三角函数强化训练

中档题目强化练——三角函数、解三角形A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 已知角A 是△ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝713，则tan A 等于( )A ．－125B.712C ．－712D.125答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝713，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝－513或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝1213(舍去)，∴tan A ＝－125.2． 函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图像关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4 B ．－3π4C.π4D.π2答案 A解析 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，在四个选项中，只有3π4满足题意．3． 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π12对称，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π2，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2，又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.4． 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)(ω>1，|φ|<π2)，且其图像相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 答案 B解析 由已知条件得f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3， 由题意得T 2＝π2，∴T ＝π.∴T ＝2πω，∴ω＝2.又∵f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f (x )的对称轴， ∴f (0)＝2或－2，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，故选B. 5． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x －m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个零点，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]答案 B解析 利用三角函数公式转化一下，得f (x )＝2sin(2x ＋π6)－m ，它的零点是函数y 1＝2sin(2x ＋π6)和y 2＝m 的交点所对应的x 的值，∴要在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个零点，y 1和y 2就要有两个交点， 结合函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图像， 知道当y 2＝m 在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点． 二、填空题6． 已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于________． 答案 3＋ 3解析 S ＝12ac sin ∠ABC ＝32，得ac ＝2；① 根据余弦定理cos ∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＋c 2＝5.②由①②可求得a ＋c ＝3，则三角形周长可求． 7． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z ) 解析 ∵y ＝tan x (x ≠π2＋k π，k ∈Z )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， ∴可令2x ＋π6＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝－π12＋k π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z )．8． 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案 23解析 由图像，可知所求函数的最小正周期为2π3，故ω＝3.从函数图像可以看出这个函数的图像关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0中心对称， 也就是函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫7π12－x ＝－f ⎝⎛⎭⎫7π12＋x ， 当x ＝π12时，得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f (0)， 故得f (0)＝23.三、解答题9． (2013·重庆)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12ab sin C ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数f (x )的图像上， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1． 若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π B.⎣⎡⎦⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎡⎦⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，π D.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z ) 答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知， α满足⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪ ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )， ∵α∈[－2π，0]， ∴α的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π.故选A.2． 同时具有下列性质：“①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立；②图像关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数可以是 ( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 B解析 依题意，知满足条件的函数的一个周期是π， 以x ＝π3为对称轴，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数． 对于A ，其周期为4π，因此不正确；对于C ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 不正确； 对于D ，f ⎝⎛⎭⎫π3≠±1，因此D 不正确． 3． 已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图像分别交于M 、N两点，则|MN |的最大值为________． 答案 2 2解析 构造函数F (x )＝2sin x －2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2. 4． 曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 答案 π解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， |P 2P 4|恰为一个周期的长度π.5． 已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递增区间． 解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3递减时，f (x )递增， 令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12，π3.。

高三理科数学三角函数加强练习 1、sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）122、若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-3、若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16254. 若，则A. B. C. D.5、设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=6、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈7．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 28、若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 9、设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减10、如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为11、已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）512、 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.13.设函数()3sin x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 14、.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 115. 在中，，，，则A. B.C.D.16、在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-17、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为，，，若ABC △的面积为2224a b c+-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π618. 已知，，则__________．19、函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

专题1三角函数基本概念1．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．（2）从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ(或{}Z k k ∈+=,2παββ)．2．象限角3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．（2）角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么αr l =，角α的弧度数的绝对值是rl =α（3）角度与弧度的换算①1180rad π︒=② π1801=rad （4）弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，又αr l =，则扇形的面积为21122S l r r α=⋅=⋅⋅.4．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么y 叫做a 的正弦，记作sinαx 叫做a 的余弦，记作cosαxy叫做a 的正切，记作tanα三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦第一象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<Z k k k ,222ππαπα第二象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<+Z k k k ,222ππαππα第三象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα第四象限角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈<<Z k k k ,22-2παππα5．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()ααsin ,cos ，即()ααsin ,cos P ，其中,sin ,cos MP OM ==αα单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan ．我们把有向线段AT MP OM 、、叫做α的余弦线、正弦线、正切线．6．对任意角的理解（1）不少同学往往容易把“小于 90的角”等同于“锐角”，把“ 90~0的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{}090αα︒<<︒，第一象限角的集合为{}36036090,k k k Z αα⋅︒<<⋅︒+︒∈．（2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．【例1】870-︒的终边在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四A ．2π3B ．11π6C ．5π6D ．3π4A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由0tan >α，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．故选C.【例4】若点P 在32π角的终边上，且P 的坐标为),1(y -，则y 等于________．【例5】弧长为π3，圆心角为135的扇形半径为________，面积为________．三角函数线【例6】（1）如果α是第三象限的角，那么a -，2a 的终边落在何处？（2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合．【例7】若角β的终边与60︒角的终边相同，则在 360~0范围内，终边与角3的终边相同的角为________．任意角三角函数求法1．三角函数的定义中，当()y x P ,是单位圆上的点时有sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=但是若不是单位圆时，如圆的半径为,r 则sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=．2．若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标()y x A ,，求角α的三角函数值时，则应先求|OA |＝r ，然后再利用定义sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=求解．3．同角三角函数的关系：平方关系：22sin cos 1αα+=商数关系：αααcos sin tan =．常考模型一已知一三角函数值，求另外两个三角函数值【例8】（1）已知1sin 3α=，求cos α，tan α的值．（2）已知21cos -=α，且α在第三象限，求sin α，tan α的值．（3）已知2tan -=α，且α在第二象限，求sin α,cos α的值.【例9】已知角α的终边经过点()3,-m P ，且54cos -=α，则m 等于（）A ．411-B ．411C ．4-D ．4A ．22B ．22-C ．22或22-D ．1常考模型二已知正切值，求齐次分式的值齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：sin cos sin cos a b c d αααα++或者222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c αααααααααα++⇒+【例11】已知tan 2α=，求：（1）sin cos sin cos αααα+-；（2）222sin 23cos sin ααα+-；（3）2sin sin cos 2ααα++．同步达标训练1．（2015•福建）若135sin -=α，则α为第四象限角，则tan α的值等于（）A ．512B ．512-C ．125D ．125-2．（2018•北京）在平面直角坐标系中， AB ， CD， EF ， GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（）A ． AB B ． CDC ． EFD ． GH3．（2015•上海）已知点A 的坐标为(43,1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）A 33B 53C ．112D ．1324．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则（）A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．sin 20α>5．（2014•大纲）已知角α的终边经过点(4,3)-，则=αcos （）A ．45B ．35C ．35-D ．45-6．（2013•大纲）若α为第二象限角，5sin 13α=，则=αcos （）A ．1213-B ．513-C ．513D ．12137．（2012•辽宁）已知sin cos 2αα-=(0,)απ∈，则tan α的值是（）A ．1-B ．22C ．22D ．18．（2011•福建）若(0,2πα∈，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（）A ．22B ．33C 2D 39．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则=-+θθθθ22cos 2cos sin sin （）A ．43-B ．54C ．34-D ．4510．（2009•陕西）若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为（）A ．0B ．34C ．1D ．5411．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是．12．（2011•江西）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=-，则y =．13．（2011•上海）在ABC ∆中，tan A =，则sin A =．14．（2011•大纲）已知3(,2a ππ∈，tan 2α=，则cos α=．15．（2011•重庆）若3cos 5α=-，且3(,2παπ∈，则tan α=．专题2三角函数诱导公式一六组诱导公式组数一二三四五六角()Z k k ∈+απ2απ+α-απ-2p a -απ+2正弦αsin αsin αsin -αsin -αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -对于角()Z k k ∈±"2"απ的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说()Z k k ∈±απ2的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．【例1】 585sin 的值为（）A ．22B ．22C ．D【例2】已知()()sin 2πθπθ+=-，2θ<，则θ等于（）A ．6π-B ．3π-C ．6πD ．3π【例3】如果()1sin 2A π+=，那么3cos 2A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是________．A ．3B ．3-C ．1D ．1-【例6】已知(),0απ∈-，()tan 33πα+=，则cos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A ．10B ．10-C ．10D ．10-A ．2B ．2C 12D 12【例8】已知sin cos 4(,,,)f x a x b x a b =++++为非零实数，20115f =，则()2012f =（）A ．3B ．5C ．1D ．不能确定【例9】在ABC ∆中，1cos 3A =，则()sin B C +=________.【例11】已知),0(πθ∈，213cos sin -=+θθ，则θtan 的值为（）A ．3-或33-B ．33-C ．3-D ．23-同步达标训练1．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，=αcos （）A ．25-B ．15-C ．15D ．252．（2010•大纲）记cos(80)k -︒=，那么=︒100tan （）A ．k B ．k-C D ．3．（2010•大纲）=︒300cos （）A ．2B ．12-C ．12D ．24．（2009•全国卷Ⅰ）sin 585︒的值为（）A ．22-B C ．D 5．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是（）A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<6．（2004•贵州）函数2sin()cos()()36y x x x R ππ=--+∈的最小值等于（）A ．3-B ．2-C ．D ．1-7．（2001•全国）tan 300cot 405︒+︒的值为（）A ．1+B ．1-C ．1--D ．1-8．（2016•四川）sin 750︒=．9．（2010•大纲）已知a 是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan ．10．（1994•全国）已知)0(51cos sin πααα<<=+，则=αtan ．11．（2007•浙江）若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是．12．（2007•浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ ，则cos 2θ的值是．专题3三角函数图像与性质正弦函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin 的图像性质关系类比于研究sin y x =的性质，只需将()sin y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成y ＝sin x 中的x ，但在求()sin y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数()cos y A x ωϕ=+，()n y Ata x ωϕ=+的性质的方法与其类似，也是类比、转化．【例1】函数2sin 36y x p=+，x R Î的最小正周期是（）A ．3p B ．23p C．32p D ．π【例2】函数()tan36f x =+的最小正周期为（）A ．π3B ．π6C ．3p D ．23p xy sin =()ϕω+=x A y sin 周期π2ωπ2定义域RR 最大值1，22ππ+=k x 取得A ，当ωϕππ-+=22k x 取得最小值-1，当232ππ+=k x 取得-A ，当ωϕππ-+=232k x 取得单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--ωϕππωϕππ22,22k k 单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+ωϕππωϕππ232,22k k 对称轴2ππ+=k x ωϕππ-+=2k x 对称中心()0,πk ⎪⎭⎫⎝⎛-0,ωϕπk【例3】已知函数sin 4y A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π，则函数)(x f 的图象（）A ．关于直线4x p=对称B ．关于直线8x p=对称C ．关于点)0,4(π对称D ．关于点)0,8(π对称【例4】设函数()()sin f x A x ωϕ=+（0≠A ，0>ω，22ϕ-<<）的图象关于直线23x =对称，它的最小正周期为π，则（）A ．)(x f 的图象过点10,2B ．)(x f 在2,123p p上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是5,012p D ．)(x f 的一个对称中心是,06p【例5】函数2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上对称轴的条数为（）【例6】函数2sin(3)4y x =-的图象中两条相邻对称轴之间的距离是．【例7】同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3x p =对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上是增函数的一个函数是（）A ．sin 26x y p=+B ．cos 23y x p =+C ．sin 26y x p =-D ．cos 26x y p =-【例8】函数sin 26y x =-+的单调递增区间是（）A ．()2,263k k k Z p pp p -++ÎB ．()52,236k k k Z p pp p ++ÎC ．(),63k k k Z p p p p -++ÎD ．()5,36k k k Z p p p p ++Î【例10】已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π=时，取得最大值2，当49x π=时，取得最小值2-，则该函数的解析式是（）A ．12sin(36y x π=-B ．1sin(3)26y x π=+C ．1sin(3)26y x π=-D ．1sin(3)26y x π=-+【例11】若函数，求()2sin(2)6f x x π=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【例12】若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2f a =-，()0f b =，βα-的最小值是2，则)(x f 的单调递增区间是（）A ．()5,1212k k k Z p pp p -++ÎB ．(),36k k k Z p pp p -++ÎC ．()22,233k kk Z p pp p -++ÎD ．()52,266k k k Z p pp p -++Î【例13】（1）若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x 有∈+=-，则()6f π等于（）A ．3-B ．0C ．3D ．3±（2）若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，对任意实数t 都有)(4(t f t f -=+π，且(18f p =-，则实数m 的值为（）A ．1±B ．3±C ．3-或1D ．1-或3【例14】函数()()sin f x A x ωϕ=+(),0ωϕω>是常数，．若()f x 在区间1,13-上具有单调性，且2(0)(1)3f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则下列有关()f x 的每题正确的有（请填上所有正确命题的序号）．①()f x 的最小周期为2；②13x =是()f x 的对称轴；③()f x 在51,3上具有单调性；④56y f x =+为奇函数．1.−−−−−−−−−−→−+=−−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的2.−−−−−→−=−−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的关键：把握先移后缩和先缩后移的区别。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省潍坊市高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练(19) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 已知 ，，则 （ ）.A .B .C .D .奇函数且图象关于点 对称偶函数且图象关于点 对称奇函数且图象关于直线 对称偶函数且图象关于点 对称 2. 当 时，函数 取得最小值，则函数 是（ ）A . B .C . D .3. 已知 ，则 （ ）A .B .C .D .4. 的值为（ ）A .B .C .D .5.（ ）A . B . C . D .6. 化简：（ ）A .B .C .D .轴的非负半轴上 轴的非正半轴上 轴的非负半轴上 轴的非正半轴上7. 若角 的终边相同，则 的终边在（ ）．A .B .C .D .8. 若 ， ， ，则 ､ ､ 的大小关系为（ ）A .B .C .D .9. 若 在 是减函数，则 的最大值是（ ）A .B .C .D .10. ， 是方程 的两个实根，则 的取值范围是（ ）A .B .C .D .70°75°80°105°11. （ ）A .B .C .D .a<b<c a<c<b b<a<c b<c<a12. 设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（ ）A .B .C .D .13. 已知 ，则14. 若 ， ， ，则 = ．15. 已知 ，则 的值为 ．16. 已知 ，则 ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）的解析式．18. 已知函数.(1) 求函数的最小正周期及单调递增区间；(2) 当时，求的最值及取得最值时的值.19. 已知函数f（x）=Asin（ωx﹣ ）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．(1) 求函数f（x）的解析式；(2) 若f（α+ ）= ，f（β+ ）= ，且α，β∈（0， ），求α+β的值．20. 是否存在角 ，使等式 ， 同时成立？若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由.21. 已知函数 .(1) 求 的最小正周期；(2) 求 的单调增区间；(3) 若 ，求 的值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)(3)。

北师大版数学八年级下册三角函数计算强
化练习题
简介
本练题是北师大版数学八年级下册的三角函数计算强化练题，
旨在帮助学生加强对三角函数计算的理解和应用能力。

练题共包括800字以上的题目，涵盖了三角函数的基本概念、性质和计算方法。

练题样例
以下是本练题中的一些样例题目：
1. 已知一个角的正弦值为0.6，求该角的余弦值和正切值。

2. 某直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条
直角边的长度。

3. 已知一条直角边长为5，该直角边的对边长为3，求斜边的
长度。

练题内容和难度
本练题涵盖了三角函数的基础知识，包括正弦、余弦、正切等
概念和计算方法。

题目涉及到不同情况下的角度计算，直角三角形
的边长计算以及三角函数间的关系计算等内容。

题目的难度适中，可以帮助学生巩固和深入理解三角函数的概念和应用。

使用方法
学生可以按照自己的研究进度和能力，选择适当的时间和地点进行练。

建议学生在研究完相关知识后，通过做练题来巩固和应用所学内容。

做题时，学生可以先独立思考，然后将自己的答案与参考答案进行对比，找出自己的错误并加以改正。

结语
北师大版数学八年级下册三角函数计算强化练习题是一个有效的辅助工具，帮助学生巩固和提高三角函数的计算能力。

通过解答练习题，学生可以更好地理解和掌握三角函数的计算方法。

建议学生合理安排时间，坚持练习，以提升数学学习的效果。

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω∈R )的最小正周期为π，则实数ω＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±12．函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到函数y ＝2sin 2x 图象，则f (x )的表达式为( )A ．2cos 4xB ．－2cos xC ．－2sin 4xD ．2sin x3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π64．已知函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ()ω>0 的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0 对称B ．关于直线x ＝π8 对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0 对称 D ．关于直线x ＝π3对称 5．已知函数f ()x ＝cos ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象如图所示，为了得到y ＝cos ωx 的图象，只需把y ＝f ()x 的图象上所有点( )A.向左平移π12 个单位长度B ．向右平移π12 个单位长度C ．向左平移π6 个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．[2021·辽宁沈阳三模]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2 <φ<π2)的部分图象如图所示，B ，D 两点为函数f (x )图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC ，DE 与x 轴垂直，四边形BCDE 为边长为4的正方形，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4 B. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 C ．f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4 D. f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x －3π47．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53D ．238．已知函数g (x )＝3 sin (ωx ＋φ)，g (x )图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f (x )的图象，f (x )的部分图象如图所示，若AB → ·BC → ＝||AB→ 2，则ω等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2021·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝cos ωx －3 sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．ω＝2B ．函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12 (k ∈Z )C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫7π12，0 中心对称D ．函数f (x )的图象可由y ＝2cos ωx 图象向右平移π6 个单位长度得到10. [2021·石家庄二模]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的图象为曲线E ，则( ) A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，则||x 1－x 2 的最小值为π211．[2021·广东大联考]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π6 )(ω∈N *)的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若f (x )的所有对称中心与g (x )的所有对称中心重合，则ω可以为( )A ．3B ．6C ．9D ．1212．[2021·山东德州二模]已知函数f (x )＝A cos (x ＋φ)＋1(A >0，|φ|<π2)，若函数y ＝|f (x )|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6 对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－5π6，1 对称 C ．将函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位可得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0 上的值域为[3 ＋1，3] 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·广东大联考]写出一个最小正周期为2的偶函数f (x )＝__________．14．已知函数y ＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．15．若函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12 ，则新图象对应的函数解析式是________________．16．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝4，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x )＝________，x 1－2x 2的最大值为________．1．解析：因为f ()x ＝sin ωx －cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4 ， 所以f （x ）的最小正周期T ＝2π||ω ＝π，解得ω＝±2.故选C. 答案：C2．解析：函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，得到f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ，即f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ＝2sin 2x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－π ， ∴f ()x ＝2sin ()4x －π ＝－2sin 4x ， 故选C. 答案：C3．解析：由图象知，T ＝2⎝⎛⎭⎫1112π－712π ＝2π3， ∴2πω ＝2π3，则ω＝3. 又A sin ⎝⎛⎭⎫3×7π12＋φ ＝0，sin ⎝⎛⎭⎫74π＋φ ＝0， ∴74π＋φ＝2k π（k ∈Z ）， 由φ∈（0，π），得φ＝π4.故选C. 答案：C4．解析：∵函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ()ω>0 的最小正周期为2πω＝π，∴ω＝2，∴f ()x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ， 令x ＝π3 ，求得f ()x ＝sin 11π12 ≠0，且f ()x 不是最值，故A 、D 错误；令x ＝π8 ，求得f ()x ＝2 ，为最大值，故函数f ()x 的图象关于直线x ＝π8对称，故B正确，C 错误；故选B. 答案：B5．解析：由图象可知：T 4 ＝7π12 －π3 ＝π4 ⇒T ＝π，则ω＝2πT＝2，所以f ()x ＝cos ()2x ＋φ ，将点⎝⎛⎭⎫π3，0 代入解析式可得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝0， 由图象可知：2π3 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又||φ <π2 ，所以令k ＝0，φ＝－π6所以f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，只需将函数f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 向左平移π12个单位长度 则可得到y ＝cos 2x 的图象， 故选A. 答案：A6．解析：由题意有A ＝2，T ＝2πω ＝8，可得ω＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ ，f （0）＝2sin φ＝2 ，有sin φ＝22 ，又由－π2 <φ<π2 ，得φ＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 . 故选B. 答案：B7．解析：函数f （x ）＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，可得y ＝sinω⎝⎛⎭⎫x －π4 ， 因为平移后的函数图象关于直线x ＝π对称，所以ω⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝π2 ＋k π()k ∈Z ，则ω＝23 ＋43k ()k ∈Z ， 又ω>0，所以ω的最小值是23.故选D. 答案：D8．解析：根据AB → ·BC → ＝||AB → 2⇒||AB → ||BC → cos ()180°－∠ABC ＝||AB→ 2 ⇒－2cos ∠ABC ＝1，可得cos ∠ABC ＝－12，故∠ABC ＝120°，所以AD ＝6，故g （x ）的周期为24，所以2πω ＝24，ω＝π12，故选A. 答案：A9．解析：f （x ）＝cos ωx －3 sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ， 由图象得：3T4 ＝π3 －⎝⎛⎭⎫－5π12 ＝3π4， 故T ＝π＝2πω，故ω＝2，故A 正确；令2k π－π≤2x ＋π3 ≤2k π得：k π－2π3 ≤x ≤k π－π6，故函数f （x ）的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6 （k ∈Z ），故B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫7π12 ＝0，故C 正确；∵f （x ）的图象可由y ＝2cos ωx 图象向左平移π6个单位长度得到，故D 错误；故选AC. 答案：AC10．解析：A ：曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π＋π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故A 不正确；B ：由曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，故B 正确；C ：因为f ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－π3 ＝－1≠0，所以点⎝⎛⎭⎫－π12，0 不是该函数的对称中心，故C 不正确；D ：由f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝0，可得2x －π3 ＝k π（k ∈Z ）⇒x ＝k π2 ＋π6（k ∈Z ）， 因为f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，所以x 1＝k 1π2 ＋π6 （k 1∈Z ），x 2＝k 2π2 ＋π6（k 2∈Z ），所以||x 1－x 2 ＝π2||k 1－k 2 ，因为x 1≠x 2，k 1，k 2∈Z ，所以||k 1－k 2 的最小值为1，即||x 1－x 2 的最小值为π2，故D 正确，故选BD. 答案：BD11．解析：将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 （ω∈N *）的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π6 的图象， 若f （x ）的所有对称中心与g （x ）的所有对称中心重合， 故f （x ）的图象和g （x ）的图象相差半个周期的整数倍， ∴π6 ＝k ·12 ·2πω ＝k ·πω ，即ω＝6k ，k ∈Z ， 则ω可等于6，12， 故选BD. 答案：BD12．解析：结合函数 y ＝|f （x ）|的图象易知，函数f （x ）的最大值3，最小值为－1, 则A ＝2，f （x ）＝2cos （x ＋φ）＋1，代入点（0，2），则2cos φ＋1＝2，cos φ＝12 ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝π3，f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1， x ＋π3 ＝k π（k ∈Z ），即x ＝－π3 ＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于x ＝－π3＋k π（k ∈Z ）对称，A 不符合题意；x ＋π3 ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），即x ＝π6＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于点⎝⎛⎭⎫π6＋k π，1 （k ∈Z ）对称，B 符合题意；函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位，得出f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6 ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2 ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1，C 符合题意； 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0 时，x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3 ，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，f （x ）∈[2，3]，D 不符合题意．故选BC. 答案：BC13．解析：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数， 可以联想余弦函数， 则f （x ）＝cos （πx ）， 答案：cos （πx ）（答案不唯一）14．解析：由函数y ＝sin （2x ＋φ）⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝±1.因为－π2 <φ<π2 ，所以π6 <2π3 ＋φ<7π6 ，则2π3 ＋φ＝π2 ，φ＝－π6. 答案：－π615．解析：函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到的图象的对应函数的解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ，再将该图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，得到新图象对应的函数解析式是y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .答案：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 16．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋π6 ＋1＝－cos 2x ＋1的图象，故g （x ）的最大值为2，最小值为0，若g （x 1）g （x 2）＝4，则g （x 1）＝g （x 2）＝2，即cos 2x 1＝cos 2x 2＝－1.又x 1，x 2∈[－2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[－4π，4π]，要使x 1－2x 2取得最大值，则应有2x 1＝3π，2x 2＝－3π，此时x 1－2x 2的最大值为3π2 ＋3π＝9π2.答案：－cos 2x ＋1 9π2。

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。

专项强化练(五) 三角函数A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的根本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________．解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．cos α＝－513，角α是第二象限角，那么tan(2π－α)＝________．解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．(2021·平潮中学模拟)当α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，假设sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，那么sin α－cos α的值是________．解析：由诱导公式得sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝23， 所以2sin αcos α＝－79，(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝169，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝43.答案：43[临门一脚]1．“小于90°的角〞不等同于“锐角〞，“0°～90°的角〞不等同于“第一象限的角〞．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．2．记住以下公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．3．利用诱导公式进展化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号→脱周期→化锐角．特别注意函数名称和符号确实定．4．在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意限定角的范围，判断符号．5．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．6．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．题型二 三角恒等变换1．假设1＋cos 2αsin 2α＝12，那么tan 2α＝________．解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案：－432．假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos α的值是________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.答案：43－3103．(2021·四校联考)角α，β满足tan αtan β＝13.假设cos(α－β)＝45，那么cos(α＋β)的值是________．解析：法一：由tan αtan β＝13，cos (α－β)＝45得，⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ， ①由cos(α－β)＝45得，cos αcos β＋sin αsin β＝45， ②由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x 225＋x 2＝13，解得x ＝25，即cos(α＋β)＝25.答案：254．(2021·中学模拟)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 2α－cos 2α＝－14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________．解析：因为cos 2α－cos 2α＝－14，所以cos 2α－sin 2α－cos 2α＝－14，即sin 2α＝14，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，sin α＝12，所以α＝π6，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan π3＝ 3.答案： 35．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，那么tan(2α＋β)的值是________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139[临门一脚]三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进展转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进展转化求解．题型三 三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为_____________________________________． 解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9，1]． 答案：[－9，1] [临门一脚]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或者三角函数图象来求解，不能无视y ＝tan x 的定义域的限制．2．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为HY 型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元〞的取值范围；三是可以用导数法来解决．题型四 三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，那么φ＝________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3.答案：π32.(2021·中学模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω，φ为常数，且ω>0，0<φ<π)，f (x )的局部图象如下图，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π12的值是________．解析：由函数f (x )的图象知T 2＝7π12－π12＝π2，又ω>0，所以2πω＝π，即ωf (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，因为0<φ<π，所以π6<π6＋φ<7π6，所以π6＋φ＝π2，得φ＝π3，所以当x ≥0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π6＋π3＝1.答案：13．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0，2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或者x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x＝2k π－π6或者x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0，2π]，所以x ＝π2或者11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0，2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2.答案：24．(2021·二模)假设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且其相邻两条对称轴间的间隔 为π2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：因为函数f (x )的图象的相邻两条对称轴间的间隔 为π2，所以最小正周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π6＝2cos π6＝ 3.答案： 3 [临门一脚]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，假设不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.4．五点法求y ＝A sin(ωx ＋φ)中的φ的方法：根据图象确定φ时要注意第一个平衡点和第二个平衡点的区别．题型五 三角函数的性质1．(2021·高三期末)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象的相邻两对称轴的间隔 为________． 解析：因为函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期T ＝2π2＝π，所以该函数图象的相邻两对称轴的间隔 为π2.答案：π22．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．假设函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，那么函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin (2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z .∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．假设函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，那么φ＝________．解析：假设f (x )为偶函数，那么f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．因为φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．假设函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，那么函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由f (x )的最小正周期是π，且ω>0， 可得2π2ω＝π，ω＝1，那么f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1 [临门一脚]1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．3．求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．4．三角函数的性质主要是划归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，再利用y ＝sin x 性质求解．三角函数划归主要是针对“角、名、次〞三个方面．B 组——高考提速练1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°的值是________．解析：因为sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.答案：122．函数y ＝12sin x －1的定义域是_____________________________________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z )且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z )，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠〔－1〕k ·π6＋k π，k ∈Z 3．函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为________.解析：因为y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4＝cos 2x －2＝1＋cos2x 2－2＝12cos2x －32，故最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.答案：π4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为_______________________________________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) 5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，那么tan φ＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，那么cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 36．(2021·HY 中学模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，再将函数g (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数f (x )的图象，那么函数y ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4在[0，π]上的值域为________．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝sin 4x 的图象．将g (x )＝sin 4x 的图象向右平移π8个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝－cos 4x ，所以y ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＝sin x －3cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为0≤x ≤π，所以－π3≤x －π3≤2π3，－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3在[0，π]上的值域为[－3，2]． 答案：[－3，2]7．(2021·邗江中学模拟)假设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．解析：法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝1，得tan α＝3－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3－13－3＝33.法二：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＝33，所以2tanπ121－tan2π12＝33，可得tan π12＝2－ 3.又tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－tan π121＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π12＝1－〔2－3〕1＋〔2－3〕＝33. 法三：假设α为锐角，因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以α＋π3＝π4，α＝－π12，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan π6＝33. 答案：338．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，那么ω的最小值等于________． 解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：39．函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0，1))，假设f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，那么f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________． 解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0，1)，∴ω＝12， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 10．tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，那么 sin 2αcos 2β的值是________． 解析：sin 2αcos 2β＝sin[〔α＋β〕＋〔α－β〕]cos[〔α＋β〕－〔α－β〕]＝sin 〔α＋β〕cos 〔α－β〕＋cos 〔α＋β〕sin 〔α－β〕cos 〔α＋β〕cos 〔α－β〕＋sin 〔α＋β〕sin 〔α－β〕＝tan 〔α＋β〕＋tan 〔α－β〕1＋tan 〔α＋β〕tan 〔α－β〕＝2＋31＋2×3＝57. 答案：5711．(2021·中学模拟)cos 2y ＝35，tan(x ＋y )＋tan(x －y )＝103，那么tan x ＝________． 解析：由cos 2y ＝cos 2y －sin 2y sin 2y ＋cos 2y ＝1－tan 2y 1＋tan 2y ＝35，得tan 2y ＝14.因为tan(x ＋y )＋tan(x －y )＝tan x ＋tan y 1－tan x tan y ＋tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝103，所以2tan x 〔1＋tan 2y 〕1－tan 2x tan 2y ＝103，所以tan 2x ＋3tan x －4＝0，所以tan x ＝1或者tan x ＝－4.答案：1或者－412.(2021·中学模拟)如图，函数f (x )＝6sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－322，与x 轴交于A ，B 两点，假设A (－3，0)，AC ⊥BC ，那么f (3)＝________． 解析：由题意得6sin φ＝－322，所以sin φ＝－32.因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.由图可知OA ＝3，OC ＝322，所以tan ∠CAB ＝OC OA ＝22，因为AC ⊥BC ，所以∠BCO ＝∠CAB ，所以tan ∠BCO ＝OBOC ＝22，所以OB ＝32，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32＝9，ω＝2πT ＝2π9，所以f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9x －π3，所以f (3)＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×3－π3＝6sin π3＝322. 答案：32213.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________． 解析：原式＝2cos 〔30°－20°〕－sin 20°sin 70° ＝2〔cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°〕－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案： 314．函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，那么△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或者cos x ＝12，那么x ＝0或者π或者π3，不妨设A (0，0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，那么△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π4。

高中数学三角函数专题专项练习(非常好)三角函数疑难点解析】一、忽略隐含条件例3：若sinx+cosx-1>0，求x的取值范围。

正解：2sin(x+π/4)>1，由sin(x+π/4)>1/√2得2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)∴2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4(k∈Z)，即x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。

改写后：对于不等式sinx+cosx-1>0，可以化简为2sin(x+π/4)>1.由于sin(x+π/4)>1/√2，所以可以得到2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)。

进一步化简得到x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。

二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4：设α、β为锐角，且α+β=120°，讨论函数y=cos2α+cos2β的最值。

正解：y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β)，可见，当cos(α-β)=1时，ymin=0；当cos(α-β)=-1时，ymax=2.分析：由已知得30°<α,β<90°，∴-60°<α-β<60°，则-1<cos(α-β)≤1，∴当cos(α-β)=1，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。

改写后：已知α、β为锐角，且α+β=120°，求函数y=cos2α+cos2β的最值。

根据cos2θ=1-2sin2θ和cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，可以得到y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-co s(α-β)。

当cos(α-β)=1时，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。