矩法估计复习进程

“矩形大法”学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大家提出来，我们一起研讨！还有由于本人不会几何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻画一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。

如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。

但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。

也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。

但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。

作为南通人，我首先要提的就是南通2019年的28题第三问：不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。

这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。

⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。

⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。

于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的中考题第3问：这题给出的答案也比较复杂，我想学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。

矩估计法的解题步骤
矩估计法解题步骤：先找总体矩与参数之间的关系样本x 用样本矩替换总体矩,得到关于估计量的方程 (组)。

解方程组,得到k个参数的矩估计量代入一组样本值得k个数: 未知参数也是独立同分布的。

于是有根据辛钦大数定律,样本k阶矩a 。

矩估计法称数字特征法.求估计量的一种常用方法.以样本矩的某一函数代替总体矩的同一函数来构造估计量的方法称为矩估计法。

矩估计法(estimation by the method of mo-menu)亦称数字特征法.谋估计量的一种常用方法.以样本矩的某一函数替代总体矩的同一函数去结构估计量的方法称作矩估计法.因为样本可以确认一个经验原产函数，由这个经验原产函数可以确认样本的各阶矩.而样本又从总体中随机提取的，样本的原产及其各阶矩都在一定程度上充分反映了总体参数的特征，当样本容量n无穷减小时，样本矩与适当的总体矩任一吻合的概率趋向1，因而需用样本矩替代总体矩结构一个所含未明参数的方程或方程组，方程的求解就得出总体参数的估计量。

矩估计法解题步骤
估计即是近似地求某个参数的值，需要区别理解样本、总体、量、值
大致的题型是已知某分布（其实包含未知参数），从中取样本并给出样本值
我只是一个初学者，可能有的步骤比较繁琐，请见谅~
1、矩估计法
2、做题步骤：
1）、E（x），求总体均值（一般含有未知参数）
2）、命E（x）= 样本均值/样本均量
3、离散型：
4、例：设总体X有以下分布律
5、
6、其实θ为未知参数，从中取样本（X1,X2,X3,X4）,样本值为（-1,1,1,2），求θ的矩估计值
解题过程：
注意这里求的是估计值，最后得出来的是一个数
连续型：
例：设总体X的概率密度为
（X1，X2…Xn）是来自总体的样本，（x1,x1…xn）为其样本值，求θ的矩估计量
解题过程：
注意这里是估计量
2、最大似然估计法
离散型：
1）、L（θ）=P{X1=x1}P{X2=x2}…P{Xn=xn}=P{x=x1}P{x=x2}…P{x=xn}
2）、lnL(θ) = …
3）、对lnL(θ)求导，令求导后的结果等于0，求出θ
例：设总体X有以下分布律**(下表中的-1 改为0)**
其实θ为未知参数，从中取样本（X1,X2,X3,X4）,样本值为（0,1,0,2），求θ的最大似然估计值
解题过程：
连续型：
1）、L（θ）=f(x1,θ)f(x2,θ)…f(xn,θ)
2）、lnL(θ) = …
3）、对lnL(θ)求导，令求导后的结果等于0，求出θ
例：
解题过程：
注意：估计量的话X必须是大写的，估计值的话x必须是小写。

需要熟练掌握对数的运算。

总体参数的点估计一 矩估计法如果总体中的未知参数θ恰好就是某个总体矩，那么相应的样本矩就是它的矩估计。

但是当总体中的未知参数θ不是某个总体矩时，通常按下面的步骤来求未知参数θ的矩估计。

问题：设总体X 中含有k 个参数k θθθ ,,21，n X X X ,,21是来自总体的样本，求k θθθ ,,21的矩估计。

不管未知参数k θθθ ,,21是不是总体矩，我们都可以按以下步骤来求它们的矩估计。

①求出总体X 的一阶直到k 阶原点矩()()()k X E X E X E ,,,2 （也可以是总体中心距），并且把它们表示成未知参数k θθθ ,,21的函数。

设求得：()()k a X E θθθ,,,211 =()()k a X E θθθ,,,2122 =………………………………()()k k k a X E θθθ,,,21 =②用样本矩替换相应的总体矩，即()k ni i a X n θθθ,,,12111=∑= ()k ni i a X n θθθ,,,121212 =∑=………………………()k k n i ki a X n θθθ,,,1211=∑= 这是k 个关于未知参数k θθθ ,,21的方程。

③解由这k 个方程构成的方程组，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是相应的未知参数的矩估计。

注意：（1）在上面的第一个步骤中，如果计算总体中心矩比较方便，也可以把部分总体原点矩换成总体中心矩。

（2）在上面的三个步骤中，把步骤②和③颠倒也可以。

二 最大似然估计法求总体中的未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计可以归结为求似然函数的最大值点。

一般情况下可以按照以下三个步骤来做：①求似然函数()k n x x x L θθθ ,,;,,,2121 ②对似然函数取自然对数，并列似然方程()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 21212212112121k k n k n k n x x x L x x x L x x x L θθθθθθθθθθθθ ②解似然方程，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计值。

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学1§7.1 点估计四川大学3第56讲点估计矩估计法(2)四川大学四川大学4两个未知参数的例题四川大学5四川大学7例4 设总体X 的均值μ且方差σ2>0 都存在，但它们均未知。

设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样本，试求μ和σ2的矩估计量。

解总体X 的一阶和二阶矩为1()EX μ=μ=22()E X μ=2()[()]D X E X =+22σμ=+解出1μμ=2221σμμ四川大学四川大学四川大学四川大学14四川大学四川大学16例6 (均匀分布的参数估计)设总体X 在区间[a , b ]上服从均匀分布,a , b 为未知参数。

X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样本，试求a , b 的矩估计量。

四川大学四川大学四川大学25四川大学四川大学260.560.40 0.70 0.56 0.46 0.27 0.50 0.05 0.49 0.90 ˆ0.1123a=ˆ0.8657b =ˆˆ[,][0.1123,0.8657]ab =并没有包含所有样本值？若有样本观察值，则a 和b 的矩估计值为四川大学四川大学四川大学28例7 （二项分布的参数估计）设总体X服从参数为N, p的二项分布：X~b(N,p) , N与p未知，X 1, X2, …, Xn是来自总体X 的样本，试求N, p的矩估计量。

四川大学四川大学四川大学29四川大学30设总体X 服从参数为N , p 的二项分布：X ~b (N ,p ) , N 与p 未知，X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样本，试求N , p 的矩估计量。

四川大学解根据定理(例4)，用A 1和B 2分别代替E (X )和D (X )，得ˆˆNp A=~(,)(),()(1)X b N p E X Np D X Np p ⇒==-ˆˆ(1)Np p B=四川大学。