2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期数学期中试卷带解析(文科)(b卷)
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2016-2017学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科B卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()A.120°B.60°C.45°D.30°2.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4=a3+2,则a3+a4=()A.2 B.14 C.18 D.403.设条件p:≥0条件(x﹣1)(x+2)≥0.则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4.双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是()A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x5.若a>1,则的最小值是()A.2 B.a C.3 D.6.设x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为()A.5 B.3 C.7 D.﹣87.若点A的坐标是(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是()A.(1,2) B.(2,1) C.(2,2) D.(0,1)8.数列{a n}的通项公式a n=n2+n,则数列的前10项和为()A.B.C.D.9.若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点,过原点与线段AB中点连线的斜率为,则的值等于()A.B.C.D.10.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线﹣=1(m>0,n>0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为.12.“∃x0∈R,x02+2x0+2≤0”的否定是.13.若x是1+2y与1﹣2y的等比中项,则xy的最大值为.14.抛物线x=ay2(a≠0)的焦点坐标是.15.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的标准方程为.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+ccosA=2bcosA.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.17.已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,命题q:关于x的不等式x2﹣2(m+1)x+m(m+1)>0对任意的实数x恒成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围.=2S n+1.18.设{a n}为等比数列,S n为其前n项和,已知a n+1(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和H n.19.已知抛物线C;y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2);(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使直线l与抛物线C有公共点,直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程,说明理由.20.椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE ⊥OF,求直线l的斜率.21.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图.(1)求a n;(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?2016-2017学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科B卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()A.120°B.60°C.45°D.30°【考点】余弦定理.【分析】先根据a2=b2+bc+c2,求得bc=﹣(b2+c2﹣a2)代入余弦定理中可求得cosA,进而求得A.【解答】解:根据余弦定理可知cosA=∵a2=b2+bc+c2,∴bc=﹣(b2+c2﹣a2)∴cosA=﹣∴A=120°故选A2.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4=a3+2,则a3+a4=()A.2 B.14 C.18 D.40【考点】等差数列的通项公式.【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a1+a2=10,a4=a3+2,∴2a1+d=10,d=2,解得a1=4,d=2.∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2.则a3+a4=2×3+2+2×4+2=18.故选:C.3.设条件p:≥0条件(x﹣1)(x+2)≥0.则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的关系进行判断.【解答】解:由≥0,得x≥1或x<﹣2,由(x﹣1)(x+2)≥0,得x≥1或x≤﹣2,则p是q的充分不必要条件,故选:C4.双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是()A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【考点】双曲线的简单性质.【分析】双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为,其渐近线方程是,整理后就得到双曲线的渐近线.【解答】解:双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为,其渐近线方程是,整理得.故选C.5.若a>1,则的最小值是()A.2 B.a C.3 D.【考点】基本不等式.【分析】将变形,然后利用基本不等式求出函数的最值,检验等号能否取得.【解答】解:因为a>1,所以a﹣1>0,所以=当且仅当即a=2时取“=”故选C6.设x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为()A.5 B.3 C.7 D.﹣8【考点】简单线性规划.【分析】首先作出可行域,再作出直线l0:y=﹣3x,将l0平移与可行域有公共点,直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时,z有最大值,求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标,代入z=3x+y中即可.【解答】解:如图,作出可行域,作出直线l0:y=﹣3x,将l0平移至过点A(3,﹣2)处时,函数z=3x+y有最大值7.故选C.7.若点A的坐标是(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是()A.(1,2) B.(2,1) C.(2,2) D.(0,1)【考点】抛物线的简单性质.【分析】将PF的长度转化为P到准线的距离.【解答】解:由P向准线x=﹣作垂线,垂足为M,由抛物线的定义,PF=PM,再由定点A向准线作垂线,垂足为N,那么点P在该抛物线上移动时,有PA+PF=PA+PM≥AN,当且仅当A,P,N三点共线时取得最小值AN=3﹣(﹣)=,此时P的纵坐标为2,横坐标为2.P点的坐标是:(2,2).故选:C.8.数列{a n}的通项公式a n=n2+n,则数列的前10项和为()A.B.C.D.【考点】数列的求和.【分析】利用“裂项求和”即可得出.【解答】解:∵a n=n2+n,∴,∴数列的前10项和==.故选B.9.若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点,过原点与线段AB中点连线的斜率为,则的值等于()A.B.C.D.【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.【分析】设A(x1,y1)B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得=,(1)因为A,B在椭圆上mx12+ny12=1,mx22+ny22=1,两式相减可得m(x1﹣x2)(x1+x2)+n(y1﹣y2)(y1+y2)=0(2)【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得=,(1)因为A,B在椭圆上所以mx12+ny12=1,mx22+ny22=1两式相减可得m(x1﹣x2)(x1+x2)+n(y1﹣y2)(y1+y2)=0(2)(1)(2)联立可得故选A.10.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线﹣=1(m>0,n>0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【考点】椭圆的简单性质.【分析】根据是a、m的等比中项可得c2=am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2=m2+n2=c2,根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2,联立方程即可求得a和c的关系,进而求得离心率e.【解答】解:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2﹣b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选:B.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为a n=2n﹣3.【考点】等差数列的通项公式.【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a,则等差数列的前三项可求,由此求出首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案.【解答】解:由题意可得,2(a+1)=(a﹣1)+(2a+3),解得:a=0.∴等差数列{a n}的前三项为﹣1,1,3.则a1=﹣1,d=2.∴a n=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3.故答案为:a n=2n﹣3.12.“∃x0∈R,x02+2x0+2≤0”的否定是∀x∈R,x2+2x+2>0.【考点】命题的否定.【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可.【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以“∃x0∈R,x02+2x0+2≤0”的否命题是:∀x∈R,x2+2x+2>0.故答案为:∀x∈R,x2+2x+2>0.13.若x是1+2y与1﹣2y的等比中项,则xy的最大值为.【考点】等比数列的性质;基本不等式.【分析】首先根据题意得到x与y的一个关系式,再利用基本不等式求出xy的范围,即可得到答案.【解答】解:由题意可得:x是1+2y与1﹣2y的等比中项,所以x2=1﹣4y2,所以x2+4y2=1,根据基本不等式可得:1=x2+4y2≥4xy,当且仅当x=2y时取等号,所以xy.故答案为.14.抛物线x=ay2(a≠0)的焦点坐标是.【考点】抛物线的简单性质.【分析】化简抛物线方程为标准方程,然后求解焦点坐标.【解答】解:抛物线x=ay2(a≠0)的标准方程为:y2=x,所以抛物线的焦点坐标为:.故答案为:.15.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的标准方程为.【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.【分析】先由双曲线的渐近线方程为ay=bx,易得a,b方程,再由抛物线y2=16x 的焦点为(4,0)可得双曲线中c=4,最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组,解得a2、b2即可.【解答】解:由双曲线渐近线方程可知=①因为抛物线的焦点为(4,0),所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③,解得a2=4,b2=12,所以双曲线的方程为:.故答案为:三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+ccosA=2bcosA.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)利用正弦定理、和差公式即可得出;(2)利用余弦定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.【解答】解:(1)∵acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可得:sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,化为:sin(A+C)=sinB=2sinBcosA,sinB≠0,可得cosA=,A∈(0,π),∴A=.(2)由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴7=22+c2﹣4ccos,化为c2﹣2c﹣3=0,解得c=3.故△ABC的面积为bcsinA=×3×=.17.已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,命题q:关于x的不等式x2﹣2(m+1)x+m(m+1)>0对任意的实数x恒成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围.【考点】复合命题的真假.【分析】若命题p正确,则△>0,解得m范围.若命题q正确,则△<0,解得m范围.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,则p与q必然一真一假,即可得出.【解答】解:命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,∴△=m2﹣4>0,解得m>2或m<﹣2.命题q:关于x的不等式x2﹣2(m+1)x+m(m+1)>0对任意的实数x恒成立,∴△=4(m+1)2﹣4m(m+1)<0,解得m<﹣1.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,则p与q必然一真一假,∴或,解得m>2或﹣2≤m<﹣1.∴实数m的取值范围是m>2或﹣2≤m<﹣1.=2S n+1.18.设{a n}为等比数列,S n为其前n项和,已知a n+1(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和H n.【考点】等比数列的前n项和.=2S n+1,即可求出{a n}的通项公式;【分析】(Ⅰ)根据条件a n+1(Ⅱ)求出数列{na n}的通项公式,利用错位相减法即可求出数列{na n}的前n项和H n.=2S n+1,【解答】解:(Ⅰ)∵a n+1∴a n=2S n﹣1+1,(n≥2)﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,(n≥2)∴a n+1=3a n,(n≥2),∴a n+1∴q=3.=2S n+1令n=1,可得a2=2a1+1=3a1,对于a n+1解得a1=1,∴.(Ⅱ),①②①﹣②得,∴=.19.已知抛物线C;y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2);(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使直线l与抛物线C有公共点,直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程,说明理由.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)将(1,﹣2)代入抛物线方程求得p,则抛物线方程可得,进而根据抛物线的性质求得其准线方程.(2)先假设存在符合题意的直线,设出其方程,与抛物线方程联立,根据直线与抛物线方程有公共点,求得t的范围,利用直线AO与L的距离,求得t,则直线l的方程可得.【解答】解:(1)将(1,﹣2)代入y2=2px,得(﹣2)2=2p•1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=﹣1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=﹣2x+t,代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以△=4+8t≥0,解得t≥﹣.另一方面,由直线OA到l的距离d=可得=,解得t=±1.因为﹣1∉[﹣,+∞),1∈[﹣,+∞),所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y﹣1=0.20.椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE ⊥OF,求直线l的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用.【分析】(Ⅰ)由离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为,求出椭圆的几何量,即可求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合=0,即x1x2+y1y2=0,从而可求直线l的斜率.【解答】解:(Ⅰ)由已知,a2+b2=5,…又a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为.…(Ⅱ)根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,…代入椭圆方程,消去y得((1+4k2)x2+32kx+60=0,…所以△=(32k)2﹣240(1+4k2)=64k2﹣240,令△>0,解得.…设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=﹣,,…因为OE⊥OF,所以=0,即x1x2+y1y2=0,…所以(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16=0,所以,解得k=.…所以直线l的斜率为k=.…21.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图.(1)求a n;(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?【考点】数列的求和;基本不等式;数列的函数特性.【分析】(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,求得:a n=a1+2(n﹣1)=2n.(2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则f(n)=20n﹣n2﹣25,由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利.(3)年平均收入为=20﹣(n+)≤20﹣2×5=10,由此能求出这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大.【解答】解:(1)如图,a1=2,a2=4,∴每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,∴a n=a1+2(n﹣1)=2n.(2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则f(n)=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25,由f(n)>0得n2﹣20n+25<0,解得10﹣5<n<10+5,因为n∈N,所以n=2,3,4,…18.即从第2年该公司开始获利.(3)年平均收入为=20﹣(n+)≤20﹣2×5=10,当且仅当n=5时,年平均收益最大.所以这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大.2017年2月28日。
2017-2018学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(理科)(B卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数(1﹣i)2的虚部是()A.﹣2i B.2C.﹣2D.02.(5分)已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()A.1B.C.﹣1D.03.(5分)有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知y=()x是指数函数;则y=()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.(5分)在复平面内,复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(5分)定积分(﹣3)dx等于()A.﹣6B.6C.﹣3D.36.(5分)已知a,b∈R,复数,则a+b=()A.2B.1C.0D.﹣27.(5分)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f (x)()A.至少有两个零点B.在x=3处取极小值C.在(2,4)上为减函数D.在x=1处切线斜率为08.(5分)设复数z满足(1+z)i=1﹣i,则z=()A.﹣2﹣i B.﹣1﹣i C.﹣2+i D.﹣1+i9.(5分)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角10.(5分)用数学归纳法证明不等式“++…+>(n>2)”时的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项11.(5分)函数f(x)=lnx﹣x2的图象大致是()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有>0成立,则不等式xf(x)>0的解集是()A.(﹣2,0)∪(2,+∞)B.(﹣2,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪,(2,+∞)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若复数z满足z+i=,则复数z的模为.14.(5分)如图,函数y=f(x)的图象在点P(4,f(4))处的切线方程是y =﹣2x+9,则f(4)+f′(4)的值为.15.(5分)由直线y=x+2与曲线y=x2围成的封闭图形的面积是.16.(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式=x+y,且x+y=1.类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于空间内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,求:(1)函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间.18.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:和中至少有一个小于2.19.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx.(Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)的最小值;(Ⅱ)若函数y=f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.20.已知数列{a n}满足a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.(Ⅰ)求a2,a3,a4值;(Ⅱ)归纳猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.21.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为x元/件(1<x<2),则新增的年销量p=(2﹣x)2(万件).(Ⅰ)写出今年商户甲的收益f(x)(单位:万元)与x的函数关系式;(Ⅱ)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?请说明理由.22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.(1)当a≥0时,求f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.(3)在条件(2)下,当最小值为﹣2时,求a的取值范围.2017-2018学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(理科)(B卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数(1﹣i)2的虚部是()A.﹣2i B.2C.﹣2D.0【解答】解:原式=﹣2i,∴虚部为﹣2.故选:C.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()A.1B.C.﹣1D.0【解答】解:∵函数f(x)=a x2+c,∴f′(x)=2ax又f′(1)=2,∴2a•1=2,∴a=1故选:A.3.(5分)有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知y=()x是指数函数;则y=()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解答】解:根据题意,指数函数y=a x(a>0且a≠1)是R上的增函数,这个说法是错误的,要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性,大前提是错误的,∴得到的结论是错误的,故选:A.4.(5分)在复平面内,复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵复数===,∴复数对应的点的坐标是(,)∴复数在复平面内对应的点位于第一象限,故选:A.5.(5分)定积分(﹣3)dx等于()A.﹣6B.6C.﹣3D.3【解答】解:(﹣3)dx=﹣3x|=﹣3(3﹣1)=﹣3×2=﹣6,故选:A.6.(5分)已知a,b∈R,复数,则a+b=()A.2B.1C.0D.﹣2【解答】解:复数,∴a+bi==i+1,a=b=1,则a+b=2.故选:A.7.(5分)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f (x)()A.至少有两个零点B.在x=3处取极小值C.在(2,4)上为减函数D.在x=1处切线斜率为0【解答】由题目给定的f'(x)图象可知,当x<﹣1或2<x<4时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<2或x>4时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故由此我们可知,函数f(x)在x=﹣1处取到极小值,在x=2处取到极大值,在x=4处有取到极小值,但是并不能知道这些极值的大小.选项B,D其实是把所给的图象当成函数f(x)的图象来理解的,故是错误的,而选项A的判断需要我们知道具体的极小值,若两个极小值都大于零,则此函数没有零点,故A错误.故A,B,D都是错误的,只有C正确,故选:C.8.(5分)设复数z满足(1+z)i=1﹣i,则z=()A.﹣2﹣i B.﹣1﹣i C.﹣2+i D.﹣1+i【解答】解:由(1+z)i=1﹣i,得i+iz=1﹣i,∴z=.故选:A.9.(5分)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角【解答】解:用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应先假设“至少有两个钝角”,故选:B.10.(5分)用数学归纳法证明不等式“++…+>(n>2)”时的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项【解答】解:,=故选:C.11.(5分)函数f(x)=lnx﹣x2的图象大致是()A.B.C.D.【解答】解:∵(x>0)∴(x>0)则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;当x=1时,f(x)取最大值,f(1)=;故选:B.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有>0成立,则不等式xf(x)>0的解集是()A.(﹣2,0)∪(2,+∞)B.(﹣2,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪,(2,+∞)【解答】解:令g(x)=(x>0),可得g′(x)=>0(x >0),∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得g(x)在R上为偶函数,由f(2)=0,可得g(2)=0.作出g(x)=图象的大致形状如图:则不等式xf(x)>0⇔或.由图可知,当x∈(﹣∞,﹣2)时,x<0,f(x)>0,当x∈(﹣2,0)时,x<0,f(x)<0,当x∈(0,2)时,x>0,f(x)>0,当x∈(2,+∞)时,x>0,f(x)<0.∴满足或的x的范围为(﹣2,0)∪(0,2).即不等式xf(x)>0的解集是(﹣2,0)∪(0,2).故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若复数z满足z+i=,则复数z的模为.【解答】解:∵z+i=,∴z=﹣i=﹣i=∴|z|=故答案为:14.(5分)如图,函数y=f(x)的图象在点P(4,f(4))处的切线方程是y =﹣2x+9,则f(4)+f′(4)的值为﹣1.【解答】解:由图可知,f′(4)=﹣2,且f(4)=﹣2×4+9=1,∴f(4)+f′(4)=1﹣2=﹣1.故答案为:﹣1.15.(5分)由直线y=x+2与曲线y=x2围成的封闭图形的面积是.【解答】解:作出两条曲线对应的封闭区域如图:由得x2=x+2,即x2﹣x﹣2=0,解得x=﹣1或x=2,则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S=(x+2﹣x2)dx=(﹣x3+x2+2x)|=,故答案为:16.(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式=x+y,且x+y=1.类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于空间内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式且x+y+z=1..【解答】解:根据类比推理可知:O为平面ABC外一点,则点P在平面ABC内的充要条件是:存在实数x,y,z满足且x+y+z=1.故答案为:且x+y+z=1.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,求:(1)函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间.【解答】解:(1)∵f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,∴f′(x)=﹣3x2+6x+9,f′(0)=9,f(0)=﹣2,∴函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为:y+2=9x,即9x﹣y﹣2=0.(2)∵f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,∴f′(x)=﹣3x2+6x+9,由f′(x)=﹣3x2+6x+9<0,解得x<﹣1或x>3.∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞).18.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:和中至少有一个小于2.【解答】证明:(Ⅰ)要证+>2+,只需证(+)2>(2+)2;即证13+2>13+2,即证42>40而上式显然成立,故原不等式成立.(Ⅱ):假设≥2,≥2,∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,∴1+b+1+a≥2(a+b)即a+b≤2这与已知a+b>2矛盾,故假设不成立,从而原结论成立19.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx.(Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)的最小值;(Ⅱ)若函数y=f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R,∴当a=1时,f(x)=x2+x﹣lnx,(x>0)∴f′(x)=2x+1﹣=,令f′(x)>0,解得x>,令f′(x)>0,解得0<x<,∴f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,),∴f(x)min=f()=+ln2;(Ⅱ)∵f(x)=x2+ax﹣lnx,(x>0)∴f′(x)=2x+a﹣=,∵函数f(x)在[1,2]上是减函数,∴f′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即≤0在[1,2]上恒成立,∵x>0,∴2x2+ax﹣1≤0在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax﹣1,∴,即,∴a≤﹣,∴实数a的取值范围为a≤﹣.20.已知数列{a n}满足a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.(Ⅰ)求a2,a3,a4值;(Ⅱ)归纳猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.【解答】解:(Ⅰ)a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.计算得a2=.a3=.a4=.(Ⅱ)猜想a n=,证明如下:①当n=1时,猜想显然成立;②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即a k=,成立,则当n=k+1时,a k+1=•==,即n=k+1时猜想成立由①②得对任意n∈N*,有a n=.21.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为x元/件(1<x<2),则新增的年销量p=(2﹣x)2(万件).(Ⅰ)写出今年商户甲的收益f(x)(单位:万元)与x的函数关系式;(Ⅱ)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,今年的年销售量为1+(4x﹣2)2(万件).因为每销售一件,商户甲可获利x﹣1元,所以今年商户甲的收益:f(x)=[1+(4x﹣2)2](x﹣1)=4x3﹣20x2+33x﹣17(1<x<2).(Ⅱ)由f(x)=4x3﹣20x2+33x﹣17(1<x<2).得f′(x)=12x2﹣40x+33=(2x﹣3)(6x﹣11)(1<x<2).令f′(x)=0,解得x=或x=,当x∈(1,)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(,)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(,2)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;∴x=为极大值点,极大值为f()=1.∵f(2)=1,∴当x=或2时,f(x)在区间[1,2]上的最大值为1(万元),而往年的收益为(2﹣1)×1=1(万元),所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.(1)当a≥0时,求f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.(3)在条件(2)下,当最小值为﹣2时,求a的取值范围.【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax﹣(a+2)+==,①a=0时,f′(x)=﹣,令f′(x)>0,解得:0<x<,令f′(x)<0,解得:x>,故f(x)在(0,)递增,在(,+∞)递减;②a>0时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+==(x>0)令f'(x)=0,即f′(x)==0,所以x=或x=,当≤,即a≥2时,f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)上单调递增,当0<<时,即0<a<2时,f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增,(2)函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞),当a>0时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+==(x >0)令f'(x)=0,即f′(x)==0,所以x=或x=,①当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=﹣2;②当1<<e时,即<a<1时,f(x)在[1,)递减,在(,e]递增,f(x)在[1,e]上的最小值是f()<f(1)=﹣2;③当≥e时,即0<a≤时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=﹣2;(3)由(2)a≥1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=﹣2,符合题意;<a<1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f()<f(1)=﹣2,不合题意;0<a≤时,f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=﹣2,不合题意.综上可知,a的取值范围为[1,+∞).。
2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科)(B卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)命题:“∀x∈R,3x>0”的否定是()A.∀x∈R,3x≤0B.∀x∈R,3x<0C.∃x∈R,3x≤0D.∃x∈R,3x<0 2.(5分)在△ABC中,∠A=135°,AB=,且ABC的面积为2,则边AC的长为()A.2B.1C.2D.43.(5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,则p等于()A.1B.2C.4D.84.(5分)已知x>1>y>0,则下列结论正确的是()A.x>xy>y2B.x>xy>x2C.x2>y>xy D.x>y2>x2y 5.(5分)设有下面四个命题,p1:若α是锐角,则cosα>0 p2:若cosα>0,则α是锐角p3:若sin2α>0,则cosα>0 p4:若tanα>0,则sin2α>0其中真命题为()A.p1,p2B.p2,p3C.p1,p4D.p3,p46.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了()A.24里B.48里C.96里D.192里7.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,a cos B+b cos A=2c cos C,a=1,b=4,则c=()A.2B.C.D.8.(5分)若不等式(x﹣a)(x﹣2a)>a﹣3对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣1,3)B.(﹣3,1)C.(﹣2,6)D.(﹣6,2)9.(5分)已知点P是椭圆上的一点,点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.10.(5分)已知x>0,y>0,x+2y=3,则的最小值为()A.B.C.D.11.(5分)已知过双曲线右焦点F2,斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点A,点F1为左焦点,且,则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.12.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S n=,若对任意的n∈N*,(2S n+3)λ≥27(n﹣5)恒成立,则实数λ的取值范围是()A.[,+∞)B.[)C.[)D.[)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若x,y满足不等式组,则z=2x+y的最大值为.14.(5分)若“x>a”是“x2﹣2x﹣3>0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.15.(5分)若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为16.(5分)F1,F2为椭圆的左、右焦点,椭圆上一点M满足∠MF1F2=30°,∠MF2F1=105°,则椭圆的离心率为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知条件p:k﹣2≤x≤k+5,条件q:0<x2﹣2x<3,若p是q的必要不充分条件,求实数k的取值范围.18.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若,.(1)求cos B cos C的值;(2)若△ABC的面积S=2,求a,b,c.19.(12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,在各项均为正数的等比数列{b n}中,b1=a1,公比为q,且b2+S2=10,b2(q+2)=S2.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设,数列{c n}的前n项和为T n,求满足T n≥12的n的最小值.20.(12分)已知点P是圆O:x2+y2=3上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,点M 满足.(1)求点M的轨迹C方程;(2)若F1,F2的坐标分别为,,点,过F1作直线l1⊥NF1,过F2作直线l2⊥NF2,求证:l1,l2交点在M的轨迹C上.21.(12分)已知S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=﹣6.(1)求数列{a n}的通项公式和前项和S n;(2)是否存在n,使S n,S n+2+2n,S n+3成等差数列,若存在,求出n,若不存在,说明理由.22.(12分)已知A,B是抛物线上两点,且A与B两点横坐标之和为3.(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB∥l,直线l与抛物线相切于点M,且AM⊥BM,求AB方程.2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科)(B卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:提问全称命题的否定是特称命题,所以命题:“∀x∈R,3x>0”的否定是∃x∈R,3x≤0.故选:C.2.【解答】解:△ABC中,∠A=135°,AB=,且ABC的面积为2,则:,解得:AC=4.故选:D.3.【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,可得=1,所以p=2.故选:B.4.【解答】解:x﹣xy=x(1﹣y)∵x>0,1﹣y>0∴x(1﹣y)>0∴x>xyxy﹣y2=y(x﹣y)∵y>0 x﹣y>0∴y(x﹣y)>0∴xy>y2∴x>xy>y2故选:A.5.【解答】解:p1:若α是锐角,则cosα>0,故p1正确;p2:若cosα>0,则α是第一、四象限角或x轴正半轴,故p2错误;p3:若sin2α>0,则2sinαcosα>0,可能cosα<0,故p3错误;p4:若tanα>0,则α为第一三象限角,sin2α=2sinαcosα>0,故p4正确.故选:C.6.【解答】解:由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得=378,解得a1=192,∴第此人二天走192×=96步故选:C.7.【解答】解:由题意得sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos C,即sin C=2sin C cos C,由sin C≠0,可得:cos C=,又a=1,b=4,由余弦定理可得:c===.故选:B.8.【解答】解:不等式(x﹣a)(x﹣2a)>a﹣3对任意实数x都成立,即为x2﹣3ax+2a2﹣a+3>0恒成立,可得△=9a2﹣4(2a2﹣a+3)<0,即有a2+4a﹣12<0,解得﹣6<a<2,故选:D.9.【解答】解:点P是椭圆上的一点,设为(2cosθ,sinθ),点,则|PQ|===,当cosθ=时,表达式取得最小值.故选:D.10.【解答】解:x+2y=3,可得x=3﹣2y,x>0,即3﹣2y>0,可得;令=m,可得m=,即﹣2my2+3mt=4y2﹣9y+9;∴(4+2m)y2﹣(9+3m)y+9=0.当m=﹣2时,可得y=3(舍去);二次方程有解,则△≥0,即(9+3m)2﹣36(4+2m)≥0;可得m2﹣2m﹣7≥0;∴m≥2+1或m(舍去)故选:A.11.【解答】解:由题意,|F1F2|=|F2A|,∵过双曲线右焦点F2的直线y=(x﹣c),∴A(2c,c),代入双曲线可得﹣=1,∴4c2b2﹣3a2c2=a2b2,∴4c2(c2﹣a2)﹣3a2c2=a2(c2﹣a2),∴4e4﹣8e2+1=0∵e>1,∴e=.故选:C.12.【解答】解:由题意可知:a1=S1=,a2=S2﹣S1=9,a3=S3﹣S2=27,∴a22=a1a3,解得t=﹣3,∴S n=,∵对任意的n∈N*,(2S n+3)λ≥27(n﹣5)∴λ≥,令T n=,则T n+1﹣T n=,当n≥6时,T n+1﹣T n<0,故当n=6时,T n取最大值为,故λ≥故选:A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.【解答】解:x,y满足不等式组表示的区域如图:z=2x+y得到y=﹣2x+z,所以当直线经过图中A(,3)时,直线在y轴上的截距最大,所以最大值为2×+3=10;故答案为:10.14.【解答】解:由x2﹣2x﹣3>0得x>3或x<﹣1,若“x>a”是“x2﹣2x﹣3>0”的充分不必要条件,则a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞),故答案为:[3,+∞)15.【解答】解:由,可得x2=16p2,∵x+1=3,∴x=2,∴8=16p2,∴p=,∴抛物线C2的方程为:x2=y.故答案为:x2=y.16.【解答】解:如图,设MF1=m,MF2=n,F1,F2为椭圆的左、右焦点,椭圆上一点M满足∠MF1F2=30°,∠MF2F1=105°,由正弦定理可得:m=,n=,m+n=2a,则椭圆的离心率为:e=====.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【解答】解:由q:,得﹣1<x<0或2<x<3,p:k﹣2≤x≤k+5,∵p是q的必要不充分条件,∴,∴﹣2≤k≤1,即k∈[﹣2,1].18.【解答】解:(1)由余弦定理,得:,又,∴a2=2c2+c2+2c2=5c2,∴,∴,,∴.(2)由,,,得c=2,∴,.19.【解答】解:(1)设{a n}的公差为d,则,∴,∴a n=1+6(n﹣1)=6n﹣5,.(2),,,∴===,∴=,,∴n≥6,n最小值为6.20.【解答】(1)解:设M(x,y),P(x0,y0),则Q(x0,0),且,∵=(0,﹣y0),=(x0﹣x,﹣y),且,∴,则,代入x2+y2=3,得点M的轨迹方程为x2+3y2=3,即;(2)证明:∵,∴过F1且垂直于F1N的直线方程为,∵,∴过F2且垂直于F2N的直线方程为,由,得,∴l1与l2交点为,又,∴l1与l2交点在M的轨迹C上.21.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵S2=2,S3=﹣6.∴2a1+d=2,3a1+3d=﹣6,联立解得a1=4,d=﹣6.∴a n=4﹣6(n﹣1)=10﹣6n.S n==7n﹣3n2.(2)假设存在n,使S n,S n+2+2n,S n+3成等差数列,则2(S n+2+2n)=S n+S n+3,∴2[7(n+2)﹣3(n+2)2+2n]=7n﹣3n2+7(n+3)﹣3(n+3)2,化为:n=5.因此存在n=5,使S n,S n+2+2n,S n+3成等差数列.22.【解答】解:(1)设AB方程为y=kx+t ,则由,得x2﹣2kx﹣2t=0,△>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k,又x1+x2=3,∴,即直线AB 的斜率为.(2)∵AB∥l,∴可设l 方程为,∴,得x2﹣3x﹣2b=0,∵l是切线,∴△=9+8b=0,∴,∴,∴,,∴,∵AM⊥BM ,∴,又,,,,又x1+x2=3,x1x2=﹣2t ,∴,,∴或,又t≠b,∴AB 方程为.第11页(共11页)。
2018学年山东省菏泽一中高二(上)期中数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)在等差数列3,7,11…中,第5项为()A.15B.18C.19D.232.(5分)已知a,b为非零实数,且a<b<0,则下列不等式不能成立的是()A.a2>b2B.C.|a|>|b|D.3.(5分)在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a:b:c=1::2,则sin A:sin B:sin C=()A.:2:1B.2::1C.1:2:D.1::24.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为()A.4B.3C.2D.15.(5分)在△ABC中,若,,,则此三角形中最大内角是()A.60°B.90°C.120°D.150°6.(5分)实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18B.6C.2D.27.(5分)不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.[﹣2,2]C.(﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2)8.(5分)已知等差数列{a n},首项a1>0,a2011+a2012>0,a2011•a2012<0,则使数列{a n}的前n 项和S n>0成立的最大正整数n是()A.2011B.2012C.4023D.40229.(5分)在R上定义运算,若成立,则x的取值范围是()A.(﹣4,1)B.(﹣1,4)C.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)10.(5分)如图,某船在海上航行中遇险发出呼救信号,我海上救生艇在A处获悉后,立即测出该船在方位角45°方向,相距10海里的C处,还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶,救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救,则救生艇与呼救船在B处相遇。
2017~2018学年度第一学期期末考试高二文科数学试题(B) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题:“x R ∀∈,30x >”的否定是( ) A.x R ∀∈,30x ≤ B.x R ∀∈,30x < C.x R ∃∈,30x ≤D.x R ∃∈,30x <2.在ABC △中,135A =∠°,AB =ABC △的面积为AC 的长为( )A.1B.2C.D.3.若抛物线()220y px p =>的准线方程为1x =-,则p 等于( ) A.1B.2C.4D.84.已知10x y >>>,则下列结论正确的是( ) A.2x xy y >> B.2x xy x >> C.2x y xy >>D.22x y x y >>5.设有下面四个命题, 1p :若α是锐角,则cos 0α> 2p :若cos 0α>,则α是锐角 3p :若sin 20α>,则cos 0α>4p :若tan 0α>,则sin 20α>其中真命题为( )A.1p ,2pB.2p ,3pC.1p ,4pD.3p ,4p6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了多少里?” A.113里B.107里C.96里D.87里7.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos cos 2cos a B b A c C +=,1a =,4b =,则c =( )A.2C.8.若不等式()()23x a x a a -->-对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围是( ) A.()1,3-B.()3,1-C.()2,6-D.()6,2-9.已知点P 是椭圆22143x y +=上的一点,点1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则PQ 的最小值为( )C.3210.已知0x >,0y >,23x y +=,则23x yxy+的最小值为( )A.1B.3-1111.已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点2F于点A ,点1F 为左焦点,且()21210F F F A F A +⋅=,则此双曲线的离心率为( )12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132n n tS ++=,若对任意的*n N ∈,()()23275n S n λ+≥-恒成立,则实数λ的取值范围为( )A.1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若x ,y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为.14.若“x a >”是“2230x x -->”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.15.若抛物线21:4C y x =与抛物线()22:20C x py p =>异于原点O 的交点A 到抛物线1C 的焦点的距离为3,则抛物线2C 的方程为.16.1F ,2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点,椭圆上一点M 满足1230MF F =∠°,21105MF F =∠°,则椭圆的离心率为.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知条件p :25k x k -≤≤+,条件q :2023x x <-<,若p 是q 的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.18.已知ABC △的三个内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若34A π=,b =. (1)求cos cos B C 的值;(2)若ABC △的面积2S =,求a ,b ,c .19.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,在各项均为正数的等比数列{}n b 中11b a =,公比为q ,且2210b S +=,()222b q S +=. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设nn na cb =,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求满足12n T ≥的n 的最小值. 20.已知点P 是圆O :223x y +=上的动点,过P 作x 轴的垂线,垂足为Q ,点M满足PQ = .(1)求点M 的轨迹C 方程;(2)若1F ,2F的坐标分别为(),),点31,22N ⎛⎫⎪⎝⎭,过1F 作直线11l NF ⊥,过2F 作直线22l NF ⊥,求证:1l ,2l 交点在M 的轨迹C 上.21.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知22S =,36S =-. (1)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ;(2)是否存在n ,使n S ,22n S n ++,3n S +成等差数列,若存在,求出n ,若不存在,请说明理由.22.已知A ,B 是抛物线22x y =上两点,且A 与B 两点横坐标之和为3.(1)求直线AB 的斜率;(2)若直线AB l ∥,直线l 与抛物线相切于点M ,且AM BM ⊥,求AB 方程.2017~2018学年度第一学期期末考试 高二文科数学试题(B)参考答案一、选择题1-5:CDBAC 6-10:CBDDA 11、12:CA 二、填空题13.10 14.[)3,+∞ 15.2x = 三、解答题17.解:q :2223020x x x x ⎧--<⎪⎨->⎪⎩,10x -<<或23x <<,p :25k x k -≤≤+,∵p 是q 的必要不充分条件,∴q p ⇒,/p q ⇒, ∴2153k k -≤-⎧⎨+≥⎩,∴21k -≤≤即[]2,1k ∈-.18.解:(1)由余弦定理,得222222cos a b c bc A b c =+-=+,又b =,∴22222225a c c c c =++=,∴a =, ∴222cos2a c b B ac +-==222cos 2a b c C ab +-==,∴cos cos B C =(2)由1sin 22bc A =,b =,34A π=得2c =,∴b ==a ==19.解:(1)设{}n a 的公差为d ,则()()11102110q d q q d q +++=⎧⎪⎨+=++>⎪⎩,∴62d q =⎧⎨=⎩.∴()16165n a n n =+-=-,12n n b -=. (2)1652n n n c --=,121171365...2222nn n n T --=++++, 2111761165 (22222)n n nn n T ---=++++,∴2121166665111651...16...222222222n n n n nn n T ----⎛⎫=++++-=++++- ⎪⎝⎭116516122n n n -⎡⎤-⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11165165166762222n n n nn n ----⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=-⋅-⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ∴1111656714121412222n n n n n n T ----+⎛⎫=-⨯-=-≥ ⎪⎝⎭, 16722n n -+≤,∴6n ≥,n 最小值为6. 20.解:(1)设(),M x y ,()00,P x y ,则()0,0Q x ,且22003x y +=,∵()00,PQ y =-,()0,MQ x x y =--,PQ ,∴000x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,∴00x x y =⎧⎪⎨⎪⎩,∴点M 的轨迹方程为2233x y +=,即2213x y +=.(2)11232F N k =+,∴过1F 且垂直于1F N的直线方程为(3y x =-++,21232F N k ==2F 且垂直于2F N的直线方程为(3y x =--,由((33y x y x ⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩,得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴1l 与2l 交点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,又221311911322344⎛⎫⎛⎫-+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴1l 与2l 交点在M 的轨迹C 上.21.解:(1)设{}n a 的公差为d ,则112232362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,∴146a d =⎧⎨=-⎩, ∴()461106n a n n =--=-,()211732n n n S na d n n -=+=-.(2)()()2223737333646n n S S n n n n n n ++=-++-+=---,()()2227232352n S n n n n +=+-+=--+,()()2222223522664n S n n n n n n ++=--++=--+,若存在,使n S ,2n S +,3n S +成等差数列, 则22646664n n n n ---=--+,∴5n =, ∴存在5n =,使n S ,2n S +,3n S +成等差数列.22.解:(1)设AB 方程为y kx t =+,则由22y kx t x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得2220x kx t --=, 0∆>时,设()11,A x y ,()22,B x y ,则122x x k +=,又123x x +=,∴32k =,即直线AB 的斜率为32. (2)∵AB l ∥,∴可设l 方程为32y x b =+,∴2322y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2320x x b --=, ∵l 是切线,∴980b ∆=+=,∴98b =-,∴29304x x -+=,∴32x =,33992288y =⨯-=,∴39,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∵AB BM ⊥,∴0MA MB ⋅=,又1139,28MA x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,2239,28MB x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,1132y x t =+,2232y x t =+,又123x x +=,122x x t =-,∴2173870464t t --=,1694∆=,∴438t =或98t =-, 又t b ≠,∴AB 方程为34328y x =+.。
山东省菏泽市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题;共16分)1. (2分) (2018高二上·黑龙江期末) 是抛物线的焦点,以为端点的射线与抛物线相交于,与抛物线的准线相交于,若,则()A .B .C .D . 12. (2分)如图所示,PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,点A在PB,PC上的射影分别为E,F,则以下结论错误的是()A . PB⊥AFB . PB⊥EFC . AF⊥BCD . AE⊥BC3. (2分)已知三棱柱P﹣ABC的各顶点都在以O为球心的球面上,且PA、PB、PC两垂直,若PA=PB=PC=2,则球心O到平面ABC的距离为()A .B .C . 1D .4. (2分)若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程是()A . ﹣=1B . ﹣=1C . ﹣=2D . ﹣=25. (2分) (2016高二上·射洪期中) 在直角△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点(左图),将∠ABD 沿BD折起,使得AB⊥CD(右图),则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为()A . ﹣B .C . ﹣D .6. (2分) (2019高二上·南宁期中) 与圆外切,且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为()A .B .C .D .7. (2分) (2015高三上·盘山期末) 如图,F1、F2是双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A . 4B .C .D .8. (2分)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则P(X=2)=()A .B .C .D .二、填空题 (共7题;共10分)9. (1分) (2019高二上·柳林期末) 已知F1、F2是双曲线 y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|=________.10. (1分) (2016高三上·晋江期中) 多面体的三视图如图所示,则该多面体体积为(单位cm)________.11. (2分)抛物线y=ax2的焦点为F(0,1),P为该抛物线上的动点,则a= ________ ;线段FP中点M的轨迹方程为________12. (1分) (2018高二上·无锡期末) 椭圆具有如下的光学性质:从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆的左焦点发出的一条光线,经过椭圆内壁两次反射后,回到点,则光线所经过的总路程为________.13. (1分) (2015高二上·淄川期末) 椭圆的焦点为F1 , F2 ,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2的大小为________.14. (1分)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距________海里.15. (3分) (2016高三上·湖州期末) 双曲线﹣y2=1的实轴长是________,离心率的值是________,焦点到渐近线的距离是________三、解答题 (共5题;共45分)16. (10分) (2016高二上·赣州期中) 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 .求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.17. (10分) (2016高二上·温州期末) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A,B,两点,△AOB的面积为8,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合).(1)求抛物线C的方程;(2)若以线段PQ为直径的圆恰好经过F,求|PF|的最小值.18. (5分) (2018高二上·南阳月考) 曲线,设过焦点且斜率为的直线交曲线于两点,且,求的方程.19. (10分) (2018高三上·西安模拟) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)为中点,在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由;(2)求二面角的余弦值.20. (10分)(2017·赣州模拟) 设离心率为的椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点为F1 ,F2 ,点P是E上一点,PF1⊥PF2 ,△PF1F2内切圆的半径为﹣1.(1)求E的方程;(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2,A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为,求直线AB的方程.参考答案一、选择题 (共8题;共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题;共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题;共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2017-2018学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(理科)(B卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数(1﹣i)2的虚部是()A.﹣2i B.2 C.﹣2 D.02.(5分)已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()A.1 B.C.﹣1 D.03.(5分)有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知y=()x是指数函数;则y=()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.(5分)在复平面内,复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(5分)定积分(﹣3)dx等于()A.﹣6 B.6 C.﹣3 D.36.(5分)已知a,b∈R,复数,则a+b=()A.2 B.1 C.0 D.﹣27.(5分)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)()A.至少有两个零点 B.在x=3处取极小值C.在(2,4)上为减函数D.在x=1处切线斜率为08.(5分)设复数z满足(1+z)i=1﹣i,则z=()A.﹣2﹣i B.﹣1﹣i C.﹣2+i D.﹣1+i9.(5分)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角10.(5分)用数学归纳法证明不等式“++…+>(n>2)”时的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项11.(5分)函数f(x)=lnx﹣x2的图象大致是()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有>0成立,则不等式xf(x)>0的解集是()A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪,(2,+∞)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若复数z满足z+i=,则复数z的模为.14.(5分)如图,函数y=f(x)的图象在点P(4,f(4))处的切线方程是y=﹣2x+9,则f(4)+f′(4)的值为.15.(5分)由直线y=x+2与曲线y=x2围成的封闭图形的面积是.16.(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式=x+y,且x+y=1.类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于空间内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,求:(1)函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间.18.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:和中至少有一个小于2.19.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx.(Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)的最小值;(Ⅱ)若函数y=f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.20.已知数列{a n}满足a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.(Ⅰ)求a2,a3,a4值;(Ⅱ)归纳猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.21.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为x元/件(1<x<2),则新增的年销量p=(2﹣x)2(万件).(Ⅰ)写出今年商户甲的收益f(x)(单位:万元)与x的函数关系式;(Ⅱ)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?请说明理由.22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.(1)当a≥0时,求f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.(3)在条件(2)下,当最小值为﹣2时,求a的取值范围.2017-2018学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(理科)(B卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数(1﹣i)2的虚部是()A.﹣2i B.2 C.﹣2 D.0【分析】利用复数的运算法则、虚部的意义即可得出.【解答】解:原式=﹣2i,∴虚部为﹣2.故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的意义,属于基础题.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为()A.1 B.C.﹣1 D.0【分析】先求出f′(x),再由f′(1)=2求出a的值.【解答】解:∵函数f (x )=a x2+c,∴f′(x)=2ax又f′(1)=2,∴2a•1=2,∴a=1故选:A.【点评】本题考查导数的运算法则.3.(5分)有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知y=()x是指数函数;则y=()x是增函数”的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【分析】根据题意,由指数函数的性质分析可得该演绎推理的大前提指数函数都是增函数是错误的,分析选项即可得答案.【解答】解:根据题意,指数函数y=a x(a>0且a≠1)是R上的增函数,这个说法是错误的,要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性,大前提是错误的,∴得到的结论是错误的,故选:A.【点评】本题考查演绎推理的基本方法,解题的关键是理解演绎推理的三段论原理,在大前提和小前提中,若有一个说法是错误的,则得到的结论就是错误的.4.(5分)在复平面内,复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限.【解答】解:∵复数===,∴复数对应的点的坐标是(,)∴复数在复平面内对应的点位于第一象限,故选:A.【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,在解题时用到复数的加减乘除运算,是一个比较好的选择或填空题,可能出现在高考题的前几个题目中.5.(5分)定积分(﹣3)dx等于()A.﹣6 B.6 C.﹣3 D.3【分析】根据积分公式直接进行求解即可得到结论.【解答】解:(﹣3)dx=﹣3x|=﹣3(3﹣1)=﹣3×2=﹣6,故选:A.【点评】本题主要考查积分的计算,利用函数的积分公式是解决本题的关键,比较基础.6.(5分)已知a,b∈R,复数,则a+b=()A.2 B.1 C.0 D.﹣2【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出.【解答】解:复数,∴a+bi==i+1,a=b=1,则a+b=2.故选:A.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.(5分)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)()A.至少有两个零点 B.在x=3处取极小值C.在(2,4)上为减函数D.在x=1处切线斜率为0【分析】本题目考查导函数图象与原函数图象的关系,导函数的正负可以决定原函数的单调性.【解答】由题目给定的f'(x)图象可知,当x<﹣1或2<x<4时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<2或x>4时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故由此我们可知,函数f(x)在x=﹣1处取到极小值,在x=2处取到极大值,在x=4处有取到极小值,但是并不能知道这些极值的大小.选项B,D其实是把所给的图象当成函数f(x)的图象来理解的,故是错误的,而选项A的判断需要我们知道具体的极小值,若两个极小值都大于零,则此函数没有零点,故A错误.故A,B,D都是错误的,只有C正确,故选:C.【点评】解答这类题目,需要分清楚所给的图象是函数f(x)的图象还是f'(x)的图象,其中导函数的正负可以决定原函数的单调性.选项B,D其实是把所给的图象当成函数f(x)的图象来设置的,容易理解错误,而选项A的判断需要我们知道具体的极小值,若两个极小值都大于零,则此函数没有零点,故A错误.8.(5分)设复数z满足(1+z)i=1﹣i,则z=()A.﹣2﹣i B.﹣1﹣i C.﹣2+i D.﹣1+i【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:由(1+z)i=1﹣i,得i+iz=1﹣i,∴z=.故选:A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.9.(5分)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立,从而得出结论.【解答】解:用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应先假设“至少有两个钝角”,故选:B.【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题,属于基础题.10.(5分)用数学归纳法证明不等式“++…+>(n>2)”时的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“++…+>(n >2)左边的各项,他们都是以开始,以项结束,共n项,当由n=k到n=k+1时,项数也由k变到k+1时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.【解答】解:,=故选:C.【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基)P(n)在n=1时成立;2)(归纳)在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P (n)对一切自然数n都成立.11.(5分)函数f(x)=lnx﹣x2的图象大致是()A.B.C.D.【分析】由已知中函数的解析式,我们利用导数法,可以判断出函数的单调性及最大值,进而分析四个答案中的图象,即可得到答案.【解答】解:∵(x>0)∴(x>0)则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;当x=1时,f(x)取最大值,f(1)=;故选:B.【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质,其中利用导数分析出函数的性质,是解答本题的关键.12.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有>0成立,则不等式xf(x)>0的解集是()A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)∪,(2,+∞)【分析】g(x)=(x>0),求导可得g(x)在(0,+∞)上为增函数,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得g(x)在R上为偶函数,画出g(x)图象的大致形状,数形结合即可求得不等式xf(x)>0的解集.【解答】解:令g(x)=(x>0),可得g′(x)=>0(x>0),∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得g(x)在R上为偶函数,由f(2)=0,可得g(2)=0.作出g(x)=图象的大致形状如图:则不等式xf(x)>0⇔或.由图可知,当x∈(﹣∞,﹣2)时,x<0,f(x)>0,当x∈(﹣2,0)时,x<0,f(x)<0,当x∈(0,2)时,x>0,f(x)>0,当x∈(2,+∞)时,x>0,f(x)<0.∴满足或的x的范围为(﹣2,0)∪(0,2).即不等式xf(x)>0的解集是(﹣2,0)∪(0,2).故选:B.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查数形结合的解题思想方法,构造函数是解决该题的关键,是中档题.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若复数z满足z+i=,则复数z的模为.【分析】首先移项整理,再进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,得到最简形势,最后求出复数的模长.【解答】解:∵z+i=,∴z=﹣i=﹣i=∴|z|=故答案为:【点评】本题考查复数求模,本题是一个基础题,这种题目一般出现在高考卷的前几个题目中,若出现是一个送分题目.14.(5分)如图,函数y=f(x)的图象在点P(4,f(4))处的切线方程是y=﹣2x+9,则f(4)+f′(4)的值为﹣1.【分析】由函数在点P(4,f(4))处的切线方程得到切线的斜率,即f′(4),再由切线方程求出f(4)的值,则答案可求.【解答】解:由图可知,f′(4)=﹣2,且f(4)=﹣2×4+9=1,∴f(4)+f′(4)=1﹣2=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.15.(5分)由直线y=x+2与曲线y=x2围成的封闭图形的面积是.【分析】联立方程组求出积分的上限和下限,结合积分的几何意义即可得到结论.【解答】解:作出两条曲线对应的封闭区域如图:由得x2=x+2,即x2﹣x﹣2=0,解得x=﹣1或x=2,则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S=(x+2﹣x2)dx=(﹣x3+x2+2x)|=,故答案为:【点评】本题主要考查积分的应用,作出对应的图象,求出积分上限和下限,是解决本题的关键.16.(5分)在平面内,点P,A,B三点共线的充要条件是:对于平面内任一点O,有且只有一对实数x,y,满足向量关系式=x+y,且x+y=1.类比以上结论,可得到在空间中,P,A,B,C四点共面的充要条件是:对于空间内任一点O,有且只有一对实数x,y,z满足向量关系式且x+y+z=1..【分析】条件命题表示的点在直线上的充要条件,类比直线,推广到点在平面上的充要条件.【解答】解:根据类比推理可知:O为平面ABC外一点,则点P在平面ABC内的充要条件是:存在实数x,y,z满足且x+y+z=1.故答案为:且x+y+z=1.【点评】本题主要考查类比推理的应用.类比推理要先理解类比之前的命题成立的条件和推理过程,然后得出对应的类比结论.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,求:(1)函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间.【分析】(1)求出f′(x)=﹣3x2+6x+9,f′(0)=9,f(0)=﹣2,由此利用导数的几何意义能求出函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)由f′(x)=﹣3x2+6x+9<0,能求出f(x)的单调递减区间.【解答】解:(1)∵f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,∴f′(x)=﹣3x2+6x+9,f′(0)=9,f(0)=﹣2,∴函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为:y+2=9x,即9x﹣y﹣2=0.(2)∵f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,∴f′(x)=﹣3x2+6x+9,由f′(x)=﹣3x2+6x+9<0,解得x<﹣1或x>3.∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞).【点评】本题考查函数的切线方程的求法,考查函数的减区间的求法,考查导数的几何意义、导数性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.18.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)已知a>0,b>0,且a+b>2,求证:和中至少有一个小于2.【分析】(Ⅰ)利用分析法,和两边平方法,(Ⅱ)利用了反证法,假设:≥2,≥2,推得即a+b≤2,这与已知a+b >2矛盾,故假设不成立,从而原结论成立【解答】证明:(Ⅰ)要证+>2+,只需证(+)2>(2+)2;即证13+2>13+2,即证42>40而上式显然成立,故原不等式成立.(Ⅱ):假设≥2,≥2,∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,∴1+b+1+a≥2(a+b)即a+b≤2这与已知a+b>2矛盾,故假设不成立,从而原结论成立【点评】本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法,属于中档题.19.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx.(Ⅰ)若a=1,求函数y=f(x)的最小值;(Ⅱ)若函数y=f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)将a=1代入f(x),求出f′(x),令f′(x)>0和f′(x)>0,求解即可得到f(x)的单调区间;从而求出函数的最小值;(Ⅱ)根据函数f(x)在[1,2]上是减函数,可得f′(x)≤0在[1,2]上恒成立,转化为2x2+ax﹣1≤0在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax﹣1,利用二次函数的性质,列出关于a的不等式组,求解即可得到实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R,∴当a=1时,f(x)=x2+x﹣lnx,(x>0)∴f′(x)=2x+1﹣=,令f′(x)>0,解得x>,令f′(x)>0,解得0<x<,∴f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,),∴f(x)min=f()=+ln2;(Ⅱ)∵f(x)=x2+ax﹣lnx,(x>0)∴f′(x)=2x+a﹣=,∵函数f(x)在[1,2]上是减函数,∴f′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即≤0在[1,2]上恒成立,∵x>0,∴2x2+ax﹣1≤0在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax﹣1,∴,即,∴a≤﹣,∴实数a的取值范围为a≤﹣.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性.对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.属于中档题.20.已知数列{a n}满足a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.(Ⅰ)求a2,a3,a4值;(Ⅱ)归纳猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.【分析】(Ⅰ)利用数列的递推关系式,逐步求a2,a3,a4值;(Ⅱ)猜想数列的通项公式.然后利用数学归纳法的证明步骤逐步证明即可.【解答】解:(Ⅰ)a n•a n+1=,(n∈N*),a1=.计算得a2=.a3=.a4=.(Ⅱ)猜想a n=,证明如下:①当n=1时,猜想显然成立;②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即a k=,成立,=•==,则当n=k+1时,a k+1即n=k+1时猜想成立由①②得对任意n∈N*,有a n=.【点评】本题考查数学归纳法的应用,考查转化思想以及计算能力.21.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为x元/件(1<x<2),则新增的年销量p=(2﹣x)2(万件).(Ⅰ)写出今年商户甲的收益f(x)(单位:万元)与x的函数关系式;(Ⅱ)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?请说明理由.【分析】(Ⅰ)写出今年销售量为1+(4x﹣2)2(万件).每销售一件,商户甲可获利x﹣1元,即可得到商户甲的收益f(x)(单位:万元)与x的函数关系式;(Ⅱ)化简函数的解析式通过函数的导数,判断函数的单调性求解函数的最大值,然后说明结果.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,今年的年销售量为1+(4x﹣2)2(万件).因为每销售一件,商户甲可获利x﹣1元,所以今年商户甲的收益:f(x)=[1+(4x﹣2)2](x﹣1)=4x3﹣20x2+33x﹣17(1<x<2).(Ⅱ)由f(x)=4x3﹣20x2+33x﹣17(1<x<2).得f′(x)=12x2﹣40x+33=(2x﹣3)(6x﹣11)(1<x<2).令f′(x)=0,解得x=或x=,当x∈(1,)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(,)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(,2)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;∴x=为极大值点,极大值为f()=1.∵f(2)=1,∴当x=或2时,f(x)在区间[1,2]上的最大值为1(万元),而往年的收益为(2﹣1)×1=1(万元),所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.【点评】本题考查函数的实际应用,函数的导数的综合应用,考查转化思想以及计算能力.22.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.(1)当a≥0时,求f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.(3)在条件(2)下,当最小值为﹣2时,求a的取值范围.【分析】(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,分别令f′(x)>0,f′(x)<0可求函数的单调增区间,单调减区间.(2)利用导数求出f(x)求出在区间[1,e]上的最小值,(3)根据(2)建立关于a的关系式.注意进行分类讨论.【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax﹣(a+2)+==,①a=0时,f′(x)=﹣,令f′(x)>0,解得:0<x<,令f′(x)<0,解得:x>,故f(x)在(0,)递增,在(,+∞)递减;②a>0时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+==(x>0)令f'(x)=0,即f′(x)==0,所以x=或x=,当≤,即a≥2时,f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)上单调递增,当0<<时,即0<a<2时,f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增,(2)函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞),当a>0时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+==(x>0)令f'(x)=0,即f′(x)==0,所以x=或x=,①当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=﹣2;②当1<<e时,即<a<1时,f(x)在[1,)递减,在(,e]递增,f(x)在[1,e]上的最小值是f()<f(1)=﹣2;③当≥e时,即0<a≤时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=﹣2;(3)由(2)a≥1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=﹣2,符合题意;<a<1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f()<f(1)=﹣2,不合题意;0<a≤时,f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=﹣2,不合题意.综上可知,a的取值范围为[1,+∞).【点评】本题考查导数知识的运用,求函数的单调性,函数的最值,恒成立问题成立的条件.。
2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科)(B卷)一、本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知P:∀x∈R,x>sinx,则P的否定形式为()A.¬P:∃x∈R,x≤sinx B.¬P:∀x∈R,x≤sinxC.¬P:∃x∈R,x<sinx D.¬P:∀x∈R,x<sinx2.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是()A.y2=﹣4x B.y2=﹣8x C.y2=﹣x D.y2=8x3.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1=2a n+1,n∈N*,则a101的值为()A.49 B.50 C.51 D.524.在△ABC中,已知a2﹣b2﹣c2=bc,则角B+C等于()A.B.C.D.或5.已知a>b,则下列不等式中正确的是()A.B.ac>bc C.D.a2+b2>2ab6.已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.3 B.﹣3 C.1 D.7.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,则椭圆的方程()A.B.C.D.9.下列中,真是()A.“a≤b”是“a+c≤b+c”的充分不必要条件B.“已知x,y∈R,且x+y≠6,则x≠2或y≠4”是真C.“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x∈R,2x<0”D.“若x2﹣1=0,则x=1或x=﹣1”的否为“x2﹣1≠0或x≠﹣1”10.双曲线的离心率e=,经过M(﹣5,3)的方程是()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则的最小值是.12.数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2,则通项公式a n=.13.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=5,则|AB|=.14.已知一条双曲线的渐近线方程为y=x,且通过点A(3,3),则该双曲线的标准方程为.15.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=米.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知在数列{a n}中a2=2,a5=﹣.(Ⅰ)若{a n}是等差数列,求该数列的前6项和S6;(Ⅱ)若{a n}是等比数列,求数列{|a n|}的前n项和T n.17.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,角C是钝角,且sinB=.(Ⅰ)求角C的值;(Ⅱ)若b=2,△ABC的面积为,求c的值.18.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线D:y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,双曲线的离心率为,△ABO的面积为2.(Ⅰ)求双曲线C的渐近线方程;(Ⅱ)求p的值.19.已知函数f(x)=(p﹣2)x2+(2q﹣8)x+1(p>2,q>0).(Ⅰ)当p=q=3时,求使f(x)≥1的x的取值范围;(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递减,求pq的最大值.20.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.21.已知椭圆E:(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为M,直线l:3x﹣4y=0交椭圆E于A,B两点,且|AF2|+|BF2|=2.(1)若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;(2)若点M到直线l的距离不小于,求椭圆的离心率的取值范围.2015-2016学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(文科)(B卷)参考答案与试题解析一、本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知P:∀x∈R,x>sinx,则P的否定形式为()A.¬P:∃x∈R,x≤sinx B.¬P:∀x∈R,x≤sinxC.¬P:∃x∈R,x<sinx D.¬P:∀x∈R,x<sinx【分析】根据P:∀x∈R,x>sinx为全称,其否定形式为特称,由“任意的”否定为“存在”,“>“的否定为“≤”可得答案.【解答】解:∵P:∀x∈R,x>sinx为全称,∴P的否定形式为:∃x∈R,x≤sinx故选A.【点评】本题主要考查全称与特称的相互转化问题.这里注意,全称的否定是特称,反过来特称的否定是全称.2.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是()A.y2=﹣4x B.y2=﹣8x C.y2=﹣x D.y2=8x【分析】由于准线方程为x=的抛物线方程为y2=﹣2px,由题意可得p=4,即可得到所求抛物线方程.【解答】解:由于准线方程为x=的抛物线方程为y2=﹣2px,则准线方程为x=2的抛物线的标准方程是y2=﹣8x.故选B.【点评】本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程,属于基础题.3.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1=2a n+1,n∈N*,则a101的值为()A.49 B.50 C.51 D.52【分析】先利用递推关系得出其为等差数列,再代入等差数列的通项公式即可.【解答】解:由2a n+1=2a n+1,得a n+1﹣a n=,故为首项为2,公差为的等差数列,所以a101=a1+100d=2+100×=52.故选D.【点评】本题是对数列递推关系式的考查.做这一类型题时,要注意观察递推关系式,找到其隐含的结论,来解题.4.在△ABC中,已知a2﹣b2﹣c2=bc,则角B+C等于()A.B.C.D.或【分析】由条件利用余弦定理球得cosA的值,可得A的值,从而求得B+C=π﹣A的值.【解答】解:在△ABC中,由a2﹣b2﹣c2=bc,利用余弦定理可得cosA==﹣,∴A=,∴B+C=π﹣A=,故选:A.【点评】本题主要考查余弦定理、诱导公式,属于基础题.5.已知a>b,则下列不等式中正确的是()A.B.ac>bc C.D.a2+b2>2ab【分析】弄清一些特殊不等式成立的条件,以及不等式的一些性质.【解答】解:运用排除法,A项,若ab>0则不成立.B项,若c=0则不成立.C项,a<0,b<0时不成立.∴D项正确.【点评】做这类题考虑的要全面,不要忽略了特殊情况.6.已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.3 B.﹣3 C.1 D.【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.【解答】解:作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y过点A(2,﹣1)时,z最大是3,故选A.【点评】本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.7.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由正弦定理知,由sinA>sinB,知a>b,所以A>B,反之亦然,故可得结论.【解答】解:由正弦定理知=2R,∵sinA>sinB,∴a>b,∴A>B.反之,∵A>B,∴a>b,∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB故选A.【点评】本题以三角形为载体,考查四种条件,解题的关键是正确运用正弦定理及变形.8.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,则椭圆的方程()A.B.C.D.【分析】由已知求出a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求.【解答】解:由题意可知,,2a=6,a=3,∴c=2,则b2=a2﹣c2=9﹣4=5,∴椭圆的方程为或.故选:D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆方程的求法,是基础题.9.下列中,真是()A.“a≤b”是“a+c≤b+c”的充分不必要条件B.“已知x,y∈R,且x+y≠6,则x≠2或y≠4”是真C.“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x∈R,2x<0”D.“若x2﹣1=0,则x=1或x=﹣1”的否为“x2﹣1≠0或x≠﹣1”【分析】A利用不等式的可加性可判断;B可利用原和逆否为等价,判断逆否即可;C对任意的否定,任意改存在,再否定结论即取反面;D中或的否定应改为且.【解答】解:对于A,根据不等式的可加性可知“a≤b”是“a+c≤b+c”的充要条件,故错误;对于B,已知x,y∈R,且x+y≠6,则x≠2或y≠4的逆否是:若x=2,且y=4,则x+y=6显然正确,故原为真;对于C,“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x∈R,2x≤0”故错误;对于D,“若x2﹣1=0,则x=1或x=﹣1”的否为“x2﹣1≠0且x≠﹣1”,故错误.故选:B.【点评】考查了四种,任意的否定,或的否定.属于基础题型,应熟练掌握.10.双曲线的离心率e=,经过M(﹣5,3)的方程是()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1【分析】利用双曲线离心率以及经过的点列出方程组求解即可.【解答】解:∵离心率e=,可得a=b,经过点M(﹣5,3),∴或,解得:a2=b2=16,(第二个方程组无解),∴双曲线C的标准方程为:﹣=1,故选:B.【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意双曲线的简单性质的灵活运用.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则的最小值是4.【分析】先根据ln(a+b)=0求得a+b的值,进而利用=()(a+b)利用均值不等式求得答案.【解答】解:∵ln(a+b)=0,∴a+b=1∴=()(a+b)=2++≥2+2=4故答案为:4【点评】本题主要考查了基本不等式的应用.考查了学生综合分析问题的能力和对基础知识的综合运用.12.数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2,则通项公式a n=.【分析】由已知条件利用公式求解.【解答】解:∵数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2,∴当n=1时,a1=S1=1;=(n2﹣2n+2)﹣[(n﹣1)2﹣2(n﹣1)+2]=2n﹣3.当n>1时,a n=S n﹣S n﹣1又n=1时,2n﹣3≠a1,所以有a n=.故答案为:.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要注意公式的合理运用.13.过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=5,则|AB|=9.【分析】法1:容易求出抛物线的焦点F的坐标为(2,0),而由题意可看出直线存在斜率且不为0,可设直线的斜率为k,写出方程为y=k(x﹣2),带入抛物线方程整理便可得到k2x2﹣(4k2+8)+4k2=0,由韦达定理即可求出x1+x2和x1x2,根据x1+x2=5即可求出k2的值,从而根据弦长公式即可求出|AB|的值.法2:根据抛物线方程知,p=4,根据抛物线的定义可得答案.【解答】解:法1:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由题意知,过F的直线存在斜率且不为0,设斜率为k,则直线方程为:y=k(x﹣2);带入抛物线方程并整理得:k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0;∴,x1x2=4;∴k2=8;∴=.法2:根据抛物线方程知,p=4;∴根据抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.故答案为:9.【点评】考查抛物线的标准方程,抛物线的焦点,以及直线的点斜式方程,韦达定理,弦长公式,注意要说明k 存在且不为0.14.已知一条双曲线的渐近线方程为y=x ,且通过点A (3,3),则该双曲线的标准方程为 ﹣=1 .【分析】由双曲线的渐近线方程,可设双曲线的方程为y 2﹣=λ(λ≠0),代入A 的坐标,解方程即可得到所求双曲线的标准方程.【解答】解:由双曲线的渐近线方程为y=x ,可设双曲线的方程为y 2﹣=λ(λ≠0),代入点A (3,3),可得λ=9﹣=,即有双曲线的方程为y 2﹣=,化为标准方程为﹣=1.故答案为:﹣=1.【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,注意渐近线方程与双曲线的方程的关系,以及点满足双曲线的方程,考查运算能力,属于基础题.15.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB=米.【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD,再根据正弦定理求得BC,进而在直角三角形ACB中根据∠ACB及BC,进而求得AB.【解答】解:∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°,根据正弦定理,∴BC===15,∴AB=tan∠ACBCB=×15=15,故答案为15.【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知在数列{a n}中a2=2,a5=﹣.(Ⅰ)若{a n}是等差数列,求该数列的前6项和S6;(Ⅱ)若{a n}是等比数列,求数列{|a n|}的前n项和T n.【分析】(I)由于{a n}是等差数列,可得S6==3(a2+a5).(Ⅱ)由{a n}是等比数列,设它的公比为q,可得q3==﹣,解得q.可得a n=,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵{a n}是等差数列,∴S6==3(a2+a5)=3×=.(Ⅱ)∵{a n}是等比数列,设它的公比为q,则q3==﹣,解得q=﹣.∴a n===﹣,∴|a n|=,∴数列{|a n|}是以4为首项,公比为的等比数列,∴T n==8﹣23﹣n.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,角C是钝角,且sinB=.(Ⅰ)求角C的值;(Ⅱ)若b=2,△ABC的面积为,求c的值.【分析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinB(2sinC﹣1)=0,由sinB≠0解得sinC=,结合C是钝角,即可解得C的值.(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可求a的值,由余弦定理即可解得c的值.【解答】解:(Ⅰ)由sinB=得2csinB=b,由正弦定理得:2sinCsinB=sinB,所以sinB(2sinC﹣1)=0,…(3分)因为sinB≠0,所以sinC=,因为C是钝角,所以C=.…(6分)(Ⅱ)因为S=absinC=a=,a=2,…(9分)由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+4﹣2×(﹣)=28,所以c=2,即c的值为2.…(12分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.18.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线D:y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,双曲线的离心率为,△ABO的面积为2.(Ⅰ)求双曲线C的渐近线方程;(Ⅱ)求p的值.【分析】(I)由离心率公式和a,b,c的关系,可得=,即可得到双曲线的渐近线方程;(II)求出抛物线的准线方程,代入渐近线方程,可得A,B的坐标,得到AB的距离,由三角形的面积公式,计算即可得到p的值.【解答】解:(I)由双曲线的离心率为,所以e===,由此可知=,双曲线﹣=1的两条渐近线方程为y=±x,即y=±x;(II)由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣,由,得,即A(﹣,﹣p);同理可得B(﹣,p).所以|AB|=p,由题意得△ABO的面积为p=2,由于p>0,解得p=2,所求p的值为2.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用离心率公式和a,b,c的关系,考查抛物线的方程和性质,以及三角形的面积公式的计算,属于基础题.19.已知函数f(x)=(p﹣2)x2+(2q﹣8)x+1(p>2,q>0).(Ⅰ)当p=q=3时,求使f(x)≥1的x的取值范围;(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递减,求pq的最大值.【分析】(Ⅰ)问题转化为解不等式x2﹣2x+1≥1,解出即可;(Ⅱ)得到﹣≥2,即p+q≤6,由p>0,q>0,结合基本不等式的性质求出pq的最大值即可.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(x)=x2﹣2x+1,由f(x)≥1得:x2﹣2x+1≥1,解之得x≤0或x≥4,所以使f(x)≥1的x的取值范围是{x|x≤0或x≥4};…(5分)(Ⅱ)当p>2时,f(x)图象的开口向上,要使f(x)在区间[,2]上单调递减,须有﹣≥2,…(7分)得p+q≤6,由p>0,q>0知p+q≥2,所以2≤6,得pq≤9,当p=q=3时,pq=9,所以,pq的最大值为9.…(12分)【点评】本题考查了解不等式问题,考查函数的单调性以及基本不等式的性质,是一道中档题.20.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.【分析】(Ⅰ)设出数列{a n}的公比和数列{b n}的公差,由题意列出关于q,d的方程组,求解方程组得到q,d的值,则等差数列和等比数列的通项公式可求;(Ⅱ)由题意得到,然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意,q>0,由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8=0.∵q>0,解得q=2,∴d=2,∴数列{a n}的通项公式为,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)由(Ⅰ)有,设{c n}的前n项和为S n,则,,两式作差得:=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n=﹣(2n﹣3)×2n﹣3.∴.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,是中档题.21.已知椭圆E:(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为M,直线l:3x﹣4y=0交椭圆E于A,B两点,且|AF2|+|BF2|=2.(1)若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;(2)若点M到直线l的距离不小于,求椭圆的离心率的取值范围.【分析】(1)连接AF1,BF1,可得四边形AF2BF1为平行四边形,由椭圆的定义可得,2a=2,再由离心率公式可得c,b,进而得到椭圆的方程;(2)设出M(0,b),运用点到直线的距离公式可得b的范围,再由离心率公式,即可得到所求范围.【解答】解:(1)连接AF1,BF1,可得四边形AF2BF1为平行四边形,即有|AF2|+|BF2|=|AF2|+|AF1|=2,由椭圆的定义可得,2a=2,即a=,又e==,可得c=1,b==1.则椭圆的方程为+y2=1;(2)由题意可设M(0,b),由点M到直线l:3x﹣4y=0的距离不小于,可得d=≥,即为b≥1,由e===≤=,则有椭圆的离心率的范围是(0,].【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查离心率的运用,同时考查运算能力,属于中档题.。
2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学(文)(B )试题一、选择题1.若a b >,则下列不等式中正确的是( ) A.11a b< B. 11a b b a +>+ C. 22ac bc > D. 222a b ab +≥【答案】D【解析】A . a b >,则当a=0或者b=0时,结论就不成立了,故选项不对。
B .当a=0或者b=0时,结论不成立了;或者当两者都不为0时11a b a b><,,不等号不同向,不能直接相加,故不一定有11a b b a+>+,故选项不对。
C .当20c =, 22ac bc =,故结果不对。
D .由重要不等式得到222a b ab +≥在R 上成立选项正确。
故答案为D 。
2.不等式()12303x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭的解集为( ) A. 2{ 3x x ≥或13x ⎫≤-⎬⎭ B. 1233x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C. 2{ 3x x >或13x ⎫<-⎬⎭D. 1233x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】不等式()12303x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭, 1100{ { 33230230x x x x +≥+≤-≤-≥或 解得1133{ { 2233x x x x ≥-≤-≥≤或2133x x ⇒≥≤-或 。
故答案为A 。
3.等差数列{}n a 中, 2491136a a a a +++=,则58a a +的值为( ) A. 12 B. 18 C. 9 D. 20【答案】B【解析】由等差数列的性质得到, 4921158a a a a a a +=+=+,由条件知2491136a a a a +++= ()5858218a a a a =+⇒+=。
故答案为B 。
4.ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , S 表示三角形ABC ∆的面积,且满足)222S a c b =+-,则B ∠=( ) A.6π B. 3π C. 3π或23π D. 23π【答案】B【解析】在△ABC 中,∵)222a c b +-=12acsinB ,cosB=2222a c b ac +-.代入原式子得到12cos *sin 42ac B ac B =,B ∈(0,π), ∴B=3π. 故答案为B 。
山东郓城一中高二期中数学试卷(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知等差数列1,a ,b ,且3,2+a ,5+b 成等比数列,则该等差数列的公差为( )A .3或-3B .3或-1C .3D .-3 2.在△ABC 中,b A c C a 232cos 2cos22=+,则( )A .a ,b ,c 依次成等差数列B .b ,a ,c 依次成等差数列C .a ,c ,b 依次成等差数列D .a ,b ,c 既成等差数列又成等比数列3.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞,则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为 A.),2()1,(+∞⋃--∞B. )2,1(-C. )2,1(D.),2()1,(+∞⋃-∞4.ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍. 则CBD B CD sin sin 的值为( )A .12B .41 C .1 D . 25.数列{}na 满足341+=-n na a 且01=a ,则此数列第5项是( )A .15B .255C .16D .636.在△ABC 中,a=5,c=7,C=120°,则三角形的面积为( ) A . B . C .D .7.已知等比数列{}na 中,a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 8=( ) A .64 B .128 C .256 D .5128.设a ,b ∈R,a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a 2>b 2 B .C .a 2>abD .2a >2b9.在△ABC 中,若,则△ABC 是( )A .等腰或直角三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形10.若实数x ,y 满足,则z=x ﹣2y 的最小值为( )A .﹣7B .﹣3C .1D .911.△ABC 的三边分别为a,b ,c ,且a=1,B=45°,S △ABC =2,则△ABC 的外接圆的直径为( ) A .5 B .C .D .12.{}na 的通项公式2cos 3)32sin(2πππn n n n an+-=,前n 项和为nS ,则2013S =A .1007B .-1007C .2013D .-2013二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知符号函数sgn x =错误!则不等式x 2-(x +1)sgn x -1〉0的解集是14.设等比数列{}n a 的公比21=q ,前n 项和为n S ,44a S = .15.已知x >0,y >0,x+y=1,则+的最小值为 .16.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= 米.三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数)1(2+)lg(2xf的定义域为R.mx=mx-(Ⅰ)求实数m的取值范围;(II)解关于x的不等式02>2xx。
2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(文科)(B 卷)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(5分)若a >b ,则下列不等式中正确的是( ) A .< B .+a >+b C .ac 2>bc 2 D .a 2+b 2≥2ab 2.(5分)不等式(x +)(3x ﹣2)≥0的解集为( )A .{x |x ≥或x ≤﹣}B .{x |﹣≤x ≤}C .{x |x >或x <﹣}D .{x |﹣<x <}3.(5分)等差数列{a n }中,a 2+a 4+a 9+a 11=36,则a 5+a 8的值为( ) A .12 B .18 C .9D .204.(5分)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 表示三角形△ABC 的面积,且满足S=(a 2+c 2﹣b 2),则∠B=( ) A .B .C .或D .5.(5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n ﹣1,b n =a n +2n ﹣1,则数列{b n }的前n 项和为( )A .2n ﹣1+n 2﹣1B .2n ﹣1+2n 2﹣1C .2n +n 2﹣1D .2n ﹣1+n 2+16.(5分)不等式(x ﹣)≥0的解集为( )A .[,+∞)B .[,2]C .[3,+∞)D .[,2]∪[3,+∞) 7.(5分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a=,b=,∠A=30°,则c 等于( )A .2B .C .2或D .以上都不对8.(5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n =2n •a n ﹣1(n ≥2),则a n =( )A .2B .2n +1﹣2C .2D .2n9.(5分)在60米高的山顶上,测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°,则河流的宽度为( ) A .240米 B .120()米 C .180(﹣1)米 D .30(+1)米10.(5分)已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=x+2y的最小值为2,则m=()A.2 B.1 C.D.﹣211.(5分)若x>0,y>0,且2x+8y﹣xy=0,则xy的最小值为()A.8 B.14 C.16 D.6412.(5分)设数列{a n}的前n项和S n,若+++…+=4n﹣4,且a n≥0,则S100等于()A.5048 B.5050 C.10098 D.10100二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知数列{a n},{b n},a n=,b n=a n•a n+1,则b1+b2+…+b17=.14.(5分)已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2,求实数k的取值范围.15.(5分)△ABC中,AB=3,AC=4,BC=,则∠A=.16.(5分)《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把10磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份为磅.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在△ABC中,AB=6,B=,D是BC边上一点,且AD=3.(Ⅰ)求角∠ADC的大小;(Ⅱ)若CD=2,求AC的长及△ACD的面积.18.(12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a1+a2=16,S5=40.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=|13﹣a n|,求数列{b n}的前n项和T n.19.(12分)已知满足△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知8acosB=15bsinA.(Ⅰ)求tanB;(Ⅱ)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.20.(12分)已知关于x的不等式x2﹣mx+3<0的解集为{x|n<x<3}.(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)当a<1时,解关于x的不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0.21.(12分)已知数列{a n}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设b n=﹣2log2a n ﹣2,(n∈N*),数列{c n}满足c n=a n•b n.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{c n}的前n项和T n.22.(12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(Ⅰ)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(文科)(B卷)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)若a>b,则下列不等式中正确的是()A.<B.+a>+b C.ac2>bc2 D.a2+b2≥2ab【解答】解:当a=1,b=﹣1时,<不成立,故A不成立;当a=1,b=﹣1时,+a>+b不成立,故B 不成立;当c=0时,ac2>bc2不成立,故C不成立;a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0恒成立,故a2+b2≥2ab,故D成立,故选:D.2.(5分)不等式(x+)(3x﹣2)≥0的解集为()A.{x|x≥或x≤﹣} B.{x|﹣≤x≤} C.{x|x>或x<﹣} D.{x|﹣<x<}【解答】解:不等式(x+)(3x﹣2)≥0化为(x+)(x﹣)≥0,解得x≤﹣或x≥,∴不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}.故选:A.3.(5分)等差数列{a n}中,a2+a4+a9+a11=36,则a5+a8的值为()A.12 B.18 C.9 D.20【解答】解:等差数列{a n}中,a2+a4+a9+a11=36,由a5+a8=a2+a11=a4+a9,可得2(a5+a8)=36,即有a5+a8=18.故选:B.4.(5分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示三角形△ABC 的面积,且满足S=(a2+c2﹣b2),则∠B=()A.B.C.或D.【解答】解:∵S=(a2+c2﹣b2)=acsinB,∴×2accosB=acsinB,解得:sinB﹣cosB=0,可得:tanB==,∵B∈(0,π),∴B=,故选:B.5.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n﹣1,b n=a n+2n﹣1,则数列{b n}的前n项和为()A.2n﹣1+n2﹣1 B.2n﹣1+2n2﹣1 C.2n+n2﹣1 D.2n﹣1+n2+1【解答】解:∵b n=a n+2n﹣1,∴数列{b n}的前n项和=S n+1+3+…+(2n﹣1)=2n﹣1+=2n﹣1+n2.故选:C.6.(5分)不等式(x﹣)≥0的解集为()A.[,+∞)B.[,2]C.[3,+∞)D.[,2]∪[3,+∞)【解答】解:根据题意,(x﹣)≥0⇒,解可得≤x≤2或x≥3,即不等式的解集为[,2]∪[3,+∞);故选:D.7.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=,∠A=30°,则c等于()A.2 B.C.2或D.以上都不对【解答】解:由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,a=,b=,∠A=30°,∴,化为:c2﹣3c+10=0,解得c=或2.故选:C.8.(5分)在数列{a n}中,a1=2,a n=2n•a n﹣1(n≥2),则a n=()A.2B.2n+1﹣2 C.2D.2n【解答】解:根据题意,若a n=2n•a n﹣1,即=2n,则a n=××…××a1=(2n)×(2n﹣1)×…×22×2=;故选:A.9.(5分)在60米高的山顶上,测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°,则河流的宽度为()A.240米B.120()米 C.180(﹣1)米D.30(+1)米【解答】解:如图,过A作CB延长线的高,垂足为D,由题意可知∠ABD=75°,∠ACB=30°,AD=60,∴BD==60(2﹣),CD==60,∴BC=CD﹣BD=120(﹣1).故选:B.10.(5分)已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=x+2y的最小值为2,则m=()A.2 B.1 C.D.﹣2【解答】解:由变量x,y满足约束条件,作出可行域如图,化目标函数z=x+2y为y=﹣+,由图可知,当直线y=﹣+过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为2.由,解得A(m,m),A代入z=x+2y,可得m+2m=2,解得m=.故选:C.11.(5分)若x>0,y>0,且2x+8y﹣xy=0,则xy的最小值为()A.8 B.14 C.16 D.64【解答】解:(1)∵x>0,y>0,2x+8y﹣xy=0,∴xy=2x+8y≥2=8,∴≥8,∴xy≥64.当且仅当x=4y=16时取等号.故xy的最小值为64.故选:D.12.(5分)设数列{a n}的前n项和S n,若+++…+=4n﹣4,且a n ≥0,则S100等于()A.5048 B.5050 C.10098 D.10100【解答】解:当n=1时,=0,则a1=0.当n≥2时,+++…++=4n﹣4,①+++…+=4n﹣8,②+++…++=4n,③由①﹣②得到:=4,∵a n≥0,∴a n=2n,由③﹣①得到:=4,=2n+2,∴a n+1﹣a n=2,∴a n+1∴数列{a n}是等差数列,公差是2,综上所述,a n=,∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×(100﹣1)=10098.故选:C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知数列{a n},{b n},a n=,b n=a n•a n+1,则b1+b2+…+b17=.【解答】解:数列{a n},{b n},a n=,b n=a n•a n+1==,则b1+b2+…+b17===.故答案为:.14.(5分)已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2,求实数k的取值范围(﹣)∪(1+,+∞).【解答】解:关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2,可得:1+2k﹣k2<0,即k2﹣2k﹣1>0,解得k或k.实数k的取值范围:(﹣)∪(1+,+∞).15.(5分)△ABC中,AB=3,AC=4,BC=,则∠A=.【解答】解:∵AB=3,AC=4,BC=,∴cosA==,又∵A∈(0,π),∴∠A=.故答案为:.16.(5分)《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把10磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份为磅.【解答】解:设此等差数列为{a n},公差为d,则d=10,(a3+a4+a5)×=a1+a2,即=2a1+d.解得a1=,d=.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在△ABC中,AB=6,B=,D是BC边上一点,且AD=3.(Ⅰ)求角∠ADC的大小;(Ⅱ)若CD=2,求AC的长及△ACD的面积.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中由正弦定理得.∴,又∵∠ADB∈(0,π),∴∵AD>AB,∴∠B>∠ADB,∴..(Ⅱ)由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC∴△ACD的面积S==918.(12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a1+a2=16,S5=40.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=|13﹣a n|,求数列{b n}的前n项和T n.【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1+a2=16,S5=40.∴2a1+d=16,d=40,解得a1=9,d=﹣2.∴a n=9﹣2(n﹣1)=11﹣2n.(2)b n=|13﹣a n|=,设数列{a n}的前n项和为S n==﹣n2+10n.当n≤5时,T n=S n=﹣n2+10n.当n≥6时,T n=2S5﹣S n=50+n2﹣10n.19.(12分)已知满足△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知8acosB=15bsinA.(Ⅰ)求tanB;(Ⅱ)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解答】(本题满分为12分)解:(Ⅰ)∵8acosB=15bsinA,∴由正弦定理可得:8sinAcosB=15sinBsinA,…3分∵A为三角形内角,sinA>0,∴8cosB=15sinB,可得:tanB=…5分(Ⅱ)∵tanB=,sin2B+cos2B=1,∴解得:sinB=,cosB=,…7分=acsinB=2,即:ac=,…9分∴S△ABC∴由余弦定理可得:b===2…12分20.(12分)已知关于x的不等式x2﹣mx+3<0的解集为{x|n<x<3}.(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)当a<1时,解关于x的不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0.【解答】解:(Ⅰ)由题意得n,3是方程x2﹣mx+3=0的两个实根,∴,解得,故m=4,n=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)得不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0可化为:ax2﹣2(a+1)x+4>0,即(ax﹣2)(x﹣2)>0,①a=0时,不等式的解集是{x|x<2},②a<0时,不等式为(x﹣)(x﹣2)<0,∵<2,故不等式的解集是{x|<x<2},③0<a<1时,不等式为(x﹣)(x﹣2)>0,∵>2,故不等式的解集是{x|x>或x<2},综上,a=0时,不等式的解集是{x|x<2},a<0时,不等式的解集是{x|<x<2},0<a<1时,不等式的解集是{x|x>或x<2}.21.(12分)已知数列{a n}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设b n=﹣2log2a n ﹣2,(n∈N*),数列{c n}满足c n=a n•b n.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{c n}的前n项和T n.【解答】解:(1)根据题意,数列{a n}是首项为a1=,公比q=的等比数列,则a n=×()n﹣1=()n+1,则b n=﹣2log2a n﹣2=﹣2(n+1)﹣2=2n;(2)由(1)可得:a n=()n+1,b n=2n;则c n=a n•b n=2n×()n+1=,则T n=+++…+,①则T n=+++…+,②①﹣②可得:=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣=1﹣,则T n=2﹣.22.(12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(Ⅰ)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解答】解:(Ⅰ)∵每件商品售价为0.05万元,∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元,①当0<x<80时,根据年利润=销售收入﹣成本,∴L(x)=(0.05×1000x)﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250;②当x≥80时,根据年利润=销售收入﹣成本,∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣(x+).综合①②可得,L(x)=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,①当0<x<80时,L(x)=﹣+40x﹣250=﹣,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;②当x≥80时,L(x)=1200﹣(x+)≤1200﹣2=1200﹣200=1000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.综合①②,由于950<1000,∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.。