概率论复习重点与习题

概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。

概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。

二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。

2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。

3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。

4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

2、每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。

例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。

四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。

解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。

所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。

例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。

解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。

其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。

所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。

概率论期末复习知识点第一章（A 卷 20 分， B 卷 22 分） 2. 二维连续型随机向量的联合概率密度、性质1. 事件的表式及其应用2. 事件的关系与运算3. 二维连续型随机向量的分布函数3. 概率性质及其应用4. 均匀分布4. 古典概型5. 二维正态分布5. 条件概率6. 边缘概率密度6. 全概率公式7. 随机变量的独立性7. 贝叶斯公式8. 二维随机向量的相关概率计算：O联合概率密度8. 事件的独立性重点重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式O边缘概率密度第二章（A 卷 22 分， B 卷 20 分）O随机变量的独立性1. 离散型随机变量的概率分布第四章（A 卷 21 分， B 卷 26 分）2. 两点分布 1. 离散型随机变量的期望3. 二项分布 2. 连续型随机变量的期望4. 泊松分布 3. 随机变量函数的期望5. 概率密度函数及其性质 4. 方差6. 连续型随机变量的分布函数 5. 方差的性质7. 均匀分布 6. 协方差、协方差的性质8. 指数分布7. 相关系数O数学期望（随机变量及函数的数学期望）9. 标准正态分布、正态分布重点:O方差（离散型随机变量的方差）10. 随机变量相关的概率计算11. 离散型随机变量函数的概率分布O协方差和相关系数重点：O正态分布，二项分布第五章（A 卷 14 分， B 卷 12 分）O离散型随机变量及函数的概率分布1. 雪比切夫不等式的应用第三章（A卷23分，B卷20分）1. 离散型随机向量联合概率分布及分布函数2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗 ----- 拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律：厂B AB ， AB A B ； 概率的性质 1. P (? )=0;2. A,A,…,A n 两两互斥时： RAU AU …U A)= P (A)+…+P (A),3. P(A) 1P(A)( A 是 A 不发生)(D)4. 若 AB 则有：P (A ) w P( B ), P (AB = P (A ),RBA )=RB- RA> , RAU E )= R E ).5.P(A B) P(A) P(B) P(AB)(D), P ( B A )=P ( B )- P (AB )。

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。

P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。

08，P（B｜ A2）＝0。

09，P（B｜ A3)＝0。

12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。

公共课必考概率论单项知识点精讲及习题解析随着社会科技的飞速发展，人们对于数字化技术所带来的便利逐渐熟悉并接受，然而，这一便利的背后是大量的数学理论支撑，而概率论则是其中一个重要的分支。

在2023年的公共课考试中，概率论将成为必考内容之一。

本文将对概率论的单项知识点进行深入解析，同时提供相应的习题解析，以期对广大考生有所帮助。

一、概率基本概念概率是指某个事件发生的可能性。

在日常生活中，人们经常会涉及到概率的概念，比如抽奖、投资等。

而在概率论中，我们通常将一个问题转化成一个数学模型，通过数学方法进行分析和求解。

1、样本空间和事件样本空间是指一个试验中所有可能出现的结果的集合。

例如，一次掷骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是指样本空间中的一个或多个元素所组成的集合。

例如，掷骰子出现的点数为偶数，这个事件可以表示为{2, 4, 6}。

2、事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

通常用P(A)表示事件A的概率，计算公式为：P(A) = 事件A发生的次数 / 总试验次数即，事件A发生的次数除以总试验次数，其中总试验次数指的是在相同的条件下，试验重复进行的次数。

二、概率的性质1、非负性对于任何事件A来说，其概率P(A)都是非负数，即P(A)≥0。

2、规范性对于样本空间Ω中的所有事件A，有0≤P(A)≤1。

3、完备性对于样本空间Ω来说，必有P(Ω)=1。

4、可减性对于任何事件A、B来说，有P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)。

其中，A∪B表示事件A和事件B的并集，即事件A或B发生的情况；A∩B表示事件A和事件B的交集，即事件A和B同时发生的情况。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

通常用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B 发生的概率。

《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。

2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。

3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。

4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。

5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。

6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。

，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。

8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。

Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。

10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。

E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。

A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。

A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。

概率论与数理统计考点归纳第一章1.1样本空间（P2），互不相容与互斥的概念(P4)1.2概率的性质：性质4和性质6(P10)1.3古典概型（简单的）1.4全概率公式和贝叶斯公式（P21-22考大题）1.5相互独立的公式(P24)第二章2.1不考2.2—2.4考填空和选择2.5考大题第三章3.1例4（P65-66考大题），二维均匀分布(P66-67) 3.2定义2和定义4(P72,P74)3.3卷积公式(P81)第四章4.1,4.2期望，方差的性质（可能考证明题）常见分布的期望，方差（书上96-97页例1,2,3,4,和99页例7,8的结论,特别是泊松分布和指数分布）4.3协方差的性质：P103第④⑥个相关系数的性质：P105第（3）个4.4中心极限定理（P113考大题）第五章5.1统计量(P127)5.2定义1,2,3，卡方分布的期望和方差，t分布（可能考证明题）5.3定理1,2,3(P139)第六章6.1评价估计量的三条标准(P150)6.2矩估计法，最大似然估计法（考大题）6.3不考6.4记住4个置信区间（P168-170,4.1,4.2，4.3,4.4）第七章7.1，7.2假设检验的两类错误（P181填空，选择），假设检验的一般步骤（考大题）概率论与数理统计重点内容1、古典概型中相关概率的计算；2、条件概率；乘法公式；全概率公式（应用题）；贝叶斯公式（应用题）；3、如何由概率分布或者密度函数求分布函数？或者由分布函数求概率分布或密度函数？4、如何求期望？5、如何求方差？6、如何求协方差和相关系数？7、中心极限定理的应用（应用题）；8、点估计的常用方法：矩估计法和最大似然估计，尤其要注意最大似然估计法；9、假设检验；10、随机变量函数的分布函数的求法。

上述相关概念的定义，相关性质，计算公式及如何运用解决应用题等必须掌握好。

其它没有列为重点内容的也可能出现在填空题或者选择题中，但是正常情况比例不高。

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。

解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B 为两相互独立的随机事件, P( A)0.4 , P(B) 0.6 ,求P( A B), P( A B ), P( A | B) 。

解：P( A B) P( A) P(B) P( AB ) P( A) P(B) P( A)P( B) 0.76 ；P( A B) P( AB ) P( A)P( B) 0.16, P( A | B) P(A) 0.4 。

3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5 ，P(A B) 0.9 ，求P( B ), P( A B) 。

解：P(B) P(A B) P( A) 0.4, P( A B) P( A) 0.5 。

4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P( A | B) 0.5，求P( A B), P( AB) 。

解：P( AB ) P( B)P( A | B) 0.3, P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8,P( AB ) P( A B) P(A) P( AB ) 0.2 。

5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P( B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P( A B C) 。

解：P( A B C) 1 P( A B C ) 1 P( ABC ) 1 P( A)P(B) P(C) 0.994 。

6. 袋中有4 个黄球，6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

解：(1) P2 1 14 ；(2) P 4 6C 8。

复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。

第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。

第四章习题四13、14、15、16。

第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。

第八章例4、例5、习题八3、6。

例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。

解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。

所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。

校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。

问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。

求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。

概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

概率论与数理统计例题和知识点总结概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，它在自然科学、工程技术、经济管理、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。

下面将通过一些例题来帮助大家理解和掌握这门学科的重要知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。

例 1：抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。

解：因为硬币只有正反两面，且质地均匀，所以正面朝上的概率为1/2。

知识点：古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数。

例 2：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

解：袋子里一共有 8 个球，其中 5 个是红球，所以取出红球的概率为 5/8。

知识点：概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，P(∅）＝ 0。

二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

例 3：已知在某疾病的检测中，阳性结果中真正患病的概率为 09，而总体人群中患病的概率为 001。

如果一个人的检测结果为阳性，求他真正患病的概率。

解：设 A 表示患病，B 表示检测结果为阳性。

则 P(A) ＝ 001，P(B|A) ＝ 09，P(B|A'）＝ 1 P(B|A) ＝ 01。

根据全概率公式：P(B) ＝P(A)×P(B|A) ＋ P(A'）×P(B|A'）＝ 001×09 ＋099×01 ≈ 0108。

再根据贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(A)×P(B|A) ／ P(B) ＝ 001×09 ／0108 ≈ 0083。

知识点：条件概率公式：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)；乘法公式：P(AB) ＝ P(A)×P(B|A)。

三、独立性如果两个事件的发生与否互不影响，那么称它们是相互独立的事件。

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

《概率论》总复习题（3）及参考答案一、填空题（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+×=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅= 所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===∫， 113341,44444EY DY =×==××=，2215()144EY DY EY =+=+=. （4）(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+×=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =−=−=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>=即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+− （B ）()().P C P A B ≤U（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+− （D ）()().P C P A B ≥U （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +−=−∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）/2,a b ==（C ）1/2,1a b ==−. （D ）/2,a b == （ ）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） 解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+−≥+−U 应选C.（2）22(2)4()x f x +−==即~(2,)X N −故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=×+×= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.三、有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。