高考数学专题复习抛物线中的最值问题精品PPT课件

B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P在抛物线的
弧AB上运动，求： △ABP的最大面积及此时点PL的
坐标。
y A(4,4)
分析1：动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出
点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最
大距离，也就求出了△ABP的最大面积。
P
o x
分析2：我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线 B(1,-2)
几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的 定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离， 将图形局部进行转化，使最值问题得以求解
例二、 点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),求|PA|的最小值，并求P点的坐标。 目标函数法
解 ： 设P(x, y)
P点 在 抛 物 线 上 ，y 2 x
PA (x 3)2 y 2
抛物线中的最值问题
泰顺中学 林晓挺
例一、
已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物 线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P的坐标
分析：如图，由抛物线的定义：
M
抛物线上的点到焦点的距离与到
F
准线的距离相等。
即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共
即为所求。3x-4y+b=0
①
y=x2
②
②代入①可得：4x2 -3x+b=0
∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可得
法二、9 16
L与L1的 距 离 是
L
o
x
d
6
(
9 16
)
32 (4)2
87 80
为 所 求.
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、
x2 6x 9 x
x2 5x 9
(x 5 )2 11 x 0
2
4
当x 5 时 ，PA 取 最 小 值 11 。
2
2
P点
的
坐
标
为
5 ， 2
10 2
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上
一动点，求|PQ|的最小值
11 2
1
并求P点的坐标。 目标函数法
相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距 离，从而求出△ABP面积的最大值和点P的坐标。
小结：
对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值 问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的 距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判 断方程的判别式寻求题目的答案。
练习：
1、求抛物线y2=64x上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 时抛物线上的点的坐标
课堂小结：
在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：
函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数， 再探求目标函数的最值方法。
判别式法：利用已知条件构造一个含有某一变量的一 元二次方程，通过判断方程的判别式寻求 题目的答案。
设抛物线方程为 x2 = 2py ( p>0).
将 x∴=抛2物, y线=方8程代为入抛x物2 =线y方/2程，得 p = 1/4, 解法1 设圆心在y正半轴且过原点的圆方程为
x2 + ( y －r)2 = r 2 将它代入抛物线方程，消去 x ，得
y2 + (1/2 －2r )y = 0
∴ y1 = 0 , y2 = 2r －1/2
一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一此大小不等的玻璃球依次放入直 角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底。但若将这些玻璃球放入抛物线酒 杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯底部，张华想用所学数学知识研究一下，当玻璃 球的半径 r 为多大时，玻璃球一定会触及酒杯底部。你能帮助张华解决这个问题吗？
解：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，
要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部， 则要求 y2 = 2r －1/2 ≤0
设抛物线方程为 x2 = 2py ( p>0). 将 x = 2 , y = 8 代入抛物线方程，得 p = 1/4, ∴抛物线方程为 x2 = y/2
解法2 设抛物线上动点P的坐标为（a , 2a2),过 原点的圆方程为 x2 + ( y －r)2 = r 2
y
y=x2
3x 4y 6 d
5
3x 4x2 6
5
4(x 3 )2 87
8
16 x R
5
当x 3 时 ，d有 最 小 值 为87 。
8
80
p点坐标为 3，9
P(x,y)
o
x
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此
时的直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离
P
N
M
F
解： 如图所示
在抛物线 y2 = 2x上任取一点P’(x’,y’),作 P’N’⊥准线L，作MN ⊥L ，MN交抛 物线于P（x，y）由抛物线的定义得：
N’
N
M
P
F
|P’F|= |P’N’| 即：|P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M|
当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线，
若要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部，则P 到圆心（0，r）的距离要恒大于等于r
即 a2 + (2a2－r)2≥r2恒成立 ，
即r≤a2 + 1/4 恒成立，
∴ 0<r≤1/4
例二、设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线L: 3x-4y-6=0的距离的
最小值，并求出P点坐标。
法一、目标函数法
解 ： 设P(x, y) P点 在 抛 物 线 上 ，y x2
∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF| 又∵点P的纵坐标等于点M的纵坐标，即y=2 所以，点P的坐标为（2，2）
练习、
P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（9 8,7）,求
P到x轴与到点A的距离之和的最小值
y
y
P A
P A
F O
所 求p点位 置
F
x
O
x
Q
小结
解 ： 设P(x, y)
P点 在 抛 物 线 上 ，y 2 x
PA (x 3)2 y 2
x2 6x 9 x
x2 5x 9
(x 5 )2 11 x 0
2
4
当x 5 时 ，PA 取 最 小 值 11 。
2
2
问题1 张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰三角形，称之为直角酒 杯，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯k 口宽4cm，杯深8cm ,称之为抛物线 酒杯。