Jensen不等式

Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。

Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。

本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。

一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。

具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。

1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。

此即Jensen不等式的常见表述形式。

二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。

常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。

具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。

这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。

三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。

对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。

这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。

3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。

通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。

1. Jensen不等式回忆优化理论中的一些概念。

设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。

当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的〔〕，那么f是凸函数。

如果或者，那么称f是严格凸函数。

Jensen不等式表述如下：如果f是凸函数，X是随机变量，那么特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

这里我们将简写为。

如果用图表示会很清晰：图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有的概率是a，有的概率是b。

〔就像掷硬币一样〕。

X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成立。

当f是〔严格〕凹函数当且仅当-f是〔严格〕凸函数。

Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是。

先验概率与后验概率事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率. 事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率.一、先验概率是指根据以往经历和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果〞问题中的“因〞出现。

后验概率是指在得到“结果〞的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因〞问题中的“因〞。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为根底。

二、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.三、先验概率与后验概率通俗释义事情有N种发生的可能，我们不能控制结果的发生，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力。

自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

Jensen 不等式证明Hölde 不等式及其推广引理1：Jensen 不等式 若()f x 在[],a b 为凹函数，则对于任意(),1,2,,i i a b i n =,0i λ>()1,2,,i n =,11ni i λ==∑,则有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑，()1,2,,i n =用Jensen 不等式证明Hölde 不等式 令()ln f x x =，则()210f x x ''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于任意(),01,2,,i i x y i n >=,111p q+=由Jensen 不等式可知 11ln ln ln i i i i x y x y p q pq ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭两边取e 为底的对数可得11p q i ii i x y x y p q+≥ 令11,pqi i i i nnp q iii i a b x y ab====∑∑则11111111111ni innp q i ii i i i n n p qp q ii i i a bx y x y p q a b =====+=≥=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑整理后即得到Hölder 不等式：111111nnnpqp q i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑推广的证明：设0(1,2,,ij a i n >= 1,2,,)j s =则有11111jj nnssp p ij ij j j i i a a ====⎛⎫∏≤∏ ⎪⎝⎭∑∑，其中111sj jp ==∑（证明令()ln f x x =，则()210f x x ''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于任意()()01,2,,1,2,,ij a i n j s >==,111sj jp ==∑由Jensen 不等式可知 ()11ln ln 1,2,,s s ij ijj j j jx x i n pp ==⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑两边取e 为底的对数可得()1111,2,,j ssp ijijj j jx xi n p==≥∏=∑令1jj pij ij np iji a x a==∑可以得到1111111111111j jj nsijs nn snsj p ijiji ijj j i i j i n jjsp p ij j i ax x xp pa ==========∏==≥∏=⎛⎫∏ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑整理后得到11111jj n nssp p ij ij j j i i a a ====⎛⎫∏≤∏ ⎪⎝⎭∑∑ 取等条件1(niki aikc c a==∑为常数，1,2,,)k s =。

吴文俊的几个不等式1. 引言吴文俊（1919年-2010年）是中国的著名数学家，被誉为“中国现代数学的奠基人”。

他在数学研究领域做出了许多重要贡献，其中包括一些著名的不等式。

本文将介绍吴文俊提出的几个重要不等式，并对其背后的思想和应用进行详细探讨。

2. 凸函数与Jensen不等式在介绍吴文俊提出的几个不等式之前，我们先来了解一下与这些不等式相关的基本概念和定理。

2.1 凸函数凸函数是指定义在某个实数集上的实值函数，满足对于任意两点x1和x2以及任意实数t∈[0,1]，都有：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)直观上来说，凸函数在任意两点之间的值都不会超过连接这两点的线段上对应位置处函数值。

2.2 Jensen不等式Jensen不等式是描述凸函数性质的一个重要定理。

设f(x)是定义在区间I上的凸函数，x1,x2,…,x n是I上的n个点，t1,t2,…,t n是非负实数且满足t1+t2+⋯+t n=1，则有：f(t1x1+t2x2+⋯+t n x n)≤t1f(x1)+t2f(x2)+⋯+t n f(x n)Jensen不等式表明了凸函数在一组点上的取值不会超过这些点对应函数值的加权平均。

3. 吴文俊的不等式3.1 吴文俊不等式一吴文俊提出的第一个不等式涉及到凸函数和Jensen不等式。

设f(x)是定义在区间I 上的凸函数，a i∈I(i=1,2,…,n)是n个满足a i<a i+1的实数，并且满足a i<x<a i+1。

则有：f(a i+1)−f(x)a i+1−x ≤f(a i+1)−f(a i)a i+1−a i这个不等式说明了凸函数在区间I上的两点切线斜率的单调性。

3.2 吴文俊不等式二吴文俊提出的第二个不等式是关于三角函数的。

设x∈[0,π/2]，则有：sinx<x<tanx这个不等式可以用来估计三角函数在一定区间内的大小关系。

3.3 吴文俊不等式三吴文俊提出的第三个不等式涉及到平均值和几何平均值。

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。

同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。

凸函數、Jensen 不等式與Legendre 變換一、前言凸函數的出現絕非偶然，在古典力學中的動能，就是最自然直接的凸函數，其他如熵(entropy)……等皆是，當然從幾何的角度而言就是拋物線。

近代分析由於受凸分析研究所得之進展的影響，使得在非線性分析，非線性微分方程皆有長足之進展與突破，其中較重要的就是逐漸將非線性 (nonlinearity)視為一個體，而非只是線性化 (linearization) 而已。

凸函數是如此地美麗且重要，而一般教科書只是提個定義然後定理之後便是習題。

對於這樣的數學，我們實在不滿足地無法忍受，畢竟數學要教導我們聰明並學習如何去思考。

因此本文秉持此原則，將著重於幾何與物理直觀，並與一些相關聯的領域作一些對應，以思索在我們前面的那些數學巨人是如何思考問題。

二、凸函數我們從凸函數之定義開始定義：f為一定義在區間上之一實值函數 (real-valuedfunction)若對任意的, ，f滿足下式則稱f為一凸函數 (convex function)。

圖一其幾何意義為連接(a,f(a)),(b,f(b))兩點的弦，永遠在弧y=f(x)之上（圖一）。

利用分點公式我們可將(1)式表為下列之形式：由(2)式可得即圖二其幾何意義從圖形上之斜率可知。

我們的主要目的在於如何將(1)式推廣至一般情形。

首先同時也是自然而然地（在數學上 2 與n是沒有差別的）將(1)式推廣至n個點x1,…,x n。

（可用歸納法）其中, , ,。

有時候我們（有目的地）令則(4)式可改寫為這就是 Jensen 不等式之一形式。

若取特殊的p i，例如：則(6)式可表為典型的凸函數有底下的類型：在尚未做進一步推廣前，Jensen 不等式最直接的應用就是幾何平均與算數平均之關係；讀者可自行練習例題 1：（幾何-算數平均）試證(a)(b)三、Jensen 不等式的意義我們感興趣的問題是關於 Jensen 不等式(6)式或(7)式之幾何意義與物理意義，首先介紹質量中心：假設平面上有n個點且它們皆有相同之質量，其位置向量為，，則質量中心之位置向量為或這意思是從點到各點之向量彼此互相抵消。