人教版初三九年级上册数学教案公式法(3)

人教版九年级数学上册21.2.3《公式法》教案一. 教材分析《人教版九年级数学上册》第21.2.3节《公式法》是二次函数相关知识的重要部分。

本节内容主要介绍公式法在解二次方程中的应用，通过公式法的学习，使学生能够更好地理解和掌握二次方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本概念和解法，对二次方程的解法有一定的了解。

但部分学生对于公式法的理解还不够深入，对于如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解还有一定的困难。

三. 教学目标1.使学生理解和掌握公式法在解二次方程中的应用。

2.培养学生将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.重点：公式法在解二次方程中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作探讨的方式，理解和掌握公式法在解二次方程中的应用。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出公式法在解二次方程中的应用。

2.呈现（10分钟）讲解公式法的基本原理，并通过PPT课件展示公式法的步骤和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）总结学生在练习中遇到的问题，再次强调公式法的步骤和注意事项。

5.拓展（5分钟）让学生思考如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解。

可以邀请学生分享自己的思路和经验。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调公式法在解二次方程中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，巩固本节课所学知识。

8.板书（5分钟）公式法解二次方程的步骤和注意事项。

教学过程每个环节所用的时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。

21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程 （一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知 探究一 公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k 的取值范围是（ ）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。

人教版九年级数学上册21.2.3《公式法》说课稿一. 教材分析《人教版九年级数学上册》第21.2.3节《公式法》是本册内容的重要部分，主要介绍了公式法的概念、公式法的步骤以及如何应用公式法解决问题。

这一节内容是学生学习代数知识的重要基础，也是进一步学习函数、方程等知识的前提。

在本节内容中，学生需要掌握公式法的具体步骤，并能够灵活运用公式法解决实际问题。

通过学习公式法，学生能够更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于代数知识有一定的了解。

但是，学生在应用公式法解决问题时，往往会因为对步骤的理解不够深入而出现错误。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解公式法的步骤，并通过大量的练习来提高学生应用公式法解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解公式法的概念，掌握公式法的步骤，并能够灵活运用公式法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，学生能够培养自己的问题解决能力，提高合作意识。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学知识的实用性，增强对数学的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：公式法的概念、公式法的步骤以及如何应用公式法解决问题。

2.教学难点：如何引导学生深入理解公式法的步骤，并能够灵活运用公式法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，共同探究公式法的步骤和应用。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握公式法。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决问题，从而引出公式法。

2.自主学习：学生自主阅读教材，理解公式法的概念和步骤。

3.合作交流：学生分组讨论，共同探究如何应用公式法解决问题。

4.教师讲解：针对学生存在的问题，进行讲解和指导。

教学过程设计三、公式法与分解因式法班级：___________________________姓名：___________________________ 作业导航1.一元二次方程的求根公式2.因式分解法解一元二次方程 一、填空题1.关于x 的方程(m －3)x72 m －x =5是一元二次方程，则m =_________.2.2x 2－2x －5=0的二根为x 1=_________，x 2=_________.3.当x =______时，代数式x 2－3x 的值是－2.4.方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0的公共根是_________.5.已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 的值等于0；当x =_________时，y 的值等于24.6.2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________.7.已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.8.已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.9.方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________. 10.方程x 2=x 的两根为___________. 二、选择题11.下列方程中不含一次项的是（ ） A.3x 2－8=4x B.1+7x =49x 2 C.x (x －1)=0D.(x +3)(x －3)=012.2x (5x －4)=0的解是（ ）A.x 1=2，x 2=54B.x 1=0，x 2=45 C.x 1=0，x 2=54D.x 1=21，x 2=5413.若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（ ）A.2B.±2C.－2D.－10 14.方程2x 2－3=0的一次项系数是（ ） A.－3 B.2 C.0 D.3 15.方程3x 2=1的解为（ ） A.±31B.±3C.31 D.±33 16.下列方程中适合用因式分解法解的是（ ） A.x 2+x +1=0 B.2x 2－3x +5=0 C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=017.若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ） A.x 1=－1，x 2=－5 B.x 1=－6，x 2=1 C.x 1=－2，x 2=－3 D.x =－118.已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 的取值情况是（ ）A.x ≠61且x ≠1 B.x ≠21 C.x ≠31D.x ≠21且x ≠3119.方程2x (x +3)=5(x +3)的根是（ ）A.x =25B.x =－3或x =25 C.x =－3D.x =－25或x =3 三、解下列关于x 的方程 20.x 2+2x －2=0 21.3x 2+4x －7=0 22.(x +3)(x －1)=5 23.(3－x )2+x 2=924.x 2+(2+3)x +6=0 25.(x －2)2+42x =026.(x －2)2=327.随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）三、公式法与分解因式法一、1.－3 2.4422+ 4422- 3.1或2 4.2 5.2或－3 5或－6 6.23 －2－3 7.0 8.x =3y 或x =4y 9.22 53 10.0或1二、11.D 12.C 13.C 14.C 15.D 16.C 17.A 18.D 19.B 三、20.x =－1±3 21.x 1=1，x 2=－3722.x 1=2，x 2=－4 23.x 1=3，x 2=024.x1=－2，x2=－325.x1=x2=－226.x=2±327.9% (1+21%)(1+x)2=1+44%。

用公式法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】导学过程阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）试推导它的两个根x 1=2b a -+x 2=2b a-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得： ，二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0直接开平方，得： 即 ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0，则2244b a c a -=0此时方程的根为 即一元二次程 a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。

（3） b 2-4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不 能使（x+2b a）2 ＜0，因此方程 实数根。

由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。