2021版中考数学基础过关：第17课时~解直角三角形-ppt课件

2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25

这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．
要会选择适当的三角比．
B
解：因为a2 + b2 = c2 , 所以
b = c2 - a2 = 63.52 -17.52 = 60.
A
b
C
由sin A = a = 17.5 = 0.28,得A = 16°15'37".
c 62.5
所以B = 90°- A = 90°-16°15'37"= 73°44'23".
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
a
62.5 ．解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
下载
/jiaoa
n/
例2在 RtDAP论PB坛TC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52°.
解这个直：w角ww三. 角形 (边长精确到 0.01).
B
1ppt.
a
cn
PPT
A
课件
解：A =/nk/e9jia0°- B = 90°- 52°= 38°；

斜边
∠的对边
∠的邻边

12/10/2021
第二页，共二十页。
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主
(zìzhǔ)测
试
考点二 特殊角的三角函数值
三角函数值
角α
三角函数
sin α
cos α
tan α
45°
30°
1
2
3
2
3
3
12/10/2021
第三页，共二十页。
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
考点(kǎo
diǎn)梳理
东60°、南偏西80°、北偏西45°.北偏西45°通常也叫西北方向.
12/10/2021
第七页，共二十页。
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主
(zìzhǔ)测
试
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是(
3
A.sin A=
2
3
C.cos B=
2
1
B.tan A=
12/10/2021
第十八页，共二十页。
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
命题点3
命题点4
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
根据题意得,∠ABD=90°-30°=60°,∠ACD=45°.
∴∠CAD=45°,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD,
∴BD=BC-CD=200-AD.

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

，∴




∴CH = ，
∴AH=

∴AB=2AH=
−


.

=

，∵∠B=30°，

=

，

26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型

点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S






AB·AE= ×4×4 =8 ，


CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=


，

．

（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=


AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝

2

＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm

第17课时 三 角 形
考课点时演目练标
考点一 三角形中三边的关系
思路点拨
以最长边为第三边，看其他两边之和是否大于最长边，若大 于，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成三角形．
例1：∵ 2＋3＝5，∴ 选项A中的三根小木棒不能构成三角形．∵ 2＋ 4<7，3＋4<8，∴ 选项B、C不符合三角形的三边关系，也不能构成 三角形．∵ 3＋3>4，符合三角形的三边关系．故选D.
第17课时 三 角 形
课知时 识目 梳标 理
3. 三角形中的三条重要线段： (1) 三角形的角平分线、中线、高各有___3_____条，它们都是 ___线__段___． (2) 三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形____内____部的一 点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部(锐角 三角形)、顶点上(直角三角形)或外部(钝角三角形)． 4. 线段垂直平分线的性质与判定： 线段垂直平分线上的点到____线__段__的__两___个__端__点__的___距__离__相等；到 线段的两个端点距离_相__等__的点在这条线段的垂直平分线上．
第17课时 三 角 形
考课点时演目练标
考点一 三角形中三边的关系
例2 (2016·怀化)等腰三角形的两边长分别为4 cm和
8 cm，则它的周长为( C )
A. 16 cm
B. 17 cm
C. 20 cm
D. 16 cm或20 cm
思路点拨
因为腰与底边未确定，因此本题应分两种情况讨论，即4 cm可能为底或腰．
第17课时 三 角 形
课时目标
5. 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理． 6. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

C
5B
例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.
注意事项：
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积
误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
A
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边 （2）有斜用弦, 无斜用切；
50
﹖
宁乘毋除, 取原避中。
（2）如何求∠A?
已知的BC和AC的比构成tanA,用 tanA=BC:AC来求.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角 三角形.（角度精确到1”）
（3）如何求∠B?
B
利用∠A+∠B=90°.
8
（4）如何求AB?
A
C
15
利用勾股定理.
B
解：在Rt△ABC中
8
tan A BC 8 0.53, AC 15
由边长可
A
15 C
∴∠A=28°
导出角度
sin28°≈0.47, cos28°≈0.88,
∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得
tan28°≈0.53
AB AC2 BC2 82 152 17

比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。

《解直角三角形》PPT课 件
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、 性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、 直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、 应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、 总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计 算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域 中有广泛的应用。
二、 直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义 为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义 为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义 为对边与邻边的比值。
三、 特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊 的数值。

450
D
图7-3-3
300
➢课前热身
2.如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB= 1 3 m.
C
图7-3-4
3、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B港，
然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求 1 4 . 1 k m
(1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km); (2)确定C港在A港什么方向. 北偏东１５°
形的两种基本图形：
A
A
B
C
D
B
D
C
2.(1)把实际问题转化成数学问题，这个转化为两
个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，
画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件
转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
3
1
3
3
1.互余两角三角函数关系:
1.SinA=cos（900-A）
2.cosA=sin（900-A）
2.同角三角函数关系:
1.sin2A+cos2A=1
2.
tan
A
sin cos
A A
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知
元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
如图：RtABC中，C=90，
2
2
条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直
高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
C 山坡
60°45°P
O
AE
B
水平地面