2020年重庆市巴蜀中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知非零实数a＞b，则下列说法一定正确的是（）A. a2＞b2B. |a|＞|b|C.D. a•c2≥b•c22.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图：在平行四边形ABCD中，已知，，则=（）A. B. C. D.4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若向量，，且，则角C=（）A. B. C. D.5.在数列{a n}中：已知a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式为（）A. B.C. D.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人最后一天走了（）A. 6里B. 12里C. 24里D. 36里7.下列式子的最小值等于4的是（）A. B. 其中C. e x+4e-x（x∈R）D.8.已知向量，，若，则向量在向量方向上的投影等于（）A. B. C. D.9.等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 710.在R上定义运算a※b=（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m-x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（）A. （-3，2）B. （-1，2）C. （-2，2）D. （1，2）11.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，若点G、W分别为△ABC的重心和外心，则=（）A. 4B. 6C. 10D. 1412.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＞b＞c），已知不等式恒成立，则当实数t取得最大值T时，T cos B的取值范围是（）A. B. C. D. （2，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知a=，b=，A=，则B=______；S△ABC=______．14.已知向量、满足：，，，则与的夹角的余弦值为______．15.如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD=30°，则塔高AB=______米．16.在数列{a n}中：已知a1=1，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1（n≥2，n∈N*），记b n=，T n为数列{b n}的前n项和，则T2021=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x2-4x+5（x∈R）．（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（2）若不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．18.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=4，S4=20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1=a1，b4=a8，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图：在平面四边形ABCD中，已知∠B+∠D=π，且AD=CD=7，AB=5，BC=3．（1）求角D的大小；（2）求四边形ABCD的面积．20.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，满足，且b1=4，2a2=a1+4．（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．21.已知向量，（其中ω＞0），设函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）将函数f（x）的表达式化成f（x）=k sin（mx+φ）+n（其中k、m、n为常数）的形式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，又，，成等差数列，求△ABC的内切圆的面积．22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有成立；数列{b n}满足：b1=1，且．（1）求a1、a2的值及数列{a n}的通项公式；（2）①记c n=b2n-1+2，证明数列{c n}为等比数列；②若数列{b n}的前n项和为T n，求T2019的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由非零实数a＞b，取a=1，b=-1，则可排除ABC．故选：D．取a=1，b=-1，则可排除ABC，从而得到正确选项．本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可排除错误选项，属基础题．2.【答案】B【解析】解：A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B：-1×5-2×7≠0，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底；C：因为3×10-6×5=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；D：因为=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；故选：B．由于向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项．本题主要考查了向量基地的条件的判断，属于基础试题．3.【答案】D【解析】解：==．故选：D．由向量加法的三角形法则可得，=，代入可求．本题主要考查了向量加法的三角形法则的简单应用，属于基础试题．4.【答案】C【解析】解：由向量，，且，所以（a+c）（a-c）-b（a-b）=0，即a2+b2-c2=ab，所以cos C===，又C∈（0，π），所以C=．故选：C．根据平面向量的共线定理和余弦定理求出cos C和角C的值．本题考查了平面向量的共线定理和余弦定理的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：在数列{a n}中：由a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），得a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+（a n-2-a n-3）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+1=．∴数列{a n}的通项公式为．故选：C．由已知直接利用累加法求数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是基础题．6.【答案】A【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴a6=192×=6，故选：A．由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7.【答案】C【解析】解：A：当a＜0时，a+没有最小值，不符合题意；B：由x可得sin x∈（0，1），故sin x+＞4，没有最小值，不符合题意；因为e x＞0，则e x+4e-x=4，当且仅当e x=4e-x即x=ln2时取等号，此时取得最小值4，符合题意；D：因为，所以==＞，没有最小值，不符合．故选：C．由已知结合基本不等式，检验不等式的应用条件：一正，二定，三相等是否满足，即可求解．本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为，，∴=-2+λ⇒λ=-3；∴=（1，-3）；∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===-；故选：A．先根据数量积求出λ，再根据投影定义求解即可．本题主要考查向量的数量积以及投影，本题解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，不要弄错公式．9.【答案】B【解析】解：∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．∴-=9，可得：2a1+9d=0，∴．∴a n=a1+（n-1）d=d，可得：a5=-＞0，＜0．．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是5．故选：B．关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，可得：0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．可得-=9，．于是a n=d，即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题．由题意把不等式化为（m-x+1）（m+x）＜4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m 的不等式的解集即可．【解答】解：由题意知，不等式（m-x）※（m+x）＜4，可化为（m-x+1）（m+x）＜4，即m2+m-4＜x2-x；设f（x）=x2-x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）=4-2=2；令m2+m-4＜2，即m2+m-6＜0，解得-3＜m＜2，∴实数m的取值范围是（-3，2）．故选A．11.【答案】C【解析】解：如图：因为G为△ABC的重心，连接AG，延长交BC于D，D为BC的中点．则==（+）；∵W分别为△ABC的外心；∴•=0；∴=（+）•=•=×（+）•（-）=×（-）=×（42-22）=10．故选：C．运用三角形的重心和外心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的数量积的几何意义和向量的平方即为模的平方，即可化简求得．本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由不等式得，又a＞b＞c，即，∴，当且仅当“，即a+c=2b”时取等号，∴t≤2+2=4，故T=4，∴=，又在锐角三角形中a＞b＞c，故b2+c2＞a2，又a+c=2b，∴，∴，令，则，又在上单调递减，∴，即．故选：B．由不得，再运用基本不等式可求得T=4，然后再用余弦定理表示出T cos B，在锐角三角形中，求出的范围，再利用函数的性质求得所求取值范围．本题考查余弦定理在解三角形中的运用，同时也考查了不等式的恒成立问题，双勾函数的性质，基本不等式的运用等知识点，考查转化思想及函数思想，考查计算能力，属于较难题目．13.【答案】；【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得：⇒sin B=∵a＞b，∴A＞B，∴，sin C=sin（B+A）=sin B cos A+cos B sin A=S△ABC==故答案为：，在△ABC中，由正弦定理得sin B=，可得A，再求出sin C，即S△ABC=．本题考查了三角恒等变形，正弦定理，属于中档题．14.【答案】【解析】解：设与的夹角为θ，因为向量、满足：，，，可得||==5；所以：1×5×cosθ=12⇒cosθ=；即与的夹角的余弦值为：；故答案为：．直接根据已知代入数量积即可求解．本题主要考查数量积的应用，属于基础题目．15.【答案】200【解析】解：设AB=h，则BC=h，BD=h，△BCD中，∠CBD=30°，CD=200m，由余弦定理，可得40000=h2+3h2-2h•h•，∴h=200，即AB=200米．故答案为：200．设AB=h，则BC=h，BD=h，△BCD中，由余弦定理，可得方程，即可求塔高AB．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】【解析】解：由题意，可知∵当n≥2时，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1，∴n2a n-S n+S n-1=n2a n-1，即n2a n-a n=n2a n-1，∴（n2-1）a n=n2a n-1．∴当n≥2时，==．∴=，=，=，…，=，=．各项相乘，可得••…•=••…•=．∵a1=1，∴a n=，n∈N*．∴b n====2（-）．∴T2021=b1+b2+…+b n=2（1-）+2（-）+…+2（-）=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故答案为：．本题先将题干中表达式进行转化得到=，根据递推公式的特点运用累乘法计算出数列{a n}的通项公式，然后再计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前2021项和T2021．本题主要考查求数列递推公式求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，累乘法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：（1）由f（x）＜2可得x2-4x+5＜2，即（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x ＜3，故不等式的解集为（1，3）；（2）f（x）=x2-4x+5=（x-2）2+1≥1，当且仅当x=2时取等号，∵不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，∴|m-3|＜1，即-1＜m-3＜1，∴2＜m＜4，故m的取值范围为（-2，4）．【解析】（1）由题意可得（x-1）（x-3）＜0，解得即可，（2）先求出f（x）的最小值，则可得|m-3|＜1，解得即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由题意，可设等差数列{a n}的公差为d，则，即，解得．∴a n=2+2（n-1）=2n，n∈N*．（2）由（1）得，b1=a1=2，b4=a8=16．设等比数列{b n}的公比为q，则q3===8，即q=2．∴T n===2n+1-2．【解析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题数列{a n}的通项公式计算出b1，b4的值，再设等比数列{b n}的公比为q，根据等比数列的定义可计算出q的值，再根据等比数列的求和公式即可得到前n项和T n．本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识．考查了方程思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属基础题．19.【答案】解：（1）在△ACD中，由余弦定理有，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos D，在△ABC中，由余弦定理有，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos B，∴49+49-2×7×7×cos D=25+9-2×5×3×cos（π-D），∴128cos D=64，∴，又0＜D＜π，∴；（2）由（1）知，，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC==．【解析】（1）在△ACD及△ABC中分别运用余弦定理，进而建立方程，求得cos D，由此得解；（2）直接根据三角形面积公式求解即可．本题考查余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）由题意，可知当n=1时，b1===4，解得a1=2．∴2a2=a1+4=2+4=6，即a2=3．设等差数列{a n}的公差为d，则d=a2-a1=3-2=1．∴a n=2+1•（n-1）=n+1，n∈N*．∴=2n（n+1）．当n≥2时，b1•b2…b n-1=2（n-1）n．两式相比，可得：b n==22n=4n．当n=1时，b1=4也满足上式．∴b n=4n，n∈N*．（2）由（1）知，c n=a n•b n=（n+1）•4n．S n=c1+c2+…+c n=2•41+3•42+4•43+…+（n+1）•4n，4S n=2•42+3•43+…+n•4n+（n+1）•4n+1，两式相减，可得：-3S n=2•41+42+43+…+4n-（n+1）•4n+1=8+-（n+1）•4n+1=-•4n+1+．∴S n=（3n+2）•4n+1-8．【解析】本题第（1）题将n=1代入题干表达式可计算出a1=2，然后计算出a2的值，可计算出公差，即可得到数列{a n}的通项公式．根据数列{a n}的通项公式可=2n（n+1），类比可得b1•b2…b n-1=2（n-1）n．两式相比，进一步计算可得数列{b n}的通项公式．第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和S n．本题主要考查等差数列和等比数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和；考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．21.【答案】解：（1）=+•-2=sin2ωx+1+sinωx cosωx+-2=+sin2ωx-=sin 2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），∵函数f（x）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x-）（2）∵，∴sin B=，∴cos B=±，∵，∴ac cos B=32，∴cos B=，ac=40，∵又，，成等差数列，∴=+，即5ac=8b（c cos A+a cos C），∴5sin A sin C=8sin B（sin C cos A+sin A cos C）=8sin B sin（A+C）=8sin2B，即5ac=8b2，∴b=5，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac-2ac cos B，即25=（a+c）2-80-80×，∴a+c=13，∴S△ABC=ac sin B=×40×=12，设内切圆的半径为r，则S△ABC=（a+b+c）r=9r，∴9r=12，∴r=∴S=πr2=π．【解析】（1）根据平面向量的数量积以及三角函数的化简可得f（x）=sin（2ωx-），再根据周期求出ω，（2）先求出sin B，根据同角的三角函数的关系，以及等差数列，正弦定理边角互化，三角形的面积公式，即可求出内切圆的半径，面积可得．本题考查了三角函数的性质，正余弦定理解三角形，属于中档题．22.【答案】解：（1）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有成立；当n=1时，，解得a1=1或a1=0（舍去）．当n=2时，，解得a2=2．猜想a n=n，则．证明如下：①当n=1时，a1=1显然成立．②假设n=k时，成立．当n=k+1时，成立，故==，=，=，==，所以a n=n．（2）①数列{b n}满足：b1=1，且．所以b2=（1+0）b1+1=2，b3=（1+0）b2+0=4，b4=（1+0）b3+1=5，所以b2n+1=2b2n，b2n=b2n-1+1，故b2n+1=2b2n-1+2．整理得b2n+1+2=2（b2n-1+2），所以（常数），所以数列{b2n-1+2}是以2为公比的等比数列．由于c n=b2n-1+2，即数列{c n}为等比数列．则：，整理得，故：．②T2019=（-2+3•20）+（-2+3•21）+（-2+3•22）+…+（-2+3•21009）+（-1+3•20）+（-1+3•21）+（-1+3•22）+…+（-1+3•21008）=（-2）×1010+（-1）×1009+2×（3•20+3•21+3•22+…+3•21008）=（-2）×=-3035+9×21009．【解析】（1）首先猜想数列的通项公式，进一步利用数学归纳法的应用求出结果．（2）①直接利用（1）的结论，进一步利用定义求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．②利用①的结论，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。

2020-2021学年重庆高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ 等于()A. (−1,11)B. (4,7)C. (1,6)D. (5,−4)2.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为64.54.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为()A. (−3,−2)B. (−3,−1)C. (2,4)D. (−5,−3)5.已知直线l经过点A(−2,0)与点B(−5,3)，则该直线的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 60°D. 45°6.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB=2:3，则a:b=()A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37.已知数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，记c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，则数列{c n}的前10项和为()A. A10+B10B. 12(A10+B10) C. A10⋅B10 D. √A10⋅B108.某公司某种产品的定价x(单位：元)与销量y(单位：件)之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＾=6.5x+17.5，则表格中n 的值应为()A. 45B. 50C. 55D. 609.已知α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，满足a>β的概率为()A. 19B. 29C. 13D. 1210. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定11. 已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n+1=2a n +1 , n ∈N ∗则数列{a n }=( )A. {a n }是等比数列B. {a n }不是等差数列C. a 2=1.5D. S 5=12212. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据为19，18，23，24，21，则这组数据的中位数为____． 14. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α=sin β，则α=β；③“实数a =0”是“直线x −2ay =1和直线2x −2ay =1平行”的充要条件； ④若f (x )=log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.16. 已知直线l 1：kx −y +1−k =0与l 2：ky −x −2k =0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否100则不需要大调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．3(1)求a n；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积22.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ =(4,7)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．【解答】∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．【解答】解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是62+672=64.5，众数是67，平均数是18(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，极差为76−58=18，故选：D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查直线方程的应用，属于基础题．依题意先设点P 关于直线对称点的坐标，再根据对称性即可列出方程组，求出坐标． 【解答】解：设点P 关于直线l 的对称点的坐标是(x,y)，依题意可得：{y−2x−1=1x+12+y+22+1=0解得{x =−3y =−2 ∴点P 关于直线的对称点坐标是(−3,−2) 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设该直线的倾斜角为θ， 则tanθ=0−3−2−(−5)=−1， ∵θ∈[0∘,180∘),∴θ=135°． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目． 直接利用正弦定理得出即可． 【解答】解：∵sinA:sinB =2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵a n=A n−A n−1，b n=B n−B n−1，n≥2，c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，∴c n=a n(B n−b n)+b n A n=(A n−A n−1)(B n−b n)+b n A n=A n B n−A n−1(B n−b n)=A n B n−A n−1(B n−B n+B n−1)=A n B n−A n−1B n−1，∴数列{c n}的前10项和为：c1+c2+c3+⋯+c10=A1B1+(A2B2−A1B1)+(A3B3−A2B2)+⋯+(A10B10−A9B9)=A10B10．故选：C．由已知条件推导出c n=A n B n−A n−1B n−1，由此利用累加法能求出数列{c n}的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，x=15(2+4+5+6+8)=5，y=15(30+40+n+50+70)=38+n5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+n5=6.5×5+17.5，∴n=60．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，利用列举法能求出满足a >β的概率． 【解答】解：α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)， 基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， (1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共9个，满足a >β包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，共3个， ∴满足a >β的概率为p =39=13． 故选C ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题． 由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 【解答】解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：由a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则：a n+1−a n=12．∴数列{a n}是等差数列，公差为12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∴a2=32=1.5．故选：C．变形利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．【解答】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1．即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.【答案】21【解析】【分析】本题主要考查对中位数的理解，属于基础题．【解答】解：这组数据从小到大排列依次为18，19，21，23，24，∴这组数据的中位数为21，故答案为21．14.【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°=sin150°⇒/30°= 150°，所以②错误；对于③，l1//l2⇔A1B2=A2B1，即−2a=−4a⇒a=0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．15.【答案】20√63【解析】【分析】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．【解答】解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．16.【答案】(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查两直线交点坐标的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得，两直线不平行，故它们的斜率不相等，故k ≠±1，联立{kx −y +1−k =0ky −x −2k =0可得交点坐标为(k k−1,2k−1k−1)， 因为交点在第一象限，所以{k k−1>02k−1k−1>0， 解得k >1或k <0，综上可得实数k 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．故答案为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0，解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b⃗ ，又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0， 解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ． (Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．【解析】本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n人，则0.6n=1800，解得n=3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X=80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a、b，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A、B、C、D，所以抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共9个，所以所求概率p=915=35．【解析】本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得．20.【答案】解：(1)∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，且S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S2，若q=1，则a n=a1=13，S1=13,S2=23,S3=1，∴4S2=83≠S1+3S3 =103，∴q≠1，4a1(1−q2)1−q =a1+3a1(1−q3) 1−q，∴4(1+q)=1+3(1+q+q2)，整理，得3q2−q=0，解得q=13，q=0(舍)，∴a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)∵b n=na n=n⋅3n，∴T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，∴T n=(n2−14)⋅3n+1+34．【解析】(1)由已知条件得4S2=S1+3S2，由此求出公比，从而能求出a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)由b n=na n =n⋅3n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.【答案】解：由题意，∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=√3在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos150°=7∴AC=√7；△ABC的面积为S=12AB⋅BC⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34．【解析】在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积． 本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．。

高2026届高一（下）期中考试数学试卷注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数5i12iz =+，则在复平面内表示复数z 的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在正方体1111ABCD A B C D −中，直线AC 和直线1BC 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知等腰ABC △中，2π3A =，则BC 在BA 上的投影向量为（ ）A ．32BAB ．32BA −C ．3BAD ．3BA − 4．已知平面向量,a b 满足()()2,,1,1a b k a b +=−= ．若//a b，则k =（ ）A ．－2B ．12−C ．12D ．25．设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点，则（ ） A ．在α内存在直线与直线AB 平行 B ．存在过直线AB 的平面与α垂直 C ．在α内不存在直线与直线AB 异面D ．在α内不存在直线与直线AB 垂直6．已知非零向量a 和单位向量b 满足a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30，则a = （ ）A B ．13CD ．37．已知正四棱台1111ABCD A B C D −，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底而ABCD 上，则棱台1111ABCD A B C D −的体积为（ ）A B ．C D ．8．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45 ，他沿着坡角为15 的斜坡向上走了100米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为60 ．设山高为BD ，若,,,A B C D 在同一铅垂面，且在该铅锤面上,A C 位于直线BD 的同侧，则BD =（ ） A．米 B．+ C．−米D．+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．下列各组向量中，可以用来表示向量()1,2a =−的是（ ） A ．()()121,1,1,2e e ==B ．()()121,1,2,2e e =−=−C ．()()121,2,3,6e e =−=−D ．()()121,2,3,4e e ==−−10．已知复数()122,0z z z ≠，下列命题中正确的是（ ） A ．若21z ∈R ，则1z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z ∈R C ．若1222z z z =，则114z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．满足下列条件的四面体存在的是（ ） A ．15条棱长均为1 B ．1条棱长为1，其余5C ．24条棱长均为1D ．2条棱长为1，其余4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一个母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面积为______．13．在直三棱柱111ABC A B C −中，所有棱长均相等，则二面角1C AB C −−的正切值为______． 14．在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，已知1,,sin sin c b c B C =>，且sin sin sin a A b B B C −=+，则A =______，ABC △的面积为______．． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是菱形，E 是1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求证：平面AEC ⊥平面1BDD ． 16．（15分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC △的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+．（1）求C ；（2a −的取值范围． 17．（15分）如图，在三棱锥V ABC −中，VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，VC =（1）证明：AB VC ⊥；（2）已知平面α满足//,//VA AC αα，且平面α 平面VBC l =，求直线l 与平面ABC 所成角的正弦值． 18．（17分）在ABC △中，3, 1.BC AB AC M =−=为边BC 上一点，1,BM D =为边AB 上一点，AM 交CD 于P ．（1）若3,2AC AD ==，求AM CD ⋅． （2）若35,22BD CD ==， （i ）求AC ；（ii ）求APD △和MPC △的面积之差． 19．（17分）定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为1A ，终点为2A 的空间向量记作12A A，其大小称为12A A 的模，记作1212,A A A A 等于12,A A 两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作0 ．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,,a b c ，均有3a a a a++=a b b a +=+ ，00a a a +=+=，()()a b c a b c a b c ++=++=++ ；对任意实数λ和空间向量a ，均有a a λλ= ；对任意三点123,,A A A ，均有122313A A A A A A +=等．已知体积为()1,2,,24i V i = 的三棱锥()1,2,,24i P ABC i −=的底面均为ABC △，在ABC △中，AB Q =是ABC △内一点，120AQB ∠=．记241i i V V ==∑． （1）若(),,30,1,2,,24i AQ CQ AB AC ACQ P i ⊥⊥∠==到平面ABC 的距离均为1，求V ；（2）若Q 是ABC △的重心，且对任意1,2,,24i = ，均有i i i AP BP CP i ++=． （i ）求V 的最大值；（ii ）当V 最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组()(),1,2,24,,,1,2,,5j j j a a a j = 满足对任意1,2,,5,1,2,,24j i =，均有,j l a =，且对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有1224,,10j i j i i a a ==∑ 求证：12,,j i j l a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．（参考公式：22421211111;2,300nn n i n i i i j i i i i j i x x x x x x x x i ==≤<≤= =+++=+=∑∑∑∑∑ ）巴蜀中学2023－2024学年高一下期中考数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B1．()5ii 12i 2i 12iz ==−=++，对应的点在第一象限，故选A ． 2．直线AC 和直线1BC 所成的角等于13D AC π∠=，故选C ．3．由图可知，BC 在BA 上的投影向量为32BA，故选A ．4．由//a b知，()()//a b a b +− ，则2k =，（也可求出向量坐标），故选D ．5．当直线AB 与α相交时，在α内不存在直线与直线AB 平行；易知存在过直线AB 的平面与α垂直；在α内存在直线与直线AB 异面；在α内存在直线与直线AB 垂直；故选B ．6．由于a b ⊥ ，且向量a b + 与a 的夹角为30 ，作图可知，a = ，故选C ．7．设球心为O ，则球O 的半径R =，由于O 在底面ABCD 上，底面ABCD 为正方形，易得正方形ABCD4=，面积为16；设底面1111A B C D 的外接圆半径为r ，则r =正方形1111A B C D 2=，面积为4；所以正四棱台1111ABCD A B C D −的体积为(11643V =×++=，故选C ．8．在ABC △中，135,15,100,ACB ABC AC AB ∠=∠=== ，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，解得5050sin15BD == 米，故选B ． 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD9．选项A 和D 中的两个向量不共线，均可构成平面的一组基底，故可以用来表示向量a，选项C 中的两个非零向量均与a 共线，所以也可以用来表示向量a ，选项B 中的两个非零向量选项共线，但与a不共线，不能用来表示向量a，故选ACD ．10．取12i,i z z ==−知，选项A 和D 错误，由复数的性质知，选项B 和C 正确，故选BC ．11．解法一：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，设BC 中点为E ，则AE DE ==AED θ∠=，则2AD a θ==，所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确； （2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==， 设AD 与平面ABC 所成的角为,BC θ中点为E ，则a ；②长为a 的两条棱为相对棱，不妨设为BC AD a ==，设BC 中点为E ，则2sin 22a AE θθ==<0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ． 解法二：（1）当有1条边为a ，5条边为1时，不妨设四面体ABCD 满足1AB BC CA BD CD =====，由正弦定理易得，ACD △1<（极限位置为共面的情形时，点B 在平面ACD 内的射影为ACD △的外心），所以(a ∈；所以当有1条边为1，5条边为a 时，a∈+∞，故A 错误，B 正确；（2）当有2条边为a ，4条边为1时，分两种情况：①长为a 的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD CD a ==，由正弦定理易得，ACD △的外接圆半径为1<则a ∈；②长为a BC AD a ==，故其可放入一个长方体中，不妨设长方体边长分别为,,x y z ，不妨设22222221,x y z x y z a +=+=+=，则222221110,022x a y z a =−>==>，所以0a <<，综上可知，(;a ∈所以当有2条边为1，4条边为a 时，a ∈+∞，故C ，D 正确；故选BCD ．三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2π 13 14．31;42π（仅答对一空给3分） 12．设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2l =，且22rl r ππ=，所以1r =，侧面积为2π． 13．不妨设直三棱柱111ABC A B C −的所有棱长均为2，取AB 中点P ，则1C PC ∠为二面角1C AB C −−的平面角，11tan C C C PC CP ∠=，即二面角1C AB C −−． 14．在ABC △中，由正弦定理得，sin sin sin a b c AB C==，又因为sin sin sin sin a A b B B c C −=+，所以222a b c −=+，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +−==，因为()0,A π∈，所以34A π=；因为在ABC △中，由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==1sin sin bB C=，所以2sin sin 2b B C a=，所以2a =，所以221a b =+=，所以2220b −+=，所以b =或b =（舍）， 因为ABC △的面积为11sin 22Sbc A =． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．证明：（1）设,AC BD 交于点O ．四边形ABCD 为菱形，所以O 是AC 的中点， 因为E 是1DD 的中点，连接OE ，所以1//OE BD ，因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊂/AEC ，所以1//BD 平面AEC（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，因为1DD ⊥底面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1BB ⊂平面1,BDD BD ⊂平面11,BDD BB BD B = ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面1BDD ．16．解：（1）因为221sin ,42Sab C a b =+=+，所以22sin 4a b C +=+， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c ab C +−=，因为2c =，所以2242cos a b ab C +=+，所以cos C C =，所以tan C =(0,π)C ∈，所以π6C =．（2）在ABC △中，由正弦定理，得4sin sin sin ab cAB C===4sin a B A −− 5ππ4sin 2sin 4sin 63A A A A A−−=+=+因为5π0,6A ∈，所以ππ7π,336A +∈ ，所以π1sin ,132A+∈−，(]2,4a −∈−a −的取值范围为(]2,4−． 17．解：（1）如图，设AB 的中点为D ，连结,DV DC ，因为VAB △和ABC △均为等边三角形，所以,VD AB CD AB ⊥⊥，又因为,VD CD D VD =⊂平面,VCD CD ⊂平面VCD ，所以AB ⊥平面VCD ， 又因为VC ⊂平面VCD ，所以AB VC ⊥．（2）因为//,//,VA AC VA AC A αα= ，且,VA AC ⊂平面VAC ，所以//α平面VAC ， 又平面α 平面VBC l =，平面VAC 平面VBC VC =，所以//VC l ， 所以直线l 与平面ABC 所成角等于直线VC 与平面ABC 所成的角． 在平面VCD 内作VO CD ⊥，则由（1）知，AB ⊥平面VCD ，又VO ⊂平面VCD ，所以VO AB ⊥．又因为,AB CD D AB =⊂ 平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以VO ⊥平面ABC ，所以VCD ∠是直线VC 与平面ABC 所成的角．因为VAB △和ABC △均是边长为4的等边三角形，所以VD CD ==又因为VC =VCD △中，12cos VCVCD CD ∠==所以sin VCD ∠==，所以直线l 与平面ABC18．解：（1）如图，因为1,3AB AC AC −==，所以4AB =，因为D 为边AB 上一点，2AD =，所以D 为AB 中点，所以12AD AB =，所以12CD AB AC =− ，因为113BM BC ==，所以13BM BC = ，所以2133AM AB AC =+ ，在ABC △中，因为AC BC =，所以2cos 3AD BAC AC ∠==，所以2212111152333233AM CD AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=−⋅+=−⋅−=−．（2）（i ）如图，在BCD △中，由余弦定理得，2225cos 29BD BC CD DBC BD BC +−∠==⋅， 所以5cos 9ABC ∠=，设AC x =，则1AB x =+，在ABC △中，由余弦定理得，()22222(1)95cos 22139BA BC AC x x ABC BA BC x +−++−∠===⋅+×，解得5x =，所以5AC =．（ii ）由（i ）知5AC =，所以6AB =，又因为0ABC ∠π<<，所以sin ABC ∠ABM △的面积1sin 2ABM S AB BM ABM ∠⋅⋅ BCD △的面积1sin 2BCD S BD BC ABM =⋅⋅∠= ， 所以APD △和MPC △的面积之差APD MPC APD BDPM BDPM MPC ABM BCD S S S S S S S S −=+−−=−，即APD △和MPC △． 19．解：（1）如图，在ACQ △中，1sin 2AQ ACACQ AC ∠==． 因为,AC AB AQ CQ ⊥⊥，所以30QAB ACQ ∠=∠= ，所以，在ABQ △中，18030QBA AQB QAB QAB ∠=−∠−∠==∠ ，所以在ABQ △中，122cos ABAQ BQ QAB===∠，所以4AC =，所以ABC △的面积为12S AB AC =⋅=，所以13i i P ABC V Sd →==241ii V V ===∑．（2）（i ）因为Q 是ABC △的重心，所以ABC △的面积为3QABSS AQ BQ =⋅ ， 在ABQ △中，由余弦定理得，2222cos AB AQ BQ AQ BQ AQB =+−⋅∠， 即2212AQ BQ AQ BQ ++⋅=，由基本不等式知，22123AQ BQ AQ BQ AQ BQ ++⋅=≥⋅，所以4AQ BQ ⋅≤，故S ≤，等号当且仅当2AQBQ ==时成立， 又由Q 是ABC △的重心知，0AQ BQ CQ ++=，所以3i i i i i i AP BP CP AQ QP BQ QP CQ QP QP ++=+++++= ，所以()1,2,,243i i QP i ==，所以()111,2,,2433i i P ABCV S d S QP i →=⋅≤⋅≤= ，所以242411i i V V i ==≤=∑，等号当且仅当2AQ BQ ==，且i QP ⊥平面ABC 时成立，所以V的最大值为． （ii ）由（i）知，i V =，所以对任意1,2,,5,1,2,,24j i = ，均有,1j i a =，故2,1j i a =，记1,2,5,i i i i S a a a =+++ ，则()2152221,2,5,,,52j i i i i i j i j i S a a a a a ≤<≤=+++=+∑所以2224242,,11151202i j i j i i i i j S a a ==≤<≤=+∑∑∑，由于任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 均有224,,10j i j i i a a ==∑， 所以21224,,1150j i j i i j i a a ≤<≤=∑∑，所以2421120i i S ==∑．假设2,,j i j i a a =对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立． 则对于1,2,,5i = ，均有()()2221,2,5,1,525i i i i i S a a a a =+++== ， 所以24524522221161125i i i i i i i i S S S S ====+≥=∑∑∑∑，与2421120i i S ==∑矛盾，所以假设不成立，即2,,j i j i a a =不可能对任意121215,,j j j j ≤<≤∈N 及1,2,3,4,5i =均成立．。

2020-2021重庆巴蜀中学高一数学下期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．-2或010．若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)16．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．19．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

重庆巴蜀中学高2024届高一（下）期中考试数学试卷一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数121i,2i z z =-+=+（i 为虚数单位），则在复平面内12z z +对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,2),(,1)(R)a b x x =-=∈ ，若a b ⊥，则||a b += （）A ．10B ．3C ．D 3．已知三条直线a ，b ，c 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（）A ．若//,//a a b α，则//b αB ．若//,a b b α⊂，则//a αC ．若//,//,//a a b b αβ，则//βαD ．若,,,//a b c b c αβαβ=⊂⊂ ，则//a b 4．sin10cos 50sin100cos 40︒︒+︒︒=（）A B C ．2D ．125．已知点A ，B ，C 在球心为O 的球面上，且A ，B ，C ，O 四点共面，若,3BAC BC π∠==则球O 的体积为（）A ．323πB ．83πC ．4πD ．8π6．已知3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1-B CD ．7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BC D 8．在ABC 中，5460AB AC BAC ==∠=︒，，，D 为BC 的中点，点E 满足4AE EB =，直线CE 与AD 交于点P ，则cos DPE ∠=（）A ．45B ．122C ．482D ．2425二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若复数i,(,R)z a b a b =+∈（i 为虚数单位），其中真命题为（）A ．若R z ∈，则0b =B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若1a b ==，则44z =-D ．若1a b ==，则12z=10．已知向量(2,1),(2,1)AB AC ==-，则下列说法正确的是（）A ．若AD AB AC =+，则四边形ABDC 为菱形B ．向量AB在向量AC 上的投影向量为35AC- C ．若AD AB AC =+ ，E ，F 分别满足11(),23CE CA CB CF DF =+=-，则35,24EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若点G 为三角形ABC 的重心，则29GB GA ⋅=11．已知()5sin 12cos ,(R)f x x x x =+∈在0x x =处取得最大值a ，则（）A ．13a =B ．0132f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．05sin 13x =D ．0cos 24338x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则（）A ．1AC MNB ．直线PQ ∥平面11A BC C ．正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D ．点Q 的轨迹长度为2π三､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知ABC 中，点D 满足2DC BD =uuu r uu u r，若13AD AC AB λ=+ ，则λ=___________.14．已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.15．已知方程220(R)x x m m -+=∈有两个虚根12,x x ，若123i x x -=（i 为虚数单位），则m 的值是___________.16．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且56,,24a cb A B ===，则ABC 的内切圆的面积为___________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知点()2(1,1),(4,1),,5A B C m .(1)当2m =时，求向量AB与BC 的夹角；(2)求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值及此时m 的值.18．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()5ααβ=+=(1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.19．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 是AB 的中点.(1)证明：1AC ∥平面1CDB ；(2)求异面直线1AC 和BC 所成角的余弦值.20．如图所示，已知某海域有三座海洋观察站A ，B ，C ，这三座海洋观察站在一条直线上，AB 与BC 都等于10n mile .工作人员发现在点M 处有一艘渔船.(1)若某一时刻这艘渔船M 在B 的正东方，在A 的北偏东45︒方向，在C 的南偏东75︒方向，求sin sin MCAMAC∠∠的值；(2)若渔船M 在行驶过程中始终保持对观察站A ，C 的张角不变，即始终有60CMA ∠=︒，求BM 的最大值.21．在正三棱锥D ABC -中，O ，E ，F 分别是线段AC ，AD ，BD 的中点，G 是OC 的中点，且4,6DA AB ==.(1)在BC 上是否存在一点H ？使得平面//FGH 平面BOE ；(2)若点M 是FG 的靠近点F 的三等分点，求三棱锥E BOM -的体积.22．正方形ABCD 中，4AB =，点O 为正方形内一个动点，且OA,0,2OAB πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当3πθ=时，求22OB OD +的值；(2)若P 为平面ABCD 外一点，满足,2POA POB POD PO π∠=∠=∠==cos ()BPD f θ∠=，求()f θ的取值范围.1．A 【分析】由复数加法求12z z +，进而判断对应点所在象限.【详解】由题设，121i 2i 12i z z +=-+++=+，故其对应点为(1,2)在第一象限.故选：A 2．D 【分析】由向量垂直的坐标表示求x ，再确定a b +坐标，应用模长的坐标运算求模长.【详解】由题设，220a b x ⋅=-=，可得1x =，则(1,1)b = ，所以(1,3)a b +=-rr ，则||a b += .故选：D 3．D 【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A 、B 、C ；根据平面基本性质知b β⊄且α⊄c ，由线面平行的判定、性质有//c a ，即可判断D.【详解】A ：//,//a a b α，则//b α或b α⊂，错误；B ：//,a b b α⊂，则//a α或a α⊂，错误；C ：//,//,//a a b b αβ，则,βα可能相交或平行，错误；D ：由,αβ为两个平面且,b c αβ⊂⊂、//b c ，故b β⊄且α⊄c ，由b α⊂，则//c α，又a αβ⋂=，c β⊂，α⊄c ，则//c a ，所以//a b ，正确.故选：D 4．C 【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.【详解】sin10cos50sin100cos 40sin10cos50cos10sin 50sin 602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=.故选：C 5．A 【分析】先判断出A ，B ，C 在以O 为圆心R 为半径的圆上，结合正弦定理求得2R =，即可求出球O 的体积.【详解】设球的半径为R ，由A ，B ，C ，O 四点共面可知A ，B ，C 在以O 为圆心R 为半径的圆上，由正弦定理可得24sin sin 3BC R BAC π===∠，则2R =，球的体积为343233R ππ=.故选：A.6．C 【分析】根据3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求得θ，从而可求得答案.【详解】解：因为3sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，θθθθ=，所以cos 0θ=，所以,Z 2k k πθπ=+∈，故tan 2tan 2tan 666k πππθππ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.7．B 【分析】根据已知及余弦定理可得2222a c b +=，再由222cos 2a b c C ab+-=及基本不等式求C 的范围，进而求tan C 的最大值.【详解】由余弦定理，2222cos 0a c b a B c c c+-+=+=，即2222a c b +=，而222223cos 2442a b c a b C ab ab ab +-+==≥=，当且仅当b =时等号成立，又0C π<<，则06C π<≤，故max 6C π=，所以tan C故选：B 8．B 【分析】如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则c c s ,o os CE AP DPE ∠=，利用向量的坐标运算求出cos ,CE AP ，即可得解.【详解】解：如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则()()(()0,0,5,0,2,,4,0A B C E ，因为D 为BC的中点，故72D ⎛ ⎝，则(72,,2CE AD ⎛=-= ⎝ ，故cos ,CE AP CE AP CE AP⋅=所以2c cos ,12os CE P DPE A =∠= .故选：B.9．AC 【分析】A 由复数的类型确定b 值即可；由1a b ==，结合共轭复数的概念、复数的乘方、除法及模运算判断B 、C 、D.A ：i R z a b =+∈，则0b =，真命题；B ：若1i z =+，则1i z =-，此时0z z +=，但z 不为纯虚数，假命题；1a b ==，则1i z =+、111i 1i 2z -==+，所以()()4241i 2i 4z =+==-且122z =，C 为真命题，D 为假命题；故选：AC 10．AB 【分析】A 由已知有CD AB = 、AC BD =uuu r uu u r即可判断；B 根据向量数量积的几何意义及投影向量的定义求结果；C 、D 由12C A E AB C -= 、14CF AB = 、2()3AG AB AC =+、2433BG AC AB =- 分别求出坐标，再应用向量的坐标运算求结果.【详解】A ：由AD AB AC =+，则AD CA CD AB +== ，故//AB CD 且AB CD =，同理//AC BD 且AC BD =，又||||AB AC =ABDC 为菱形，正确；B ：AB在AC 上的投影向量为3||cos ,5||||||AC AB AC AC AC AC AC AC AC AB AB ⋅<>⋅=⋅=-，正确；C ：由A 知：四边形ABDC 为菱形，则111(2)(3,)222C CA AB AB A E C +=--== ，1111(,)4424CF CD AB === ，所以53,24EF CF CE -⎛⎫=- ⎪⎝⎭= ，错误；D ：由G 为三角形ABC 的重心，则()120,33AG AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，故20,3GA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11212,3333BG BA BC AC ⎛⎫=+=-=-- ⎪⎝⎭ ，故12,3GB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以29GB GA ⋅=- ，错误.故选：AB 11．ACD 【分析】应用辅助角公式及正弦函数的性质即可判断A ；由A 分析知0sin()1x ϕ+=且0013cos()2f x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而有022x k ππϕ=+-分别求出0sin x 、0cos x ，结合和角余弦公式判断B 、C 、D.由题设()13sin()f x x ϕ=+且125sin ,cos 1313ϕϕ==，则00()13sin()13f x x a ϕ=+==，A 正确；所以0sin()1x ϕ+=，而00013sin()13cos()022f x x x ππϕϕ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，B 错误；由上知：022x k ππϕ=+-且Z k ∈，则05sin sin()cos 213x πϕϕ=-==，C 正确；同理012cos 13x =，则2000000cos 22sin 2)(2cos 12sin cos )422338x x x x x x π⎛⎫+=-=--=- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ACD 12．BCD 【分析】取1BC 中点H ，由1AC MH 即可判断A 选项；取棱111,,D A A A BC 的中点,,E F G ，由,,,EF EP GM GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP 平面11A BC ，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接1DB ，先判断1DB ⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项.【详解】连接11,AC BC ，取1BC 中点H ，连接MH ，易得1AC MH ，则1AC MN ,不平行，A 错误；如图，取棱111,,D A A A BC 的中点,,E F G ，易得MF NP ，M ∈平面MNP ，则MF ⊂面MNP ，同理可得,,,EF EP GM GN ⊂平面MNP ，即正六边形EFMGNP 为正方体被平面MNP 截得的截面，C 正确；由C 选项知：平面MNP 即平面EFMGNP ，易得1FM A B ，又FM ⊄平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，则FM 平面11A BC ，同理可得NG 平面11A BC ，又NG PM ，则PM 平面11A BC ，PM FM M ⋂=，则平面EFMGNP 平面11A BC ，又PQ ⊂平面EFMGNP ，则直线PQ ∥平面11A BC ，B 正确；连接1DB ，易得1DB 与平面EFMGNP 交于正方体的体心O ，连接DB ，易得DB MG ⊥，又1B B ⊥平面ABCD ，MG ⊂平面ABCD ，则1B B MG ⊥，又1,DB BB ⊂平面1DBB ，1DB BB B ⋂=，则MG ⊥平面1DBB ，1DB ⊂平面1DBB ，则1MG DB ⊥，同理可得1GN DB ⊥，又,MG GN ⊂平面MNP ，MG GN G =I ，则1DB ⊥平面MNP ，OQ ⊂平面MNP ，则1DB OQ ⊥，又11122DO DB ==1OQ =，即点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确.故选：BCD.13．23【分析】利用平面向量基本定理将AD 用,AB AC表示，即可得解.【详解】解：()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，又13AD AC AB λ=+ ，所以23λ=.故答案为：23.14．2(1【分析】由题设及斜二测法知,OA AB求其侧面积即可.【详解】由题意知：OA =斜二测法知：原直三棱柱中，OAABOB 对应边长不变，故底面周长为1+2，故其侧面积为2(1+.故答案为：2(115．134##3.25【分析】由实系数方程有虚根的性质求出12,x x ，再由根系关系12x x m =即可求m 值.【详解】由题意121223i x x x x +=⎧⎨-=⎩且12,x x 互为共轭复数，若1i x a b =+，则2i x a b =-且,R a b ∈，所以1a =，32b =，而12913144x x m ==+=，经验证满足题设.故答案为：13416．74π##74π【分析】先由2A B =结合正弦定理、余弦定理求得22222a c b a b ac+-=⋅，再由56,4a c b ==解出4b =，进而求得1cos 8A =，sin 8A =，求出三角形面积，由2ABC S r a b c =++△求出内切圆半径，即可求出内切圆面积.【详解】由2A B =可得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理结合余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，又56,4a cb ==，即22253616625124b b b b+-=⋅⋅，解得4b =，则5c =，则2221625361cos 2408b c a A bc +-+-===，sin 8A =，1sin 2ABC S bc A ==设ABC 的内切圆圆心为O ，半径为r ，则ABC OAB OAC OBC S S S S =++，可得22456ABC S r a b c ===++++ 则内切圆的面积为274r ππ=.故答案为：74π.17．(1)2π；(2)AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为-3且0m =.【分析】（1）应用向量坐标表示写出AB与BC 的坐标，再由向量数量积的坐标表示可得0AB BC ⋅= ，即可确定夹角.（2）应用向量坐标表示写出,AB AC的坐标，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最小值，并确定对应m 值.(1)由题设(3,0)=AB ，(0,4)BC = ，所以0AB BC ⋅=，即AB BC ⊥ ，故向量AB与BC 的夹角为2π.(2)由题设(3,0)=AB ，2(1,4)AC m =- ，所以23(1)3AB AC m ⋅=-≥-uu u r uuu r，当0m =时等号成立，故AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为3-，此时0m =.18．(1)50；(2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α=，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()10αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小.【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α=，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而1717sin 2(sin 2cos 2)4222550αααπ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题设0αβ<+<π，而cos()10αβ+=-，则sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.19．(1)证明见解析；【分析】（1）连接1BC 交1B C 于M ，证明1MD AC ，即可得证；（2）由11B C BC ∥将异面直线1AC 和BC 所成角转化为11AC B ∠或其补角，由勾股定理求出相关边长，由余弦定理求出余弦值即可.【详解】（1）如图，连接1BC 交1B C 于M ，易得M 为1BC 的中点，又点D 是AB 的中点，则1MD AC ，又1AC ⊄平面1CDB ，MD ⊂平面1CDB ，则1AC ∥平面1CDB ；（2）连接1AB ，易得11//B C BC ，则11AC B ∠或其补角即为异面直线1AC 和BC 所成角，又由正三棱柱111ABC A B C -可得11,B B AB C C AC ⊥⊥，11112,1AC AB B C BB CC =====，则11AB AC ==，则222111111111cos 25AC B C AB AC B AC B C +-∠==⋅，即异面直线1AC 和BC20．(2)n mile .【分析】（1）由已知可得15,45CMB AMB ∠=︒∠=︒，应用正弦定理可得sin sin sin sin MCA CMBMAC AMB∠∠=∠∠，结合差角正弦公式即可求值.（2）据题意知M 在△ABC 的外接圆弦AC 对应的优弧上行驶，由圆的性质判断BM 最大时M 的位置，即△ABC 的形状，即可求最大值.(1)由题设15,45CMB AMB ∠=︒∠=︒，则sin sin BM BC C CMB =∠，sin sin BM ABA AMB=∠，又AB BC =，则sin sin sin sin(4530)sin sin sin sin 45MCA C CMB MAC A AMB ∠∠︒-︒====∠∠︒(2)由题设，M 在△ABC 的外接圆弦AC 对应的优弧上行驶，要使BM 最大，则外接圆圆心在,M B 之间且三点共线，则MB 垂直平分AC ，所以△ABC 为等边三角形，此时MB最大为n mile .21．(1)存在H 为BC 中点，使面//FGH 面BOE ；【分析】（1）H 为BC 中点，连接,FH GH ，由中位线性质及线面、面面平行的判定证得面//FGH 面BOE ，即可判断存在性.（2）由（1）易得//FG 面BOE ，根据已知中点有18E BOM D ABC V V --=，应用锥体的体积公式求体积即可.（1）若H 为BC 中点，连接,FH GH ，又O ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BD ，OC 的中点，则//,//OE CD FH CD ，故//FH OE ，且//OB GH ，而FH ⊄面BOE ，OE ⊂面BOE ，则//FH 面BOE ，又GH ⊄面BOE ，OB ⊂面BOE ，则//GH 面BOE ，由FH GH H = ，则面//FGH 面BOE ，所以，存在H 为BC 中点，使面//FGH 面BOE ；（2）由（1）知：面//FGH 面BOE ，而FG ⊂面FGH ，则//FG 面BOE ，所以111248E BOM M BOEF BOE E BOD A BOD D ABC V V V V V V ------=====，在正三棱锥D ABC -中，4,6DA AB ==，即4,6DB DC BC AC ====，所以,OD AC OB AC ⊥⊥，OD OB O ⋂=，则AC ⊥面BOD ，AC ⊂面ABC ，所以面ABC ⊥面BOD ，故三棱锥D ABC -的体高即为△BOD 底边OB 上的高h ，而OB =，又底面ABC 为等边三角形，则D 在底面的投影为底面中心在OB 上且到各顶点距离，即外接圆半径23r OB ==所以2h ===，又166sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒= ，所以11834E BOM ABC V hS -=⨯= .22．(1)36-(2)1[,3-.【分析】（1）构建平面直角坐标系得到,B D ，O 坐标，进而写出OB 、OD uuu r坐标，应用向量模长的坐标表示求目标式的值.（2）以A 为原点构建空间直角坐标系，确定,PB PD的坐标，利用向量夹角的坐标表示得到cos ()BPD f θ∠=，结合换元法及三角函数、二次函数性质求范围.【详解】（1）构建如下图示的平面直角坐标系，则(0,4),(4,0)B D ，)O θθ，当3πθ=，则()22O ，故()2OB =- ，(4)2OD = ，所以222()(4)1822OB =-+-=- ，222(4)()1822OD =-+-=-则2236OB OD =-+（2）由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，所以(0,4,0),(4,0,0),B D P θθ且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(,4,(4,,PB PD θθθθ==，所以cos ()||||PB PD BPD f PB PD θ⋅∠===，令sin cos 4t πθθθ=+=+∈，则22sin cos 1t θθ=-，可得cos BPD ∠=若11,1]m =-∈，则11)m ∈，此时cos BPD ∠=11)m ∈上递增，所以1cos [,3BPD ∠∈--.【点睛】关键点点睛：构建坐标系，利用坐标表示相关向量，由向量模长、夹角的坐标表示求值、得到cos ()BPD f θ∠=，结合相关函数的性质求范围.。

……装…______姓名：……装…绝密★启用前2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22a b >B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ） A ．1(0,0)e =，2(1,2)e =- B ．1(1,2)e =-，2(5,7)e = C ．1(3,5)e =，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AC a =，BD b =则AD =（ ）A ．1124a b -B ．1124a b + C ．1122a b -D ．1122a b +4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-，(,)q b a c =-，且p q ，则角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．在数列{}n a 中：已知11a =，1(2)n n a a n n --=≥，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n n a =B ．21n n a +=C ．2n n na +=D ．222n n n a -+=6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里7．下列式子的最小值等于4的是（ ） A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin sin x x +，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．4x x e e -+，x ∈RD 28．已知向量(2,1)a =，(1,)b λ=-，若5a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（ ） A ． B ．2C ．D 9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．在R 上定义运算a •b =(a +1)b ，若存在x ∈[1,2]使不等式(m −x )•(m +x)<4成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(−2,2)B ．(−1,2)C ．(−3,2)D ．(1,2)11．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ） A ．4B ．6C ．10D ．1412．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、()c a b c >>，已知不等式11ta b b c a c+≥---恒成立，则当实数t 取得最大值T 时，cos T B 的取值范围是（ ） A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．122,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．(2,4)○…………订…班级：___________考号○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =b =且角3A π=则角B =_______.14．已知向量a 、b 满足：||1a =，(3,4)b =，2a b a ⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为________.15．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得200CD =米，且在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45︒，30，又30CBD ∠=︒，则塔高AB =______.16．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-()2,n n N +≥∈，记2nn a b n=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =______.三、解答题17．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x 的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 18．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，420S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图：在平面四边形ABCD 中，已知B D π∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =.………○……………○……（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积.20．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，2124a a =+.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知向量(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），设函数()()2f x m m n =⋅+-，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）将函数()f x 的表达式化成()sin()f x k mx n ϕ=++（其中k 、m 、n 为常数）的形式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若32125B f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且32BA BC ⋅=，又cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，求ABC ∆的外接圆的面积. 22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N +∈恒有233123n n S a a a =+++成立；数列{}n b 满足：11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求1a 、2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）①记212n n c b -=+，证明数列{}n c 为等比数列； ②若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T 的值.参考答案1．D 【解析】 【分析】运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断. 【详解】选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若1,2a b =-=-，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的； 选项C:11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确； 选项D:若0c，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D. 【点睛】本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断. 2．B 【解析】 【分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A ，C ， D 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B ． 【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A 中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B 中两个向量是1(1,2)e =-，2(5,7)e =，则2517⨯≠-⨯故1(1,2)e =-与2(5,7)e =不共线，故B 正确；C 中两个向量是1212e e =，两个向量共线，D 项中的两个向量是124e e =，两个向量共线，故选：B ． 【点睛】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质，利用已知AC a =，BD b =，可以用,a b 表示出,AO OD ,最后用,a b 表示出AD .【详解】11112222AD AO OD AC BD a b =+=+=+，故本题选D. 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义、平行四边形的性质，正确理解平面向量的加法的几何意义是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】由p q ，可以得到等式，结合余弦定理，可以求出角C 的大小. 【详解】222()()()p q a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-,由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅，所以有1cos ,(0,)23C C C ππ=∈⇒=,故本题选C. 【点睛】本题考查了两平面向量共线时，坐标运算，考查了余弦定理. 5．C 【解析】利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出． 【详解】 解：11a =，1(2)n n a a n n--=，2112211(1)()()()(1)2122n n n n n n n n na a a a a a a a n n ---++∴=-+-+⋯+-+=+-+⋯++==．故选：C 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列{}n a ，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为12q =，依题意有()6113781a q q -=-，解得1192a =，则56119262a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n 项和公式即可，属于基础题型. 7．C 【解析】 【分析】由基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，求出四个选项中函数的最小值，然后进行判断，找到最小值为4的选项.选项A:设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值； 选项B: 4sin sin y x x =+,令sin 0,(0,1)2x a x a π⎛⎫=∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时，单调递减，故当(0,1)a ∈时，是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C: 444x x x x e e e e -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时，等号，故符合题意；选项D:令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t=+在1t ≥时，是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t=+也是单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C. 【点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 8．A 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积求出参数λ的值，即可得到b ，再根据a b b⋅计算可得.【详解】 解：(2,1)a =，(1,)λ-=b ，且 5a b ⋅=-125λ∴-⨯+=-解得3λ=-()1,3b ∴=--，()21b ∴=-=向量a 在向量b 方向上的投影5210a b b⋅-===-故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的几何意义，属于基础题. 9．B 【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ． 考点：等差数列的前项和. 10．C 【解析】 【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】令g(x)=(m −x )⋅(m +x )=[(m −x )+1]⋅(m +x )=m 2−x 2+m +x 因为∃x ∈[1,2],g(x)<4 即m 2+m <x 2−x +4 也就是m 2+m <(x 2−x +4)max在x ∈[1,2]时，x =2，x 2−x +4取最大值为6 所以m 2+m <6 解得−3<m <2故选C 【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】由11t a b b c a c+≥---，则a c a ct a b b c --≤+--利用基本不等式求出t 的最大值T ，再用余弦定理表示出cos T B ，在锐角三角形中，由a b c >>，求出ca的取值范围，再利用函数1y t t=+的单调性，求出cos T B 的取值范围【详解】 解：11ta b b c a c +≥---，()a b c >> a c a c t a b b c--∴≤+--224a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥+=------ 当且仅当b c a ba b b c--=--即2a c b +=时等号成立，此时取得最小值4 4t ∴≤4T ∴=2222222233232cos 4cos 421222a c a c a c b a c ac a c T B B ac ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅=⋅==+- ⎪⎝⎭在锐角三角形中a b c >>，所以222b c a +>，代入2a c b +=化简得25230c c a a ⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭315c a ∴<<令c t a =，则3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1y t t =+在3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以342,15y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31212,25a c c a ⎛⎫⎛⎫∴+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1cos 22,5T B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.13．4π 【解析】 【分析】由正弦定理即可解得. 【详解】解：3a =，b =3A π=由正弦定理可得sin sin a b A B=sin sin3B π∴=解得sin B a b >A B ∴>4B π∴=故答案为：4π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 14．15【解析】 【分析】首先求出b ，a b ⋅，再根据夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=计算可得.【详解】解：(3,4)b =，2345b∴=+=1a =，221a a b a ∴===⋅11cos ,155a b a b a b⋅∴<>===⨯ 故答案为：15【点睛】本题考查向量的数量积及向量的夹角的计算，属于基础题. 15．200 【解析】 【分析】由题意可知：45ACB ∠=︒， 30ADB ∠=︒,设AB x =，可以在在ABC ∆中，求出BC x =，在ABD ∆中，可以求出BD =，在BCD ∆中，利用余弦定理可求出2CD 的表达式，结合已知200CD =，可以求出AB 的长. 【详解】由题意得：在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在ABD ∆中，30ADB ∠=︒,设AB x =，则BC x =，BD =，在BCD ∆中200CD =，30CBD ∠=︒由余弦定理得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠22220032x x x ⇒=+-⇒200x =【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 16．20211011【解析】 【分析】根据()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈,可以化简等式2211n n n n n a S n a S ---=-为n 111n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n=则11n n n c c n -=⨯+，利用累乘法可求出21n c n =+，最后求出n a ，得21121n n a b n n n ⎛⎫==⨯- ⎪+⎝⎭根据裂项相消法可以求出2021T 的值. 【详解】由()22112,n n n n n a S n a S n n N+---=-≥∈得()2211nnn n n a SS n a ----=，∴()2211n n na n a --=，∴n 111n a a nn n n -=⨯-+， 令n n a c n =则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+由累乘法得121n a c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 【点睛】本题考查了公式()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈、累乘法、裂项相消法，考查了数学运算能力.17．(1) {|13}x x << (2) (2,4) 【解析】 【分析】 （1）()2f x 化为2452x x -+<，直接求解不等式的解集；（2）问题不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，求出函数2()45()f x x x x R =-+∈的最小值，解不等式即可.【详解】 （1）由()2f x 得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x 的解集为{|13}x x <<；（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<， 由22()45(2)1f x x x x =-+=-+得，()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4). 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.18．（1）2n a n =；（2）122n +- 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，根据条件得到方程组解得； （2）首先求出{}n b 的通项公式，再由等比数列前n 项和公式计算可得. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，24a =，420S =.()1144414202a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得 122a d =⎧⎨=⎩()112n a a n d n ∴=+-=（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b a =，84b a =131228b b q =⎧∴⎨=⨯⎩解得122b q =⎧⎨=⎩，2nn b ∴=则()23121222222212n n n n T +-=++++==--【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．(1) 3D π= (2) 【解析】 【分析】 （1）分别在，和ABC ∆中，运用余弦定理，求出2AC 的表达式，利用 B D π+=，这样可以求出D ∠的大小；（2）由（1）可以求出B ∠的大小，利用面积公式结合ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形，求出四边形ABCD 的面积. 【详解】 （1）在中，由余弦定理得：222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D=+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-.在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -.∴9898cos 3430cos D B -=-， ∵B D π+=，∴cos cos()cos B D D π=-=-， ∴9898cos D -=3430cos D +， ∴1cos 2D =， ∴3D π=.（2）由（1）得233B πππ=-=，∴ABCD ACD ABC S S S =+11sin sin 22AD CD D AB BC B =⋅+⋅17722=⨯⨯⨯+15322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，重点考查了数学运算能力，方程思想.20．（1）1n a n =+，4nn b ；（2）()132489n nS n ++⨯-=【解析】 【分析】（1）首先求出12a =，从而得到{}n a 的通项公式，继而求出{}n b 的通项公式. （2）利用错位相减法求出前n 项和n S . 【详解】 解：（1）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，.所以11142a b ⋅==解得12a =，又2124a a =+，所以23a =，所以1n a n =+()11232n n n b b b b ⋅+∴⋅⋅⋅=①当2n ≥时，则()112312n n n b b b b ⋅--⋅⋅⋅=②①除以②得11242n n n n n nb经检验当1n =时，4n n b 也成立，所以4n nb（2）由（1）知()14n nn n c a b n =⋅=+⋅()12324344414n n n S =⨯+⨯++∴⨯++⨯①; ()2341243444441n n n S +=⨯+⨯+⨯+++⨯②;①减②得()123412414141414314n n nS n +=⨯+⨯-+⨯+⨯++⨯-+⨯()()1414414134n n n n S +--=+-+⨯-()1144414333n n n S n ++=-+-+⨯-()13248333n n S n +-+=-()132489n nn S ++⨯-=∴ 【点睛】本题考查数列通项公式的计算，以及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）62536π 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积及三角恒等变换化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期求出ω.（2）由32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出sin B ，再由同角三角函数的基本关系求出cos B ，由32BA BC ⋅=，可得40ac =，由cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，利用正弦定理边角互化求出b ，最后由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】 解：（1）(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎭，()()2f x m m n =⋅+- 221()2sin 1cos 22f x m m n x x x ωωω∴=+⋅-=++-1cos 21()2222x f x x ωω-∴=+-1()2cos 222f x x x ωω∴=- ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π22T ππω∴==，1ω∴= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 221221265B B f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 5B ∴=cos 54B ∴=±又32BA BC ⋅=即cos 32ac B = 4cos 5B ∴=，40ac = cos A a ，516b ，cos C c成等差数列 5cos cos 216A Cb a c∴⨯=+即()58cos cos ac b c A a C =+ ()5sin sin 8sin sin cos sin cos A C B C A A C ∴=+ ()5sin sin 8sin sin A C B A C ∴=+25sin sin 8sin A C B ∴=即258ac b =5b ∴=2sin b R B =，5252335R ∴==，256R ∴= 2225625636S R πππ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的性质，正弦定理解三角形，属于中档题.22．（1）11a =，22a =，n a n =；（2）①证明见解析；②1009303592-+⨯ 【解析】 【分析】（1）代入求出1a 、2a 的值，猜想{}n a 的通项公式为n a n =，再用数学归纳法证明即可；（2）由11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得到一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+，从而可证数列{}n c 为等比数列，再用分组求和的方法求出2019T . 【详解】 解：（1）232331n n S a a a =+++当1n =时，2311S a =解得11a =或10a =（舍去） 当2n =时，233212S a a =+解得22a =猜想数列{}n a 的通项公式为n a n =，则()12n n n S += 显然当1n =时成立， 假设当n k =时也成，即323312k k S a a a =+++，则1n k =+时，()()()()2222221111122112k k k k k k k k k k S S a S S a a S k k +++++=+=+⋅+=+⋅⋅+++ ()()22211k S k k k =++++ ()321k S k =++231k k S a +=+ 233311k a a a +=+++得证所以n a n =（2）①11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()211012b b ∴=++= ()321104b b =++=答案第17页，总17页 ()431015b b =++=一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+所以()2121222n n b b +-+=+即2121222n n b b +-+=+ 所以{}212n b -+是公比为2的等比数列，212n n c b -=+，所以数列{}n c 为等比数列；()1211222n n b b --∴+=+⋅121232n n b --∴=-+⋅122111322n n n b b -+∴==-+⋅ 11212232132n n n n b n +--⎧-+⋅⎪∴=⎨⎪-+⋅⎩，为奇数，为偶数 ②()()()()01210092019232232232232T =-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅()()()()0121008132132132132+-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅ ()()()01210081009210101100923232323232=-⨯+-⨯+⨯⋅+⋅+⋅++⋅+⋅()()1009100912210101100963212-=-⨯+-⨯+⋅+⋅- 1009303592=-+⨯【点睛】本题考查利用n S 求n a ，递推公式证明数列是等比数列及分组求和，属于难题.。