P ，使得122F PF π∠=D ．若3,m P =为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A 选项，当3m =-时，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y x =，故渐近线的倾斜角分别为5,66ππ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π，故A 选项正确； 对于B 选项，离心率2e =，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，3,2a e ==，故6c =，所以2236927m c a -=-=-=，所以27m =-，故B 选项正确；对于C 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为(M ，则222122461cos 02183a a c F MF a +--∠===-<，故12F MF ∠为钝角，所以线C 上存在点P ，使得122F PF π∠=，故C 选项错误；。

双 曲 线一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对2．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7) C ．(－5,0)，(5,0) D ．(0，－5)，(0,5)3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72 D ．54．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 5．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．246．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b7．方程x 24－t ＋y 2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4；②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．410．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．811．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．112．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，5)∪(5，＋∞) C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞)14．如果x 2|k |－2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是 A ．(1，＋∞) B ．(0,2) C ．(2，＋∞) D ．(1,2)15．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．416．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程 A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 17．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.2B ．2 C.3 D ．2 218．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.45 B.53 C ．2 D.73 19．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝020．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 二、填空题21．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________．22．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.23．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．24．双曲线x 216－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P 到x 轴的距离为______．25．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________． 26已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________. 27．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为________．28,已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．三解答题29．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．30．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．31．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？32．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．。

双曲线的定义及其标准方程同步练习一．选择题1．已知动点P（x，y）满足﹣＝2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支2．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|﹣|PF2|＝a（a为大于零的常数），则动点P的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．已知双曲线C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知定点F1（﹣4，0），F2（4，0），N是圆O：x2+y2＝4上的任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则||•||＝（）A．2B．4C．6D．87．设双曲线的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|：|PF2|＝3：4，则△PF1F2的面积等于（）A．18B．24C．36D．48二．填空题8．已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.9．已知双曲线的方程是﹣＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小（O为坐标原点）为．10．设点P在双曲线上．若F1、F2为双曲线的两个焦点，且PF1：PF2＝1：3，则△F1PF2的周长为．11．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝．12．已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．13．已知A是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F1PF2的重心，若＝λ，||＝，||+||＝8，则双曲线的标准方程为．14．已知双曲线方程为﹣x2＝1，点A的坐标为是圆（x﹣2）2+y2＝1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值是．三．解答题15．已知﹣＝﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．16．根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）a＝4且经过点A；（2）与双曲线＝1有公共焦点，且过点（3，2）；（3）双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．17．已知动圆P与圆C1：（x+5）2+y2＝49和圆C2：（x﹣5）2+y2＝1，分别求满足下列条件的动圆圆心P的轨迹方程．（1）圆P与圆C1，圆C2都外切；（2）圆P与圆C1，圆C2都内切；（3）圆P与圆C1外切，圆C2内切．18．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，A（0，），当△APF周长最小时，则点P的纵坐标为多少？。