2018年益阳市中考数学预测试题及答案
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2018年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1032.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x33.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是267.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16 B.8π﹣16 C.16π﹣32 D.32π﹣168.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=4010.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).20.(8分)化简:(x﹣y+)•.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.2018年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数【解答】解:135000=1.35×105故选:B.【点评】此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值2.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【分析】根据同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方一一判断即可.【解答】解:A、错误.应该是x3•x3=x6;B、错误.应该是x8÷x4=x4;C、错误.(ab3)2=a2b6.D、正确.故选:D.【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.3.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥﹣1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1,在数轴上表示为:,故选:A.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选:D.【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识.5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;故选:C.【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角,解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义.6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是26【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.【解答】解:A、这组数据中9出现的次数最多,众数为9,故本选项错误;B、因为共有5组,所以第3组的人数为中位数,即9是中位数,故本选项错误;C、平均数==12,故本选项正确;D、方差=[(9﹣12)2+(17﹣12)2+(20﹣12)2+(9﹣12)2+(5﹣12)2]=,故本选项错误;故选:C.【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.7.(4分)如图,正方形ABCD 内接于圆O ,AB=4,则图中阴影部分的面积是( )A .4π﹣16B .8π﹣16C .16π﹣32D .32π﹣16【分析】连接OA 、OB ,利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2,根据阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 列式计算可得.【解答】解:连接OA 、OB ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠AOB=90°,∠OAB=45°,∴OA=ABcos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×(2)2﹣4×4=8π﹣16. 故选:B .【点评】本题主要考查扇形的面积计算,解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式.8.(4分)如图,小刚从山脚A 出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了( )A .300sinα米B .300cosα米C .300tanα米D .米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.【解答】解:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=300米,BO=AB•sinα=300sinα米.故选:A.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题关键.9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【解答】解:小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是﹣=40,故选:C.【点评】本题考查了列分式方程解应用题,能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定b2﹣4ac,根据x=1时,y>0,确定a+b+c的符号.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线交于y轴的正半轴,∴c>0,∴ac>0,A错误;∵﹣>0,a>0,∴b<0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,C错误;当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,D错误;故选:B.【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=6.【分析】先将二次根式化为最简,然后再进行二次根式的乘法运算即可.【解答】解:原式=2×=6.故答案为:6.【点评】本题考查了二次根式的乘法运算,属于基础题,掌握运算法则是关键.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=x3(y+1)(y﹣1).【分析】先提取公因式x3,再利用平方差公式分解可得.【解答】解:原式=x3(y2﹣1)=x3(y+1)(y﹣1),故答案为:x3(y+1)(y﹣1).【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式,再利用公式法分解.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.【分析】由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,根据概率公式计算即可;【解答】解:由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==.故答案为.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是k>2.【分析】根据图象在第二、四象限,利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号,即可解答.【解答】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,∴2﹣k<0,∴k>2.故答案为:k>2.【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,熟练记忆当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=45度.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.【解答】解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵BC为切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AD=CD,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠C=45°.故答案为45.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出=,结论③正确.此题得解.【解答】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴=()2=,结论③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,逐一分析三条结论的正误是解题的关键.17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=1或﹣3.【分析】根据a⊗b=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=3,解方程即可.【解答】解:依题意得:(2+x)x=3,整理,得x2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=﹣3.故答案是:1或﹣3.【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.【解答】解:过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:D,G,由题意可得:O是△ACB的内心,∵AB=5,AC=4,BC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴四边形OGCD是正方形,∴DO=OG==1,∴CO=.故答案为:.【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心,正确得出OD的长是解题关键.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可;【解答】解:原式=5﹣3+4﹣6=0【点评】本题考查实数的混合运算,解题的关键是:掌握先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.20.(8分)化简:(x﹣y+)•.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:原式=•=•=x.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【分析】只要证明∠AEM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ECD,∵∠1=∠2,∴∠EAM=∠ECN,∴AM∥CN.【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定,属于中考基础题.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【分析】(1)利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例,即可得出被调查学生的人数,由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数,再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程度达到B等的学生数﹣了解程度达到C等的学生数﹣了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数,依此数据即可将条形统计图补充完整;(2)根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°,即可求出结论;(3)利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例,即可得出结论.【解答】解:(1)48÷40%=120(人),120×15%=18(人),120﹣48﹣18﹣12=42(人).将条形统计图补充完整,如图所示.(2)42÷120×100%×360°=126°.答:扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°.(3)1500×=525(人).答:该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,观察条形统计图及扇形统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).【分析】(1)确定A、B、C的坐标即可解决问题;(2)理由待定系数法即可解决问题;(3)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′的长;【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1),C(3,1)∴k=2.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1(3)∵C、D关于直线AB对称,∴D(0,4)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′==【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征,一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用轴对称解决最短问题.24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【分析】(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,根据(1)的结果结合图表列出W关于m的一次函数,再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”,列出关于m的一元一次不等式,求出m的取值范围,再根据一次函数的增减性即可得到答案.【解答】解:(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B 产品有y件,根据题意得:,解得:,答:每次运输的农产品中A产品有10件,每次运输的农产品中B产品有30件,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,增加供货量后A产品的数量为(10+m)件,B产品的数量为30+(8﹣m)=(38﹣m)件,根据题意得:W=30(10+m)+20(38﹣m)=10m+1060,由题意得:38﹣m≤2(10+m),解得:m≥6,即6≤m≤8,∵一次函数W随m的增大而增大=1120,∴当m=6时,W最小答:产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.【点评】本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用,解题的关键:(1)正确根据等量关系列出二元一次方程组,(2)根据数量关系列出一次函数和不等式,再利用一次函数的增减性求最值.25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【分析】(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵E是AD中点,∴AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)①解:如图2中,由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EBM=∠ECN=45°,∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM=∠CEN,∵EB=EC,∴△BEM≌△CEN;②∵△BEM≌△CEN,∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4﹣x,=•x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+2,∴S△BMN∵﹣<0,∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.∴EG=m+m=(1+)m,=•EG•BN=•BG•EH,∵S△BEG∴EH==m,在Rt△EBH中,sin∠EBH===.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.【分析】(1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n;(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时,0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系﹣OA•OB=OC2n2=解得n=0(舍去)或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2(2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1,x2=4∴OA=1,OB=4∴B(4,0),C(0,﹣2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为(,b)由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为(,)当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为(﹣,)综上点P坐标为(,)(﹣,);(3)设点D坐标为(a,b)∵AE:ED=1:4则OE=,OA=∵AD∥AB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0(舍去)则n=【点评】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.。
2018年湖南省益阳市中考数学试卷(含解析)一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1032.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x33.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是267.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16B.8π﹣16C.16π﹣32D.32π﹣168.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800B.﹣=40C.﹣=40D.﹣=4010.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0B.b<0C.b2﹣4ac<0D.a+b+c<0二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF ≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF:S△ABC=1:4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).20.(8分)化简:(x﹣y+)•.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值(不必说明理由).24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n 的值.2018年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数【解答】解:135000=1.35×105故选:B.2.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【分析】根据同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方一一判断即可.【解答】解:A、错误.应该是x3•x3=x6;B、错误.应该是x8÷x4=x4;C、错误.(ab3)2=a2b6.D、正确.故选:D.3.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥﹣1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1,在数轴上表示为:,故选:A.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选:D.5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;故选:C.6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是26【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.【解答】解:A、这组数据中9出现的次数最多,众数为9,故本选项错误;B、因为共有5组,所以第3组的人数为中位数,即9是中位数,故本选项错误;C、平均数==12,故本选项正确;D、方差=[(9﹣12)2+(17﹣12)2+(20﹣12)2+(9﹣12)2+(5﹣12)2]=,故本选项错误;故选:C.7.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16B.8π﹣16C.16π﹣32D.32π﹣16【分析】连接OA、OB,利用正方形的性质得出OA=AB cos45°=2,根据阴影部分的面积=S⊙O﹣S正列式计算可得.方形ABCD【解答】解:连接OA、OB,∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=90°,∠OAB=45°,∴OA=AB cos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×(2)2﹣4×4=8π﹣16.故选:B.8.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.【解答】解:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=300米,BO=AB•sinα=300sinα米.故选:A.9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800B.﹣=40C.﹣=40D.﹣=40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【解答】解:小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是﹣=40,故选:C.10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0B.b<0C.b2﹣4ac<0D.a+b+c<0【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定b2﹣4ac,根据x=1时,y>0,确定a+b+c的符号.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线交于y轴的正半轴,∴c>0,∴ac>0,A错误;∵﹣>0,a>0,∴b<0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,C错误;当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,D错误;故选:B.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=6.【分析】先将二次根式化为最简,然后再进行二次根式的乘法运算即可.【解答】解:原式=2×=6.故答案为:6.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=x3(y+1)(y﹣1).【分析】先提取公因式x3,再利用平方差公式分解可得.【解答】解:原式=x3(y2﹣1)=x3(y+1)(y﹣1),故答案为:x3(y+1)(y﹣1).13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.【分析】由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,根据概率公式计算即可;【解答】解:由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==.故答案为.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是k>2.【分析】根据图象在第二、四象限,利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号,即可解答.【解答】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,∴2﹣k<0,∴k>2.故答案为:k>2.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=45度.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.【解答】解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵BC为切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AD=CD,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠C=45°.故答案为45.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF ≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF:S△ABC=1:4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出=,结论③正确.此题得解.【解答】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴=()2=,结论③正确.故答案为:①②③.17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=1或﹣3.【分析】根据a⊗b=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=3,解方程即可.【解答】解:依题意得:(2+x)x=3,整理,得x2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=﹣3.故答案是:1或﹣3.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.【解答】解:过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:D,G,由题意可得:O是△ACB的内心,∵AB=5,AC=4,BC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴四边形OGCD是正方形,∴DO=OG==1,∴CO=.故答案为:.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可;【解答】解:原式=5﹣3+4﹣6=020.(8分)化简:(x﹣y+)•.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:原式=•=•=x.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【分析】只要证明∠EAM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ECD,∵∠1=∠2,∴∠EAM=∠ECN,∴AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【分析】(1)利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例,即可得出被调查学生的人数,由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数,再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程度达到B等的学生数﹣了解程度达到C等的学生数﹣了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数,依此数据即可将条形统计图补充完整;(2)根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°,即可求出结论;(3)利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例,即可得出结论.【解答】解:(1)48÷40%=120(人),120×15%=18(人),120﹣48﹣18﹣12=42(人).将条形统计图补充完整,如图所示.(2)42÷120×100%×360°=126°.答:扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°.(3)1500×=525(人).答:该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值(不必说明理由).【分析】(1)确定A、B、C的坐标即可解决问题;(2)理由待定系数法即可解决问题;(3)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′的长;【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1),C(3,1)∴k=2.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1(3)∵C、D关于直线AB对称,∴D(0,4)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′==24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【分析】(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,根据(1)的结果结合图表列出W关于m的一次函数,再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”,列出关于m的一元一次不等式,求出m的取值范围,再根据一次函数的增减性即可得到答案.【解答】解:(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据题意得:,解得:,答:每次运输的农产品中A产品有10件,每次运输的农产品中B产品有30件,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,增加供货量后A产品的数量为(10+m)件,B产品的数量为30+(8﹣m)=(38﹣m)件,根据题意得:W=30(10+m)+20(38﹣m)=10m+1060,由题意得:38﹣m≤2(10+m),解得:m≥6,即6≤m≤8,∵一次函数W随m的增大而增大∴当m=6时,W最小=1120,答:产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【分析】(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵E是AD中点,∴AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)①解:如图2中,由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EBM=∠ECN=45°,∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM=∠CEN,∵EB=EC,∴△BEM≌△CEN;②∵△BEM≌△CEN,∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4﹣x,∴S△BMN=•x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+2,∵﹣<0,∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.∴EG=m+m=(1+)m,∵S△BEG=•EG•BN=•BG•EH,∴EH==m,在Rt△EBH中,sin∠EBH===.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n 的值.【分析】(1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n;(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时,0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系OA•OB=OC2n2=2n解得n=0(舍去)或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2(2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1,x2=4∴OA=1,OB=4∴B(4,0),C(0,﹣2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为(,b)由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为(,)当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为(﹣,),当PQ与BC互相平分时,BC的中点(2,﹣1),∵x Q=,∴x P=,y P=﹣,∴P点坐标为(,﹣)综上点P坐标为(,)(﹣,)(,﹣);(3)设点D坐标为(a,b)∵AE:ED=1:4则OE=,OA=∵AD∥CB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0(舍去)则n=。
2018年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1032.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x33.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是267.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16 B.8π﹣16 C.16π﹣32 D.32π﹣168.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=4010.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序)17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).20.(8分)化简:(x﹣y+)•.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值(不必说明理由).24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.2018年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数【解答】解:135000=1.35×105故选:B.【点评】此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值2.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【分析】根据同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方一一判断即可.【解答】解:A、错误.应该是x3•x3=x6;B、错误.应该是x8÷x4=x4;C、错误.(ab3)2=a2b6.D、正确.故选:D.【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.3.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥﹣1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1,在数轴上表示为:,故选:A.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选:D.【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识.5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;故选:C.【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角,解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义.6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是26【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.【解答】解:A、这组数据中9出现的次数最多,众数为9,故本选项错误;B、因为共有5组,所以第3组的人数为中位数,即9是中位数,故本选项错误;C、平均数==12,故本选项正确;D、方差=[(9﹣12)2+(17﹣12)2+(20﹣12)2+(9﹣12)2+(5﹣12)2]=,故本选项错误;故选:C.【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.7.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A .4π﹣16B .8π﹣16C .16π﹣32D .32π﹣16【分析】连接OA 、OB ,利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2,根据阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 列式计算可得. 【解答】解:连接OA 、OB ,∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠AOB=90°,∠OAB=45°, ∴OA=ABcos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×(2)2﹣4×4=8π﹣16.故选:B .【点评】本题主要考查扇形的面积计算,解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式.8.(4分)如图,小刚从山脚A 出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了( )A .300sinα米B .300cosα米C .300tanα米D .米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度. 【解答】解:在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,AB=300米, BO=AB•sinα=300sinα米. 故选:A .【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题关键.9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【解答】解:小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是﹣=40,故选:C.【点评】本题考查了列分式方程解应用题,能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定b2﹣4ac,根据x=1时,y>0,确定a+b+c的符.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线交于y轴的正半轴,∴c>0,∴ac>0,A错误;∵﹣>0,a>0,∴b<0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,C错误;当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,D错误;故选:B.【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=6.【分析】先将二次根式化为最简,然后再进行二次根式的乘法运算即可.【解答】解:原式=2×=6.故答案为:6.【点评】本题考查了二次根式的乘法运算,属于基础题,掌握运算法则是关键.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=x3(y+1)(y﹣1).【分析】先提取公因式x3,再利用平方差公式分解可得.【解答】解:原式=x3(y2﹣1)=x3(y+1)(y﹣1),故答案为:x3(y+1)(y﹣1).【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式,再利用公式法分解.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.【分析】由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,根据概率公式计算即可;【解答】解:由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==.故答案为.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是k>2.【分析】根据图象在第二、四象限,利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符,即可解答.【解答】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,∴2﹣k<0,∴k>2.故答案为:k>2.【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,熟练记忆当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=45度.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.【解答】解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵BC为切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AD=CD,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠C=45°.故答案为45.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序)【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF ≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF 为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出=,结论③正确.此题得解.【解答】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴=()2=,结论③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,逐一分析三条结论的正误是解题的关键.17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=1或﹣3.【分析】根据a⊗b=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=3,解方程即可.【解答】解:依题意得:(2+x)x=3,整理,得x2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=﹣3.故答案是:1或﹣3.【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.【解答】解:过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:D,G,由题意可得:O是△ACB的内心,∵AB=5,AC=4,BC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴四边形OGCD是正方形,∴DO=OG==1,∴CO=.故答案为:.【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心,正确得出OD的长是解题关键.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可;【解答】解:原式=5﹣3+4﹣6=0【点评】本题考查实数的混合运算,解题的关键是:掌握先乘方,再乘除,后加减,有括的先算括里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符后运算.20.(8分)化简:(x﹣y+)•.【分析】原式括中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:原式=•=•=x.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【分析】只要证明∠AEM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ECD,∵∠1=∠2,∴∠EAM=∠ECN,∴AM∥CN.【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定,属于中考基础题.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【分析】(1)利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例,即可得出被调查学生的人数,由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数,再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程度达到B等的学生数﹣了解程度达到C等的学生数﹣了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数,依此数据即可将条形统计图补充完整;(2)根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°,即可求出结论;(3)利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例,即可得出结论.【解答】解:(1)48÷40%=120(人),120×15%=18(人),120﹣48﹣18﹣12=42(人).将条形统计图补充完整,如图所示.(2)42÷120×100%×360°=126°.答:扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°.(3)1500×=525(人).答:该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,观察条形统计图及扇形统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值(不必说明理由).【分析】(1)确定A、B、C的坐标即可解决问题;(2)理由待定系数法即可解决问题;(3)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′的长;【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1),C(3,1)∴k=2.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1(3)∵C、D关于直线AB对称,∴D(0,4)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′==【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征,一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用轴对称解决最短问题.24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【分析】(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y 件,根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W 元,根据(1)的结果结合图表列出W关于m的一次函数,再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”,列出关于m的一元一次不等式,求出m的取值范围,再根据一次函数的增减性即可得到答案.【解答】解:(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据题意得:,解得:,答:每次运输的农产品中A产品有10件,每次运输的农产品中B产品有30件,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W 元,增加供货量后A产品的数量为(10+m)件,B产品的数量为30+(8﹣m)=(38﹣m)件,根据题意得:W=30(10+m)+20(38﹣m)=10m+1060,由题意得:38﹣m≤2(10+m),解得:m≥6,即6≤m≤8,∵一次函数W随m的增大而增大=1120,∴当m=6时,W最小答:产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.【点评】本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用,解题的关键:(1)正确根据等量关系列出二元一次方程组,(2)根据数量关系列出一次函数和不等式,再利用一次函数的增减性求最值.25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【分析】(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵E是AD中点,∴AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)①解:如图2中,由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EBM=∠ECN=45°,∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM=∠CEN,∵EB=EC,∴△BEM≌△CEN;②∵△BEM≌△CEN,∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4﹣x,=•x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+2,∴S△BMN∵﹣<0,∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.∴EG=m+m=(1+)m,∵S=•EG•BN=•BG•EH,△BEG∴EH==m,在Rt△EBH中,sin∠EBH===.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.【分析】(1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n;(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时,0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系﹣OA•OB=OC2n2=解得n=0(舍去)或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2(2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1,x2=4∴OA=1,OB=4∴B(4,0),C(0,﹣2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为(,b)由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为(,)当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为(﹣,)综上点P坐标为(,)(﹣,);(3)设点D坐标为(a,b)∵AE:ED=1:4则OE=,OA=∵AD∥AB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0(舍去)则n=【点评】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.。
精品文档益阳市2018年普通初中毕业学业考试试卷(样卷)数 学注意事项:1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分;2.请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上;3.请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答,答在试题卷上无效; 4.本学科为闭卷考试,考试时量为120分钟,卷面满分为150分; 5.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并交回。
试 题 卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12016-的相反数是 A .2016B .2016-C .12016D .12016-2.下列各式化简后的结果为32的是 A .6 B .12 C .18 D .36 3.下列运算正确的是 A .22x y xy += B .2222x y xy ⋅= C .222x x x ÷= D .451x x -=- 4.不等式组3,213x x -<⎧⎨-≤⎩ 的解集在数轴上表示正确的是A B C D5.下列判断错误..的是 A .两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B .四个内角都相等的四边形是矩形 C .四条边都相等的四边形是菱形D .两条对角线垂直且平分的四边形是正方形6.小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况,对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计,记录的数据如下:66、68、67、68、67、69、68、71,这组数据的众数和中位数分别为 A .67、68 B .67、67 C .68、68 D .68、677.关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为11x =,21x =-,那么下列结论一定成立的是A .240b ac ->B .240b ac -=C .240b ac -<D .240b ac -≤8.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是 A .360° B .540° C .720°D .900°9.关于抛物线221y x x =-+,下列说法错误..的是 A .开口向上 B .与x 轴有两个重合的交点C .对称轴是直线1x =D .当1x >时,y 随x 的增大而减小10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆P A 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置,测得∠PB C 'α=(B C '为水平线),测角仪B D '的高度为1米,则旗杆P A 的高度为A .11sin α-B .11sin α+C .11cos α-D .11cos α+二、填空题:本题共8小题,每小题4分,把答案填在答题卡...中对应题号后的横线上。
湖南省常德市2018年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】根据数a 的相反数为a -知2-的相反数是2,故选A .【考点】本题考查相反数的概念.2.【答案】C【解析】设第三边长为x ,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边知第三边长的范围为410x <<,所以第三边的长可能是8,故选C .【考点】本题考查三角形的三边关系.3.【答案】D【解析】观察数轴确定1a -<,01b <<,所以a b ->,故选D .【考点】本题考查根据数轴确定数的符号及大小.4.【答案】B【解析】因为一次函数21y k x =-+()的函数值y 随x 的增大面增大,所以20k ->,解得2k >.故选B .【考点】本题考查一次函数的图象和性质.5.【答案】A【解析】在平均数一致的条件下,方差越小,成绩越稳定,因为甲的方差最小,所以甲的成绩最稳定,所以应当派甲去参加比赛,故选A .【考点】本题考查用方差确定成绩的稳定性.6.【答案】D【解析】由于DE 是BC 的垂直平分线,所以BE CE =,CD DB =,所以C DBC ∠=∠.因为BD 平分ABC ∠,所以3DE AD ==,ABD DBC ∠=∠,所以DBC C ABD ∠=∠=∠,因为90BAC ∠=,所以30C ∠=,所以CE ==故选D .【考点】本题考查角平分线的性质及线段垂且平分线的性质.7.【答案】D【解析】将正方体的一角切下后,从正面看图2中的几何体,可判断该几何体的主视图为等腰三角形,OS 的正面投影为等腰三角形的高,且要画成虚线,故选D .【考点】本题考查几何体的三视图.8.【答案】C【解析】因为21,3212,x y x y +=⎧⎨-=⎩所以1122212(2)31732a b D a b ===⨯--⨯=--, 1122111(2)11214122x c b D c b ===⨯--⨯=--,1122212121321312y a c D a c ===⨯-⨯=,因为 142,7213,7x y D x D D y D -⎧===⎪⎪-⎨⎪===-⎪-⎩所以方程组的解为2,3,x y =⎧⎨=-⎩所以说法错误的是C ,故选C . 【考点】本题考查新定义. 第Ⅱ卷二、填空题9.【答案】2-【解析】因为3(2)8-=-,所以8-的立方根是2-.【考点】本题考查立方根的概念.10.【答案】1-【解析】去分母得230x x --=.解得1x =-.经检验1x =-是原分式方程的解,所以原分式方程的解为1x =-.【考点】本题考查分式方程的解法.11.【答案】81.510⨯【解析】8150000000 1.510=⨯.【考点】本题考查用科学记数法表示较大的数.12.【答案】1【解析】将数据从小到大排列为3-,1-,0,1,2,3,4,处于最中间的数是1,所以中位数是1.【考点】本题考查中位数的概念.13.【答案】5(平方大于24即可)【解析】因为2230x bx ++=有两个不相等的实数根,所以22423240b b ∆=-⨯⨯=->,所以224b >即可,此题案不唯一,如5b =或5b =-等.【考点】本题考查由一元二次方程根的判别式确定字母系数的值或取值范围.14.【答案】0.35【解析】用频数除以数据总数计算.601020407060100.35()()+÷++++=.【考点】本题考查频率的计算.15.【答案】75【解析】由题意知90EGH ∠=,因为30DGH ∠=,所以60AGE ∠=,所以30AEG ∠=.因为EG EB =,所以15EGB ∠=,所以601575AGB AGE EGB =∠+∠=+∠=.【考点】本题考查矩形折叠问题.16.【答案】9【解析】设报1的人想的数是a ,报2的人想的数是b ,报3的人想的数是c ,报4的人想的数是d ,报5的人想的数是e ,则①4a c +=,②6b d +=,③8c e +=,④10d a +=,⑤2e b +=,所以⑥15a b c d e ++++=,--⑥⑤①得9d =,所以报4的人心里想的数是9.【考点】本题考查利用列方程解决实际问题及推理能力.三、解答题17.【答案】2-【解析】11)42.=-+=-原式 【考点】本题考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简.18.【答案】1,2,3,4【解析】解4751x x --<()得2x ->; 解2332xx --≤得445x ≤. ∴不等式的解集为4245x -<≤,∵不等式组的正整数解为1,2,3,4.【考点】本题考查不等式组的解法及特殊解的确定.19.【答案】52-【解析】 22216[](3)3(3)(3)36=[](3)(3)(3)(3)(3)1=(3)33.x x x x x x x x x x x x x =+-++--+-+-+---=-原式当12x =时,5.2=-原式 【考点】本题考查分式的化简与求值.20.【答案】解:(1)∵A ,B 都在反比例函数的图象上, ∴214k =,22k n-=. ∴24,2k n ==-. ∴反比例函数的解析式为24y x=, 又∵A ,B 都在一次函数的图象上∴1114,22,k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得11,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴一次函数的解析式为1112y x =-. (2)由题图知,12y y <时x 的取值范围是2x -<或04x <<. 【解析】(1)∵A ,B 都在反比例函数的图象上, ∴214k =,22k n-=. ∴24,2k n ==-. ∴反比例函数的解析式为24y x=, 又∵A ,B 都在一次函数的图象上∴1114,22,k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得11,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴一次函数的解析式为1112y x =-. (2)由题图知,12y y <时x 的取值范围是2x -<或04x <<. 【考点】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用.21.【答案】解:(1)设5月份购进甲、乙两种水果分别为x ,y 千克,则8181700,10201700300,x y x y +=⎧⎨+=+⎩ 解得100,50.x y =⎧⎨=⎩ ∴该店5月份购进甲、乙两种水果分别是100千克,50千克.(2)设6月份这两种水果进货总量减少到120千克时,购进甲、乙两种水果分别为m ,n 千克,需要支付的货款为M 元,由题意有120,3,m n m n +=⎧⎨⎩≤ ∴30n ≥,需要支付的货款为102010(120)20120010,M m n n n n =+=-+=+ ∵M 随n 的增大而增大,∴当30n =时,M 的值最小,最小值为120010301500+⨯=.答:6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1 500元.【解析】(1)设5月份购进甲、乙两种水果分别为x ,y 千克,则8181700,10201700300,x y x y +=⎧⎨+=+⎩ 解得100,50.x y =⎧⎨=⎩∴该店5月份购进甲、乙两种水果分别是100千克,50千克.(2)设6月份这两种水果进货总量减少到120千克时,购进甲、乙两种水果分别为m ,n 千克,需要支付的货款为M 元,由题意有120,3,m n m n +=⎧⎨⎩≤ ∴30n ≥,需要支付的货款为102010(120)20120010,M m n n n n =+=-+=+ ∵M 随n 的增大而增大,∴当30n =时,M 的值最小,最小值为120010301500+⨯=.答:6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1 500元.【考点】本题考查列方程组及不等式解决实际问题.22.【答案】此时B 与C 之间的距离约为1.4米.【解析】解:如图,连接BC ,作BE AD ⊥于E ,CF AD ⊥于F ,作BH CF ⊥的延长线于H ,∵2AD =米,∴1,AB CD ==米∵sin3710.60.6(),BE AB =⨯=≈米 cos3710.80.8(),AE AB =⨯=≈米cos4510.7(),CF DF CD ==≈米 ∴20.80.70.5().BH EF AD AE FD ==--=--=米 0.60.71.3(),HC HF FC BE FC =+=+=+=米1.4(),BC ===≈米此时B 与C 之间的距离约为1.4米. 【考点】本题考查三角函数、勾股定理解决实际问题.23.【答案】(1)喜欢乒乓球的学生所占的百分比是1450100%=28%÷⨯.(2)60人(3)144(4)所求概率21126P == 【解析】解:(1)2040%50(),÷=人∴喜欢乒乓球的学生人数为508206214(),----=人补图略喜欢乒乓球的学生所占的百分比是1450100%=28%÷⨯.(2)50012%=60().⨯人(3)36040%144⨯=.(6分)(4)画树状图为共有12种等可能的结果,其中抽取的两人恰好是甲和乙有两种结果, 所以所求概率21126P ==. 【考点】本题考查统计与概率的综合应用.24.【答案】证明:(1)如图,连接OA ,OB ,∵ABC △是等边三角形,∴160∠=,2120∠=,∴330∠=,∴430∠=,∵AE BC ∥,∴5160∠=∠=,∴45306090OAE ∠=∠+∠=+=,∴EA 是O 的切线.(2)∵ABC △是等边三角形,∴60CBA ∠=,120CDA ∠=,∴18012060ADF ∠=-=,∵DF DA =,∴ADF △是等边三角形.∵160ADB ∠=∠=,∴60ADB AFC ∠=∠=,在ABD △与ACF △中,∵ABD ACF ∠=∠,60ADB AFC ∠=∠=,AB AC =,∴ABD ACF △≌△(AAS ),∴BD CF =.【解析】证明:(1)如图,连接OA ,OB ,∵ABC △是等边三角形,∴160∠=,2120∠=,∴330∠=,∴430∠=,∵AE BC ∥,∴5160∠=∠=,∴45306090OAE ∠=∠+∠=+=,∴EA 是O 的切线.(2)∵ABC △是等边三角形,∴60CBA ∠=,120CDA ∠=,∴18012060ADF ∠=-=,∵DF DA =,∴ADF △是等边三角形.∵160ADB ∠=∠=,∴60ADB AFC ∠=∠=,在ABD △与ACF △中,∵ABD ACF ∠=∠,60ADB AFC ∠=∠=,AB AC =,∴ABD ACF △≌△(AAS ),∴BD CF =.【考点】本题考查圆切线的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质.25.【答案】解:(1)解法一:设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,∵抛物线过点(0,0)O ,(8,4)A ,对称轴是直线3x =, ∴0,3,24648,c b a a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪=++⎪⎩∴1,43,20,a b c ⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴2131(x 6)424y x x x =-=-. 解法二:∵抛物线过点(0,0)O ,对称轴是直线3x =,∴B 的坐标为(6,0),可设二次函数的解析式为(6)y ax x =-,∵(8,4)A 在抛物线上,∴482a =⨯,解得14a =, ∴1(6)4y x x =-. (2)M 的坐标为(3,0)(3)P 有四点:()2,0-,(4,0),(14,0),(8,0).【解析】解:(1)解法一:设二次函数的解析式为2y ax bx c =++,∵抛物线过点(0,0)O ,(8,4)A ,对称轴是直线3x =,∴0,3,24648,c b a a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪=++⎪⎩∴1,43,20,a b c ⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴2131(x 6)424y x x x =-=-. 解法二:∵抛物线过点(0,0)O ,对称轴是直线3x =,∴B 的坐标为(6,0),可设二次函数的解析式为(6)y ax x =-,∵(8,4)A 在抛物线上,∴482a =⨯,解得14a =, ∴1(6)4y x x =-. (2)解法一:∵MN AB ∥,∴OMN OBA △∽△,设M 的坐标为(,0)m ,由(1)得B 的坐标为(6,0), 而164122OBA S =⨯⨯=△, ∴221()63OMN OBA mS S m ==△△, 而1422AOM S m m =⨯=△, ∴ANM △的面积221231(3) 3.3ANM AOM OMN S S S m m m =-=-=--+△△△ ∴当3m =即M 的坐标为(3,0)时,ANM △的面积有最大值3. 解法二:连接NB ,可得ANM △与BNM △是同底等高的三角形, 设M 的坐标为(,0)m ,由(1)得(6,0)B ,作NH OC ⊥于H ,∴2,3OM NH AC m OB == 2121(6m)(3)3,233ANM BMN S S m m ==-⨯=--+△△ ∴ANM S △最大时,M 的坐标为(3,0).(3)设P 的坐标为(,0)n .则Q 的坐标为1,(6)4n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭, ①当6n <时,则有1|(6)|||14(6)||||4n n PQ n OP n -==--, 当OPQ ACO △∽△或OPQ OCA △∽△时,分别有18(6)44n --=或14(6)48n --=, 解得2n =-或4n =,得P 的坐标为()2,0-或(4,0); ②当6n ≥时,则有1|(6)|||14(6)||||4n n PQ n OP n -==-, 当OPQ ACO △∽△或OPQ OCA △∽△时,分别有 18(6)44n -=或14(6)48n -=,解得14n =或8n =,得P 的坐标为(14,0)或(8,0).综上所述,符合条件的P 有四点:()2,0-,(4,0),(14,0),(8,0).【考点】本题考查二次函数的性质、三角形面积、相似三角形的判定和性质及分类讨论的思想方法.26.【答案】证明:(1)在MOA △与NOD △中,∵四边形ABCD 是正方形,∴90MOA NOD ∠=∠=,OA OD =,而DH AE ⊥,∴90DHA ∠=,∴19039042∠=-∠=-∠=∠,∴MOA NOD △≌△(ASA ),∴MO NO =.(2)如图,连接MN ,类似(1)可得MOA NOD △≌△,∴MO NO =,而OD OC =,∴MN DC ∥,而DM EN ∥,∴四边形MNED 是平行四边形,而已知DH AE ⊥,∴平行四边形MNED 是菱形,∴DE DM =,12∠=∠,易知14∠=∠,23∠=∠,∴34∠=∠,∴AB BM =.(3)证法一:如图1,类似(2)可得OM ON =,OA OB =,∴AN BM =,CN DM =, ∴ANBMNC DM =, ※∵DE AB ∥, ∴BMABDCDM ED ED ==, ※ ※∵EN EC ⊥,AD DC ⊥,∴EN AD ∥, ∴DCACDE AN =. ※ ※ ※由上面※三式得=ANACNC AN ,即2AN NC AC =.证法二:在图2中连接MN ,类似(2)可得MN DC ∥, ∴=ANMNAC EC ,∵EN EC ⊥,45ACE ∠=,∴EN EC =,∴=AC EN . ※且18045135ANE ∠=-=,∵MN DC ∥,∴18045135DMN ∠=-=,又12∠=∠(等角的余角相等),∴DMN ANE △∽△, ∴=MN DMEN AN而由OM ON =得DM NC =, ∴MNDMNCEN AN AN ==, ※ ※ 由※和※※两式得=ANNCAC AN ,即2AN NC AC =.证法三:略解.在图3中延长BC ,AE 交于点F ,易知ANE ACF △∽△,ADE FBA △∽△,∴ANAEDEAC AF AB ==由MDE MBA △∽△,得DEDMAB BM =.而OM ON =,得DM CN =,BM AN =,∴=AC AN ,即2AN NC AC =.证法四:略解:设1AB =,EC EN a ==,可证得222(1)AN a =-,2NC AC a =,由DEM BAM △∽△,可得2()1a a =-,得结论.【解析】证明:(1)在MOA △与NOD △中,∵四边形ABCD 是正方形,∴90MOA NOD ∠=∠=,OA OD =,而DH AE ⊥,∴90DHA ∠=,∴19039042∠=-∠=-∠=∠,∴MOA NOD △≌△(ASA ),∴MO NO =.(2)如图,连接MN ,类似(1)可得MOA NOD △≌△,∴MO NO =,而OD OC =,∴MN DC ∥,而DM EN ∥,∴四边形MNED 是平行四边形,而已知DH AE ⊥,∴平行四边形MNED 是菱形,∴DE DM =,12∠=∠,易知14∠=∠,23∠=∠,∴34∠=∠,∴AB BM =.(3)证法一:如图1,类似(2)可得OM ON =,OA OB =,∴AN BM =,CN DM =, ∴AN BM NC DM=, ※ ∵DE AB ∥, ∴BM AB DC DM ED ED==, ※ ※ ∵EN EC ⊥,AD DC ⊥,∴EN AD ∥, ∴DC AC DE AN=. ※ ※ ※由上面※三式得=AN AC NC AN, 即2AN NC AC =.证法二:在图2中连接MN ,类似(2)可得MN DC ∥, ∴=ANMNAC EC ,∵EN EC ⊥,45ACE ∠=,∴EN EC =, ∴=ANMNAC EN . ※且18045135ANE ∠=-=,∵MN DC ∥,∴18045135DMN ∠=-=,又12∠=∠(等角的余角相等),∴DMN ANE △∽△, ∴=MN DMEN AN而由OM ON =得DM NC =, ∴MNDM NCEN AN AN ==, ※ ※ 由※和※※两式得=ANNCAC AN ,即2AN NC AC =.证法三:略解.在图3中延长BC ,AE 交于点F ,易知ANE ACF △∽△,ADE FBA △∽△,∴AN AE DE AC AF AB== 由MDE MBA △∽△,得DE DM AB BM=. 而OM ON =,得DM CN =,BM AN =, ∴=AN NC AC AN,即2AN NC AC =. 证法四:略解:设1AB =,EC EN a ==,可证得222(1)AN a =-,2NC AC a =,由DEM BAM △∽△,可得2()1a a =-,得结论.【考点】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质的综合应用.。
2018年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1032.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x33.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是267.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16 B.8π﹣16 C.16π﹣32 D.32π﹣168.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=4010.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).20.(8分)化简:(x﹣y+)•.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.2018年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数【解答】解:135000=1.35×105故选:B.【点评】此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值2.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【分析】根据同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方一一判断即可.【解答】解:A、错误.应该是x3•x3=x6;B、错误.应该是x8÷x4=x4;C、错误.(ab3)2=a2b6.D、正确.故选:D.【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.3.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥﹣1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1,在数轴上表示为:,故选:A.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选:D.【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识.5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;故选:C.【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角,解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义.6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20 B.中位数是17 C.平均数是12 D.方差是26【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.【解答】解:A、这组数据中9出现的次数最多,众数为9,故本选项错误;B、因为共有5组,所以第3组的人数为中位数,即9是中位数,故本选项错误;C、平均数==12,故本选项正确;D、方差=[(9﹣12)2+(17﹣12)2+(20﹣12)2+(9﹣12)2+(5﹣12)2]=,故本选项错误;故选:C.【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.7.(4分)如图,正方形ABCD 内接于圆O ,AB=4,则图中阴影部分的面积是( )A .4π﹣16B .8π﹣16C .16π﹣32D .32π﹣16【分析】连接OA 、OB ,利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2,根据阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 列式计算可得.【解答】解:连接OA 、OB ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠AOB=90°,∠OAB=45°,∴OA=ABcos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×(2)2﹣4×4=8π﹣16. 故选:B .【点评】本题主要考查扇形的面积计算,解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式.8.(4分)如图,小刚从山脚A 出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了( )A .300sinα米B .300cosα米C .300tanα米D .米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.【解答】解:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=300米,BO=AB•sinα=300sinα米.故选:A.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题关键.9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800 B.﹣=40C.﹣=40 D.﹣=40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【解答】解:小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是﹣=40,故选:C.【点评】本题考查了列分式方程解应用题,能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0 B.b<0 C.b2﹣4ac<0 D.a+b+c<0【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定b2﹣4ac,根据x=1时,y>0,确定a+b+c的符号.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线交于y轴的正半轴,∴c>0,∴ac>0,A错误;∵﹣>0,a>0,∴b<0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,C错误;当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,D错误;故选:B.【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=6.【分析】先将二次根式化为最简,然后再进行二次根式的乘法运算即可.【解答】解:原式=2×=6.故答案为:6.【点评】本题考查了二次根式的乘法运算,属于基础题,掌握运算法则是关键.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=x3(y+1)(y﹣1).【分析】先提取公因式x3,再利用平方差公式分解可得.【解答】解:原式=x3(y2﹣1)=x3(y+1)(y﹣1),故答案为:x3(y+1)(y﹣1).【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式,再利用公式法分解.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.【分析】由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,根据概率公式计算即可;【解答】解:由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==.故答案为.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是k>2.【分析】根据图象在第二、四象限,利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号,即可解答.【解答】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,∴2﹣k<0,∴k>2.故答案为:k>2.【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,熟练记忆当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=45度.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.【解答】解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵BC为切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AD=CD,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠C=45°.故答案为45.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出=,结论③正确.此题得解.【解答】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴=()2=,结论③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,逐一分析三条结论的正误是解题的关键.17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=1或﹣3.【分析】根据a⊗b=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=3,解方程即可.【解答】解:依题意得:(2+x)x=3,整理,得x2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=﹣3.故答案是:1或﹣3.【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.【解答】解:过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:D,G,由题意可得:O是△ACB的内心,∵AB=5,AC=4,BC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴四边形OGCD是正方形,∴DO=OG==1,∴CO=.故答案为:.【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心,正确得出OD的长是解题关键.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可;【解答】解:原式=5﹣3+4﹣6=0【点评】本题考查实数的混合运算,解题的关键是:掌握先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.20.(8分)化简:(x﹣y+)•.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:原式=•=•=x.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【分析】只要证明∠AEM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ECD,∵∠1=∠2,∴∠EAM=∠ECN,∴AM∥CN.【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定,属于中考基础题.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【分析】(1)利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例,即可得出被调查学生的人数,由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数,再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程度达到B等的学生数﹣了解程度达到C等的学生数﹣了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数,依此数据即可将条形统计图补充完整;(2)根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°,即可求出结论;(3)利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例,即可得出结论.【解答】解:(1)48÷40%=120(人),120×15%=18(人),120﹣48﹣18﹣12=42(人).将条形统计图补充完整,如图所示.(2)42÷120×100%×360°=126°.答:扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°.(3)1500×=525(人).答:该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,观察条形统计图及扇形统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).【分析】(1)确定A、B、C的坐标即可解决问题;(2)理由待定系数法即可解决问题;(3)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′的长;【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1),C(3,1)∴k=2.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1(3)∵C、D关于直线AB对称,∴D(0,4)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′==【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征,一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用轴对称解决最短问题.24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【分析】(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,根据(1)的结果结合图表列出W关于m的一次函数,再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”,列出关于m的一元一次不等式,求出m的取值范围,再根据一次函数的增减性即可得到答案.【解答】解:(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B 产品有y件,根据题意得:,解得:,答:每次运输的农产品中A产品有10件,每次运输的农产品中B产品有30件,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,增加供货量后A产品的数量为(10+m)件,B产品的数量为30+(8﹣m)=(38﹣m)件,根据题意得:W=30(10+m)+20(38﹣m)=10m+1060,由题意得:38﹣m≤2(10+m),解得:m≥6,即6≤m≤8,∵一次函数W随m的增大而增大=1120,∴当m=6时,W最小答:产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.【点评】本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用,解题的关键:(1)正确根据等量关系列出二元一次方程组,(2)根据数量关系列出一次函数和不等式,再利用一次函数的增减性求最值.25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【分析】(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵E是AD中点,∴AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)①解:如图2中,由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EBM=∠ECN=45°,∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM=∠CEN,∵EB=EC,∴△BEM≌△CEN;②∵△BEM≌△CEN,∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4﹣x,=•x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+2,∴S△BMN∵﹣<0,∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.∴EG=m+m=(1+)m,=•EG•BN=•BG•EH,∵S△BEG∴EH==m,在Rt△EBH中,sin∠EBH===.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.【分析】(1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n;(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时,0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系﹣OA•OB=OC2n2=解得n=0(舍去)或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2(2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1,x2=4∴OA=1,OB=4∴B(4,0),C(0,﹣2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为(,b)由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为(,)当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为(﹣,)综上点P坐标为(,)(﹣,);(3)设点D坐标为(a,b)∵AE:ED=1:4则OE=,OA=∵AD∥AB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0(舍去)则n=【点评】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.。
2018年湖南省益阳市中考数学试卷含答案解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×1032.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x33.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是267.(4分)如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是()A.4π﹣16B.8π﹣16C.16π﹣32D.32π﹣168.(4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800B.﹣=40C.﹣=40D.﹣=4010.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0B.b<0C.b2﹣4ac<0D.a+b+c<0二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).20.(8分)化简:(x﹣y+)•.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.2018年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选中,只有一项是符题目要求的1.(4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105C.13.5×104D.13.5×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数【解答】解:135000=1.35×105故选:B.【点评】此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值2.(4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【分析】根据同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方一一判断即可.【解答】解:A、错误.应该是x3•x3=x6;B、错误.应该是x8÷x4=x4;C、错误.(ab3)2=a2b6.D、正确.故选:D.【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,积的乘方等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.3.(4分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【分析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.【解答】解:∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥﹣1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1,在数轴上表示为:,故选:A.【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.4.(4分)如图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选:D.【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识.5.(4分)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是()A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.【解答】解:A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;故选:C.【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角,解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义.6.(4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是26【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.【解答】解:A、这组数据中9出现的次数最多,众数为9,故本选项错误;B、因为共有5组,所以第3组的人数为中位数,即9是中位数,故本选项错误;C、平均数==12,故本选项正确;D、方差=[(9﹣12)2+(17﹣12)2+(20﹣12)2+(9﹣12)2+(5﹣12)2]=,故本选项错误;故选:C.【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.7.(4分)如图,正方形ABCD 内接于圆O ,AB=4,则图中阴影部分的面积是( )A .4π﹣16B .8π﹣16C .16π﹣32D .32π﹣16【分析】连接OA 、OB ,利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2,根据阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 列式计算可得.【解答】解:连接OA 、OB ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠AOB=90°,∠OAB=45°,∴OA=ABcos45°=4×=2,所以阴影部分的面积=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×(2)2﹣4×4=8π﹣16. 故选:B .【点评】本题主要考查扇形的面积计算,解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式.8.(4分)如图,小刚从山脚A 出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了( )A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.【解答】解:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=300米,BO=AB•sinα=300sinα米.故选:A.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,根据题意构造直角三角形,正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题关键.9.(4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是()A.40×1.25x﹣40x=800B.﹣=40C.﹣=40D.﹣=40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【解答】解:小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是﹣=40,故选:C.【点评】本题考查了列分式方程解应用题,能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.10.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.ac<0B.b<0C.b2﹣4ac<0D.a+b+c<0【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与x轴的交点确定b2﹣4ac,根据x=1时,y>0,确定a+b+c的符号.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线交于y轴的正半轴,∴c>0,∴ac>0,A错误;∵﹣>0,a>0,∴b<0,∴B正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,C错误;当x=1时,y>0,∴a+b+c>0,D错误;故选:B.【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分11.(4分)计算:×=6.【分析】先将二次根式化为最简,然后再进行二次根式的乘法运算即可.【解答】解:原式=2×=6.故答案为:6.【点评】本题考查了二次根式的乘法运算,属于基础题,掌握运算法则是关键.12.(4分)因式分解:x3y2﹣x3=x3(y+1)(y﹣1).【分析】先提取公因式x3,再利用平方差公式分解可得.【解答】解:原式=x3(y2﹣1)=x3(y+1)(y﹣1),故答案为:x3(y+1)(y﹣1).【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用,解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式,再利用公式法分解.13.(4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车,如图,从沅江A 地到资阳B地有两条路线可走,从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是.【分析】由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,根据概率公式计算即可;【解答】解:由题意可知一共有6种可能,经过西流湾大桥的路线有2种可能,所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==.故答案为.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.14.(4分)若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是k>2.【分析】根据图象在第二、四象限,利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号,即可解答.【解答】解:∵反比例函数的图象在第二、四象限,∴2﹣k<0,∴k>2.故答案为:k>2.【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,熟练记忆当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键.15.(4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=45度.【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.【解答】解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵BC为切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AD=CD,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠C=45°.故答案为45.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.16.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF :S△ABC=1:4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出=,结论③正确.此题得解.【解答】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴=()2=,结论③正确.故答案为:①②③.【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,逐一分析三条结论的正误是解题的关键.17.(4分)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=1或﹣3.【分析】根据a⊗b=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=3,解方程即可.【解答】解:依题意得:(2+x)x=3,整理,得x2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=﹣3.故答案是:1或﹣3.【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.18.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则OC=.【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.【解答】解:过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:D,G,由题意可得:O是△ACB的内心,∵AB=5,AC=4,BC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴四边形OGCD是正方形,∴DO=OG==1,∴CO=.故答案为:.【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心,正确得出OD的长是解题关键.三、解答题:本题共8小题,共78分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19.(8分)计算:|﹣5|﹣+(﹣2)2+4÷(﹣).【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可;【解答】解:原式=5﹣3+4﹣6=0【点评】本题考查实数的混合运算,解题的关键是:掌握先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.20.(8分)化简:(x﹣y+)•.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解:原式=•=•=x.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.(8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【分析】只要证明∠AEM=∠ECN,根据同位角相等两直线平行即可证明;【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ECD,∵∠1=∠2,∴∠EAM=∠ECN,∴AM∥CN.【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定,属于中考基础题.22.(10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【分析】(1)利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例,即可得出被调查学生的人数,由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数,再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数﹣了解程度达到B等的学生数﹣了解程度达到C等的学生数﹣了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数,依此数据即可将条形统计图补充完整;(2)根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°,即可求出结论;(3)利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例,即可得出结论.【解答】解:(1)48÷40%=120(人),120×15%=18(人),120﹣48﹣18﹣12=42(人).将条形统计图补充完整,如图所示.(2)42÷120×100%×360°=126°.答:扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°.(3)1500×=525(人).答:该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体,观察条形统计图及扇形统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(﹣2,﹣1),其中有两点同时在反比例函数y=的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C.(1)求出k的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是x轴上的一个动点,直接写出PC+PD 的最小值(不必说明理由).【分析】(1)确定A、B、C的坐标即可解决问题;(2)理由待定系数法即可解决问题;(3)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′的长;【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同,∴A(1,2),B(﹣2,﹣1),C(3,1)∴k=2.(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1(3)∵C、D关于直线AB对称,∴D(0,4)作D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接CD′交x轴于P,此时PC+PD的值最小,最小值=CD′==【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征,一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用轴对称解决最短问题.24.(10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低,马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元.A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【分析】(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B产品有y件,根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,根据(1)的结果结合图表列出W关于m的一次函数,再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”,列出关于m的一元一次不等式,求出m的取值范围,再根据一次函数的增减性即可得到答案.【解答】解:(1)设每次运输的农产品中A产品有x件,每次运输的农产品中B 产品有y件,根据题意得:,解得:,答:每次运输的农产品中A产品有10件,每次运输的农产品中B产品有30件,(2)设增加m件A产品,则增加了(8﹣m)件B产品,设增加供货量后得运费为W元,增加供货量后A产品的数量为(10+m)件,B产品的数量为30+(8﹣m)=(38﹣m)件,根据题意得:W=30(10+m)+20(38﹣m)=10m+1060,由题意得:38﹣m≤2(10+m),解得:m≥6,即6≤m≤8,∵一次函数W随m的增大而增大=1120,∴当m=6时,W最小答:产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.【点评】本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用,解题的关键:(1)正确根据等量关系列出二元一次方程组,(2)根据数量关系列出一次函数和不等式,再利用一次函数的增减性求最值.25.(12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【分析】(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵E是AD中点,∴AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)①解:如图2中,由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EBM=∠ECN=45°,∵∠MEN=∠BEC=90°,∴∠BEM=∠CEN,∵EB=EC,∴△BEM≌△CEN;②∵△BEM≌△CEN,∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4﹣x,=•x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+2,∴S△BMN∵﹣<0,∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB= m.∴EG=m+m=(1+)m,=•EG•BN=•BG•EH,∵S△BEG∴EH==m,在Rt△EBH中,sin∠EBH===.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.26.(12分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A 点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值.【分析】(1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n;(2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;(3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形∴△AOC∽△COB∴OC2=AO•OB当y=0时,0=x2﹣x﹣n由一元二次方程根与系数关系﹣OA•OB=OC2n2=解得n=0(舍去)或n=2∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2(2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时解得x1=﹣1,x2=4∴OA=1,OB=4∴B(4,0),C(0,﹣2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣∴设点Q坐标为(,b)由平行四边形性质可知当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P点坐标为(,)当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2)代入y=x2﹣x﹣2解得b=则P坐标为(﹣,)综上点P坐标为(,)(﹣,);(3)设点D坐标为(a,b)∵AE:ED=1:4则OE=,OA=∵AD∥AB∴△AEO∽△BCO∵OC=n∴∴OB=由一元二次方程根与系数关系x1x2=∴b=将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n解得a=6或a=0(舍去)则n=【点评】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.。
2018年湖南省益阳市初中毕业、升学考试数学(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.1.(2018湖南益阳,1,4分)2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一.将数据135000用科学记数法表示正确的是()A.1.35×106B.1.35×105 C.13.5×104D.13.5×103【答案】B【解析】用科学记数法表示一个数,就是把一个数写成a×10n的形式(其中1≤|a|<10,n为整数),先确定a=1.35,除去1之后还有5位,故n=5,即135000=1.35×105,故选择B.【知识点】科学记数法2.(2018湖南益阳,2,4分)下列运算正确的是()A.x3•x3=x9 B.x8÷x4=x2C.(ab3)2=ab6D.(2x)3=8x3【答案】D【解析】选项A:x3•x3=x6,错误;选项B:x8÷x4=x4,错误;选项C:(ab3)2=a2b6,错误;选项D正确;故选择D.【知识点】整式的运算,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方3.(2018湖南益阳,3,4分)不等式组213,312xx+<⎧⎨+≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是()【答案】A【解析】解不等式2x+1<3,得x<1;解不等式3x+1≥-2,得x≥-1.所以不等式组的解集为-1≤x<1,表示-1的为实心,表示1的为空心,故选择A.【知识点】解一元一次不等式组4.(2018湖南益阳,4,4分)下图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥【答案】D【解析】棱柱和棱锥的三视图不可能出现圆,圆柱的三视图不可能出现三角形,满足条件的只能是圆锥,故选择D .【知识点】几何体的三视图5.(2018湖南益阳,5,4分)如图,直线AB ,CD 相交于点O ,EO ⊥CD .下列说法错误..的是( )A .∠AOD =∠BOCB .∠AOE +∠BOD =90°C .∠AOC =∠AOED .∠AOD +∠BOD =180° 【答案】C【解析】根据对顶角相等可知∠AOD =∠BOC ,选项A 正确;∵∠AOD 和∠BOD 恰好组成一个平角,∴∠AOD+∠BOD =180°,选项D 正确;∵EO ⊥CD ,∴∠EOD =90°,∴∠AOE +∠BOD =180°-90°=90°.选项B 正确,故选择C .【知识点】对顶角,垂直,余角和补角 6.(2018湖南益阳,6,4分)益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表: 文化程度 高中 大专 本科 硕士 博士 人数9172095关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是( ) A .众数是20 B .中位数是17 C .平均数是12 D .方差是26 【答案】C【解析】总共有5个数据,9出现了2次,故众数为9,选项A 错误;排序为5,9,9,17,20,故中位数为9,选项B错误;9172095125x ++++==,即平均数为12,选项C 正确;222222(912)(1712)(2012)(912)(512)S 31.25-+-+-+-+-==,即方差为31.2,选项D 错误,故选择C .【知识点】平均数,中位数,众数,方差7.(2018湖南益阳,7,4分)如图,正方形ABCD 内接于圆O ,AB =4,则图中阴影部分的面积是( )A .4π-16B .8π-16C .16π-32D .32π-16【答案】B【解析】连接OA ,OB .∵四边形ABCD 为正方形, ∴∠AOB =90°.设OA =OB =r ,则r 2+r 2=42. 解得: r =22. S 阴影=S ⊙O -S 正方形ABCD=22244π⨯-⨯() =8π-16故选择B .【知识点】与圆有关的计算,正多边形与圆8.(2018湖南益阳,8,4分)如图,小刚从山脚A 出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点,则小刚上升了( ) A .300sin αB .300cos αC .300tan αD .300tan α【答案】A【思路分析】上升的高度为BC ,为∠α的对边,AB 是斜边,故用正弦求解. 【解题过程】∵sin BCABα=,∴BC =AB sinα=300sinα,故选择A . 【知识点】锐角三角形函数,解直角三角形的应用9.(2018湖南益阳,9,4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x 米/秒,则所列方程正确的是( ) A .40×1.25x -40x =800 B .800800402.25x x -= C .800800401.25x x-=D .800800401.25x x-= 【答案】C【思路分析】设小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x ,分别列出两人所用的时间,根据“小进比小俊少用了40秒”列方程即可.【解题过程】设小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x ,小俊所用时间为800x ,小进所用时间为8001.25x,所列方程为800800401.25x x-=,故选择C . 【知识点】分式方程的应用300 α10.(2018湖南益阳,10,4分)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A .ac <0B .b <0C .b 2-4ac <0D .a +b +c <0 【答案】B【思路分析】a 由开口方向决定,b 由对称轴与a 的符号决定,c 由抛物线与y 轴交点位置决定,b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点个数决定,a +b +c 的符号取决于x =1时,抛物线的位置.【解题过程】抛物线开口向上,a >0,与y 轴交点在y 轴正半轴,c >0,ac >0,选项A 错误;对称轴在y 轴右侧a ,b 异号,故b <0,选项B 正确;抛物线与x 轴有两个交点,b 2-4ac >0 ,选项C 错误;由图象可知,当x =1时,y >0,所以a +b +c >0,选项D 错误,故选择B . 【知识点】二次函数的图象和性质二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上. 11.(2018湖南益阳,11,4分)123⨯=_________. 【答案】6【解析】123366⨯==【知识点】二次根式的乘法 12.(2018湖南益阳,12,4分)因式分解:x 3y 2-x 3= . 【答案】x 3(y +1)(y -1)【解析】x 3y 2-x 3=x 3(y 2-1)= x 3(y +1)(y -1) 【知识点】因式分解13.(2018湖南益阳,13,4分)2018年5月18日,益阳新建西流湾大桥竣工通车. 如图,从沅江A 地到资阳B 地有两条路线可走,从资阳B 地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达,现让你随机选择一条从沅江A 地出发经过资阳B 地到达益阳火车站的行走路线,那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 .【答案】13【解析】从沅江A 到资阳B 的两条路分别记为A 和B ,从资阳B 到益阳火车站的三条路分别记为会龙山大桥C ,西流湾大桥D ,龙洲大桥E ,画树状图如下:沅江 A资阳B益阳火车站会龙山大桥西流湾大桥龙洲大桥共有6条路可走,其中经过西流湾大桥D的路有两种,∴P=21 63 =.【知识点】概率的计算14.(2018湖南益阳,14,4分)若反比例函数2kyx-=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.【答案】k>2【解析】∵反比例函数2kyx-=的图象位于第二、四象限,∴2-k<0,解得:k>2.【知识点】反比例函数15.(2018湖南益阳,15,4分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度.【答案】45【解析】∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°.∵BC是圆的切线,AB是圆的直径,∴∠ABC=90°.∵AD=DC,∴BD垂直平分AC.∴AB=BC∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠C=45°.【知识点】圆的基本性质,切线的性质,等腰直角三角形16.(2018湖南益阳,16,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF为菱形,③S△ADF︰S△ABC=1︰4.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)【答案】①②③【思路分析】①利用ASA 即可证明;②利用中位线得到平行及相等的关系,利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明;③利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答. 【解题过程】∵DF ∥BC ,∴∠ADF =∠C ,同理∠CFE =∠A ∵F 为AC 中点,∴AF =FC ∴△ADF ≌△FEC ,①正确;∵D 、E 分别是AB 、BC 边上的中点,∴DE ∥AC 且DE =12AC , 同理EF ∥AB ,EF =12AB ,∴四边形ADEF 是平行四边形. 又∵AB =AC , ∴EF =DE ,∴四边形ADEF 是菱形.②正确; ∵∠ADF =∠C ,∠A =∠A ∴△ADF ∽△ABC ∴21()4ADF ABCS AF SAC == ∴③正确;故答案为①②③.【知识点】全等三角形的判定,菱形的判定,中位线,相似三角形的判定和性质17.(2018湖南益阳,17,4分)规定()a b a b b ⊗=+,如:23(23)315⊗=+⨯=,若23x ⊗=,则x = . 【答案】-3或1【思路分析】根据规定的运算顺序,把23x ⊗=化为熟悉的一元二次方程,然后再解方程即可. 【解题过程】∵23x ⊗=,∴(2)3x x +=,2230x x +-=,解得:x 1=-3,x 2=1.【知识点】新定义型,一元二次方程18.(2018湖南益阳,18,4分)如图,在△ABC 中,AB =5,AC =4,BC =3. 按以下步骤作图:①以A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB ,AC 于点M 、N ;②分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 的长为半径作弧,两弧相交于点E ;③作射线AE ;④以同样的方法作射线BF . AE 交BF 于点O ,连接OC ,则OC= .【答案】2【思路分析】过点O 作OD ⊥AC ,垂足为D .根据题目给出的数据可知△ABC 为直角三角形,根据作图可知点O 为△ABC 的内心,从而根据内切圆半径公式2a b cr +-=,求出内切圆半径OD ,从而求出OC 的长. 【解题过程】过点O 作OD ⊥AC ,垂足为D .由作图可知AE 、CF 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线, ∴点O 为△ABC 的内心,OC 平分∠ACB , ∵AB =5,AC =4,BC =3. ∴32+42=52.∴△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°. ∵OD 为内切圆半径,∴OD =34512+-= ∵∠OCD =12∠ACB =45°.∴△OCD 为等腰直角三角形. ∴OC =2OD =2.【知识点】勾股定理的逆定理,三角形的内切圆,基本作图,等腰直角三角形.三、解答题(本大题共8小题,满分78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(2018湖南益阳,19,8分)计算:232|5|2724()3--+-+÷-()【思路分析】注意运算顺序,先把24()3÷-转化为34()2⨯-,然后根据绝对值,立方根,平方的概念分别计算出结果再进行计算即可.【解题过程】解:232|5|2724()3--+-+÷-() 35344()2=-++⨯- =6+(-6) =0【知识点】实数的运算,绝对值,立方根20.(2018湖南益阳,20,8分)化简:2()y x y x y x y x+-+⋅+. 【思路分析】先把括号里面的通分进行分式的加减运算,然后再进行乘法运算即可.【解题过程】解:2()y x yx yx y x+-+⋅+2()()[]x y x y y x yx y x y x-++=+⋅++222x y y x yx y x-++=⋅+2x x yx y x+=⋅+= x【知识点】分式的运算21.(2018湖南益阳,21,8分)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.【思路分析】根据“两直线平行,同位角相等”可证明“∠EAB=∠ACD”,再结合∠1=∠2可得一组同位角相等,利用“同位角相等,两直线平行”可证.【解题过程】证明:∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠EAB-∠1=∠ACD-∠2,即∠EAM=∠ACN∴AM∥CN【知识点】平行线的判定和性质22.(2018湖南益阳,22,10分)2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考,高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为A,B,C,D四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息完成下列问题:(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数;(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?【思路分析】(1)由B 等级人数及所占百分比可求出调查学生数,进一步求出C 等级和A 等级人数,完成条形统计图;(2)求出A 等级人数所占比例乘以360°即可;(3)根据样本中A 等级所占比例可估计该校学生了解程度达到A 级的人数. 【解题过程】解:(1)48÷40%=120(人),所以被调查学生人数为120人. C 等人数:120×15%=18(人),A 等人数:120-(48+18+12)=42(人) 补全条形统计图如下:(2)42360126120⨯︒=︒. 即扇形统计图中的A 等对应的扇形圆心角的度数为126°. (3)421500525120⨯=(人) 估计该校学生对政策内容了解程度达到A 等的学生有525人. 【知识点】条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体23.(2018湖南益阳,23,10分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(-2,-1),其中有两点同时在反比例函数ky x=的图象上,将这两点分别记为A ,B ,另一点记为C . (1)求出k 的值;(2)求直线AB 对应的一次函数的表达式; (3)设点C 关于直线AB 的对称点为D ,P 是x 轴上一个动点,直接写出PC +PD 的最小值(不必说明理由).ABCD等级0 6 12 18 24 30 36 42 48 人数 12484218【思路分析】(1)根据k =xy ,可知横纵坐标乘积相等的两点在反比例函数图象上可求出k 的值;(2)设直线AB 的解析式为:y =kx +b ,代入两点坐标即可;(3)作出图形,求几何最值关键是找出对称点,利用勾股定理求值. 【解题过程】(1)∵1×2=(-2)×(-1)=2,3×1=3≠2,所以在反比例函数图象的两点为(1,2)和(-2,-1),k =2.(2)设直线AB 的解析式为:y =kx +b则221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩.解得:11k b =⎧⎨=⎩ ∴直线AB 的解析式为y =x +1.(3)如图所示点C 关于直线AB 的对称点D (0,4),点D 关于x 轴对称点D ′(0,-4),连接CD ′交x 轴于点P ,连接PD ,则此时PC +PD 最小,即为线段CD ′的长度.22'3[1(4)]34CD =+--=.即:写出PC +PD 的最小值为34.【知识点】反比例函数,一次函数,几何最值问题24.(2018湖南益阳,24,10分)益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低. 马迹塘一农户需要将A 、B 两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A ,B 产品的件数不变. 原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元. A ,B 两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元/件)如下表所示:品种 A B 原运费 45 25 现运费3020(1)求每次运输的农产品中A ,B 产品各有多少件?DD′C P(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的产品总件数增加8件,但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍. 问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?【思路分析】【解题过程】(1)解:设每次运输的农产品中A 产品有x 件,B 产品有y 件,根据题意,得:4525120030201200300x y x y +=⎧⎨+=-⎩ 解得:1030x y =⎧⎨=⎩答:每次运输的农产品中A 产品有10件,B 产品有30件.(2)设每次运送的产品中A 产品增加m 件,则B 产品增加(8-m )件.30+8-m ≤2(10+m )解得:m ≥6又∵8-m ≥0∴m ≤8∴6≤m ≤8设产品件数增加后,运费为W 元,W =30(10+m )+20(30+8-m )=10m +1060∵k =10>0,∴W 随m 的增大而增大.∴当m =6时,W 取最小值,此时W =10×6+1060=1120所以,产品件数增加后,每次运费最少需要1120元.【知识点】二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,一次函数应用25.(2018湖南益阳,25,12分)如图1,在矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,以点E 为直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ,EG 分别过点B ,C ,∠F =30°.(1)求证:BE =CE ;(2)将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转,当旋转到EF 与AD 重合时停止转动,若EF ,EG 分别与AB ,BC 相交于点M ,N (如图2).①求证:△BEM ≌△CEN ;②若AB =2,求△BMN 面积的最大值;③当旋转停止时,点B 恰好在FG 上(如图3),求sin ∠EBG 的值.【思路分析】(1)利用矩形的性质和中点的定义证明(SAS )△ABE ≌△DCE 即可;(2)①用ASA 证明全等;②设BM =x ,列出△BMN 的面积与x 的函数关系式,利用函数求最大值;③利用△EBG 的面积不变求sin ∠EBG .【解题过程】(1)∵四边形ABCD 为矩形,图1 图2 图3∴∠A =∠D =90°,AB =DC .∵E 为AD 中点,∴AE =DE .∴△ABE ≌△DCE .∴BE =CE .(2)①∵△ABE ≌△DCE ,∴∠AEB =∠DEC .∵∠FEG =90°,∴∠AEB =∠DEC =45°.∴∠ABE =∠ECB =45°.∵∠BEM +∠BEN =∠CEN +∠BEN =90°.∴∠BEM =∠CEN .∵BE =CE ,∴△BEM ≌△CEN .②由①可知△ABE 和△DEC 都是等腰直角三角形,E 为AD 中点∴BC =AD =2AB =4设BM =CN =x ,则BN =4-x ,2≤x ≤4.12MBN S BM BN =⋅211(4)222x x x x =-=-+21(2)22x =--+ ∴当x =2时, △BMN 的面积最大,最大面积为2;③∵BC ∥AD ,∠FGE =90°,∴∠BNG =∠FGE =90°.∵∠F =30°,∴∠NBG =∠F =30°.由①可知∠EBN =45°设NG =x ,则BG =2x ,BN =3x ,EN =3x∴BE =326x x ⋅=. ∴S △EBG =11sin 22EB BG EBG EG BN ⋅⋅∠=⋅ ∴(3)362sin 462EG BN x x x EBG EB BG x x⋅+⋅+∠===⋅⋅ 【知识点】矩形,图形的旋转,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,二次函数的应用26.(2018湖南益阳,26,12分)如图,已知抛物线213(0)22y x x n n =-->与x 轴交于A ,B 两点(A 点在B 点的左边),与y 轴交于点C .(1)如图1,若△ABC 为直角三角形,求n 的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的对称轴上,若以BC 为边,以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求P 点的坐标;(3)如图2,过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ,交y 轴于点E ,若AE ︰ED =1︰4. 求n 的值.【思路分析】(1)利用一元二次方程根与系数的关系结合射影定理即可求出n 的值;(2)分为PQ 与BC 平行用及PQ 与BC 相交两种情况讨论;PQ ∥BC 又可分为点P 在点Q 左侧和点P 在点Q 右侧两种情况;(3)过点D 作DF ⊥x 轴,垂足为F ,构造△ADF ∽△BCO ,利用三角形相似,结合点A 和点D 在抛物线上列方程组求解.【解题过程】(1)若△ABC 为直角三角形,则OC 2=OA ·OB 由抛物线213(0)22y x x n n =-->,可得OC =n ,OA ·OB =2n ∴n 2=2n ,解得:n 1=2,n 2=0(舍去)∴n =2.(2)由(1)可知抛物线的对称轴为32x =,抛物线解析式为213222y x x =-- 令y =0,得x 1=-1,x 2=4∴A (-1,0),B (4,0)设点P (m ,213222m m --) ①当直线PQ ∥BC 时,当点P 在点Q 的左侧时(如图所示),当△BOC 平移到△QNP 的位置时,四边形PQBC 为平行四边形,此时NQ =OB ,即342m -=,52m =-. 213392228m m --=,此时点P 坐标为(52-,398)当点P 在点Q 的右侧时(如图所示) 同理可得:342m -=,112m =. 213392228m m --=,此时点P 的坐标为(112,398)②当直线PQ 与直线BC 相交时,如图所示:此时点P 到y 轴的距离等于点B 到对称轴的距离. 即35422m =-=. 213212228m m --=-,此时点P 的坐标为(52,218-).综上所述,满足条件的点P 的坐标为(52-,398),(112,398), (52,218-). (3)过点D 作DF ⊥x 轴,垂足为F .则AO ︰OF = AE ︰ED =1︰4设A (a ,0),B (b ,0)则AO =-a ,OF =-4a∵AD ∥BC ,∴∠DAO =∠OBC∵∠AFD =∠BOC =90°∴△BOC ∽△AFD ∴OC BO DF AF= 即4n b DF a a=-- ∴4n b DF a a =-- 由题意: ab =-2n ,∴2n a b =- ∴2555()22n a DF a a a b =-⋅=-⋅-= ∵点A 、D 在抛物线上, ∴2221302213516(4)222a a n a a n a ⎧--=⎪⎪⎨⎪⨯-⨯--=⎪⎩ 解得:32a =-,278n =∴n 的值为278.【知识点】二次函数综合,相似三角形的判定和性质,平行四边形,分类讨论思想。
2018年益阳市中考数学预测试题及答案(试卷满分120分,考试时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.-12的绝对值等于( ) A .-2 B .2 C .-12 D.122.如果2m 9﹣x n y 和﹣3m 2y n 3x+1是同类项,则2m 9﹣x n y +(﹣3m 2y n 3x+1)=( )A .﹣m 8n 4B .mn 4C .﹣m 9nD .5m 3n 23.下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是( )A .B .C .D .4.若正比例函数的图象经过点(2,-3),则这个图象必经过点( )A .(-3,-2)B .(2,3)C .(3,-2)D .(-4,6)5.下列说法中正确的是( )A .有一组邻边相等的梯形是等腰梯形B .一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形C .有一组对角互补的梯形是等腰梯形D .有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形6.一圆锥的底面直径为4cm ,高为cm ,则此圆锥的侧面积为( )A .20πcm 2B .10πcm 2C .4πcm 2 D .4πcm 2 7.布袋中装有大小一样的3个白球、2个黑球,从布袋中任意摸出一个球,则下列事件 中是必然事件的是 ( )A. 摸出的是白球或黑球;B. 摸出的是黑球;C. 摸出的是白球;D. 摸出的是红球.8. 如图,∠A =∠B=90°,AB =7,AD =2,BC =3,在边AB 上取点P ,使得△PAD 与△PBC 相似,则这样的P 点共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个9.已知抛物线C :y =x 2+ax +b 的对称轴是直线x =2,且与x 轴有两个交点,两交点的距离为4,则抛物线C 关于直线x =-2对称的抛物线C′的解析式为( )A .y =x 2+4xB .y =x 2+8x +12C .y =x 2+12x +32D .y =x 2+6x +810.用尺规作图法作已知角∠AOB 的平分线的步骤如下:①以点O 为圆心,任意长为半径作弧,交OB 于点D ,交OA 于点E ;②分别以点D ,E 为圆心,以大于DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点C ;③作射线OC .则射线OC 为∠AOB 的平分线.由上述作法可得△OCD ≌△OCE 的依据是( )A .SASB .ASAC .AASD .SSS二、填空题(本题共6题,每小题4分,共24分)11.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是3cm ,底面周长是8πcm ,则扇形的半径为________cm .12.设12,x x 是方程220x nx m ++=的两个根,且12x x +=4,123x x =,则n = . 13.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 .14.二次函数y =x 2-2x +m 的图象与x 轴的一个交点的坐标是(-1,0),则图像与x 轴的另一个交点的坐标是 .15.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,OA=3,则BD 的长为 .16.如图,直线y=kx ﹣2(k >0)与双曲线在第一象限内的交点R ,与x 轴、y 轴的交点分别为P 、Q .过R 作RM ⊥x 轴,M 为垂足,若△OPQ 与△PRM 的面积相等,则k 的值等于 .三、解答题(一)(本题共3题,每小题6分,共18分)17.2sin30°﹣2cos60°+tan45°.18.先化简,再求值145sin 2121)11(22+=++-÷+- x x x x x x ,其中 19.如图,▱ABCD 中,AB=3,BC=5,∠ABC 的平分线与AD 相交于点E ,求DE 的长.四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)20.某学校为了解学生的课外阅读情况,王老师随机抽查部分学生,并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析,绘制成如图所示但不完整的统计图.已知抽查的学生在暑假期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%,根据所给出信息,解答下列问题:(1)求被抽查学生人数并直接写出被抽查学生课外阅读量的中位数;(2)将条形统计图补充完整;(3)若规定:假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业,据此估计该校1500名学生中,完成假期作业的有多少名学生?21.如图,在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°,在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°,其中点A 、C 、E 在同一直线上.(1)求斜坡CD 的高度DE ;(2)求大楼AB 的高度(结果保留根号)22.定义:在△ABC 中,∠C =30°,我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦,记作thiA ,即thi A =∠A 的对边∠C 的对边=BC AB.请解答下列问题: 已知:在△ABC 中,∠C =30°.(1)若∠A =45°,求thi A 的值;(2)若thi A =3,则∠A = °;(3)若∠A 是锐角,探究thi A 与sin A 的数量关系.五、解答题(三)(本大题2小题,每小题12分,共24分)23.如图,抛物线y=x 2+bx+c 过点A (﹣4,﹣3),与y 轴交于点B ,对称轴是x=﹣3,请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式.(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ,D 两点,点C 在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD 的面积.24.在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B 、C 重合),以AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ,连接CF .(1)观察猜想:如图(1),当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系是: ;②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为: (将结论直接写在横线上)(2)数学思考:如图(2),当点D 在线段CB 的延长线上时,上述①、②中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请你写出正确结论再给予证明.参考答案:一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.D2.A3.C4.D5.C6.B7.A8.C9.C 10.D二、填空题(本题共6题,每小题4分,共24分)11. 5 12. -8 13. 4314. (3,0) 15. 6 16. 2三、解答题(一)(本题共3题,每小题6分,共18分)17.解:2sin30°﹣2cos60°+tan45°=2×﹣2×+1=1﹣1+1=1.18.解:原式=11-x , 当x=2sin45°+1=2×+1=+1时, 原式=11-x =.19.解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AE ∥BC ,∴∠AEB=∠EBC ,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠EBC ,∴∠ABE=∠AEB ,∴AB=AE=3,∵BC=5,CD=AB=3,∴DE=AD ﹣AE=5﹣3=2.四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)20.解:(1)被抽查学生人数为:10÷20%=50(人),中位数是3本;(2)阅读量为4本的人数为:50﹣4﹣10﹣15﹣6=15(人),补全条形统计图如图:(3)×1500=1080(本),答:估计该校1500名学生中,完成假期作业的有1080名学生.21.解:(1)在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴DE=DC=2米;(2)过D作DF⊥AB,交AB于点F,∵∠BFD=90°,∠BDF=45°,∴∠BFD=45°,即△BFD为等腰直角三角形,设BF=DF=x米,∵四边形DEAF为矩形,∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴BC====米,BD=BF=x米,DC=4米,∵∠DCE=30°,∠ACB=60°,∴∠DCB=90°,在Rt△BCD中,根据勾股定理得:2x2=+16,解得:x=4+4,则AB=(6+4)米.22.解:(1)如图,作BH ⊥AC ,垂足为H .在Rt △BHC 中,sinC =BH BC =12,即BC =2BH . 在Rt △BHA 中,sinA =BH AB =22,即AB =2BH . ∴thiA =BC AB=2. (2)60或120.(3)在Rt △ABC 中,thiA =BC AB. 在Rt △BHA 中,sinA =BH AB. 在Rt △BHC 中,sinC =BH BC =12,即BC =2BH . ∴thiA =2sinA .五、解答题(三)(本大题2小题,每小题12分,共24分)23.解:(1)把点A (﹣4,﹣3)代入y=x 2+bx+c 得:16﹣4b+c=﹣3,c ﹣4b=﹣19,∵对称轴是x=﹣3,∴﹣=﹣3,∴b=6,∴c=5,∴抛物线的解析式是y=x 2+6x+5(2)∵CD∥x 轴,∴点C 与点D 关于x=﹣3对称,∵点C 在对称轴左侧,且CD=8,∴点C 的横坐标为﹣7, B A∴点C的纵坐标为(﹣7)2+6×(﹣7)+5=12,∵点B的坐标为(0,5),∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7,∴△BCD的面积=×8×7=28.24.解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△DAB与△FAC中,∵,∴△DAB≌△FAC,∴∠B=∠ACF,∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;②△DAB≌△FAC,∴CF=BD,∵BC=BD+CD,∴BC=CF+CD;(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.∵正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△DAB与△FAC中,∵,∴△DAB≌△FAC,∴∠ABD=∠ACF,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180°﹣45°=135°,∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC.。