四川省达州市第一中学高一数学入学考试试题(无答案)
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四川省达州市第一中学2019-2019学年高中自主招生试题数 学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分(考试时间90分钟,满分100分)第Ⅰ卷(选择题共30分)1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考证号、考试科目按要求填涂在机读卡上.2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑,不能将答案答在试题卷上.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(每小题3分,共30分)1.16的平方根是( )A.4B.14C. 8 D ±82.下列运算正确的是( )A. xy y x 22=+B.154-=-x xC.x x x 222=÷D.2222xy y x =⋅3. 下列说法正确的是( )A. "任意画一个三角形,其内角和为0360" 是随机事件B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投十次可投中6次C.检测某城市的空气质量,采用抽样调查法D.抽样调查选取样本时,所选样本可按自己的喜好选取4.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧kg 130000000的煤所产生的能量。
把kg 130000000用科学记数法可表示为( )A.kg 71013⨯ B kg 100138⨯ C.kg 7103.1⨯ D.kg 8103.1⨯6.已知下列命题:①若a >0 ,b >0 ,则a +b >0;②若a=b,则22b a =;③角的平分线上的点到角的两边的 (8题图)A. 分)11.分解因式__________93=-ab b a .12.抛物线322++=x x y 的对轴是_______.14.函数a x x a y 24)1(2+--=的图象与x 轴有且点只有一个交点,则a 的值为_______.18.(二)(三个小题共22分)19.(6分)如图,某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60∘,沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45∘,已知OA =200米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i =1:2,且O 、A. B 在同一条直线上。
四川省达州市第一中学2019-2019学年高中自主招生试题数 学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分(考试时间90分钟,满分100分)第Ⅰ卷(选择题共30分)1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考证号、考试科目按要求填涂在机读卡上.2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑,不能将答案答在试题卷上.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(每小题3分,共30分)1.16的平方根是( )A.4B.14C. 8 D ±82.下列运算正确的是( )A. xy y x 22=+B.154-=-x xC.x x x 222=÷D.2222xy y x =⋅3. 下列说法正确的是( )A. "任意画一个三角形,其内角和为0360" 是随机事件B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投十次可投中6次C.检测某城市的空气质量,采用抽样调查法D.抽样调查选取样本时,所选样本可按自己的喜好选取4.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧kg 130000000的煤所产生的能量。
把kg 130000000用科学记数法可表示为( )A.kg 71013⨯ B kg 100138⨯ C.kg 7103.1⨯ D.kg 8103.1⨯6.已知下列命题:①若a >0 ,b >0 ,则a +b >0;②若a=b,则22b a =;③角的平分线上的点到角的两边的 (8题图)A. 分)11.分解因式__________93=-ab b a .12.抛物线322++=x x y 的对轴是_______.14.函数a x x a y 24)1(2+--=的图象与x 轴有且点只有一个交点,则a 的值为_______.18.(二)(三个小题共22分)19.(6分)如图,某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60∘,沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45∘,已知OA =200米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i =1:2,且O 、A. B 在同一条直线上。
一、单选题(共40分)1. 已知集合,那么( ) (){}|10M x x x =-=A.B. C. D. 0M ∈1M ∉1M -∈0M ∉【答案】A【解析】【分析】确定结合的元素,根据元素和集合的关系判断各选项,即得答案.(){}|10M x x x =-=【详解】由题意知集合,(){}|10{0,1}M x x x =-==故,故A 正确,D 错误,,故B 错误,,故C 错误,0M ∈1M ∈1M -∉故选:A2. 命题“,”的否定是( )1x ∀≥ln 0x <A. ,B. , 1x ∃<ln 0x ≥1x ∀≥ln 0x ≥C. ,D. , 1x ∀<ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题“,”的否定是“,”.1x ∀≥ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥故选:D.3. 若,则下列不等式中正确的是( ) 110a b<<A. B.a b <22a b ab >C.D. a b >-2a b a +<【答案】B【解析】 【分析】根据可得:,然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解. 110a b<<0b a <<【详解】因为,所以,故选项错误; 110a b <<0b a <<A 因为,所以,则有,故选项正确;0b a <<0ab >22a b ab >B 因为,所以,又因为,所以,则,故选项错误;0b a <<a b -<-a<0a a =-a a b -=<-C因为,所以,两边同时除以2可得:,故选项错误, 0b a <<a b a a +<+2a b a +<D 故选:.B 4. 已知角的终边经过点, ,则( ) α(,5)m -12cos 13α=tan α=A. B. C. D. 125±512±512-125-【答案】C 【解析】【分析】由三角函数定义求得,再计算正切值.m【详解】由题意,解得,. 12cos 13α==12m =55tan 1212α-==-故选:C .5. 函数的零点所在的区间为( ) ()126x f x x -=+-A.B. C. D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数在上单调递增, 1()26x f x x -=+-R ,,,(1)11640f =+-=-<(2)22620f =+-=-<(3)43610f =+-=>则有,所以函数的零点所在的区间为,(2)(3)0f f ⋅<1()26x f x x -=+-(2,3)故选:.B 6. 函数的图象大致是( ) ()222x x x f x -=+A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除,再利用特殊值排除选项,进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为,且, ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数,故排除选项;()f x B,D 又因为当时,,故排除选项,0x >()0f x >C 故选:.A 7. 一种药在病人血液中的量保持在以上,才有疗效;而低于,病人就有危险.现给某病1500mg 500mg 人的静脉注射了这种药,如果药在血液中以每小时的比例衰减,那么距下次注射这种药物2500mg 20%最多不能超过( )小时.(精确到,参考数据:)0.1h lg 20.30,lg 30.48,lg 50.70≈≈≈A.B. C. D.2.2 5.87.08.2【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式,整理得指数不等式,再利用指数函数的单调性、指对关系,、换底公式和对数的运算性质,以及条件进行求解.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药,x 依题意,可得, ()5002500120%1500x ≤⨯-≤整理,得, 143555x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则, 445531log log 55x ≤≤, 453lg61lg2lg31log 2.25lg813lg21-+-==≈--同理得, 451lg 5log 7.05lg81-=≈-解得:,2.27.0x ≤≤所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时.故选:C8. 定义在上的奇函数在上是减函数,若,则实数的取值范R ()f x [0,)+∞()()2(32)0f m f m f +-->m 围为( )A.B. (1,3)-[]0,2C.D. ()1,2-()1,3【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性得出,然后解一元二次不等式便可223m m <+【详解】是定义在上的奇函数,且在上是减函数, ()f x R [0,)+∞在定义域上是减函数,且,∴()f x R (0)0f =,即,()()2(32)00f m f m f +-->=∴()()()23223f m f m f m >---=+故可知,即可解得,2223230m m m m <+⇒--<13m -<<实数的取值范围为.m (1,3)-故选:A二、多选题(共20分)9. 若“”是“”的必要不充分条件,则实数的值可以是( )1x <x m <m A.B. C. D. 23-2-1-【答案】ABC【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义得,一一代入选项检验即可.1m <【详解】根据题意可知“”无法推出“”,但“”可以推出“”,1x <x m <x m <1x <则,则ABC 正确,D 错误,1m <故选:ABC.10. 若实数,,满足.以下选项中正确的有( ) m 0n >21m n +=A. 的最大值为mn 18B. 的最小值为11m n +C. 的最小值为 2911m n +++254D. 的最小值为224m n +12【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.【详解】因为实数,,所以时,也即时取m 0n >12m n =+≥2m n =11,42m n ==等),整理可得:,故选项正确; 18mn ≤A因为(当且仅当,也即11112(2)(33n m m n m n m n m n +=++=++≥+2n m m n =时取等号),故选项错误; 1m n ==-B 因为,则有,21m n +=2(1)(1)4m n +++=所以 29129118(1)2(1)[2(1)(1)]()[13]11411411m n m n m n m n n m +++=++++=++++++++(当且仅当,也即时取等125[1344≥⨯+=18(1)2(1)11m n n m ++=++17,55m n =-=号)因为,所以等号取不到,故选项错误;,0m n >C因为,则有, 21m n +=22222221(2)4442(4)m n m n mn m n m n =+=++=++≤+所以时取等号),故选项正确, 22142m n +≥=11,42m n ==D 故选:. AD 11. 已知函数,则下列结论正确的是( ) 223,0()ln 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩A.()()13f f =-B. 函数在上单调递增()f x ()1,-+∞C. 不等式的解集为()0f x <{}23e x x -<<∣D. 当时,方程有三个不等实根43k -<≤-()f x k =【答案】ACD【解析】【分析】将1代入解析式计算,作出函数图象,判断单调性,解不等式,数形结合推断((1))f f ()f x k =有三个不等实根时k 的取值范围.【详解】因为,所以,A 项正确;(1)2f =-((1))(2)3f f f =-=-作出函数图象如图,函数在和上单调递增,B 项错误;(1,0)-(0,)+∞令,由图形得,C 项正确;()0f x <{}23e x x -<<结合函数图象,直线与图象有三个交点时,,D 项正确.y k =()y f x =43k -<≤-故选:ACD .12. 下列命题是真命题的是( )A. 若函数的定义域为,则函数的定义域为()1f x +[]22-,()f x []3,1-B. 函数(其中且)的图象过定点 ()()1log 21x a f x x a-=-+0a >1a ≠()1,1C. 函数的单调递减区间为 ()()2ln f x x x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 已知在上是增函数,则实数的取值范围是()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩(),-∞+∞a []3,2--【答案】BD【解析】【分析】根据可求得的范围,即为定义域,知A 错误;由恒成立可知B 正22x -≤≤1x +()f x ()11f =确;根据对数型复合函数单调区间的求法可知C 错误;令分段函数每一段单调递增且在分段处函数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D 正确.【详解】对于A ,的定义域为,即,,()1f x +Q []22-,22x -≤≤113x ∴-≤+≤的定义域为,A 错误;()f x \[]1,3-对于B ,,图象过定点,B 正确;()01log 1011a f a =+=+= ()f x \()1,1对于C ,令,由知:,2u x x =-0u >01x <<在上单调递增,在上单调递减, 2u x x =- 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭又在上单调递增,的单调递减区间为,C 错误; ln y u =()0,∞+()f x \1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭对于D ,在上是增函数,,解得:,()f x (),-∞+∞12015a a a a ⎧-≥⎪⎪∴<⎨⎪---≤⎪⎩32a --≤≤即实数的取值范围为,D 正确.a []3,2--故选:BD.三、填空题(共20分)13. 已知扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为______. 4π3π3【答案】## 8π38π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知,圆心角为,弧长为, π3α=4π3l =设扇形半径为,根据弧长公式得, r 4π3l r α==4r =则扇形面积. 114π8π42233S lr ==⨯⨯=故答案为:8π314. 已知函数,则______. ()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()114f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】0【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可. 【详解】因为,所以. 104>211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为,所以. 10-<()11122f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以. ()1104f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭故答案为:0.15. 已知是幂函数,且在上是减函数,则实数的值为__________2()(1)f x m m =--223mm x --(0,)+∞m .【答案】2【解析】【分析】解方程,再检验得解.211m m --=【详解】解:依题意,,得或,211m m --2m =1m =-当时,,幂函数在上不是减函数,所以舍去.1m =-0()1f x x ==()f x (0,)+∞当时,,幂函数在上是减函数.所以.2m =3()-=f x x ()f x ()0,∞+2m =故答案为: 216. 已知函数,记函数(其中)的4个零点分别为()()()()221,23,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x b =-01b <<,,,,且,则的值为___________. 1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<123422x x x x +++【答案】8【解析】【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标,然后根据二次函数的对()()g x f x b =-()f x y b =称性得到,结合的解析式和图象可得,,然后求346x x +=()f x 121x b -=-12222x x +=即可.123422x x x x +++【详解】函数的零点可以看做与图象交点的横坐标,和的图象如上图所()()g x f x b =-()f x y b =()f x y b =示,根据二次函数的对称性得到,34236x x +=⨯=由图可知,,,则,所以.121x b -=-221x b -=12222x x +=1234228x xx x +++=故答案为:8. 四、解答题(共70分)17. 已知集合,,.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+(1)求;,A B A B (2)若,求m 的取值范围.B C C = 【答案】(1)[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=(2)3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)先求出集合A ,由交集和并集的定义即可得出答案;(2)由可得,讨论和,求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【小问1详解】 ,{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以.[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=【小问2详解】因为,所以,B C C = C B ⊆若,则,解得:, C =∅211m m -≥+2m ≥若,则,解得:, C ≠∅221132122176m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为:.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. 已知是第二象限角,且.α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=(1)求的值; tan α(2)求的值. ()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1); 1tan 2α=-(2). 35【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程,根据所在的象限即可求解; tan αα(2)根据诱导公式可得原式,分子分母同时除以即可求解. cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【小问1详解】由, 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得,即, 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或. 1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角,所以. α1tan 2α=-【小问2详解】. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭19. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备,经过市场分析,全年投入固定成本2500万元,每生产x百辆新能源汽车需另投入成本万元,且,由市场调研知,每()C x ()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩一百辆车的售价为500万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(注:利润=销售额-成本) (1)求2023年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式.()L x x (2)当2023年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.【答案】(1); ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元.【解析】【分析】(1)根据利润=销售额-成本,结合分类讨论思想进行求解即可;(2)根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时,040x <<;()22500101002500104002500L x x x x x x =---=-+-当时,, 40x ≥()1000010000500501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以; ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时,,040x <<()()210201500L x x =--+所以;()()max 201500L x L ==当时,, 40x ≥()100002000200020002001800L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当,即时等号成立. 10000x x=100x =故,()()max 10018001500L x L ==>所以当2023年的年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元.20. 在①不等式的解集为,②当时,取得最大值4,③()0f x >()1,3-1x =()f x 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.()()()11,03f x f x f +=-=问题:已知函数,且__________. ()22f x ax x c =+-(1)求的解析式;()f x (2)若在上的值域为,求的值. ()f x [],()m n m n <[]3,72n m --m n +【答案】(1)()223f x x x =-++(2)5【解析】【分析】(1)对①:根据三个二次之间的关系运算求解;对②:根据二次函数的最值运算求解;对③:根据二次函数的对称性运算求解;(2)根据题意结合二次函数的单调性和最值分析运算.【小问1详解】若选①:由函数,且不等式的解集为, ()22f x ax x c =+-()0f x >()1,3-即是方程两个实数根,且,1,3-220ax x c +-=a<0可得,解得, 21313a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩1,3a c =-=-所以; ()223f x x x =-++若选②:由题意可得,解得,()11124a f a c ⎧-=⎪⎨⎪=-+-=⎩1,3a c =-=-故; ()223f x x x =-++若选③:因为,所以图象的对称轴方程为,()()11f x f x +=-()f x 1x =则,即, 11a -=1a =-因为,所以,()03f =3c =-故.()223f x x x =-++【小问2详解】因为在上的值域为,所以,即, ()223f x x x =-++R (],4∞-724m -≤32m ≥因为图象的对称轴方程为,所以在上单调递减,()f x 1x =()f x [],m n 则, ()()222372233f m m m m f n n n n ⎧=-++=-⎪⎨=-++=-⎪⎩解得,即.2,3m n ==5n m +=21. 已知函数(且)的图象经过点和.()log a f x b x =+0a >1a ≠()4,1()1,1-(1)求函数的解析式;()f x (2)令,求的最小值及取最小值时x 的值.()()()21g x f x f x =+-()g x 【答案】(1) 2()1log f x x =-+(2)的最小值为,且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 1【解析】【分析】(1)由求出,可得的解析式; 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩,a b ()f x (2)化简得,再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出()g x 21()1log ()2g x x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎭(0)x >结果.【小问1详解】依题意可得,解得, 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩21a b =⎧⎨=-⎩所以.2()1log f x x =-+【小问2详解】由(1)知,,2()1log f x x =-+所以()()22()21log (1)1log g x x x =-++--+22211log x x x++=-+211log (2x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭(0)x >,因为,所以,当且仅当时,等号成立, 0x >1224x x ++≥+=1x =又,所以,此时.21>min ()143g x =-+=1x =所以的最小值为,且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 122. 已知函数定义域为,函数. 21()21x x f x -=+(1,1)-1()421x x g x m m +=+⋅+-(1)解不等式;(21)(32)0f x f x -+-<(2)若存在两个不等的实数a ,b 使得,且,求实数m 的取值范围.()()0f a f b +=()()0g a g b +≥【答案】(1) 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩(2) 25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,【解析】【分析】(1)结合函数的单调性和奇偶性求解即可;(2)由已知结合函数的单调性及奇偶性可得,进而推导出代=-b a ,令,则代入化简可得,令211()()2222022a a a a g a g b m m ⎛⎫⎛⎫+=+++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122a a t =+222t m t ≥-,只需即可. ()222t h t t=-()min m g t >【小问1详解】函数定义域为,关于原点对称, 21()21x x f x -=+(1,1)-,所以易知,在上单调递增, 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()f x (1,1)-因为,是奇函数, ()2112()2112x xx x f x f x -----===-++()f x 由可得,(21)(32)0f x f x -+-<()(21)(32)23f x f x f x -<--=-所以,解得:. 121112312123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩1335x <<故不等式的解集为:. 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩【小问2详解】由可得,()()0f a f b +=()()()f a f b f b =-=-所以,不妨设,则,=-b a a b >01a <<因为,令,则, 1()421x x g x m m +=+⋅+-122a a t =+522t <<所以,11()()()()421421a a a a g a g b g a g a m m m m +--++=+-=+⋅+-++⋅+-,所以, 211=222222a a a a m m ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2210t m t =+-≥222t m t ≥-令, ()22211=2222111222t h t t t t t ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为,所以, 522t <<21152t <<所以, 2111112222225t ⎛⎫-<--<- ⎪⎝⎭所以,所以 ()25212h t -<<-2512m >-所以实数m 的取值范围为:.25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,。
达州市2024年普通高中一年级春季期末监测数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(),6a m = ,()1,3b = ,若a b ∥,则m =().A .18-B .18C .2D .2-2.将两枚质地均匀的骰子同时投掷,设事件A =“两枚骰子掷出点数均为偶数”,若连续投掷100次,则事件A 发生的频数为().A .20B .25C .50D .无法确定3.设ABC △中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若4a =,6b =,1cos 2C =-,则ABC △的面积为().A .B .C .12D .4.已知复数i12iz =--,则z 的虚部为().A .15B .1i5C .15-D .255.下列计算不正确的是().A .1cos 22sin 52sin158cos522︒︒︒︒=--B .1sin15sin 754︒︒=C .223cos 75sin 752︒-︒=-D .tan88tan 4311tan88tan 43︒-︒=+︒︒6.已知()()()35211sin 1,3!5!21!k k x x x x x x k k --*=-+++-⨯+∈∈-R N L L ,其中()()!12321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L .若函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,10.0083335!≈,10.0001987!≈,结果精确到小数点后4位,则π13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭().A .0.5394B .0.8419C .0.8415D .0.53987.在某次考试成绩中随机抽取50个,成绩均在[]50,100之间,将这些成绩共分成五组:[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100,得到如图所示的频率分布直方图,由图中数据估计总体的众数和中位数(中位数精确到个位)分别是().A .65,70B .65,71C .65,72D .65,738.已知甲船在小岛B 正东方向4海里的C 处,乙船在小岛B 正南方向3海里的A 处.甲船沿北偏西60︒方向直线航行.若乙船要与甲船会合,则乙船航行的最短里程为().A .32⎛⎫+ ⎪⎝⎭海里B .22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭海里C .32⎛⎫-⎪⎝⎭海里D .4333⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭海里二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知样本数据1x ,2x ,…,n x 的样本平均数为x ,样本方差为()2s x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,这组新样本数据的样本平均数为y ,样本方差为()2s y ,其中()251,2,,i i y x i n =+=L ,则().A .两组样本数据的样本平均数满足25y x =+B .两组样本数据的样本方差满足()()224s y s x =C .两组样本数据的样本标准差相同D .两组样本数据的样本极差相同10.某校举办羽毛球比赛,有4名同学进入半决赛,这4名同学恰好来自两个不同的班,每班两名同学,现通过摸球决定半决赛分组情况.袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球,共4个球.这4名同学每人不放回地摸出一个球,摸到同色球的两人对战,且摸到黄色球两人先进行比赛,胜者进入决赛.记事件A =“决赛两人来自同一个班”,事件B =“决赛两人来自不同班”,事件C =“先进行半决赛两人来自同一个班”,事件D =“后进行半决赛两人来自不同班”.则().A .()1P AB ⋃=B .A 与B 互斥但不对立C .C 与D 对立D .()()()()P A P B P C P D +=+11.如图,已知O 是ABC △内部任意一点,BOC △,AOC △,AOB △的面积分别为A S ,B S ,C S ,0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.根据上述结论,则().A .如果4320OA OB OC ++=,那么::2:3:4A B C S S S =B .如果3277AO AB AC =+,那么::2:3:2A B C S S S =C .如果O 为ABC △的重心,那么A B CS S S ==D .如果O 为直角ABC △的内心,且两直角边5BC =,12AC =,那么512130OA OB OC ++=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.某校用分层随机抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为60的样本,其中高一年级有学生900人,从中抽取了18人.则该校高中学生总人数是__________人.13.复数1z ,2z 满足π2cos 1lg1253lg 24ei z =++,121z z -=,则2z 的取值范围为__________.14.已知某操场看台上有一个与操场水平面垂直的圆柱,该圆柱上方挂有高5米的电子屏幕,电子屏幕底部到操场水平面的距离为5.75米.某人站立在操场时,他眼睛中心到操场水平面的距离为1.75米,则该人离圆柱距离__________米站立,看电子屏幕底部到顶部的视角(从眼睛中心向物体两端所引射线的夹角)最大.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为提高国民法律意识,某地开通了网上学法考试平台,方便广大群众网上学习法律知识,并且可以通过考试检测自己学习情况.为了解广大群众学习法律知识的情况,在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩(满分100分),得分如下:男性参考者考试成绩:70,74,85,84,82,81,92,89,98,95.女性参考者考试成绩:69,71,82,84,75,88,89,87,95,97.(1)求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差;(2)若规定得分在90分及以上的为成绩优秀,从上述成绩优秀的人员中任取2人,求这2人性别相同的概率.16.(15分)已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,图象与x 轴正半轴的第一个交点(从左至右)为5π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭,图象与y 轴的交点为()0,1B .(1)求()f x 的解析式及对称中心;(2)将()f x 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的12倍,再将所得图象上各点向右平移π4个单位长度,得到()g x 的图象,求()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间.17.(15分)一个袋子中有10个大小相同的球,其中有7个红球,3个白球,从中随机摸球两次,每次摸取一个.(1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率;(2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率;(3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率;(4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率.18.(17分)已知函数()14f x m n =⋅+,其中πsin ,13m x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2sin ,sin n x x = .(1)当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,求()f x 的值域;(2)若存在[]0,x t ∈,使得()40f x ≥成立,求t 的取值范围.19.(17分)如图,在ABC △中,AD 平分BAC ∠交BC 于D ,12AB =,10AD =,8BD =.(1)求AC 的长;(2)若E 是AD 延长线上一点,当BDE △与CDE △各边长均为整数时,求图中与BCE △相似的三角形的个数.。
2024年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题(每小题4分,共40分)1.有理数2024的相反数是( )A.2024B.﹣2024C.D.2.大米是我国居民最重要的主食之一,与此同时,我国也是世界上最大的大米生产国,水稻产量常年稳定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为( )A.2×109B.2×108C.0.2×108D.2×1073.下列计算正确的是( )A.a2+a3=a5B.(a+2)2=a2+2a+4C.(﹣2a2b3)3=﹣8a6b9D.a12÷a6=a24.如图,正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字,还原成正方体后“我”的对面的字是( )A.热B.爱C.中D.国5.小明在处理一组数据“12,12,28,35,■”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在30~40之间,则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的( )A.平均数B.众数C.中位数D.方差6.当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是光的折射现象(如图所示),图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.70°7.甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件,可列方程为( )A.﹣=30B.﹣=30C.﹣=D.﹣=8.如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )A.2B.C.D.39.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )A.b+c>1B.b=2C.b2+4c<0D.c<010.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=4,点D,E分别在AC,BC边上运动,连结AE,BD交于点F,且始终满足AD=CE,则下列结论:①=;②∠DFE=135°;③△ABF面积的最大值是4﹣4;④CF的最小值是2﹣2.其中正确的是( )A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④二、填空题(每小题4分,共20分)11.分解因式:3x2﹣18x+27= .12.“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分.某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本)开展“名著共读”活动,则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 .13.若关于x的方程﹣=1无解,则k的值为 .14.如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠E n= 度.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共90分)16.(8分)(1)计算:(﹣)﹣2﹣+2sin60°﹣(π﹣2024)0;(2)解不等式组:.17.(6分)先化简:(﹣)÷,再从﹣2,﹣1,0,1,2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值.18.(8分)2024年4月21日,达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑,本次赛事以“相约巴人故里,乐跑红色达州”为主题,旨在增强全市民众科学健身意识,推动全民健身活动.本届赛事共设置马拉松,半程马拉松和欢乐跑三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查,整理后得到下列不完整的图表:等级A B C D分数段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69频数440280m40请根据表中提供的信息,解答下列问题:(1)此次调查共抽取了 名选手,m= ,n= ;(2)扇形统计图中,B等级所对应的扇形圆心角度数是 度;(3)赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈,请用列表或画树状图的方法,求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率.19.(8分)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)20.(8分)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动,起源于汉代,融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图1),在一次展演活动中,某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图,AB是彩亭的中轴,甲同学站在C处.借助测角仪观察,发现中轴AB上的点D的仰角是30°,他与彩亭中轴的距离BC=6米,乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量,测得AE平行于水平线BC,中轴AB上的点F的俯角∠AEF=45°,点E、F之间的距离是4米,已知彩亭的中轴AB=6.3米,甲同学的眼睛到地面的距离MC=1.5米,请根据以上数据,求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米,参考数据≈1.73,≈1.41)21.(9分)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数(m为常数,m ≠0)的图象交于点A(2,3),B(a,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若点C是x轴正半轴上的一点,且∠BCA=90°,求点C的坐标.22.(10分)为拓宽销售渠道,助力乡村振兴,某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元,且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元.(1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元?(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元,乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒,且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍,总成本不超过54050元,要使农户收益最大,该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案,并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元?23.(10分)如图,BD是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,且AB=AC,以AD为边作∠DAF=∠ACD交BD的延长线于点F.(1)求证:AF是⊙O的切线;(2)过点A作AE⊥BD交BD于点E,若CD=3DE,求cos∠ABC的值.24.(11分)如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标;(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.25.(12分)在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于边长的倍,某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现,具体如下:如图1.(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴AB2=AO2+BO2又∵AC=2AO,BD=2BO,∴AB2= + .化简整理得AC2+BD2= .[类比探究](2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.[拓展应用](3)如图3,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中点,点F为BC的中点,连接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度.参考答案一、单项选择题(每小题4分,共40分)1.解:2024的相反数是﹣2024,故选:B.2.解:2亿用科学记数法表示为2×108,故选:B.3.解:a2+a3不能化简,故A选项错误;(a+2)2=a2+4a+4,故B选项错误;(﹣2a2b3)3=﹣8a6b9,故C选项正确;a12÷a6=a6,故D选项错误;故选:C.4.解:根据图示知:“我””与“爱”相对;“热”与“国”相对;“们”与“中”相对.故选:B.5.解:一组数据“12,12,28,35,■”,该数据■在30~40之间,四个数据的和随数据■的变化而变化,所以平均数是变化的,选项A错误.众数也变化,选项B错误.中位数是28,不变,选项C正确.因为平均数改变,方差随着改变,选项D错误.故选:C.6.解:如图,∵AB∥CD,∴∠1=∠AMN=∠2+∠3,∵∠1=80°,∠2=40°,∴∠3=40°,故选:B.7.解:设乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,根据题意得﹣=.故选:D.8.解:如图,延长BC交格点于E,连接AE,由题意可得:AE⊥BE,AE=4,EC=2,∴tan∠BCD=tan∠ACE===2,故选:B.9.解:∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于两点,分别为(x1,0)和(x2,0),且x1<1,∴x1﹣1<0,x2﹣1>0,∴(x1﹣1)(x2﹣1)<0,∴x1x2﹣(x1+x2)+1<0,由根与系数的关系可得,﹣c﹣b+1<0,∴b+c>1,故选:A.10.解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=4,∴∠BCA=∠BAC=45°,AB=BC=4,由勾股定理得:AC==,∴,∵AD=CE,∴,∴,又∵∠ECA=∠DAB=45°,∴△CAE∽△ABD,∴,故结论①正确;②∵△CAE∽△ABD,∴∠CAE=∠ABD,∴∠BFE=∠BAF+∠ABD=∠BAF+∠CAE=∠BAC=45°,∴∠DFE=180°﹣∠BFE=180°﹣45°=135°,故结论②正确;③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB,作△OAB的外接圆⊙O,过点O作OK⊥AB于K,OK的延长线交⊙O于H,连接AH,BH,过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M,连接OC 交⊙O于P,如下图所示:∴∠AOB=90°,∴∠AHB=180°﹣∠AOB=180°﹣×90°=135°,∵∠DFE=135°,∴点F在上运动,∵AB=4,∴当点F与点H重合时,△ABF的面积为最大,最大值为△ABH的面积,根据等腰直角三角形的性质得:AK=BK=AB=2,∠AOH=45°,∴AK=OK=2,在Rt△AOK中,由勾股定理得:OA==,∴OA=OH=OB=OP=,∴KH=OH﹣OK=,∴S△ABH=AB•KH==,故结论③正确;④∵点F在上运动,∴当点F与点P重合时,CF为最小,最小值为线段CP的长,∵OM⊥CB,OK⊥AB,∠ABM=∠ABC=90°,∴四边形OMBK为矩形,∴OM=BK=2,BM=OK=2,∴CM=BC+BM=4+2=6,在Rt△COM中,由勾股定理得:CO==,∴CP=CO﹣OP=,即CF的最小值是,故结论④正确,综上所述:正确的结论是①②③④.故选:D.二、填空题(每小题4分,共20分)11.解:3x2﹣18x+27,=3(x2﹣6x+9),=3(x﹣3)2.故答案为:3(x﹣3)2.12.解:∴P=,故答案为:.13.解:方程去分母得:3﹣(kx﹣1)=x﹣2解得:x=,①当x=2时分母为0,方程无解,即=2,∴k=2时方程无解;②当k+1=0即k=﹣1时,方程无解;故答案为:2或﹣1.14.解:由题意,,∴设∠E1AD=α,∠E1BD=β,则∠CAB=3α,∠CBD=3β,由三角形的外角的性质得:β=α+∠E 1,3β=3α+∠C ,,同理可求:, ……,,即,故答案为:.15.解:过D 作DE ⊥AB ,交AB 于点E ,,∴∠DEA =∠DEB =90°,∵∠C =90°,AC =4,CD =1,∴AD ==,∵∠DEA =90°,∠BAD =45°,∴AE =DE =AD •sin ∠EAD =,∵∠DEB =90°,∠C =90°,∴BE 2+DE 2=BD 2,AC 2+BC 2=AB 2,即BE 2+=BD 2①,(BD +1)2+16=(+BE )2②,①变形得,BE =③,②化简得,BD 2+2BD +17=+BE +BE 2④,将①、③代入④并化简得,15BD 2﹣34BD ﹣172=0,(BD >0)解得:BD =,∴BC =,∴S △ABC =AC •BC =,故答案为:.三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共90分)16.解:(1)原式=4﹣3+2×﹣1=4﹣3+﹣1=3﹣2;(2),解不等式①得x>﹣1,解不等式②得x≤5,所以不等式组的解集为﹣1<x≤5.17.解:原式=•=•=•=,∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0,∴x可以取1,当x=1时,原式==2.18.解:(1)此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%=800(名);所以m=800×5%=40,所以n%==5%,即n=5;故答案为:800,40,5;(2)扇形统计图中,B等级所对应的扇形圆心角度数=360°×=126°;故答案为:126;(3)用A、B、C分别表示马拉松,半程马拉松和欢乐跑三个项目.画树状图为:共有6种等可能的结果,其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种,所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率==.19.解:(1)如图,CF、AF、CE为所作;(2)四边形AECF平行四边形.理由如下:∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF,而AE∥CF,∴四边形AECF平行四边形.20.解:过点M作MN⊥AB,垂足为N.由题意知,四边形CMNB是矩形.∴CM=BN=1.5米,MN=CB=6米,AN=AB﹣BN=6.3﹣1.5=4.8(米).在Rt△DMN中,∵tan∠DMN=,∴DN=tan∠DMN•MN=tan30°×MN=×6=2(米).在Rt△AEF中,∵sin∠AEF=,∴AF=sin∠AEF•EF=sin45°×EF=×4=2(米).∵AF+DN=AN+DF,∴DF=2+2﹣4.8≈2×1.73+2×1.41﹣4.8=3.46+2.82﹣4.8=1.48≈1.5(米).答:中轴上DF的长度为1.5米.21.解:(1)将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得:m=2×3=﹣2a,解得:a=﹣3,m=6,即反比例函数的表达式为:y=,点B(﹣3,﹣2),将点A、B的坐标代入一次函数表达式得:,解得:,则一次函数的表达式为:y=x+1;(2)设点C(x,0),由点A、B、C的坐标得,AB2=50,AC2=(x﹣2)2+9,BC2=(x+3)2+4,∵∠BCA=90°,则AB2=AC2+BC2,即50=(x﹣2)2+9+(x+3)2+4,解得:x=3或﹣4(舍去),即点C(3,0).22.解:(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元,则B种柑橘礼盒每件的售价为(x+20)元,由题意得:25x+15(x+20)=3500,解得:x=80,∴x+20=100,答:A种柑橘礼盒每件的售价为80元,B种柑橘礼盒每件的售价为100元;(2)设销售A种柑橘礼盒为m盒,则销售B种柑橘礼盒为(1000﹣m)盒,由题意得:,解得:595≤m≤600,设收益为w元,由题意得:w=(80﹣50)m+(100﹣60)(1000﹣m)=﹣10m+40000,∵﹣10<0,∴w随m的增大而减小,∴当m=595时,w有最大值=﹣10×595+40000=34050,此时,1000﹣m=1000﹣595=405,答:使农户收益最大,应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒,B种柑橘礼盒为405盒,农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元.23.(1)证明:如图所示,连接OA,∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠OAB+∠OAD=90°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵∠DAF=∠ACD,∠OBA=∠ACD,∴∠DAF=∠OAB,∴∠DAF+∠OAD=∠OAB+∠OAD=90°,∴∠OAF=90°,∴OA⊥AF,又∵OA是⊙O的半径,∴AF是⊙O的切线;(2)解:如图所示,延长CD交AF于H,延长AO交BC于G,连接OC,∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,即CH⊥BC,∵AB=AC,OB=OC,∴OA垂直平分BC,∴AG⊥BC,∴AG∥CH,∵∠OAF=90°,∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠AHC=90°,又∵∠ABE=∠ACH,∴△ABE≌△ACH(AAS),∴AE=AH,BE=CH,∵AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL),∴DH=DE,设DH=DE=a,则CD=3a,∴BE=CH=DH+CD=4a,∴BD=BE+DE=5a,∴OA=OD=2.5a,∴OE=OD﹣DE=1.5a,∴∴,∴,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ADE=∠ACB,∴∠ABC=∠ADE,∴.24.解:(1)由题意得:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+bx﹣3,解得:a=1,则抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;(2)由抛物线的表达式知,点C(0,﹣3)、D(﹣1,﹣4),抛物线的对称轴为直线x=﹣1,过点D作直线DG∥AC交y轴于点G,在点C上方取点L使CL=2CG,过点L作直线BP∥AC 交抛物线于点P,则点P为所求点,由点A、C坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x﹣3,∵DG∥AC,则直线DG的表达式为:y=﹣(x+1)﹣4,则点G(0,﹣5),则CG=5﹣3=2,则CL=4,则点L(0,1),则直线LP的表达式为:y=﹣x+1,联立上式和抛物线的表达式得:x2+2x﹣3=﹣x+1,解得:x=1或﹣4,即点P(1,0)或(﹣4,5);(3)存在,理由:设点N(﹣1,m),由点A、C、N的坐标得,AC2=18,AN2=4+m2,CN2=1+(m+3)2,当AC=AN时,则18=4+m2,则点N(﹣1,±);当AC=CN或AN=CN时,则18=1+(m+3)2或4+m2=1+(m+3)2,解得:m=﹣3+或﹣1(不合题意的值已舍去),综上,N(﹣1,±)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣3+).25.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∴AB2=AO2+BO2,又∵AC=2AO,BD=2BO,∴,化简整理得AC2+BD2=4AB2,故答案为:AC2,BD2,4AB2;(2)AC2+BD2=2AB2+2AD2理由如下,如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,∴∠DEA=∠DEB=∠CFB=90°,四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,∴∠DAE=∠CBF,在△DAE和△CBF中,∴△DAE≌△CBF(AAS),∴AE=BF,DE=CF,在Rt△DBE中,DB2=DE2+BE2=DE2+(AB﹣AE)2在Rt△CAF中,AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2∴AC2+BD2=DE2+(AB﹣AE)2+CF2+(AB+BF)2=2DE2+AB2﹣2AB•AE+AE2+AB2+2AB•AE+AE2=2(DE2+AE2)+2AB2=2AD2+2AB2,∴AC2+BD2=2AB2+2AD2;(3)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=8,BD=8,AC=12,∴由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2,∴122+82=2×82+2AD2,解得:(负值舍去),∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,∴,OA=OC=6,,如图所示,过点E、O分别作BC的垂线,垂足分别为M、G,连接OF,∵F分别为BC的中点,∴,∵OG⊥BF,∴,∵F是BC的中点,∴,∴,∴,在Rt△OGC中,OG⊥BC,∴,∵E为AO的中点,∴,∵AO=OC,∴,∴,∵EM⊥BC,OG⊥BC,∴EM∥OG,∴,∵,∴,∵EM∥OG,∴△COG∽△CEM,∴,∴在Rt△EMF中,.故答案为:EF=.。
达州高一年级数学试卷2023-2024学年上学期期中考试(答案在最后)考试时长120分钟,满分为150分注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效:在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描照.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列图象中不能作为函数图象的是()A. B.C. D.2.命题“x ∃∈R ,210x x -+=”的否定是()A.R x ∃∉,210x x -+≠B.R x ∃∉,21=0x x -+C .x ∀∈R ,210x x -+≠ D.x ∀∈R ,210x x -+=3.若a >b ,则下列结论正确的是()A.22ac bc > B.22a b > C.||||a b > D.a c b c+>+4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A.||y x = B.2y x =C.3y x = D.1y x x=+5.“函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.下面各组函数中是同一函数的是()A.()0f x x =与()01g x x =B.2y =与||y x =C.y =与y =D.y =y =7.若函数()223f x ax x =+-在区间(],4∞-上单调递增,则实数a 的取值范围是()A.14a >- B.14a ≥-C.104a -≤< D.104a -≤≤8.若“[]01,1x ∃∈-,200230mx +-≥”是假命题,则实数m 的取值范围是()A.332m -<<B.32m -<C.30m -<≤ D.302m <<二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得的2分,有选错的得0分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中正确的有()A.集合{,}a b 的真子集是{},{}a b B.{xx ∣是菱形}{x x ⊆∣是平行四边形}C.设,,{1,},{1,}a b A a B b ∈==-R ,若A B =,则2a b -=-D.{}210,x x x ∅∈+=∈R10.命题“{}13x x x ∀∈≤≤,20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是()A.9a ≥ B.11a ≥ C.10a ≥ D.10a ≤11.下列命题是真命题的是()A.若0a b >>,则11a ab b +>+B.函数()4230y x x x=-->的最小值是2-C.若0a >,0b >≥D.若22(1)1a b -=,则22a b +的最小值为312.已知函数()y f x =,x ∈R ,给出以下结论,其中正确的结论是()A.若定义在R 上的函数()f x 在(],0-∞是增函数,在()0,∞+也是增函数,则()f x 在R 为增函数B.若()f x 为R 上的奇函数,且在()0,∞+内是增函数,()20f =,则()()10x f x -<的解集为()()2,01,2-U C.若()f x 为R 上的奇函数,则()y xfx =是R 上的偶函数D.a ∀∈R ,都有函数()()2211f x ax a x =+++在()1,1-上是单调函数第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.函数13y x =+-的定义域为_____________.14.函数2()21f x x x =-++在[]1,2-上的最小值为____.15.设关于x 的不等式220ax x a -+≤的解集为S ,若0S ∈且1S -∉,则a 的取值范围是_______.16.设x 、y 为正实数,且x+y=1.则2221x yx y +++的最小值为______.四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()21,22,2222,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩.(1)求(f ,52f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值;(2)若()3f a =,求实数a 的值18.已知集合{}28120A x x x =-+>,{}11B x a x a =-≤≤+.(1)若2a =,求()A B ⋃R ð;(2)若B A ⊆,求a 的取值范围.19.(1)已知一次函数()f x 满足条件()(+1)+2f x f x x =,求函数()f x 的解析式;(2)若)13fx +=+,求(+1)f x 的解析式.20.已知函数()21x f x x =-.(1)试用单调性的定义证明函数()f x 在(),1-∞上的单调性;(2)求()f x 在[]3,1--上的最大值和最小值.21.已知二次函数()f x 满足()36f x x >-的解集为()1,3,且()00f =.(1)求()f x 的解析式;(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时,若函数()f x 的最大值为3-,求t 的值.22.已知函数()f x 对任意实数,x y ,恒有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x <,又()12f =-.(1)判断函数()f x 的奇偶性,并加以证明;(2)求函数()f x 在[]3,3-上的最大值;(3)若不等式()()()224f ax f x f ax-<+在()1,+∞恒成立,求a的取值范围.达州高一年级数学试卷2023-2024学年上学期期中考试考试时长120分钟,满分为150分注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效:在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描照.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列图象中不能作为函数图象的是()A. B.C. D.【详解】本题考查函数的定义和函数图像的含义.能作为函数图象,需满足:按照图像得出的对应关系,对于自变量x 的取值范围内的每一个值,按照图像得出的对应关系,都有唯一的一个y 值和它对应;从图像直观来看,平行与y 轴的直线与图像至多有一个交点.则B 不能作为函数图象.故选B2.命题“x ∃∈R ,210x x -+=”的否定是()A.R x ∃∉,210x x -+≠B.R x ∃∉,21=0x x -+C.x ∀∈R ,210x x -+≠D.x ∀∈R ,210x x -+=【答案】C 【解析】【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题,把存在改为任意,把结论否定.【分析】“x ∃∈R ,210x x -+=”的否定“x ∀∈R ,210x x -+≠”.故选:C3.若a >b ,则下列结论正确的是()A.22ac bc >B.22a b > C.||||a b > D.a c b c+>+【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质以及特殊值确定正确答案.【详解】A 选项,当0c =时,22ac bc =,所以A 选项错误.B 选项,当1,1a b ==-时,22a b =,所以B 选项错误.C 选项,当1,1a b ==-时,a b =,所以C 选项错误.D 选项,由于a b >,所以a c b c +>+,所以D 选项正确.故选:D4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A.||y x = B.2y x =C.3y x = D.1y x x=+【分析】由函数的奇偶性,即可判断A ,B ;由3y x =的奇偶性以及单调性可判断C ;由1y x x=+的单调性可判断D.【详解】对于A ,||y x =为偶函数,不符合题意;对于B ,2y x =为偶函数,不符合题意;对于C ,设3()y f x x ==,定义域为R ,且3()()()f x x f x -=-=-,即3y x =为奇函数,且3y x =在R 上单调递增,故C 正确;对于D ,由于1y x x=+在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,则1y x x=+在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上不具有单调性,D 不符合题意,故选:C 5.“函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.【详解】由函数2()318f x xmx =-+在区间(0,3)上不单调,可得3032m <<,即02m <<;由02m <<,得3032m <<,得函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调,所以“函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的充分且必要条件.故选:C6.下面各组函数中是同一函数的是()A.()0f x x =与()01g x x =B.2y =与||y x =C.y =与y =D.y =y =【分析】分别分析各个选项中函数的定义域,值域和对应关系,即可得出答案.【详解】对A ,()0f x x =与()01g x x =定义域值域解析式都相同,是同一函数,A 正确;对B,2y =定义域是[0,)+∞,||y x =定义域是R ,不是同一函数,B 错误对C,y =定义域为{|1}x x ≥,y =定义域为(,1][1,)∞∞--⋃+,不是同一函数,C 错误;对D,y =[0,)+∞,y =值域为(,0]-∞,D 错误故选:A.7.若函数()223f x ax x =+-在区间(],4∞-上单调递增,则实数a 的取值范围是()A.14a >- B.14a ≥-C.104a -≤< D.104a -≤≤【答案】D 【解析】【分析】易得0a =满足;当0a ≠时,满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩可求解.【详解】当0a =时,()23f x x =-在(],4-∞上单调递增,满足题意;当0a ≠时,要使()f x 在(],4-∞上单调递增,则满足014a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得104a -≤<,综上,实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:D.8.若“[]01,1x ∃∈-,200230mx +-≥”是假命题,则实数m 的取值范围是()A.332m -<<B.32m -<C.30m -<≤D.302m <<【答案】A 【解析】【分析】先求得存在量词命题的否定,然后根据真假性以及对x 进行分类讨论来求得m 的取值范围.【详解】依题意,“[]01,1x ∃∈-,200230mx +-≥”是假命题,所以“[]21,1,230x mx ∀∈-+-<”是真命题,当0x =时,不等式化为30-<恒成立;当10x -≤<时,2230mx +-<化为32m >=,当2x =-时,32y =取得最大值为2313222y =⨯=-⎛⎛-+- ⎝⎭⎝⎭,所以3m >-.当01x <≤时,2230mx +-<化为32m <=⨯,当1x =时,32y =)3331222y -===,所以3232m -<.综上所述,m的取值范围是332m -<<.故选:A【点睛】全称量词命题或存在量词命题的否定,要点有两点,一个是∀↔∃之间的转换,另一个是否定结论,而不是否定条件.求解不等式恒成立问题,可以考虑利用分离参数法来进行求解.二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得的2分,有选错的得0分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中正确的有()A.集合{,}a b 的真子集是{},{}a bB.{xx ∣是菱形}{x x ⊆∣是平行四边形}C.设,,{1,},{1,}a b A a B b ∈==-R ,若A B =,则2a b -=-D .{}210,x x x ∅∈+=∈R【答案】BC 【解析】【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A 不正确;根据菱形一定是平行四边形,可知B 正确;根据集合相等的概念求出,a b ,可知C 正确;根据{}210,x x x +=∈=∅R 可知D 不正确.【详解】对于A ,集合{,}a b 的真子集是{},{}a b ,∅,故A 不正确;对于B ,因为菱形一定是平行四边形,所以{xx ∣是菱形}{x x ⊆∣是平行四边形},故B 正确;对于C ,因为{1,},{1,}A a B b ==-,A B =,所以1,1a b =-=,2a b -=-,故C 正确;对于D ,因为x 是实数,所以210x +=无解,所以{}210,x x x +=∈=∅R ,故D 不正确.故选:BC10.命题“{}13x x x ∀∈≤≤,20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是()A.9a ≥B.11a ≥ C.10a ≥ D.10a ≤【答案】BC 【解析】【分析】由全称命题为真命题求出a 的取值范围,再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若命题“{}13x x x ∀∈≤≤,20x a -≤”是真命题,则()max29a x ≥=,因为{}11a a ≥{}9a a ≥,{}10a a ≥{}9a a ≥,{}{}109a a a a ≤⊄≥,所以,原命题为真命题的一个充分不必要条件是BC 选项.故选:BC.11.下列命题是真命题的是()A.若0a b >>,则11a ab b +>+B.函数()4230y x x x=-->的最小值是2-C.若0a >,0b >≥D.若22(1)1a b -=,则22a b +的最小值为3【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项,根据作差法可判断选项正误;BD 选项,由基本不等式可判断选项正误.【详解】对于A 选项:因为0a b >>,所以()()()()1110111a b a b a a a b b b b b b b +-++--==>+++,故A 正确;对于B 选项:因为0x >,所以44232322y x x x x ⎛⎫=--=-+≤-- ⎪⎝⎭,当且仅当43x x =,即233x =时,原式取最大值2-,故B 错误;对于C 选项:()20a b-=,故C 正确;对于D 选项:因为22(1)1a b -=,所以22101a b =>-,故210b ->,代入()22222211111311b b b b b a =+=+-+≥+=--+,当且仅当22111b b -=-,即b =时,原式取最小值3,故D 正确.故选:ACD.12.已知函数()y f x =,x ∈R ,给出以下结论,其中正确的结论是()A.若定义在R 上的函数()f x 在(],0-∞是增函数,在()0,∞+也是增函数,则()f x 在R 为增函数B.若()f x 为R 上的奇函数,且在()0,∞+内是增函数,()20f =,则()()10x f x -<的解集为()()2,01,2-U C.若()f x 为R 上的奇函数,则()y xfx =是R 上的偶函数D.a ∀∈R ,都有函数()()2211f x ax a x =+++在()1,1-上是单调函数【答案】BD 【解析】【详解】A 选项,可举出反例;B 选项,根据题意得到()f x 在(),0∞-上为增函数,且()20f -=,()00f =,分1x >,0x <,1x =,01x ≤<,结合函数单调性得到解集;C 选项,根据函数奇偶性定义判断出答案;D 选项,分0a =,0a >,a<0,结合对称轴和开口方向,由基本不等式得到对称轴的位置,得到函数的单调性,得到答案.【分析】A 选项,例如()2,01,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩,满足在(],0-∞是增函数,在()0,∞+也是增函数,但()f x 在R 不是增函数,A 错误;B 选项,若()f x 为R 上的奇函数,且在()0,∞+内是增函数,()20f =,则()f x 在(),0∞-上为增函数,且()20f -=,()00f =,当1x >时,()()()()1002x f x f x f -<⇒<=,故12x <<,当0x <时,()()()()1002x f x f x f -<⇒>=-,故20x -<<,当1x =时,()()10x f x -=,不合题意,舍去,当01x ≤<时,()()()()1002x f x f x f -<⇒>=,故2x >,此时2x >与01x ≤<取交集为空集,综上,()()10x f x -<的解集为()()2,01,2-U ,B 正确;C 选项,若()f x 为R 上的奇函数,则()()F x xf x =的定义域为R ,且()()()()x F x x F xff x x =---=-=-,故()y xf x =为偶函数,C 错误;D 选项,当0a =时,()1f x x =+,在()1,1-上是单调递增函数,当0a ≠时,()()2211f x ax a x =+++的对称轴为212a x a+=-,当0a >时,212122a ax a a +=-≤-=-,此时()f x 在()1,1-上单调递增,当a<0时,212122a ax a a+-=-≥-=,此时()f x 在()1,1-上单调递增,综上,a ∀∈R ,都有函数()()2211f x ax a x =+++在()1,1-上是单调函数,D 正确.故选:BD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.函数13y x =+-的定义域为_____________.【答案】[)()2,33,⋃+∞【解析】【分析】根据具体函数的定义域求法即可得解.【详解】由题可知:24030x x -≥⎧⎨-≠⎩,解得2x ≥且3x ≠,故答案为:[)()2,33,⋃+∞.14.函数2()21f x x x =-++在[]1,2-上的最小值为____.【答案】2-【解析】【分析】二次函数在某区间的最值,结合图像的开口方向,对称轴,离对称轴的远近可得.【详解】函数2()21f x x x =-++,其图像开口向下,对称轴为1x =,1[1,2]∈- ,1-离对称轴较远,则min ()(1)2f x f =-=-故答案为:2-15.设关于x 的不等式220ax x a -+≤的解集为S ,若0S ∈且1S -∉,则a 的取值范围是_______.【答案】10a -<≤【解析】【分析】根据已知条件列不等式组,由此求得a 的取值范围.【详解】依题意()()2202001210a a a a ⎧⨯-⨯+≤⎪⎨⨯--⨯-+>⎪⎩,解得10a -<≤.故答案为:10a -<≤16.设x 、y 为正实数,且x+y=1.则2221x yx y +++的最小值为______.【答案】14【解析】【详解】由柯西不等式得()222121214x y x y x y x y ++≥=+++++,当且仅当2212221y x y x x y x y ++=⇔=++,即13y =,23x =时,等号成立.四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()21,22,2222,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩.(1)求(f ,52f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值;(2)若()3f a =,求实数a 的值【答案】(1)3-34-(2)1或52【解析】【分析】(1)由解析式计算即可;(2)分类讨论a 的值,结合解析式得出实数a 的值.【小问1详解】解:(((223f =+⨯=-5531222f ⎛⎫-=-+=-⎪⎝⎭253333222224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】①()213a a f a a ≤-⎧⇒∈∅⎨=+=⎩②()222123a a f a a a -<<⎧⇒=⎨=+=⎩③()252232a a f a a ≥⎧⇒=⎨=-=⎩综上,实数a 的值为1或52.18.已知集合{}28120A x x x =-+>,{}11B x a x a =-≤≤+.(1)若2a =,求()A B ⋃R ð;(2)若B A ⊆,求a 的取值范围.【答案】(1){}36x x <≤(2){1a a <或}7a >【解析】【分析】(1)当2a =时,求出集合B ,并求出集合A ,利用并集合补集的定义可求得集合()A B ⋃R ð;(2)分析可知B ≠∅,由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式,即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】解:因为{}{281202A x x x x x =-+>=<或}6x >,当2a =时,{}13B x x =≤≤,所以,{3A B x x ⋃=≤或}6x >,(){}36A B x x ⋃=<≤R ð.【小问2详解】解:因为11a a -<+恒成立,由题可知B ≠∅,由B A ⊆可知:12a +<或16a ->,解得1a <或7a >,所以a 的取值范围是{1a a <或}7a >.19.(1)已知一次函数()f x 满足条件()(+1)+2f x f x x =,求函数()f x 的解析式;(2)若)13fx +=+,求(+1)f x 的解析式.【答案】(1)()12f x x =-;(2)()()2+130f x x x =+≥【解析】【分析】(1)设()f x kx b =+,0k ≠,依题意得到关于k 、b 的方程组,解得即可;(2)利用换元法求出()f x 的解析式,即可求出()1f x +的解析式.【详解】(1)设()f x kx b =+,0k ≠,()()12f x f x x ++= ,()12k x b kx b x ∴++++=,即222kx k b x ++=,2220k k b =⎧∴⎨+=⎩,解得112k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩,()12f x x ∴=-;(2)令()11t t =≥,则()21x t =-,()()2241f t t t t =-+≥,所以()()2241=-+≥f x x x x ,所以()()2130f x x x +=+≥.20.已知函数()21xf x x =-.(1)试用单调性的定义证明函数()f x 在(),1-∞上的单调性;(2)求()f x 在[]3,1--上的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析(2)最大值为32,最小值1【解析】【分析】(1)任取1x 、()2,1x ∈-∞且12x x <,作差()()12f x f x -,变形后得出()1f x 、()2f x 的大小关系,结合函数单调性的定义可证得结论成立;(2)分析出函数()f x 在[]3,1--上的单调性,结合单调性可得出()f x 在[]3,1--上的最大值和最小值.【小问1详解】证明:任取1x 、()2,1x ∈-∞且12x x <,则110x -<,210x -<,210x x ->,所以,()()()()()()()()()122121121212121221212220111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -----=-==------,所以,()()12f x f x >,故函数()f x 在(),1-∞上为减函数.【小问2详解】解:由(1)可知,函数()f x 在[]3,1--上为减函数,当[]3,1x ∈--时,()()min 21111f x f -=-==--,()()max 633312f x f -=-==--,所以,()f x 在[]3,1--上的最大值为32,最小值为1.21.已知二次函数()f x 满足()36f x x >-的解集为()1,3,且()00f =.(1)求()f x 的解析式;(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时,若函数()f x 的最大值为3-,求t 的值.【答案】(1)()22f x x x=--(2)5-或1【解析】【分析】(1)待定系数法求,结合不等式的解集和根的关系,应用韦达定理进行求解;(2)结合图像,分类讨论对称轴在区间的左侧,里面,右侧的情形,进而确定在区间内的单调性,进而求出最值.【小问1详解】设二次函数()2,0f x ax bx c a =++≠,又()00f c ==()36f x x >-的解集为()1,3,即()2630ax b x ++->的解集为()1,3则方程()2630ax b x ++-=的两根为1和3,且a<0所以613313b a a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩,解得12a b =-⎧⎨=-⎩,所以()22f x x x =--;【小问2详解】由于()()22211f x x x x =--=-++,又[]()2R x t t t ∈+∈,当1t ≥-时,()f x 在[],2t t +上单调递减,所以()()()2max 2f x f t t t g t ==--=;当21t +≤-,即3t £-时,()f x 在[],2t t +上单调递增,所以()()()()()22max 222268f x f t t t t t g t =+=-+-+=---=;当31t -<<-时,()f x 在[],1t -上单调递增,在[]1,2t -+上单调递减,所以()()()max 11f x f g t =-==;所以()2268,31,312,1t t t g t t t t t ⎧---≤-⎪=-<<-⎨⎪--≥-⎩由()3g t =-,得26803t t t ⎧---=⎨≤-⎩或2231t t t ⎧--=-⎨≥-⎩,解得5t =-或1t =22.已知函数()f x 对任意实数,x y ,恒有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x <,又()12f =-.(1)判断函数()f x 的奇偶性,并加以证明;(2)求函数()f x 在[]3,3-上的最大值;(3)若不等式()()()224f axf x f ax -<+在()1,+∞恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 为奇函数,证明见解析;(2)6;(3)2a ≥.【解析】【分析】(1)利用赋值法,结合奇偶函数的定义推理即得.(2)利用函数单调性定义推导函数()f x 的单调性,进而求出最大值.(3)利用(1)(2)的结论,变形给定不等式,并脱去法则,再分离参数借助恒成立问题求解.【小问1详解】函数()f x 对任意实数,x y ,恒有()()()f x y f x f y +=+,取0x y ==,则(0)2(0)f f =,即有(0)0f =,R x ∀∈,取y x =-,则(0)()()f f x f x =+-,即()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立,所以()f x 为奇函数.【小问2详解】任取12,(,)x x ∈-∞+∞且12x x <,则210x x ->,由0x >时,()0f x <,得21()0f x x -<,因此21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<,所以()f x 在R 上是减函数,当[]3,3x ∈-时,max ()(3)(3)[(1)(2)][(1)(1)(1)]6f x f f f f f f f =-=-=-+=-++=,所以()f x 在[]3,3-上的最大值为6.【小问3详解】由()f x 为奇函数,得2()2[()]()()(2)f x f x f x f x f x -=-=-+-=-,4(1)(1)(2)f f f =-+-=-,由()()()224f axf x f ax -<+,得()()()22(2)f ax f x f ax f +-<+-于是2(2)(2)f ax x f ax -<-,由()f x 在R 上是减函数,得222ax x ax ->-,即2()2(1)x x a x ->-,依题意,(1,)x ∀∈+∞,不等式2()2(1)x x a x ->-恒成立,即(1,)x ∀∈+∞,2a x>恒成立,当1x >时,恒有22x<,因此2a ≥,所以a 的取值范围是2a ≥.。
一、单选题1.已知集合,,则集合等于( ) {}0,1,2A ={}2,N x x a a A ==∈A N A .; B .; C .; D ..{}0{}0,1{}1,2{}0,2【答案】D【分析】求出集合,根据交集含义即可得到答案. N 【详解】当时,;当时,; 0a =20x a ==1a =22x a ==当时,,故,故, 2a =24x a =={}0,2,4N ={0,2}A N ⋂=故选:D.2.下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的是( ) (0)+∞,A .B .C .y =|x |D . 3y x =-1y x=21y x =【答案】D【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案. 【详解】,都是奇函数,排除A ,B. 3y x =-1y x= ,都是偶函数,在上递增,在递减, y x =21y x =y x =(0)+∞,21y x=(0)+∞,故选:D .3.函数的值域是( )21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩A .(0,+∞) B .(0,1)C .D .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】分类讨论,结合二次函数和反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】当时,,此时函数是单调递减,所以有,显然当时, 1x >1()f x x=()(1)1f x f <=1x >,因此当时,函数的值域为;()0f x >1x >(0)1,当时,,二次函数的对称轴为:,1x <2213()1()24f x x x x =-+=-+12x =因此当时,函数有最小值,所以此时函数的值域为:,12x =343,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭综上所述:函数的值域为:(0,+∞). 故选:A【点睛】本题考查了求分段函数的值域,考查了二次函数和反比例函数的单调性,属于基础题. 4.( )tan 570sin 300︒+︒=ABC .D .【答案】C【分析】由诱导公式可得答案.【详解】()()57030036021036060oo o o o otan si n t an sin +=++- ()180********o o o o o t an si n t an si n =+-=-=-=-故选:C5.设、,则“且”是“”的条件 a b ∈R 2a >2b >4a b +>A .充分非必要 B .必要非充分 C .充要 D .非充分非必要【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】因为且,由不等式的性质,可得,故是充分条件, 2a >2b >4a b +>又当a =1,b =7时,满足a+b>4,但不满足且,故不是必要条件, 2a >2b >故选A .【点睛】本题考查了充分必要条件的定义,考查不等式问题,是一道基础题.6.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为,则经过一定时间0T t 分钟后的温度T 满足,h 称为半衰期,其中是环境温度.若℃,现()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25aT =有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟,那么水温从75℃降至45℃大约还需要( )(参考数据:,) lg 20.30≈lg11 1.04≈A .8分钟 B .9分钟 C .10分钟 D .11分钟【答案】C【分析】由题意可得,代入,得,两边取常用对数得:1110()211h=14525()(7525)2th -=-510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭,再利用对数的运算性质即可求出的值. 10lglg 1152t =t 【详解】解:根据题意得:,117525(8025)2h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, ∴1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭,()14525()75252t h∴-=-,112050()2th ⎡⎤∴=⨯⎢⎥⎣⎦, ∴510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭两边取常用对数得:, 10lglg 1152t =,2lglg 2lg52lg 2120.31510101lg111lg111 1.04lg 11t --⨯-∴===≈=---水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟,∴故选:C .7.已知偶函数在区间上单调递减,则下列关系式中成立的是( ) ()f x (],1-∞-A .B .()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C .D .()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由条件可得函数在上单调递增,所以自变量的绝对值越大函数值越大,再根据[1,)+∞,可得,进而得出结论. 5322->->5(3)()(2)2f f f ->->【详解】因为偶函数在区间上单调递减,()f x (],1-∞-所以函数在上单调递增,故自变量的绝对值越大,对应的函数值越大, [1,)+∞又,所以, 5322->->5(3)((2)2f f f ->->故选:.D 8.对任意正数x ,y ,不等式x (x +y )≤a (x 2+y 2)恒成立,则实数a 的最小值为( )A B ﹣1 C +1D 【答案】D【分析】将已知不等式转化为(a ﹣1)﹣+a ≥0对于一切正数x ,y 恒成立,令t =,f2(x y xy 0x y >(t )=(a ﹣1)t 2﹣t +a ,由二次函数的图象与性质可得关于a 的不等式组,解之即可得答案. 【详解】∵x >0,y >0,∴x (x +y )≤a (x 2+y 2)⇔xy ≤(a ﹣1)x 2+ay 2⇔,()210x xa a y y⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭令,f (t )=(a ﹣1)t 2﹣t +a , 0xt y=>依题意,,即,解得a101(02(1)a f a ->⎧⎪⎨≥⎪-⎩1104(1)a a a >⎧⎪⎨-≥⎪-⎩∴实数a . 故选:D.二、多选题9.下列说法不正确的是( )A .三角形的内角是第一象限角或第二象限角B .cos20<C .1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 D .若,则与的终边相同 sin sin αβ=αβ【答案】ACD【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断.【详解】对于选项A ,三角形内角范围是,其中90°不属于象限角,故A 错误; ()0π,对于选项B ,大小为2的角终边在第二象限,故cos2<0,故B 正确; 对于选项C ,1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角,故C 错误;对于选项D ,若,则α和β的终边相同或关于y 轴对称,故D 错误. sin sin αβ=故选:ACD .10.已知定义在上的函数在区间上是增函数,则( )R ()()cos 0f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭A .的最小正周期为()f x πωB .满足条件的整数的最大值为3ωC .函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像,则的值()()cos 0f x x ωω=>3π()g x ω32D .函数在上有无数个零点()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围,即可判断B ,再求出的解析,03π⎛-⎫⎪⎝⎭ω()f x 式,即可得到其最小正周期,即可判断A ,根据三角函数的平移变换得到的解析式,再根据()g x奇偶性求出,即可判断C ,最后利用特殊值判断D.ω【详解】解:函数在区间上是增函数,()cos (0)f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭,,所以整数的最大值为,故B 正确; ()30πωπω⎧⋅-≥-⎪∴⎨⎪>⎩03ω∴<≤ω3因为为偶函数,函数图象关于轴对称, ()cos (0)f x x ωω=>y 所以,所以的最小正周期,故A 错误;()()cos x f f x x ω==()f x 2T πω=将函数的图像向右平移单位得到,()()cos 0f x x ωω=>3π()cos cos 33x x x g ππωωω⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭因为为奇函数,所以,解得, ()g x ,Z 32k k πωππ-=+∈33,Z 2k k ω=--∈又,所以当时,故C 正确; 03ω<≤1k =-32ω=当时,由,所以,所以,12ω=()1cos 2f x x =,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,024x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x >则在上无零点,故D 错误;()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:BC .11.若,,且,则下列说法正确的是( ) 0a >0b >22a b +=A .的最大值为 B .的最小值为2 ab 12224a b +C .的最小值是 D .的最小值为4 124a b a b +++322+aa b【答案】ABD【分析】直接根据基本不等式即可判断A ;结合即可判断B ;由题知22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,,进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C ;根12144422a b a b a b a b+=+++++636a b +=据,结合基本不等式求解即可判断D. 22a b aa b a b+=++【详解】解:对于A 选项,因为,,,当且仅当0a >0b >22a b +=≥12≤ab 时等号成立,故A 选项正确;21a b ==对于B 选项,由不等式得,所以当且仅当22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭22221224a b a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥=2242a b +≥时等号成立,故的最小值为,故B 选项正确;21a b ==224a b +2对于C 选项,由得,所以22a b +=636a b +=12144422a b a b a b a b+=+++++()()1144226422a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭,当且仅当,即()()()2441135564262a b a b a b a b ⎡⎡⎤++⎢=++≥+=⎢⎥++⎢⎢⎥⎣⎦⎣4a b a b +=+时等号成立,此时与矛盾,故取不到最小值,故C 选项错误; 0,2a b ==0a >对于D 选项,由题知,当且仅当时等号成22224a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=23a b ==立,故的最小值为4,D 选项正确. 2+aa b故选:ABD12.已知为R 上的偶函数,且是奇函数,则( ) ()f x (2)f x +A .关于点对称 B .关于直线对称 ()f x (2,0)()f x 2x =C .的周期为 D .的周期为()f x 4()f x 8【答案】AD【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质,分析函数的周期性和对称性,由此判断各选项. 【详解】∵ 为偶函数()f x ∴ 图象关于轴对称, ()f x y ()()f x f x -=又∵ 是奇函数 ∴ (2)f x +(2)(2)f x f x -+=-+∴ , (2)(2)0f x f x -++=∴(8)(4)()f x f x f x +=-+=∴ 函数的图象关于轴对称,为周期函数且周期为, ()f x (2,0)()f x 8故选AD.三、填空题 13.已知,则______.sin cos 2sin cos αααα+=--tan α=【答案】13【分析】由已知等式,可得,再根据同角三角函数的商数关系即可sin cos 2sin cos αααα+=--3sin cos αα=得的值. tan α【详解】解:,sin cos 2sin cos αααα+=--()sin cos 2sin cos αααα∴+=--整理得,. 3sin cos αα=sin 1tan cos 3ααα∴==故答案为:.1314.若,则________. log 2,log 3a a m n ==2m n a +=【答案】18【分析】对数式化为指数式,再代入计算即可. 【详解】,.log 2a m = 2m a ∴=,.log 3a n = 3n a ∴=. 2222()2318m n m n m n a a a a a +∴=⋅=⋅=⨯=故答案为:18.15.已知函数与函数的图像在恰好有一个交点,则实数的取值21y x mx =+-22y x m =-()0,1x ∈m 范围是______.【答案】 {126,23m æùçÎ-Èúçúèû【分析】联立方程分离之后解出,分离变量转化为函数交点问题,借助对勾函数的单调性求解即m 可.【详解】联立得,2122y x mx y x m ⎧=+-⎨=-⎩2122x mx x m +-=-解出,2122x x m x +-=+令,原式整理得,可变形为()2,2,3t x t =+Î76m t t=--+76m t t -=+这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点. ()2,36y m =-7y t t=+()2,3在上单调递减,在上单调递增;7y t t=+()分别计算的值为,易得: t =y 1116,23{16116,32m ⎡⎫-∈⋃⎪⎢⎣⎭故答案为:. {126,23m æùçÎ-Èúçúèû16.已知函数在区间上单调递减,则实数a 的取值范围是()2()log 32a f x x ax a =-+-()1,+∞______.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性,结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令,则开口向上,对称轴为, ()232g x x ax a =-+-()g x 2a x =因为在上单调递减,()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=()1,+∞所以在上只有一个单调区间,则在上单调递增, ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞故,即, 12a≤2a ≤又由对数函数的定义域可知在上恒成立,则, ()0g x >()1,+∞()()10g x g >≥即,故, 211320a a -⨯+-≥12a ≥又因为在上单调递减,在上单调递增, ()()log a g x f x =()1,+∞()g x ()1,+∞所以在上单调递减,故, log a y x =()0,∞+01a <<综上:,即. 112a ≤<1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为:.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17.已知集合. {}2560A x x x =-+>∣(1)求;A R ð(2)若集合,且,求实数的取值范围. {2}B xa x a =<<∣B A ⊆a 【答案】(1) {|23}A x x =≤≤R ð(2) 13a a ≤≥或【分析】(1)先求解一元二次不等式,再求补集; (2)由可分类讨论与时画图分析即可. B A ⊆B φ=B φ≠【详解】(1)∵ 2{|560}{|23}A x x x x x x =-+>=<>或∴ {|23}A x x =≤≤R ð(2)∵B A ⊆∴①当时,,解得:, B =∅2a a ≥0a ≤②当时,即:,B ≠∅0a >∴或 022a a >⎧⎨≤⎩03a a >⎧⎨≥⎩∴ 013a a <≤≥或∴综述:. 13a a ≤≥或18.已知,. tan 3α=32ππα<<(1)求的值;cos α(2)若的值.()()sin sin 2cos cos 2παπαπαπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】(1)2)12-【分析】(1)根据同角三角函数关系,,转化成,代入平方关系中,解sin tan cos ααα=sin 3cos αα=一元二次方程,即可求解.(2)由诱导公式,进行化简,再由齐次式求值. 【详解】(1)因为,所以. sin tan 3cos ααα==sin 3cos αα=又因为,所以. 22sin cos 1αα+=21cos 10α=因为,所以32παπ<<cos α=(2). ()()sin sin cos sin 1tan 12sin cos tan 12cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭===-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数关系,已知切求弦问题,和齐次式求值问题,需注意角所在象限,属于基础题.19.函数的图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式和单调增区间; ()f x (2)将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,求函数在上的最()f x 3π()g x ()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦值并求出相应的值.x【答案】(1),增区间,(2)时,取最小()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈3x π=()f x 值为-2;当时,取最大值为1. 0x =()f x 【解析】(1)根据图像计算,得到,代入点计算得到解析式,再计算2A =2T ππω==2ω=,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调区间得到答案.(2)通过平移得到,再计算得到最值. ()52sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】(1)由图知:,∴,∴,∵,∴,2A =311934126124T ππππ=-==2T ππω==2ω=0ω>2ω=∴,()()2sin 2f x x ϕ=+∵由图知过,∴, ()f x ,26π⎛⎫⎪⎝⎭2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴,∴,,∴,,sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭232k ππϕπ+=+Z k ∈26k πϕπ=+Z k ∈∵,∴,∴.2πϕ<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵,,∴,,222262k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈36k x k ππππ-≤≤+Z k ∈∴增区间,.()f x ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2), ()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵,∴, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当,即时,取最小值为-2,53262x ππ+=3x π=()f x 当,即时,取最大值为1. 55266x ππ+=0x =()f x 【点睛】本题考查了三角函数的图像识别,三角函数的单调性,最值,意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.20.某公司生产一种儿童玩具,每年的玩具起步生产量为1万件;经过市场调研,生产该玩具需投入年固定成本万元,每生产万件,需另投人流动成本万元,在年产量不足万件时,2x ()W x 6;在年产量不小于万件时,.每件玩具售价()()2221log 2log 1082W x x x x =--+6()81942W x x x =+-元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完.8(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;(注:年利润年销售收入固()P x x =-定成本流动成本)-(2)年产量为多少万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1); ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大,最大利润为万元.922【分析】(1)分、两种情况讨论,根据年利润年销售收入固定成本流动成本可16x ≤<6x ≥=--得出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;()P x x (2)利用二次函数求出函数在时的最大值,利用基本不等式求出函数在()P x 16x ≤<()P x 6x ≥时的最大值,比较大小后可得出结论.【详解】(1)解:因为每件玩具售价为元,则万件玩具销售收入为万元.8x 8x 当时,, 16x ≤<()()()222222118log 2log 1082log 2log 822P x x x x x x x =-++--=-++当时,, 6x ≥()81818942240P x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故; ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)解:当时,, 16x ≤<()()()2222211log 2log 8log 21022P x x x x =-++=--+此时,当时,取最大值,最大值为万元;4x =()P x 10当时,,当且仅当,即时,取等号. 6x ≥()81404022P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭81x x =9x =此时,当时,取得最大值,最大值为万元.9x =()P x 22因为,所以当年产量为万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大,1022<9最大利润为万元.2221.已知为偶函数,为奇函数,且.()f x ()g x ()()12x f x g x -+=(1)求,的解析式;()f x ()g x (2)若对任意的,恒成立,求的取值范围.x ∈R ()2222n n f x --≥n 【答案】(1),()22x x f x -=+()22x x g x -=-(2)[]1,3-【分析】(1)根据奇偶函数建立方程,解方程即可得答案;(2)由题知,进而得,再解不等式即可得答案.()min 2f x =2221n n --≤【详解】(1)解:因为为偶函数,为奇函数,且有,()f x ()g x ()()12x f x g x -+=所以,()()()()12x f x g x f x g x +-+-=-=所以,,解得,. ()()()()1122x x f x g x f x g x +-⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()22x x f x -=+()22x x g x -=-所以,,.()22x x f x -=+()22x x g x -=-(2)解:因为,当且仅当时等号成立,()222x x f x -=+≥=0x =所以.()min 2f x =所以,对任意的,恒成立,即,x ∈R ()2222n n f x --≥22222n n --≥则,即,解得,2221n n --≤2230n n --≤13n -≤≤所以,的取值范围.n []1,3-22.定义:若对定义域内任意x ,都有(a 为正常数),则称函数为“a 距”增函()()f x a f x +>()f x 数.(1)若,(0,),试判断是否为“1距”增函数,并说明理由;()2x f x x =-x ∈+∞()f x (2)若,R 是“a 距”增函数,求a 的取值范围; ()3144f x x x =-+x ∈(3)若,(﹣1,),其中k R ,且为“2距”增函数,求的最小值.()22x k x f x +=x ∈+∞∈()f x 【答案】(1)见解析; (2); (3).1a >()24min 2,201,0k k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【分析】(1)利用“1距”增函数的定义证明即可;(2)由“a 距”增函数的定义得()()10f x f x +->到在上恒成立,求出a 的取值范围即可;(3)由()()2213304f x a f x x xa a +-=++->x ∈R ()f x 为“2距”增函数可得到在恒成立,从而得到()()2f x f x +>()1x ∈+∞﹣,()2222x k x x k x +++>+恒成立,分类讨论可得到的取值范围,再由,可讨论出的最小值.k ()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==()f x 【详解】(1)任意,, 0x >()()()()1121221x x x f x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦因为,, 所以,所以,即是“1距”增函数.0x >21>21x >()()10f x f x +->()f x (2). ()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是“距”增函数,所以恒成立, ()f x a 22313304x a xa a a ++->因为,所以在上恒成立, 0a >2213304x xa a ++->x ∈R 所以,解得,因为,所以. 221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭21a >0a >1a >(3)因为,,且为“2距”增函数, ()22x k x f x +=()1,x ∈-+∞所以时,恒成立,1x >-()()2f x f x +>即时,恒成立, 1x >-()222222x k x x k x ++++>所以,()2222x k x x k x +++>+当时,,即恒成立, 0x ≥()()2222x k x x kx +++>+4420x k ++>所以, 得;420k +>2k >-当时,,10x -<<()()2222-x k x x kx +++>得恒成立,44220x kx k +++>所以,得,()()120x k ++>2k >-综上所述,得.2k >-又,()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==因为,所以,1x >-0x ≥当时,若,取最小值为; 0k ≥0x =2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭0当时,若,取最小值. 20k -<<2k x =-2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为在R 上是单调递增函数,2x y =所以当,的最小值为;当时的最小值为, 0k ≥()f x 120k -<<()f x 242k -即 .()242,201,0k min k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【点睛】本题考查了函数的综合知识,考查了函数的单调性与最值,考查了恒成立问题,考查了分类讨论思想的运用,属于中档题.。
2015年达一中高一入学考试语文试卷注意事项:1全卷分为第A卷和第B卷,A卷满分80分,B卷满分20分,考试时间90分钟。
2.选择题部分必须用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题均无效。
4.保持答题卡清洁,不得折叠、污染、破损等。
[学科]A卷(共80分)第I卷(选择题共21分)一、基础知识(每小题3分,共12分)1、下面加点字注音有误的一项是( )A.拂.晓(fú)禀.告(bǐng)气冲斗.牛(dǒu)B.涟漪.(yī)呐.喊(nà)随声附和.(huó)C.胆怯.(qiè)逞.能(chěng)恪.尽职守(kè)D.嶙.峋(lín)发窘.(jiǒng)吹毛求疵.(cī)2、下列语句中书写正确的一项是( )A.敏感的人受了一言半语的呵责也会过分懊恼,因而我尽量刻制自己的敏感。
B.开始于盛气临人的物质的铁蹄之下,终结在不动声色的死神的怀抱。
C.袅袅烟云在我身边飘浮,而你那充满生机的树梢,却刚够得着我的脚尖。
D.鸭们十分乖巧,它们把嘴插在翅膀里,一幅睡觉绝不让主人操心的样子。
3、下列语句中加点的成语使用正确的一项是( )A.别的学生都在抓紧时间汲取知识,他却苦心孤诣....地沉迷游戏,父母为此心急如焚。
B.周末参加社区志愿服务的华西医院的医生们表示,他们所做的事情是微不足道....的。
C.不法分子利用微博、微信等平台实施诈骗,手段不断翻新,令人叹为观止....,防不胜防。
D.此刻,老师与孩子们在舞台上开心地拥抱,共享天伦之乐....,庆祝本校合唱团荣获冠军。
4、下列语句中没有语病的一项是( )A.汪国真的诗作曾点燃了一代人的青春梦想,他猝然长逝,怎不让人扼腕叹息?B.通过我市举办的“名师好课”系列送教活动,促进了全市城乡教育的均衡发展。
四川省达州市达州中学2024-2025学年高一上学期第一次质量检测(10月)数学题一、单选题1.已知集合{}24A x x ==,则下列说法正确的是()A .2A⊆B .{}2A -∈C .{}2A⊆D .A∅∉2.命题“*n ∃∈N ,使得221n n >+”的否定形式是()A .*n ∃∈N ,使得221n n <+B .*n ∀∈N ,使得221n n <+C .*n ∃∈N ,使得221n n ≤+D .*n ∀∈N ,使得221n n ≤+3.若a b c d ,,,为集合M 的四个元素,则以a b c d ,,,为边长的四边形可能为()A .等腰梯形B .菱形C .直角梯形D .矩形4.已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题正确的是()A .若a b >,c d >,则a b c d +>+B .若22a b >,则a b -<-C .若0c a b >>>,则a bc a c b>--D .若0a b >>且0m >,则a m ab m b+>+5.“15x ≤≤”是“27100x x -+≤”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知0a >,0b >,若不等式49m a ba b ab+≤+恒成立,则m 的最大值为()A .25B .169C .5D .67.若a 、b 、c 是互不相等的正数,且222a c bc +=,则下列关系中可能成立的是()A .a b c>>B .c a b>>C .b a c>>D .a c b>>8.设正实数x ,y ,z 满足2240x xy y z -+-=,则当xyz取得最大值时,213x y z +-的最大值为()A .2B .1516C .1D .94二、多选题9.已知a ,b ,R c ∈,则下列结论正确的是()A .若a b <且0ab ≠,则11a b>B .若0a b >>,则22a b >C .若22ac bc >,则a b>D .若0a b <<,则2a ab>10.不等式20ax bx c -+>的解集是{}21x x -<<,则下列选项正确的是()A .0b <且0c >B .不等式0bx c ->的解集是{}2x x >C .0a b c ++>D .不等式20ax bx c ++>的解集是{}12x x -<<11.已知0a >,0b >,3a b +=,则()A .ab 的最大值为94B C .3b ba b++的最小值为4D .2211a b a b +++的最小值为95三、填空题12.已知集合{}{}24,2,4,A m B m =-=,且A B =,则m 的值为.13.已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解,则实数a 的取值范围是.14.已知正实数a 、b 满足122a b +=,则34211a b +--的最小值为.四、解答题15.(1)设0x y >>,试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小.(2)已知a 、b 、x 、()0,y ∞∈+且11a b >,x y >,求证:x yx a y b>++.16.已知正数x ,y 满足20x y xy +-=.(1)求4912x yx y +--的最小值;(2)若()225x y m m +->+恒成立,求实数m 的取值范围.17.(1)若不等式2120ax bx -->的解集为{6x x >或}2x <-,解关于x 的不等式:()21202b a x a b x b ⎛⎫-++-< ⎪⎝⎭;(2)解关于x 的不等式()2110mx m x +--<.18.2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字型地域.....,计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”,造价为4200元/m 2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m 2,再在四个空角(如DQH 等)上铺草坪,造价为80元/m 2.设AD 长为x m ,DQ 长为y m .(1)试找出x 与y 满足的等量关系式;(2)设总造价为S 元,试建立S 与x 的函数关系;(3)若总造价S 不超过138000元,求AD 长x 的取值范围.19.(1)设a 、b 、x 、y 为正实数,证明不等式:()222a b a b x y x y ++≥+;(2)若正实数x 、y 满足:22x y +=,求224122x yy x +++的最小值;(3)若0x ≥,0y ≥,当4x y +=时,求2211x yx y +++的最大值.。
2015年达一中高一入学考试
数学试卷
(总分100分,考试时间90分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1.(3分)(2015•成都)﹣3的倒数是()
A.﹣B.C.﹣3 D.3
2.(3分)(2015•成都)如图所示的三视图是主视图是()
A.B.C.D.
3.(3分)(2015•成都)今年5月,在成都举行的世界机场城市大会上,成都新机场规划蓝图首次亮相,新机场建成后,成都将成为继北京、上海之后,国内第三个拥有双机场的城市,按照远期规划,新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米,用科学记数法表示为()
A.126×104B.1.26×105C.1.26×106D.1.26×107
4.(3分)(2015•成都)下列计算正确的是()
A.a2+a2=a4B.a2•a3=a6C.(﹣a2)2=a4D.(a+1)2=a2+1 5.(3分)(2015•成都)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(3分)(2015•成都)一次函数y=2x+1的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7.(3分)(2015•成都)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a﹣b|的结果为()
A.a+b B.a﹣b C.b﹣a D.﹣a﹣b
8.(3分)(2015•成都)关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k
的取值范围是()
A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0D.k<1且k≠0
9.(3分)(2015•成都)将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()
A.y=(x+2)2﹣3 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x﹣2)2﹣3
10.(3分)(2015•成都)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为()
A.2,B.2,πC.,D.2,
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.(4分)(2015•岳阳)分解因式:x2﹣9= .
12.(4分)(2015•成都)如图,直线m∥n,△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,则∠1=度.
13.(4分)(2015•成都)为响应“书香成都”建设号召,在全校形成良好的人文阅读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间,统计结果如图所示,则在本次调查中,阅读时间的中位数是小时.
14.(4分)(2015•成都)如图,在▱ABCD中,AB=,AD=4,将▱ABCD沿AE翻折后,点B 恰好与点C重合,则折痕AE的长为.
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.(12分)(2015•成都)(1)计算:﹣(2015﹣π)0﹣4cos45°+(﹣3)2.
(2)解方程组:.
16.(6分)(2015•成都)化简:(+)÷.
17.(8分)(2015•成都)如图,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C,其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:
sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
18.(8分)(2015•成都)国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革,为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:
(1)获得一等奖的学生人数;
(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
19.(10分)(2015•成都)如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,
且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.
20.(10分)(2015•成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相较于点D,E,F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH.
(1)求证:△ABC≌△EBF;
(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HG•HB的值.。