《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间

第7章紧致性§7.1紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．定义7.1.1设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间．例7.1.1实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族{ },由于它的并为(-max{},max{})所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y 的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的．定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）证明必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则容易验证集族A}也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．因此A有一个有限子覆盖，设为{},于是A的有限子族覆盖Y．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得A=∩Y．因此A}是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}此时易见A的子族{｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．定义7.1.3设A是一个集族．如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族．定理7.1.2设X是一个拓扑空间．则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．证明:设X是一个紧致空间．用反证法．设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F≠．如果，则令A={∈F}．由于所以A是X的一个开覆盖．于是A有一个有限子覆盖，设为{}．从而这说明F 不具有有限交性质．矛盾．“”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖．如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠．此时F={|A∈A}便是X中的一个非空闭集族，并且因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有一个有限子族其交为空集．设F的这个有限子族为{}，则是X的一个有限子覆盖．如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．定理7.1.3设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间．证明A* 设是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A*存在B*的一个子族使得令由于故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为,对于每一个，i=1,2,…，n，于是对于A*的有限于族{}有也就是说A*有一个有限子覆盖{ }．这证明X是一个紧致空间．定理7.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集．证明设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成．对于每一个C∈C*，由于f 是一个连续映射，（C）是X中的一个开集所以A＝{(C)|C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为{}，覆盖A即{}是C*的一个子族并且覆盖f（A）．这证明f（A）是Y的一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．证明设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子族并且覆盖X．则B1-{ }便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．定理7.1.6每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．证明:设(X,T)是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X的元素．令X*=X∪{∞}T*=T∪∪{X*}其中={EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集}首先验证T*是集合X*的一个拓扑．(略)其次．证明(X*,T*)是一个紧致空间:设C*是X*的一个开覆盖．则存在C∈C*使得∞∈C．于是C∈,因此X*-C是紧致的,并且C*-{C}是它的一个开覆盖．于是C*-{C}有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C．易见C1∪{C}是C*的一个有限子族,并且覆盖X*．最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间．这是因为T =及X是X*的一个开集．在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化．由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．定理7.1.7设是n≥1个紧致空间．则积空间是一个紧致空间．证明(略)作业:P1881．4．5．。

第五章 有关可数性的公理① 几种可数性的关系定理 5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。

证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。

对于每一个x ∈X ，根据定理2.6.7，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集．定理 5.3.l （Lindelöff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间．② 可数性的定义定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为2A 空间。

定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。

定义5.2.1 设X 是一个拓扑空间，X D ⊂．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义5.2.2 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间．定义5.3.1 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ⊃⋃A∈则称集族A 是集合B的一个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A 是集合B 的一个覆盖．如果集族A 的一个子族A1也是集合B 的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B ）的一个子覆盖．设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A 是X 的子集B的一个覆盖，则称集族A 是集合B 的一个开（闭）覆盖．定义5.3.2 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间．③ 可数性与序列定理5.1.8 设X 是一个拓扑空间．如果在x ∈X 处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域基{}+∈Zi i U 使得对于任何+∈Z i 有1+⊃i i U U ，即.........21⊃⊃⊃⊃i U U U 定理5.1.9 设X 是一个满足第一可数性公理的空间，X A ⊂.则点x ∈X 是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A －{x}中有一个序列收敛于x ．④ 性质 Ⅰ. 拓扑不变性定理5.1.4 设X 和Y 是两个拓扑空间，f: X →Y 是一个满的连续开映射．如果X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ. 遗传性定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理 5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间。

§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果x A，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是的，这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P192 1.2.。

拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是研究空间及其性质的数学学科，其中一个重要的概念是紧致空间。

紧致空间在数学和物理学中有广泛的应用，因此判定一个空间是否紧致是非常重要的。

本文将介绍拓扑学中的紧致空间判定准则，重点讨论Tychonoff定理和Heine-Borel定理。

1. Tychonoff定理Tychonoff定理是基于直积拓扑空间的一个重要定理，它提供了一种判定紧致空间的方法。

给定一族拓扑空间{X_i}，其中每个空间X_i都是紧致的，那么它们的直积空间X = ∏(X_i)也是紧致的。

Tychonoff定理的证明可以通过Zorn引理和紧致性的等价性来完成，但由于篇幅的限制，详细的证明过程在此不再展开。

2. Heine-Borel定理Heine-Borel定理是拓扑学中判定实数空间上紧致性的重要定理。

这个定理提供了一种判定有界闭集合的紧致性的准则。

对于实数空间R^n中的子集A，它是紧致的当且仅当A是有界的和闭的。

也就是说，如果集合A在R^n中既有界又闭，那么A是一个紧致集合。

Heine-Borel定理的证明可以利用覆盖定理和有限子覆盖的概念，但在这里我们不再详细阐述具体的证明过程。

3. 紧致空间判定准则在拓扑学中，我们可以利用Tychonoff定理和Heine-Borel定理来判定紧致空间。

具体步骤如下：步骤1：对于给定的拓扑空间，判断它是否可以表示为一族拓扑空间的直积。

如果能够表示为直积空间，那么应用Tychonoff定理，得出该空间是紧致的。

步骤2：对于实数空间R^n中的子集，判断该子集是否同时满足有界性和闭性。

如果满足条件，应用Heine-Borel定理，得出该子集是紧致的。

通过上述两个判定准则，我们可以判断一个空间或者子集是否是紧致的。

这些定理为拓扑学的研究提供了有力的工具和方法。

结论拓扑学中的紧致空间判定准则对于研究空间的性质及其应用具有重要意义。

Tychonoff定理和Heine-Borel定理为我们提供了判定紧致空间的有效准则，为解决实际问题提供了数学上的支持。

《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。

1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。

教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。

教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。

教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。

教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。

拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是数学中研究空间性质和结构的学科，而其中的一个重要概念就是紧致空间。

紧致空间指的是满足一定紧致性质的拓扑空间。

在拓扑学中，判定一个空间是否紧致的问题一直备受关注，并且有多种不同的准则可以用来判定紧致性。

本文将介绍拓扑学中的三个主要紧致空间判定准则。

一、序列紧致性在拓扑学中，一种常见的判定紧致性的方法是利用序列。

考虑一个拓扑空间X，如果对于X中的任意序列{xi}都存在一个收敛子序列{xi_k}，使得该子序列的极限点落在X中，那么X就是一个序列紧致空间。

例如，对于实数集R上的序列{xn}，如果该序列有一个收敛子序列，且极限点也属于实数集R，那么实数集R是一个序列紧致空间。

同样地，如果对于n维欧几里得空间R^n上的序列{xn}，存在一个收敛子序列，其极限点也属于R^n，那么R^n也是一个序列紧致空间。

二、覆盖紧致性覆盖紧致性是另一个常用的紧致性判定准则。

一个拓扑空间X被称为覆盖紧致的，如果对于X的任意开覆盖{Ui}，存在有限个开集{U1,U2, ..., Un}，使得X可以被这个有限开集合所覆盖。

换句话说，X的任意开覆盖都有有限子覆盖。

以实数集R为例，考虑一组开区间{(-n, n)}，其中n为正整数。

可以发现对于R而言，该开覆盖是一个覆盖紧致的，因为任意的开订集都可以被有限个这样的开区间所覆盖。

三、有限交性有限交性也是判定紧致性的一个准则。

一个拓扑空间X被称为有限交紧致的，如果X中的任意开集族{Vi}的有限交集为非空集合，则X 是有限交紧致的。

举个例子，考虑实数集R上的开区间{(a, b)}，其中a和b为任意实数。

可以验证，这个开集族的有限交集为空集，因此实数集R不是有限交紧致的。

需要注意的是，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是拓扑学中常用的几个紧致空间判定准则，并不是相互等价的。

也就是说，一个空间满足其中一个准则，并不意味着它同时满足其他准则。

总结起来，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是用来判定拓扑空间是否紧致的几个基本准则。

《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。

它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。

本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。

拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。

四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。

紧致性第7章7.1 紧致空间§本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn由于它的并为{ },})(-max{},max{ 1A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的．的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间XA}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此A的有限子族覆盖Y{},于是．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由YA}是由X中的开集构成的A=∩Y．因此Y的一个使得开集覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}A{此时易见的子族 Y｝覆盖Y．这证明是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．页26 共** 页2 第AA（即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族．如果AA是一个具有有限交性的一个有限子族，则如果），则称是质的集族．中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间．则X定理7.1.2每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间．用反证法．设X证明 :F≠限交性质的闭集族．设．如果AF={ ，则令}．由于∈AA{设为的一个开覆盖．是X于是有一个有限子覆盖，所以．}从而F 不具有有限交性质．矛盾．这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证”，设“X AA有一个有限子的一个开覆盖．我们需要证明是X是一个紧致空间，设明X AA的的每一个子族都是以及=X，则，这蕴涵覆盖．如果X=AAF中的一个非空闭集族，并且便是覆盖．以下假定}．此时={|A∈≠X设也就是说，它不具有有限交性质．它有一个有限子族其交为空集．因此，F，则的这个有限子族为{}的一个有限子覆盖．是X 3BB的一个覆盖当X的一个基，那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基，并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间．的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则B*A*A* 的一个子族X的一个开覆盖．对于每一个A∈证明存在设是使得令由于B*的一个覆盖，所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的设为盖，，i=1,2,…n，一,对于每，个A* {} 于是对于的有限于族有A*是一个紧致}也就是说．这证明有一个有限子覆盖{ X 空间．A是一个连续映射．如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间，f:X→Y Y）是的一个紧致子集．AX是的一个紧致子集，则f（CC，C∈中的开集组成．它由）（是证明设*fA的一个覆盖，Y对于每一个*）是（f由于是一个连续映射，CX中的一个开集页26 共** 页4 第CA的一个紧致子集，XA是*}所以是＝A{的一个开覆盖．(C)|C∈由于A{有一个有限子族，设为}，覆盖A所以C的）是Y）．这证明f（}是A*的一个子族并且覆盖f（即{A 一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚由此可见，由于实数空间R 的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．定理A的一个覆盖，它由中的一个闭子集．如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子1X 的一个开覆盖．设是X中的开集构成．则是AB的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y便是}是族并且覆盖X．则X1-{的一个紧致子集．每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．定理7.1.6T)的元素．令是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}TT∪{X*}*=∪T})中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑．首先验证 (略)5T:(X*,是一个紧致空间*)其次．证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖．则存在C ∈,使得∞∈C．于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖．于是,-{C}C*CC X*-C．易见1∪{C}是．的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间．这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集．因为TT通常(X*,*),)构造出来的紧致空间在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T的一点紧化．称为拓扑空间(X,)由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．空空n≥1是个紧致定间理7.1.7 设．则积间是一个紧致空间．) 证明 (略作业: ．5．P188 14．§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.页26 共** 页6 第在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后空间的连续映射的一个十分重要的Hausdorff半部分，我们给出从紧致空间到性质．x∈X的一个不包含点A是X定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果．和V使得的紧致子集，则点xU∩V=和紧致子集A分别有开邻域U 是一个．对于每一个y∈A，由于是一个紧致子集，x∈证明设AX域个开邻故存在x的一Hausdorffy和的一个开邻域空间，它有一个A的一个开覆盖，．集族{|y∈A}明显是紧致子集，它们分A．令}有限子族，设为 {，覆盖有：i=1，2，…，n别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个所以Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．推论7.2.2x∈X，如果的一个紧致子集．对于任何设A是Hausdorff空间X 证明中，的凝聚点都在A因此凡x，xA则根据定理7.2.1可见不是A的凝聚点．A A从而是一个闭集．结合定理推论7.2.2 可见：7.1.5空间中，一个集合是闭集的充分必Hausdorff在一个紧致的推论7.2.3要条件是它是一个紧致子集．7中的几个简单而常7.2.3和推论7.1.5，推论7.2.2为了加强读者对定理用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致子集紧致空间：闭集空间：闭集紧致子集 Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间都是正则空间．7.2.4 每一个紧致的Haudorff推论中的一个不Xx是设证明 A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，），所7.1.5A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理属于集合VU和A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域以 X使得是一个正则空间．U∩V=．这就证明了的两个无交的B是X和定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A ．V 使得紧致子集，则它们分别有开邻域U U∩V=和x∈A，根据定理X的两个无交的紧致子集．对于任何A 设和B是证明|x∈A}是{．集族和集合B分别有开邻域7.2.1，点x A它有一个有限子族，设为{．令}，覆盖A紧致子集的一个开覆盖，有，2，…，n由于对于每一个i＝1 U∩V=∩V=，所以．7.2.5空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理由于Hausdorff 立即有：7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是推论的，页26 共** 页8 第根据这个推论联6.4.3直接推出．这个结论也可以根据推论7.2.4和定理我们可空间这一事实，并且留意到每一个紧致空间都是系着表6.1Lindeloff 在紧致空间中分离性公理显得特别简单．有图表7.1．从这个图表中可以看出，：紧致空间中的分离性公理图表7.1是UX是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，定理7.2.7 设使得的一个开邻域，则存在．A的一个开邻域AV的一个开邻域．对于A中的一个紧致子集，是正则空间XU是证明设A的|x∈A}是紧致子集集族{x∈A，点任何xA有一个开邻域使得．令A}，它一个开覆盖，它有有限子族，设为，覆盖{A是的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并空间，所以它明显地蕴Lindeloff不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是涵于定理6.4.3中．．在那个正．3然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2 规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．9是一个连Y是一个紧致空间，是一个Hausdorff空间，f:X→Y证明设X A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理续映射．如果中的一个紧致子集（参见Hausdorff空间Y）是7.1.5），因此它的象集f（A ）．这证明f是一个闭映射．定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：空间的任何一个既单且满的（即—7.2.9 从紧致空间到Hausdorff推论一的）连续映射都是同胚．:作业 1.2. P192n 维欧氏空间§7.3中的紧致子集使＞0AX．如果存在实数M定义7.3.1 设（X，ρ）是一个度量空间，的一个有界子集；如果XA是对于所有x，y∈A得ρ（x，y）＜M成立，则称X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．定理7.3.1 紧致度量空间是有界的．证明设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x ∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M页26 共** 页10 第的n维欧氏空间因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别每一个紧致子集都是有界的．是一个紧致空间的证明．尽管读者可[0,1]下面作为引理给出单位闭区间能早已熟知这个结论．引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．A是[0，1] 设的一个开覆盖．令证明A有一个有限子族覆盖[0，P＝{x∈[0，l]|x]}它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明，P．因为显然0∈P;（l）（2）P是一个开集．A{}，覆盖[0，设x∈P．则x]有一个有限子族，设为．当x=1时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这由于是[0，i0,1≤i0≤n,有x1]∈.中的一个开集，所以时对于某一个)ε)x＋[0，．于是[0，.．这蕴涵使得存在实数ε＞0[x，x+εPx+ε)．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集．1]．另外根据(1)的定义可见，[x设，x∈=[0,1]-P．根据集合P A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε0可见．＜x.选取选取A∈,x]∩P≠，设z ∈（x－ε（A．假如x－ε，x]∩P．则x]－0＞使得（xε，AAAA1∪{A}覆盖[0，x]有一个有限子族，这1覆盖[0,z]，因此的有限子族,1],从而,(x-ε,x]－（，即xεεx所以P与x矛盾．（－，x]∩P=的一个内点．这证明x因此是是一个开集，即P是一个闭集．11是一[0,1]，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于根据上述三条，P是[0A有一个有限子族覆盖个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说是一[0，1]，［0，1］．以上证明了[01]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故个紧致空间．］同胚，所，1b任何一个闭区间[a，b]（a＜），由于它和单位闭区间［0中任何一个闭维欧氏空间以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n方体（a＜b）也是紧致空间．是一个紧致子集n维欧氏空间则A定理7.3.3 中的一个子集．设A是是一个有界闭集．当且仅当A设证明ρ是n维欧氏空间的通常度量．，它是有界”:如果7.3.1A是一个紧致子集，则根据定理“，它是一个闭集．的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2是紧致的．下设是一个有界闭集．如果”:设AA=，则“A ．任意选取(xM，yA）＜＞．于是存在实数M0使得对于任何x，y∈A有ρ）∈0），其中，x00=，…，（0，0（x0∈A，并且令．容易验证N=M十ρ0作为紧致空间．（根据三角不等式）A中的一个闭子因此A 集必定是紧致的．则存是一个连续映射．设7.3.4 X是一个非空的紧致空间，f:X→R定理有x0在，x1∈X使得对于任意x∈X ）≤f(x)≤f(x1) f（x0换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．页26 共** 页12 第中的一Rf（X）是实数空间由于X紧致，故根据定理7．1．4可见证明Mf(X)是一个闭集．设m和个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以使得，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈Xm分别为集合f（X）的下，上确界，则f．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f(x0)＝m和f(x1)=M （x0）≤f(x)≤f(x1).维欧氏空是一个有界闭集，所以是紧致的，此外，由于mn 维单位球面不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：间维单位球面与n不同胚．设定理7.3.5 m，n∈Z+．则m维欧氏空间这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．作业:1. 2. P196几种紧致性以及其间的关系§7.4:本节重点掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．实数空间中的一个子集读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．13不难发现这四条中以读者应当早就有所体会了．这几个条件的重要意义，）三条中所涉及惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是（2），（3）和（4一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下 5）作为讨论的中间站．条件（ A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．（5）的每一个可数开覆盖都有有限定义7.4.l 是一个拓扑空间．如果X设X 子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理7.4.1的可数紧致空间都是紧致空间．定理7.4.2 每一个Lindeloff的每一个无限子集都有凝聚点，X是一个拓扑空间．7.4.2 设X如果定义 X是一个列紧空间．则称拓扑空间定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于所以存在a的一个开邻域使得不是每一个a∈A，由于aA的凝聚点，}是|a ∈A}∪{X的一个开覆盖．由于X是可数紧致∩A={a}．于是集族{页26 共** 页14 第无交，由于{与A} 空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为所以必定覆盖{A．因此，})∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个A=(矛盾．是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：定义7.4.3 设 i∈Z+成立，即对于每一个则称序列是一个下降序列．在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．是一个可数紧致空间当是一个拓扑空间．则拓扑空间X引理7.4.4 设X集下降序列，有非个任何一非空空闭的交，即且中仅当由X得使序列降闭中空证明数设可紧致间X的非空集下于是}{ 设为的一个开覆盖，X是它有一个有限子覆盖，由此可得这是一个矛盾．中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如X另一方面，设拓扑空间没有{ 有一个可数开覆盖，X则X果不是一个可数紧致空间，设为}， i∈Z+，令有限子覆盖．对于每一个15的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：X}则也是{．由此因此是一个非空闭集下降序列，所以．也就是说}{不是的一个覆盖，这是一个矛盾．可见X每一个列紧的7.4.5 定理空间都是可数紧致空间．不是一个可数紧致空间，则根据空间．如果证明 X设X是一个列紧的中有一个非空闭集下降序列，,使得在每一个引理7.4.4X A={中选取一点}，并且考虑集合，和一个正整数的严格递增序列n1如果A是一个有限集，则必有一点x∈A ．这是因为，n2，…使得于是对于任何i∈Z+有x∈，这与反证假设矛盾．于是x∈有一个凝聚点，设为是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以AA设空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个．由于X是一个y于由凝个聚点；又也i∈Z+，点y合是集的一．这也与反证假定矛盾．中的每一个序列都有一个收敛X设X是一个拓扑空间．如果定义7.4.4是一个序列紧致空间．的子序列，称拓扑空间X定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．页26 共** 页16 第{}是X设X是一个序列紧致空间，中的一个非空闭集下降证明．在每对于每一个i∈Z+，序列．．根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间．定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．于是i∈Z+，令和．对于每一个是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有．由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域满足条件：}对于任基{ 意j∈Z+成立．令l，令对于每一个i＞是一个严格递增的于是 ,对于每一个正整数序列．并且i∈Z+成立．存在U设是x的一个邻域．：收敛于的子序列}我们来证明序列{{}x时我们有k i某一个k∈Z+,使得，于是当＞7.2根据本节中的各个定理，我们可以得到图表．17根据这个表立即可以知：的一个子设X是一个满足第二可数性公理的X空间，推论A7.4.8 是集．则下列条件等价：的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（Al）（）2A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；中的点；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A （ 4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中．的子集以上推论成立，并且推论中的每维欧氏空间特别，对于n 是一个有界闭集．一个条件都等价于A作业:P201 1度量空间中的紧致性§7.5本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff页26 共** 页18 第本并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．空间，因此从定理7.4.2 节研究这个问题并给出肯定的回答．的直径）中的一个非空子集．集合，ρA定义7.5.1 设A是度量空间（X （A）定义为diam (x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=sup{ρ A是无界的diam(A)=∞若AλX的一个开覆盖．实数定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，是A只要中的任何一个子集A＞0称为开覆盖，的一个Lebesgue数，如果对于X A包含于开覆盖的某一个元素之中．diam（A）＜λ，则 A Lebesgue的开覆盖数不一定存在．例如考虑实数空间R {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}数．（请读者自补证明．）则任何一个正实数都不是它的Lebesgue序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有数定理] 定理7.5.1[Lebesgue一个Lebesgue数．A是XX设是一个序列紧致的度量空间，的一个开覆盖．假若开覆证明AA的Lebesgue不是数，所数,则对于任何i∈Z+,实数1/i盖没有LebesgueA的任何元素之中．不包含于 EiE）＜1/i并且E,以X有一个子集使得diam（之中任意选取一个点,由于在每一个X是一个序列紧致空间，所以序A是X列．由于的一个开覆盖，故有一个收敛的子序列A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（yA．由存在A∈，ε）时．令k为任＞于，所以存在整数M0使得当i>M 则对于任何,M+2/有 k意一个整数，使得＞ε19εy ρ）＜（（x，y）≤ρ（x，，）＋ρ这证明A的选取矛盾．与每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．定理7.5.2A的一个开覆盖．根据定理是X 设X是一个序列紧致的度量空间，证明A 0．Lebesgue数，设为λ7.5.1，X的开覆盖＞有一个BB有一个有的一个开覆盖．我们先来证明/3)}．它是令X={B(x,λ限子覆盖．B，假定点1．对于i假设＞没有有限子覆盖．任意选取一点∈X 已经取定，由于．按照归纳原则，序列,选取不是X的覆盖(i,j∈Z+,i≠j，有ρλ/3．序列已经取定．易见对于任何)>中最λ/6)没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y, X是序列紧致空间相矛盾．多只能包含这个序列中的一个点．）这与B的一个有限子覆{}是开覆盖现在设存在i=1,2,…,n盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个使得A的一个子覆盖．{}λB(,是/3)．于是以及前一节中的讨论可见：因此，根据定理7.5.2定理7.5.3 设X 是一个度量空间．则下列条件等价：页26 共** 页20 第是一个紧致空间；）X （1 ）X是一个列紧空间；（2 ）X是一个序列紧致空间；（3 X是一个可数紧致空间．）（4以示强调．的结论列为图表我们将定理7.5.37.3作业: P205 1．本章总结： 1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．（ 2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．（）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵（3 涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．仿紧致空间§7.6 局部紧致空间,:本节重点掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．21中的每一个点都有一个紧致的如果X定义7.6.1 设X是一个拓扑空间, 则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．邻域,因为紧致空间本身每一个紧致空间都是局部紧致空间,,由定义立即可见便是它的每一个点的紧致邻域．因为其中的任何一个球形邻域的闭包都维欧氏空间也是局部紧致空间,n 是紧致的．定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间．的一个开邻x∈X,U是x是一个局部紧致的Hausdorff空间,设证明设X中的是XHausdorff空间X的紧致子集,DD域．令是x的一个紧致邻域,作为所以是一个空间,闭集．由推论7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的Hausdorff在拓是集合中的一个开邻域,D其中正则空间．是x在子空间D中DD中有一个开邻域V使得它在子空间扑空间X中的内部．从而x在子空间V因此,并且又包含于W,．一方面的闭包包含于WV是子空间D中的一个开集另也是X中的开集．是WX中的一个开集,所以V 是子空间W中的一个开集,而因此点中的闭包D中的闭包便是V在X的闭集一方面,由于D是X,所以V在使得是一个正则空间．．因此Vx在X中的开邻域X的所有紧致邻定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x 域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．是则x的一个开邻域．设证明 U是x∈X令D为的一个紧致邻域,闭使得．Vx,X的一个开邻域．x因为是正则空间所以存在的开邻域页26 共** 页22 第以上证并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．集是x的一个闭邻域,中包含着某一个紧致邻域的任何开邻域U．明了在x:从前面两个定理立即可以推出的所是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点xX推论7.6.3 设处的一个邻域基．有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间．定理是一个完全正则空间我们验证X设X是一个局部紧致的正则空间．证明:如下由的一个开邻域．使得是B和是X中的一个闭集,x设x∈X 的一个子空间是使得XV作为7.6.2,定理存在x的一个紧致闭邻域V,．因此是完全正则的．因而存在连续映射),(正则是可遗传的紧致的正则空间g(y)=1．g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有定义映射hh:是一个连续映射使得．显然 f:X→[0,1],使得对于任何z∈X定义映射因为如果,f首先,映射的定义是确切的其,则有g(z)=1=h(z)．f(x)=0,显。