下载文档原格式
图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。
具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。
下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。
可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。
除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。
将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。
上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。
这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。
将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。
行N/2和列N/2将频域分成四块。
对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。
为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。
《基础强化训练》设计报告题目:二维灰度图象的统计分析及DWT变换处理专业班级：学生姓名：指导教师：信息工程学院2010 年 7 月日《基础强化训练》设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：题目: 二维灰度图象的统计分析及（FFT，DCT，DWT）变换处理课程设计目的：①较全面了解常用的数据分析与处理原理及方法；②能够运用相关软件进行模拟分析；③掌握基本的文献检索和文献阅读的方法；④提高正确地撰写论文的基本能力。
课程设计内容和要求①采集一幅像素大于64*64黑白图像；②常规的数学统计数据处理：计算图象各象素点灰度值得均值、标准差、方差，并绘出灰度直方图；③采用[FFT（傅立叶变换），DCT（离散余弦变化），DWT（离散小波变化）]对图像进行分析初始条件：①MATLAB软件。
②数字信号处理与图像处理基础知识。
时间安排：第18周周一：安排任务19～20周：仿真设计（鉴主13楼计算机实验室）第20周周六：完成（答辩，提交报告，演示）指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (2)1 数据采集 (3)1.1图像的选取 (3)1.2 MA TLAB编辑 (3)1.2.1 编辑M文件 (3)1.2.2 图像的读取与显示 (3)2 数据统计处理 (6)2.1 均值计算 (6)2.1.1 原理介绍 (6)2.1.2 仿真结果 (6)2.2 标准差计算 (7)2.3 方差计算 (8)图2.5方差的计算程序 (8)图2.6 方差的结果显示 (9)2.4 灰度直方图 (9)3 离散小波变换 (11)3.1 原理介绍 (11)3.2 仿真结果 (12)图3.2结果显示 (13)4参考文 (14)5心得与体会 (15)摘要MATLAB是集数值计算，符号运算及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言。
作为强大的科学计算平台，它几乎能够满足所有的计算需求。
MATLAB 本身就是功能强大的数据可视化工具，可以通过各种形式显示分析数据，例如灰度直方图、等高线、蒙太奇混合、像素分析、图层变换以及材质贴图等。
目录摘要 (1)Abstract (3)1 数据采集 (4)1.1 选取图像 (4)1.2 MATLAB读取方法 (5)1.2.1 创建M文件 (5)1.2.2 读取图像 (5)1.2.3 查看图像格式 (6)1.2.4 灰度值的获取 (8)2 数据统计处理 (9)2.1各像素点灰度值的均值 (9)2.1.1算法原理及公式 (9)2.1.2 MATLAB源程序及运行结果 (9)2.2各像素点灰度值的方差 (11)2.2.1算法原理及公式 (11)2.2.2 MATLAB源程序及运行结果 (11)2.3各像素点灰度值的标准差 (12)2.3.1算法原理及公式 (12)2.3.2 MATLAB源程序及运行结果 (12)2.4灰度直方图 (12)3 傅里叶变换 (14)3.1算法原理及公式 (14)3.2 FFT及反FFT源程序及运行结果 (14)3.3对变换后的图像进行说明 (17)4 小结与体会 (18)5参考文献 (19)摘要MATLAB(Matrix Laboratory)是MathWorks公司于1989年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。
它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形于一体，构成了一个方便且界面友好的用户环境，可进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
这次基础强化训练就是运用MATLAB做基本的图像处理与数据分析，掌握基本的图像处理方法。
关键词：MATLAB，图像处理，数据分析AbstractMATLAB (Matrix Laboratory) is the MathWorks Inc. in 1989 on a high-performance numerical computation and visualization software.It combines numerical analysis, matrix computation, signal processing and graphics in one, form a convenient and user-friendly user environment, can be matrix operations Huizhi functions and data, implementation algorithms, create user interfaces, connect to other programming language procedures, mainly used in engineering calculations, control design, signal processing and communications, image processing, signal detection, financial modeling design and analysis and other fields.The basis of intensive training is to use MATLAB to do basic image processing and data analysis, a grasp of basic image processing method.Key words: MATLAB, Image Processing, Data Analysis1 数据采集1.1 选取图像从互联网上下载一幅图片，像素为874*590，符合要求。
二维傅里叶变换分离实现二维傅里叶变换（2D Fourier Transform）是信号处理中重要的工具之一，它能够将时域信号转换为频域信号，从而方便进行一系列的分析和处理。
在信号处理领域，这种技术被广泛应用于图像处理、声音处理、通信等各种领域。
要实现二维傅里叶变换的分离，需要以下几个步骤：1.读取图像：首先需要读取待处理的图像，并将其转换为灰度图像。
灰度图像是一个二维函数的离散表示，其中像素的灰度值代表了该像素点的亮度信息。
2.傅里叶变换：将灰度图像进行傅里叶变换，可以得到图像中各个频率的特征分量。
傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来实现，该算法能够高效地计算离散傅里叶变换。
3.频域分析：对傅里叶变换得到的频域图像进行分析，可以得到图像中各个频率的特征分量。
这些特征分量可以表示为幅度和相位信息，幅度表示该频率的强度，相位表示该频率的相对位置。
4.分离处理：根据需要分离和处理特定的频率成分。
可以选择保留几个频率成分，或者将几个频率成分剔除，或者对几个频率成分进行增强等处理。
5.逆傅里叶变换：将处理后的频域图像进行逆傅里叶变换，得到经过处理后的图像。
逆傅里叶变换也可以通过FFT算法来实现。
下面给出一个简单的Python代码，实现了二维傅里叶变换的分离处理。
该代码使用了Python的NumPy库和OpenCV库。
```pythonimport cv2import numpy as np#读取图像并转换为灰度图像image = cv2.imread("image.jpg")gray_image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY) #傅里叶变换（快速傅里叶变换）fft_image = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(gray_image)) #频域分析magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(fft_image))#分离处理（保留部分频率成分）rows, cols = gray_image.shapecrow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2)mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1fft_image *= mask#逆傅里叶变换（快速逆傅里叶变换）ifft_image = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fft_image)) ifft_image = np.abs(ifft_image) # 取绝对值#显示结果cv2.imshow("Original Image", gray_image)cv2.imshow("Magnitude Spectrum", magnitude_spectrum)cv2.imshow("Processed Image", ifft_image.astype(np.uint8))cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows```在这个例子中，我们首先读取并转换图像为灰度图像。
《基础强化训练》设计报告题目:二维灰度图象的统计分析及DWT变换处理专业班级：学生姓名：指导教师：信息工程学院2019 年7 月日《基础强化训练》设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：题目: 二维灰度图象的统计分析及（FFT，DCT，DWT）变换处理课程设计目的：①较全面了解常用的数据分析与处理原理及方法；②能够运用相关软件进行模拟分析；③掌握基本的文献检索和文献阅读的方法；④提高正确地撰写论文的基本能力。
课程设计内容和要求①采集一幅像素大于64*64黑白图像；②常规的数学统计数据处理：计算图象各象素点灰度值得均值、标准差、方差，并绘出灰度直方图；③采用[FFT（傅立叶变换），DCT（离散余弦变化），DWT（离散小波变化）]对图像进行分析初始条件：①MATLAB软件。
②数字信号处理与图像处理基础知识。
时间安排：第18周周一：安排任务19～20周：仿真设计（鉴主13楼计算机实验室）第20周周六：完成（答辩，提交报告，演示）指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (1)1 数据采集 (1)1.1图像的选取 (2)1.2 MATLAB编辑 (2)1.2.1 编辑M文件 (2)1.2.2 图像的读取与显示 (2)2 数据统计处理 (3)2.1 均值计算 (3)2.1.1 原理介绍 (3)2.1.2 仿真结果 (3)2.2 标准差计算 (3)2.3 方差计算 (4)图2.5方差的计算程序 (4)图2.6 方差的结果显示 (4)2.4 灰度直方图 (4)3 离散小波变换 (4)3.1 原理介绍 (4)3.2 仿真结果 (5)图3.2结果显示 (5)4参考文 (5)5心得与体会 (5)摘要MATLAB是集数值计算，符号运算及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言。
作为强大的科学计算平台，它几乎能够满足所有的计算需求。
MATLAB 本身就是功能强大的数据可视化工具，可以通过各种形式显示分析数据，例如灰度直方图、等高线、蒙太奇混合、像素分析、图层变换以及材质贴图等。
《基础强化训练》报告题目：二维灰度图象的统计分析及变换处理专业班级：通信0701学生姓名：指导教师：刘新华武汉理工大学信息工程学院年月日课程设计任务书学生姓名：专业班级：通信0701指导教师：刘新华工作单位：信息工程学院题目: 二维灰度图象的统计分析及变换处理课程设计目的：①较全面了解常用的数据分析与处理原理及方法；②能够运用相关软件进行模拟分析；③掌握基本的文献检索和文献阅读的方法；④提高正确地撰写论文的基本能力。
课程设计内容和要求①采集一幅像素大于64*64灰度图像；②常规的数学统计数据处理：计算图象各象素点灰度值得均值、标准差、方差，并绘出灰度直方图；③采用[FFT（傅立叶变换），DCT（离散余弦变化），DWT（离散小波变化）]对图像进行分析初始条件：①MATLAB软件。
②数字信号处理与图像处理基础知识。
时间安排：第20周，安排任务（鉴3-206，6月30日）第21周，程序设计与计算（鉴主13楼计算机实验室）第22周，完成（答辩，提交报告，演示）指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)1数据采集 (1)1.1图像的选取 (1)1.2图像的读取 (1)1.2.1编辑M文件 (1)1.2.2图像的读取 (1)1.2.3查看图片格式 (2)1.2.3.1判断图像真彩或是灰度图像 (2)1.2.3.2转变成灰度图像 (3)1.2.3.3判断并查看灰度图像的格式 (3)1.2.4灰度值的获取 (4)2数据统计处理 (5)2.1各像素点灰度值均值 (5)2.1.1原理及相关函数 (5)2.1.2程序执行和结果 (5)2.2像素点灰度值标准差 (6)2.3像素点灰度值方差 (6)2.4绘制灰度直方图 (6)2.4.1灰度直方图的定义 (6)2.4.2灰度直方图的绘制 (6)3傅里叶变换（FFT） (8)3.1二维离散傅里叶变换的定义 (8)3.2傅里叶变换的相关函数 (8)3.3灰度图像的傅里叶变换及其逆变换 (9)3.4傅里叶变换谱的图像分析和变换的意义 (10)4离散余弦变换(DCT) (11)4.1二维离散余弦变换的定义和应用 (11)4.2灰度图像的二维离散余弦变换 (11)5离散小波变换(DWT) (13)5.1离散小波变换的应用 (13)5.2灰度图像的离散小波变换 (13)6心得体会 (15)7参考文献 (16)摘要随着人类社会和科技的发展，人们对信息处理和交流的要求越来越高。
实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1) 建立输入图像,在6464的黑色图像矩阵的中心建立1616的白色矩形图像点阵,形成图像文件。
对输入图像进行二维傅立叶变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置,再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸(4040,44),再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。
三、 实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、 实验原理在二维情况下,定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) :2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv ππ∞∞-+-∞-∞∞∞+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系对于我们要处理的实际二维图像,其傅氏变换一般就是在频率域上有界的,亦即有用成分总就是落在一定的频率域范围之内上述的频率域性质的依据在于:一就是图像中景物的复杂性具有一定的限度,其中大部分内容就是变化不大的区域完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。
二就是人眼对空间复杂性(频率)的分辨率以及显示器的分辨能力都就是具有一定限度。
若实变量函数f(x)就是绝对可积的,即:且F(u)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。
(){}()()[](){}()()[]du ux j u F x f u F dx ux j x f u F ππ2exp 2exp ⎰⎰∞∞-∞∞-==-==1-F xf F如果f(x)考虑为实函数,它的傅立叶变换通常就是复数形式,即:()()()u jI u R u F +=也可表为:()()()u j e u F u F φ=若二变量函数f(x,y) 就是绝对可积的,即:且F(u,v)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。
图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。
1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。
对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。
则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。
正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。
按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。
二维傅里叶变换应用二维傅里叶变换（2D Fourier Transform）是一种广泛应用于数学、物理、信号处理等领域的数学工具。
它可以将一个二维函数或信号分解成一系列频率分量，从而可以更好地理解和处理这些函数或信号。
在二维傅里叶变换中，我们将一个二维函数或信号表示为两个独立变量的函数，比如在图像处理中，我们可以用坐标系表示一张图片的每个像素点的灰度值。
然后，通过对这个二维函数进行傅里叶变换，我们可以得到它的频谱表示，即频率分量的振幅和相位信息。
二维傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用。
例如，在图像压缩中，我们可以通过对图像进行二维傅里叶变换，将其表示为频域的信号，然后只保留较重要的频率分量，从而实现图像的压缩。
在图像增强中，我们可以通过对图像进行二维傅里叶变换，滤除高频噪声，增强低频信息，从而改善图像的质量。
在图像识别中，我们可以通过对图像进行二维傅里叶变换，提取出图像的频域特征，然后与已知特征进行匹配，实现图像的识别。
除了图像处理，二维傅里叶变换还在其他领域有着重要的应用。
在物理学中，二维傅里叶变换可以用于分析和处理波动现象，如声波、光波等。
在通信领域，二维傅里叶变换可以用于信号调制和解调，以及信道估计和均衡。
在医学影像中，二维傅里叶变换可以用于对医学图像进行频域滤波，从而提高图像的质量和清晰度。
在地震勘探中，二维傅里叶变换可以用于分析地震信号，从而帮助我们了解地下结构。
二维傅里叶变换的计算方法与一维傅里叶变换类似，都可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来实现。
这种算法可以大大提高计算效率，使得二维傅里叶变换在实际应用中更加可行。
二维傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学、通信等领域都有着广泛的应用。
通过将二维函数或信号转换为频率域表示，我们可以更好地理解和处理这些函数或信号，从而实现更多的应用和研究。
matlab fft fftshift(2009-04-15 10:32:51)转载▼标签：it在图象处理的广泛应用领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，具体表现在包括图象分析、图象增强及图象压缩等方面。
fftshift的作用正是让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称。
因为直接用fft得出的数据与频率不是对应的，fftshift可以纠正过来假设f（x,y）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：p=0,1…M-1q=0,1…N-1(1)或p=0,1…M-1 q=0,1…N-1（2）离散傅立叶反变换的定义如下：m=0,1…M-1n=0,1…N-1（3）F（p,q）称为f（m,n）的离散傅立叶变换系数。
这个式子表明，函数f（m,n）可以用无数个不同频率的复指数信号和表示，而在频率（w1，w2）处的复指数信号的幅度和相位是F（w1，w2）。
例如，函数f（m,n）在一个矩形区域内函数值为1，而在其他区域为0，如图所示。
了简便起见，假设f（m,n）为一个连续函数，则f（m,n）的傅立叶变换的幅度值（即）显示为网格图，如图所示。
将傅立叶变换的结果进行可视化的另一种方法是用图象的方式显示变换结果的对数幅值，如图所示。
几种简单函数的傅立叶变换的频谱可以直观的表示为图所示的样子。
2、MATLAB提供的快速傅立叶变换函数（1fft2fft2函数用于计算二维快速傅立叶变换，其语法格式为：B = fft2(I)B = fft2(I)返回图象I的二维fft变换矩阵，输入图象I和输出图象B大小相同。
例如，计算图象的二维傅立叶变换，并显示其幅值的结果，如图所示，其命令格式如下load imdemos saturn2imshow(saturn2)B = fftshift(fft2(saturn2));imshow(log(abs(B)),[],'notruesize')（2）fftshiftMATLAB提供的fftshift函数用于将变换后的图象频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为：B = fftshift(I)对于矩阵I，B = fftshift(I)将I的一、三象限和二、四象限进行互换。
二维离散傅里叶逆变换 fft傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
而傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）则是傅里叶变换的逆运算，用于将频域信号还原为时域信号。
在二维离散情况下，我们可以利用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）来进行计算，以提高运算速度。
二维离散傅里叶变换可以被看作是将一个二维时域的图像信号转换为其频域表示。
在这个转换过程中，我们需要将图像信号分解为一系列复数频率分量，并计算出每个分量的幅值和相位信息。
首先，我们需要将二维时域图像信号转换为二维频域信号。
这可以通过将图像划分为若干个小块进行处理。
在每个小块内，我们对其中的像素值进行离散傅里叶变换，得到该块的频域表示。
然后，将所有小块的频域信息合并，得到整个图像的频域表示。
在频域中，每个分量代表了某种特定频率的贡献。
频域中的低频成分通常代表了图像的整体亮度和颜色信息，而高频成分则对应着局部细节和纹理信息。
通过分析和处理这些频域分量，我们可以对图像进行去噪、滤波和图像增强等操作。
然而，在实际应用中，我们更多地需要还原出图像的时域表示，即通过逆变换将频域信号转换为时域信号。
这是因为人眼对于图像的感知是基于其时域表示的。
通过逆变换，我们可以恢复出图像的原始信息，使其可视化并进行进一步的处理。
使用FFT算法进行二维离散傅里叶逆变换可以大大加快计算速度。
FFT算法将傅里叶逆变换的复杂度从O(N^2)降低到了O(N log N)，使得在处理大规模图像时能够更高效地进行计算。
总之，二维离散傅里叶逆变换在图像处理中扮演着重要的角色。
通过将图像从时域转换为频域，并利用FFT算法进行逆变换，我们可以实现信号分析和图像处理的许多应用。
这些应用包括去噪、滤波、图像增强、压缩编码等。
因此，掌握二维离散傅里叶逆变换和FFT算法对于图像处理工程师和研究人员而言是极为关键的，它们不仅能够提高图像处理的效率，还能够改善图像的质量和视觉效果。
实用标准文案课程实验报告实验名称：实验 3 二维离散Fourier变换实验目的：理解 Fourier变换的意义和性质实验设备：微型计算机编号：软件 MATLAB 7.x实验原理：1. 选择 Lenna 图像，用 fft2 （）这个函数对其进行离散Fourier变换。
F( u , v ) 为离散图像 f ( x , y ) 的频谱。
F ( u,v)为幅度频谱（简称幅度谱）,( u,v ) 为相位谱。
而幅度谱的数值范围很大，而显示器的动态范围为8 比特，为了清楚地显示幅度谱，一般作对数处理，即D( u, v) c log[ 1 F ( u, v) ]Matlab 核心代码：A=fft2(I);%Fourier 变换Ashft=fftshift(A);%移到中心Am=abs(A); %求幅度谱Am1=0.5*log10(1+Am);%频度谱Am2=0.5*log10(1+abs(Ashft));%把频度谱移到中间Aph=angle(A);%相位谱2.实验步骤：1.选择 Lenna 图像，对其进行离散 Fourier 变换，求得幅度谱和相位谱，并显示幅度谱和相位谱。
2.（1）利用完整的相位谱和幅度谱重构 Lenna 原图像，然后仅利用相位谱重构原图像，最后仅利用幅度谱重构原图像，比较 3 个实验结果 ;（ 2）选择两幅内容不同的图像 Lenna 和 flowers ，分别进行 Fourier 变换，交换二者的相位谱后求 Fourier 反变换，观察实验结果。
3.分析 (1) 、 (2) 的实验结果，说明图像 Fourier 相位谱的重要性。
4.读取文件名为‘ text.tif ’的图像，从图中剪切字母“ t ”，利用相关定理进行模板匹配，找出图中所有 t 的位置。
实验结果及分析1.选择一幅图像，对其进行离散 Fourier 变换，求得幅度谱和相位谱，并显示幅度谱和相位谱。
2.图像的 Fourier 反变换：(1)利用完整的相位谱和幅度谱重构原图像，然后仅利用相位谱重构原图像，最后仅利用幅度谱重构原图像，比较 3 个实验结果 ;分析：(2)选择两幅内容不同的图像，分别进行 Fourier 变换，交换二者的相位谱后求Fourier 反变换，观察实验结果。
python二维傅里叶变换傅里叶变换是一种非常重要的信号处理方法。
在很多领域，比如信号处理、通信、图像处理等等中都有广泛应用。
而对于二维信号，比如图像信号，我们需要使用二维傅里叶变换。
在本文中，我们将详细介绍二维傅里叶变换的概念、计算方法以及应用。
一、二维傅里叶变换概述二维傅里叶变换是用来分析二维信号的一种方法。
它将一个二维信号分解为若干个频域分量，每一个频域分量表示了不同的频率和振幅。
这样，我们就可以在频域中分析二维信号的性质，比如频域滤波、频域增强等等。
二维傅里叶变换的定义如下：$$ F(u,v) = \iint f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)} dxdy $$其中，$f(x,y)$是原始信号，$F(u,v)$是频域的表示，$u$和$v$是频率变量，$i$是虚数单位。
这个定义非常类似于一维傅里叶变换的定义，只是将原本的一维信号变成了二维信号。
计算二维傅里叶变换需要用到快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT可以将复杂的计算变得非常高效，使得我们可以快速地计算出二维傅里叶变换。
在Python中，我们可以使用numpy包中的fft2函数来计算二维傅里叶变换。
下面是一个简单的示例：``` pythonimport numpy as np# 定义二维信号f = np.random.rand(512, 512)# 计算二维傅里叶变换F = np.fft.fft2(f)# 计算频率域的振幅谱af = np.abs(F)# 显示原始信号和振幅谱import matplotlib.pyplot as pltfig, axs = plt.subplots(1, 2)axs[0].imshow(f, cmap='gray')axs[1].imshow(np.log(1+af), cmap='gray')plt.show()```这段代码演示了如何使用fft2函数计算二维傅里叶变换，以及如何计算频率域的振幅谱并显示出来。
二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换:F (u,v )=∫∫f(x,y)e −j2π(ux+uy)+∞−∞dxdy +∞−∞二维傅里叶逆变换：f (x,y )=∫∫F (u,v )e j2π(ux+uy )+∞−∞dudv +∞−∞原理解释:二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x ，y ）的定义域。
x ，y 的积分顺序可交换，因此对f （x ，y ）做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合.离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。
因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换.离散二维傅里叶变换：F (u,v )=1MN∑∑f(x,y)e−j2π(ux M +vy N )N−1y=0M−1x=0 离散傅里叶逆变换为f (x,y )=∑∑F(u,v)e j2π(ux M +vyN )N−1v=0M−1u=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。
而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。
变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分.对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少,原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域.二．二维傅里叶变换的性质1.线性定理F[αg(x,y)+βℎ(x,y)]=αG(u,v)+βH(u,v)2.空间缩放F[g(ax,by)]=1|ab|G(u,v)3.位移定理空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变。
图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，图像处理中广泛应用的一种数学工具。
傅里叶变换将图像转换为频域信号，使我们能够观察和分析图像中不同频率的成分。
在图像处理领域，傅里叶变换常用于图像的滤波、去噪、增强等任务。
本文将介绍傅里叶变换的原理和在图像处理中的应用。
让我们了解一下傅里叶变换的原理。
傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
对于一维信号，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u) = ∫ f(x) * e^(-2πiux) dx其中，F(u)表示信号在频域中的复数表示，f(x)表示输入信号在时域中的复数表示，u表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，傅里叶变换可以应用于二维信号，即图像。
图像可以通过对其在两个方向上进行傅里叶变换，得到其在频率域上的表示。
图像的傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u,v) = ∬ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)表示图像在频率域中的复数表示，f(x,y)表示输入图像在空域中的灰度值，u和v表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，我们经常使用的是傅里叶变换的逆变换，即将图像从频域转换回空域。
逆傅里叶变换可以表示为以下公式：f(x,y) = ∬ F(u,v) * e^(2πi(ux+vy)) du dv通过逆傅里叶变换，我们可以将对图像进行频域操作后的图像恢复到原始的空域。
在图像处理中，傅里叶变换有着广泛的应用。
其中之一是频域滤波。
通过将图像转换到频域，在频域中对图像进行滤波操作，可以实现一些空域中难以实现的效果。
傅里叶变换后的频域图像中较低频率成分代表图像的平滑部分，较高频率成分代表图像的细节和边缘。
通过选择不同的滤波器，在频域中滤除或增强不同频率的成分，可以实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
傅里叶变换还可以用于图像的压缩和去噪。
在图像压缩中，通过对图像进行傅里叶变换，并保留较低频率成分来实现图像的压缩。
《基础强化训练》设计报告题目：二维灰度图象的统计分析及FFT变换处理专业班级：学生姓名：指导教师：武汉理工大学信息工程学院2010年7月17日《基础强化训练》设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：信息工程学院题目: 二维灰度图象的统计分析及FFT变换处理课程设计目的：①较全面了解常用的数据分析与处理原理及方法；②能够运用相关软件进行模拟分析；③掌握基本的文献检索和文献阅读的方法；④提高正确地撰写论文的基本能力。
课程设计内容和要求①采集一幅像素大于64*64黑白图像；②常规的数学统计数据处理：计算图象各象素点灰度值得均值、标准差、方差，并绘出灰度直方图；③采用[FFT（傅立叶变换）]对图像进行分析初始条件：①MATLAB软件。
②数字信号处理与图像处理基础知识。
时间安排：第18周周一：安排任务19～20周：仿真设计（鉴主13楼计算机实验室）第20周周六：完成（答辩，提交报告，演示）指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要........................................... 错误!未定义书签。
Abstract........................................ 错误!未定义书签。
1 数据采集...................................... 错误!未定义书签。
图像的选取.................................. 错误!未定义书签。
MATLAB读取方法............................. 错误!未定义书签。
编辑M文件.............................. 错误!未定义书签。
图像的读取.............................. 错误!未定义书签。
查看图像的格式.......................... 错误!未定义书签。
灰度值的获取............................ 错误!未定义书签。
2 数据统计处理.................................. 错误!未定义书签。
均值计算.................................... 错误!未定义书签。
原理介绍................................ 错误!未定义书签。
仿真结果................................ 错误!未定义书签。
标准差计算.................................. 错误!未定义书签。
原理介绍................................ 错误!未定义书签。
仿真结果................................ 错误!未定义书签。
方差计算.................................... 错误!未定义书签。
原理介绍................................ 错误!未定义书签。
仿真结果................................ 错误!未定义书签。
绘制灰度直方图.............................. 错误!未定义书签。
直方图定义.............................. 错误!未定义书签。
直方图的绘制............................ 错误!未定义书签。
3 快速傅立叶变换（FFT）......................... 错误!未定义书签。
原理介绍................................ 错误!未定义书签。
仿真结果.................................... 错误!未定义书签。
4 总结和心得.................................... 错误!未定义书签。
参考文献........................................ 错误!未定义书签。
摘要数字图像处理是一门新兴的综合性学科，它在交通、通信、工业、军事、医学、遥感等多领域被广泛应用。
伴随着计算机技术的发展，图像处理的应用领域还在不断扩大。
图像处理工程可分为图像处理、图像分析和图像理解三个层次,图像处理是比较低层的操作，它主要在图像的像素级上进行处理，而且处理的数据非常庞大，需要用到大量的工程数学知识。
Matlab集数值计算、符号运算及图形处理等强大功能于一体，是当今国际上公认的最优秀的科技应用软件之一。
它编写简单，具有强大的科学计算能力、可视化功能和开放式可扩展环境，因此在图像处理领域得到了广泛的应用。
本次练习就是Matlab环境下的一些最基本的图像处理操作，如图像的读取、显示、直方图统计、图像增强、傅里叶变换等处理，为将来迅速进入图像处理应用领域打下基础。
AbstractDigital image processing is a new comprehensive subject which has been widely used in many fields like transportation, communications, industrial, military, medical, remote the development of computer technology, image processing applications is still processing projects can be divided into three levels,image processing, image analysis and image processing operations are considered relatively low-level. It is mainly used on the pixel level and it handles very large it needs to use a lot of engineering mathematics.Matlab is good at numerical calculations, symbolic manipulation and graphics processing. It is internationally recognized as the best application of technology can be used for programming with its powerful scientific computing, visualization and open extensible it has been widely used in image processing.We will do the most basic image processing operations under the Matlab environment, such as image reading, displaying,histogram statistics,image enhancement and Fourier transform practice can help us prepare for do image processing quickly in the future.1 数据采集Matlab软件的图像采集工具箱提供了大量的函数用于采集图像和视频信号，该工具箱支持的硬件设备包括工业标准的PC图像采集卡和相应的设备。
所支持的硬件包括：Matrox和Data Translation公司提供的视频采集设备，同时还支持Windows平台下支持USB视频摄像头等设备。
Matlab可以支持很多很多图片的文件格式，例如﹡cur、﹡bmp、﹡hdf、﹡ico、﹡jpg、﹡tif、﹡gif、﹡pcx等。
用于读写图像数据的函数有imread（从图像格式的文件中读取数据）和imwrite（将数据写入图像格式的文件）。
这里我们主要是用到图像的读取。
图像的选取目前我们刚接触图像的处理，为了便于学习和降低难度，根据训练要求，我们采集一幅像素略大于64*64黑白图像如下：图选取的图片MATLAB读取方法编辑M文件打开Matlab软件，在File下选择New\M-File便可以编辑M文件。
M文件分为脚本式和函数式，我们可以利用M文件实现自己的算法即可以建立自己的函数工具箱。
例如读取图像我们可以编辑一个的文件来实现读取图像的功能。
在以后的处理过程中我们几乎每部分都要建立M文件，到时将具体列出其内容。
图像的读取imread函数用于读入各种图象文件，其一般的用法为：利用函数imread()可完成图形图像文件的读取，语法：A=imread(filename,fmt)fmt为图象的格式，filename为读取的图象文件（可以加上文件的路径）。
通常，读取的大多数图像均为8bit，当这些图像加载到内存中时，Matlab就将其存放在类uint8中。
例如本次练习中： I = imread（‘’）;利用函数imread函数实现图像文件的读取，然后运用imshow函数显示图像。
具体操作如下：将所要处理的图片存在D:\matlab\work里，若要将图片“”写入Matlab中。
需要先打开运行Matlab，然后在File里面新建M-File文件，再将读取图片M文件的程序如下：I= imread ('');figureimshow(I);title('西院的老树');在Matlab的command windows栏里运行read图读取后显示图片查看图像的格式图形图像文件信息的查询 imfinfo( ) 函数imfinfo( '')在Matlab的command windows栏里运行该函数，可查看该图像的格式>> imfinfo( '')ans =Filename: ''FileModDate: '25-May-2010 22:17:58'FileSize: 58954Format: 'jpg'FormatVersion: ''Width: 353Height: 250BitDepth: 8ColorType: 'grayscale'FormatSignature: ''NumberOfSamples: 1CodingMethod: 'Huffman'CodingProcess: 'Sequential'Comment: {'ACD Systems Digital Imaging'}灰度值的获取从上述文件的信息可以看到该文件的颜色类型ColorType: 'grayscale'，所以我们不需转换格式便可以查看该图片的灰度值。
