24第20章_非线性动力分析_李永双概论

uc
iL
R1
R2 R2
e
2.2 线性系统的状态空间描述
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
L(R1 R2 ) e(t)
R1
C
iC
L
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述
（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
电路系统状态空间描述的列写示例
uc R1i
R 2C
d uc dt
L
diL dt
L
R1C
d uc dt
L diL dt
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。
动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。
1.输入变量组
u
系统变量可区分为三类形式 2.内部状态变量组
3.输出变量组
y x
系统动态过程的数学描述 1白 . 箱描述:内部描述(状态方程和输出方程) 2.黑箱描述: 外部描述(输入, 输出变量组的关系)
y(s) u(s)
sn
bn1sn1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不

非线性电力系统分析与控制讲义甘德强从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。

给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。

因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。

例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。

这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。

除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。

电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。

本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。

经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。

讲义为大学电力系统专业研究生使用。

课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。

预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡－方万良－杜正春著）和现代控制理论（如豹著）。

课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。

在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：1.H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second edition, 19962.S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, New York, 19993.M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,NJ, USA, 1993目录一．概论 (3)1．1 平面线性系统 (3)1．2 非线性系统 (5)参考文献 (7)二．常微分方程基本定理 (7)2．1 数学基础 (7)2．2 解的存在唯一性 (10)2．3 解对初值的连续性 (13)参考文献 (13)三．稳定性理论 (13)3．1 自治系统平衡点稳定性 (14)3．2 自治系统中心流形 (21)3．3 自治系统稳定域 (22)3．4 自治系统全局稳定性和有界性 (24)3．5 非自治系统稳定性 (25)练习 (26)四．微分－代数方程 (27)五．暂态稳定分析和预防控制 (27)6．1 数学模型 (27)6．2 仿真法 (28)6．3 直接法 (28)6．4 暂态稳定预防控制 (28)参考文献 (28)符号说明 (29)研究生课程教学大纲 (29)一．概论1．1 平面线性系统考虑下述天然“解耦”的平面系统：11222x x x x =-=，或者采用矩阵形式：11221002x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统的解为：11222()(0)()(0)ttx t x e x t x e -==，或者采用矩阵形式：11222()(0)0()(0)0tt x t x e x t x e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 注意解曲线满足关系：11222(0)(0)x x x x = 12,x x 组成了所谓相平面，上述关系可以采用相图表示，如下图。

的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）

分形（Fractal）：分形的突出特征是自相似性。在晶体生长，DNA复制过 程中，人们都会遇到分形生长。
孤立子（Soliton）：孤立子（或孤立波）是一种非线性效应，它能够保持 其速度和形状长时间传播。孤立子理论在光纤通信，蛋白质和DNA作用机 理，以及弦论中都有重要应用。
模式形成（Pattern formation）
课程名称：非线性物理
教学参考书：
Nonlinear Physics
总学时：30
非线性物理概论，陆同兴 编著，中国科学技术大学出版社。 非线性物理学，席得勋 编著，南京大学出版社。 非线性物理理论及应用，周凌云等 编著，科学出版社。 非线性动力学与混沌基础，刘秉正 编著，东北师范大学出版社。 非线性物理学，卓崇培 主编，天津科学技术出版社。
绪论：何为非线性和非线性科学？
二十世纪初量子力学和相对论的创立，因为提出了突破人 们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领 域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。 牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微 观尺度（<10-10m），应该取代为量子力学，当物体的速度 接近于光速（～10 8m/s），则相对论是正确的。
客观世界本来就是非线性的、复杂的。非线性物理就是一 门以非线性系统的普遍规律及客观世界的复杂性本身为研究 对象的学科，它在上一世纪八十和九十年代蓬勃发展，也将 成为新世纪物理学研究的最前沿。
目前非线性物理学中研究得最为广泛的领域主要有以下方面：
混沌理论（Chaos theory）：混沌是一种源自于（非线性的）决定性规律 的无序状态。混沌的最大特点是具有高度初值敏感性，无论多么微小的微 扰，在足够长的时间後都会使系统彻底的偏离原来的状态。大气就是典型 的混沌系统，因而长期天气预报是不可能的。

现代物化 非线性动力学
第13页
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FKN机理
现代物化 非线性动力学
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铈离子起催化剂作用，在反应过程中并无消耗，也不出现在总的 反应式中。由于BrO3-并不和有机酸直接反应，因此在B—Z反应过程中 ，包含着若干中间反应步骤，FkN机理包括的主要中间反应步骤列在表 1．1中，其中ki是第i个反应步骤的速率系数，vi是第i个反应步骤的 速率，M代表摩尔浓度，s代表秒，MA和BrMA分别为CH 2(COOH)2和 BrCH(COOH)2的缩写。按照FKN机理解释、引起反应体系呈现振荡行为 的关键组分是中间化合物HBrO2，Br-和Ce4+。其中，Br-起到控制过程 的作用，HBrO2起到切换开关的作用，而Ce4+起到再生Br—的作用。
主要技术
曲 线 参 数
促进
抑制
应用体系
物资浓度
优点
现代物化 非线性动力学
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2015年5月5日星期二
应用举例 • 金属离子的检测
有人提出机理认为条件
Ru(Ⅲ) 和Ru(Ⅳ) 的硫酸盐可增加B-Z振荡的频率， 是金属离子必须有两个 Ru浓度与振荡周期的减少呈线性关系;Hg(Ⅱ)和Ti 稳定氧化态，且只能转 ( Ⅰ)可以通过增加B-Z反应的诱导期而能被测得； 移一个电子。 其他金属离子原理类似。
过程中,如CO的气相氧化，烃类燃烧中的热振荡等。有人认为爆炸反应亦
属此类。 尤其值得注意的是振荡现象发生在许多生物化学反应系统中。在
这里细胞起着化学反应器的作用。例如，振荡反应保持着心跳的节奏，振
荡反应出现在葡萄糖转化为ATP(三磷酸腺甙)的糖解循环中等等。因而更 加引起人们的关注。 现代物化 非线性动力学 第22页 2015年5月5日星期二

图 9 连桥分析模型 Fig． 9 Analysis model of corridor
采用非线性动力时程分析方法，计算地震作用下 塔楼主体结构及连桥结构间内力及位移响应，其中时 程分析输入地震波考虑三向地震共同作用。非线性 动力分析考虑这些单元的非线性属性及耗能作用，时 程积分采用非线性模态积分（ FNA） 方法。
图 4 连桥阻尼器平面布置图 Fig． 4 Layout of damper
2 分析模型及工况说明
图 3 连桥隔震支座布置图 Fig． 3 Layout of FPB support
2． 1 单元及参数 2． 1． 1 摩擦摆隔震单元
柔性 连 接 隔 震 支 座 采 用 摩 擦 摆 式 支 座 （ 简 称 FPB） 作为隔震支座，其基本原理如图 5 所示：
实际工程项目结构体系概况： 连桥连接的两栋塔 楼结构高度分别为 129． 60m 和 104． 90m，二者均为混 凝土框架核心筒结构，核心筒尺寸为 9． 0m × 43． 5m 居 中布置。二者的结构高宽比分别为 4． 6 和 3． 7，核心 筒高宽比为 14． 4 和 13． 4。
·2·
土木工程学报
摘要： 阐述高位连体结构弱连接支座位移过大产生的原因及危害，提出支座位移设计及控制的理念与原则，给出布
置阻尼器控制支座位移的方法。采用关节式圆盘形 FPB 隔震支座，布置黏滞阻尼器单元，通过非线性动力时程分
析方法，对比分析控制措施前后的支座位移结果。对地震作用下高位连桥支座位移进行解析，明确了支座位移分
量与主体结构间相对变形的内在联系，得到通过提高连桥与主体结构之间的协同变形能力，实现支座位移控制方
法的理论依据。算例分析给出采用控制措施前后弱连接支座轨迹曲线、支座位移幅值时域对比曲线、阻尼器耗能

反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。

两种拉格朗日法T.L和U.L.几何非线性计算对比分析作者：张凯庆李永刘张璇赖建聪来源：《科技创新与应用》2016年第19期摘要：文章针对材料几何非线性特性，选取周边固支受均布载荷作用的圆板，分别利用两种拉格朗日法T.L和U.L.进行计算，最后进行对比分析。

通过对比发现，两种计算方法相差很小。

关键词：几何非线性拉格朗日法；TL法；UL法1 计算工况周边固支受均布载荷作用的圆板，其几何参数为：R=50.0cm，h=1cm，E=2.0E6kg/cm2（或2.56E6kg/cm2），v=0.3，？滓s=17.32kg/cm2，圆板大挠度理论解公式：wc/h+A（wc/h）3=Bq（a/h）4/E，将计算模型划分为15个单元，按15个等增量步计算中心点的载荷-位移曲线。

2 数值解计算与对比划分模型如图1所示。

单元划分及节点信息单元划分：径向划分15个8结点等参单元；结点总数：78；R向位移约束数：6；Z向位移约束数：3；均布力数：15。

边界条件：上边界作用均布力15；下边界自由；左边界简支；右边界固支根据几何非线性程序计算，可以得到TL和UL两种方法的中心点载荷位移曲线。

TL法结果如表1所示，UL方法结果如表2所示。

两种方法所得到的位移曲线比较如图2所示。

参考文献[1]李元媛，淡勇，蔡睿贤.理想塑性轴对称平面问题的解析解[J].机械工程学报，2009，7：270-273+277.[2]张年文，童根树.平面框架几何非线性分析的修正拉格朗日-协同转动联合法[J].工程力学，2009，8：100-106+130.[3]J.E.Barradas Cardoso，Nuno M.B. Benedito，Aníbal J.J. Valido.考虑翘曲变形的复合材料叠合梁几何非线性的有限元分析[J].钢结构，2009，10：82-83.[4]周凌远，李乔.基于UL法的CR列式三维梁单元计算方法[J].西南交通大学学报，2006，6：690-695.。

星期五
星期六
制剂新技术（4-16周）2414 载运工具系统动力学及控制 毛务本 2416 机电伺服系统 殷苏民 2418 非线性振动 毕勤胜 2419 液压动力控制工程 方昌林 2419 虚拟机器系统 马履中 2420 薄板成形力学 袁国定 2115 经济预测与决策 王邦兆 2215 电子商务系统开发 周莲英 2604 专家系统 程显毅 2604 虚拟现实 刘一松 2609 仿真技术 毕建良2609 1/2/3/4节 实验动物学 机能实验室 生物医学机能实验方法与技术 机能实验室 西方马克思主义 吕 1806 细胞和分子生物学技术5-18周 钱/胡 北固互动教室 混凝土结构理论 刘荣桂 2420
高等物理化学 倪良 2414 企业技术管理与新产品开发 梅强 2414 开关磁阻电机调速系统的理论与设计 孙 2416 西方翻译理论 任晓菲 2418 离散事件系统理论 赵不贿 2418 混凝土结构理论 刘荣桂 2420 审计理论与实务 许良虎 2215 企业战略管理研究 梅强 2602 工业控制计算机网络与集散控制 李正明 2602 分布式机计算机系统 鞠时光 2604 地理信息系统 陈天滋 2604 现代控制理论 凌智勇 2609 车辆新技术专题 宫 镇、周孔亢等 2405 计算机模拟及其在工程中的应用 2603 生物化学与分子生物学技术 刘晓勇 2416 试验设计与数据处理 赵杰文 2608 环境系统分析 王明显、郑铭 2603 生物分离工程 刘瑞江 2315 知识产权保护法 2215 西方文化专题研究 2313 非线性泛函分析 王丽霞 2419 近代分析测试技术 邱凤仙 2414 企业技术管理与新产品开发 梅强 2414 载运工具运行安全技术 朱茂桃/葛如海 2416 随机网络及应用 朱翼隽 2416 西方翻译理论 任晓菲 2418 资产评估 赵喜仓 2215 区域经济学 江心英 2313 企业战略管理研究 梅强 2602 工业控制计算机网络与集散控制 李正明2602 传感器技术 陈翠英 2609 控制系统的数学仿真 刘国海 2610 数据挖掘 朱玉全 2604 数据通信与internet 陈祖爵 2604 并行设计原理及应用 顾寄南 2609 现代食品工程新技术 马海乐 2608 仪器分析 陈斌，刘天行 2608 混凝土结构理论 刘荣桂 2420

非线性系统Nonlinear Systems Analysis•第一章绪论3学时•第二章相平面分析3学时•第三章稳定性理论基础6学时•第四章非线性系统的线性化方法6学时•非线性控制理论应用（讨论）3学时•第五章变结构控制6学时•第六章混沌与分岔3学时•第七章自适应控制2学时•第八章非线性系统的H∞控制1学时•非线性控制理论应用（讨论）3学时•根据实际情况，各章所用学时会稍微有所调整。

主要内容及学时安排参考书目[1] 高为炳. 非线性控制系统导论（第2版），科学出版社，1991.[2] 冯纯伯,费树岷.非线性控制系统分析与设计（第2版），电子工业出版社，[3] J．-J．E．斯洛廷李卫平著．应用非线性控制．[4] 贺昱曜,闫茂德．菲线性控制理论及应用．西安电子科技大学出版社，[5] 刘小河. 非线性系统分析与控制引论. 清华大学出版社[6] H.K.Khalil. Nonlinear Systems. Macmillan PublishingCompany第一章绪论系统控制理论的研究对象1、系统：由相互关联和相互制约的若干“部分”组成的具有特定功能的一个“整体”。

2、动态系统：运动状态按确定规律或统计规律随时间演化的一类系统，也称动力学系统。

是系统控制理论研究的主体。

表征系统动态过程的数学描述具有两类基本形式：内部描述和外部描述。

动态系统可以分为：连续变量系统和离散事件动态系统、线性系统和非线性系统、连续时间系统和离散时间系统。

一、控制理论所研究的控制系统的问题：简单地讲就是系统的输入、输出问题。

1、给定输入时系统的输出怎样变化？这属于系统分析问题。

2、怎样使系统的输出按照希望的方式运动？该问题称为系统的综合问题。

二、控制系统的分类对于一个实际的控制系统，不论是进行分析还是进行设计，首先一项任务就是要求出受控对象的物理模型和数学模型。

如：光、电、磁、力、热等的传导，及刚体、弹性体、液体和气体的运动。

统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyapunov第二方法。
2.极限环
非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周 期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。
例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼 器系统）为： 2c( x 2 1) x kx 0 m x
c 和 k 为正常数，分析该系统的特点） （ m、 • 非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持 续振荡。 • 极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和 有益两种情况，应分别对待。
ax x 3 0 x
当
a 由正变负时，一个平衡点分裂为三个点
（x e 0, a , a ），这表明系统的动态特性的质变，
a 0 为一临界分叉值。
4.混沌
1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具 有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非 周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别 常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三 条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和 对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、 奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度 熵等。
三、非线性控制理论
有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下 将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态 品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例 如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们 熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统 理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的， 并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述 函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、 输入输出稳定性理论等。

Ξ 收稿日期: 2000201204 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (2963404322) 作者简介: 王克俭 (1971- ) , 男, 博士生. 联系人: 周持兴.
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距, 在高频区, 符合较好。 作为近似处理, Γ1 和 G1 取纯 PP 的值, Γ2 和 G2 取复合材料的值。 无 量纲材料数据列于 T ab. 1 中, 方程 (8) 中 m 取 2. 5, B 取值随填充比增大, 表面处理后取值较 小。 用四阶 五阶 R unge2Ku tta 法求解方程 (7) ～ (10) , 预测结果和 YJ 的实验结果无量纲后 绘在 F ig. 2～ F ig. 5 中。
D e1D e2Σβ+ (D e2K + D e2 + D e) Σα+
(Σ- D e2K Ηα) = Χα+ D e2Χβ
(7)
我们认为塑性屈服应力与总应力间满足方程
(8) 和方程 (9) ,
Η= B (Σ- Σc) m (D e2K ) 当 Σ> Σc (8)
Η= 0 当 Σ≤ Σc
(9)
这里 Σc 为动态屈服极限; B 是反映材料屈服倾
(2)
这里 Χ2、Χα2、Σ、Γ2、G2 和 Η分别为复合网络的应
变、应变速率、应力、粘度和弹性模量粘度及塑
性屈服变形应力。 两个应变和是总应变 Χ。
Χ1 + Χ2 = Χ
(3)
将方程 (1) 和 (2) 代入方程 (3) 后, 进一步微分
得:
1 G1
Σβ+

⾮线性动⼒学分析⽅法第⼀章⾮线性动⼒学分析⽅法（6学时）⼀、教学⽬标1、理解动⼒系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析⽅法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分⽀现象；5、能分析简单动⼒系统的奇点类型及分⽀现象。

⼆、教学重点1、线性稳定性的分析⽅法；2、奇点的判别。

三、教学难点线性稳定性的分析⽅法四、教学⽅法讲授并适当运⽤课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学⽣要复习常微分⽅程的内容。

六、教学过程本章只介绍⼀些⾮常初步的动⼒学分析⽅法，但这些⽅法在应⽤上是⼗分有效的。

相空间和稳定性⼀、动⼒系统在物理学中，⾸先根据我们⾯对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。

再根据研究对象和研究⽬的，按⼀定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。

然后再根据⼀些原理或定律建⽴控制这些状态变量的微分⽅程，这些微分⽅程构成的⽅程组通常称为动⼒系统。

研究这些微分⽅程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动⼒学。

假定⼀个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。

有时，每个状态变量不但是时间t 的函数⽽且也是空间位置r的函数。

如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的⽅程组称为偏微分⽅程组。

这⾥假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的⽅程组为常微分⽅程组。

),,,(2111n X X X f dtdX ),,,(2122n X X X f dtdX (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX 其中代表某⼀控制参数。

对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)⼀般是 i X 的⾮线性函数，这时⽅程(1.1.1)就称为⾮线性动⼒系统。

由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称⽅程组(1.1.1)为⾃治动⼒系统。

若 i f 明显地依赖时间t ，则称⽅程组为⾮⾃治动⼒系统。

⾮⾃治动⼒系统可化为⾃治动⼒系统。

对于⾮⾃治动⼒系统，总可以化成⾃治动⼒系统。

非线性动力学视角下双重周期波动的解析一、非线性动力学的基本概念非线性动力学是研究复杂系统行为的科学，它涉及从简单的物理系统到复杂的生物和社会系统。

在非线性动力学中，系统的行为往往表现出高度的不可预测性和复杂性，这使得传统的线性分析方法不再适用。

非线性动力学的核心在于理解系统内部的相互作用和反馈机制，以及这些机制如何影响系统的整体行为。

1.1 非线性系统的数学模型非线性系统可以通过一组非线性微分方程来描述，这些方程反映了系统内部各变量之间的相互作用。

例如，洛伦兹方程是描述大气对流现象的经典非线性模型，其形式如下：\[ \frac{dx}{dt} = \sigma (y - x) \]\[ \frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y \]\[ \frac{dz}{dt} = xy - \beta z \]其中，\( x \)、\( y \) 和 \( z \) 分别代表系统的状态变量，\( \sigma \)、\( \rho \) 和 \( \beta \) 是控制参数。

1.2 非线性系统的稳定性分析稳定性是评价非线性系统行为的重要指标。

在非线性动力学中，稳定性分析通常涉及到固定点、周期解和混沌解等概念。

固定点是系统在没有外部扰动的情况下可能达到的平衡状态。

周期解是指系统状态随时间周期性变化的解。

混沌解则是一种高度不可预测的动态行为，其特点是对初始条件极其敏感。

二、双重周期波动的物理机制双重周期波动是指系统在时间演化过程中表现出两个不同频率的周期性波动。

这种现象在许多物理、化学和生物系统中都有出现，如经济周期、生态系统的种群波动等。

双重周期波动的形成和维持涉及到复杂的非线性相互作用。

2.1 双重周期波动的形成机制双重周期波动的形成通常与系统的非线性反馈机制有关。

在某些情况下，系统的某些参数变化可以触发周期波动的产生。

例如，在某些化学反应中，反应物和产物之间的相互作用可以导致周期性的浓度变化。

第二十章非线性动力分析本书前面已经介绍了使用SAP2000进行线性动力分析的基本内容，线性动力分析主要任务是处理结构在多遇地震及一般动力荷载作用下的效应问题，在这阶段结构并没有进入到塑性发展阶段，因此结构的响应控制在线弹性的范围。

根据我国规范提出的结构抗震设计中“小震不坏、中震可修，大震不倒”三个设防水准，以及弹性阶段承载力设计和弹塑性阶段变形验算的两阶段设计理论，进入到大震状态（罕遇地震）是允许结构构件出现塑性发展的，并且需要程序能够进行一定深度的弹塑性分析并给出相关的效应结果。

此外，目前很多实际工程中已经开始使用隔振器、阻尼器等复杂保护装置，这些装置一般需要使用非线性连接单元去模拟，而线性时程分析不能够考虑非线性连接单元的非线性属性。

综上所述，特定工程需要进行相关条件下结构的非线性动力分析，也要求程序能够完成这一分析。

在SAP2000中可以进行非线性时程分析，在这一分析中可以考虑结构构件的塑性发展（塑性铰），可以考虑复杂的隔振器、阻尼器等非线性连接单元，也可以完成冲击、爆炸等复杂的动力荷载作用下结构效应分析，本章将结合这些非线性时程分析的具体问题阐述其定义方式及相关需要注意的问题。

另外，需要注意的是，非线性时程分析本质上仍然是一种动力时程分析，不同之处在于它可以综合考虑结构中的非线性属性，因此部分参数选择和设置方式与线性时程分析是相同的，对于这类问题由于在线性时程分析中已经进行阐述，因此本章不会重复描述，本章的重点在于使用SAP2000进行非线性时程分析时所能够考虑的非线性属性及其意义。

20.1非线性时程分析工况的定义及相关概念本章将分别介绍非线性时程分析的相关概念、快速非线性模态积分方法和几种常见的非线性分析类型。

下面从非线性时程分析工况的定义出发，阐述非线性时程分析所涉及的几个基本概念。

20.1.1时程函数的定义与线性时程分析相同，非线性时程分析首先需要定义时程函数曲线，定义方式与线性时程分析是相同的。

非线性动力系统混沌同步动力学问题Abstract：The bifurcation and chaos etc. phenomena are the key problems of modern nonlinear scientific research，and are of more and more universal significance in natural science and Engineering. It is of exigent and momentous demand in natural science and Engineering to reveal the mechanism of various phenomena and various laws of dynamical behavior of a certain kind of nonlinear dynamical system，though many efforts have been made，for example，the firing rhythm of neuron in neural system and chaos synchronization，etc. This paper mainly focuses on recent advances of chaos synchronization in nonlinear system. The research on chaotic synchronization is not only an application problem，but also the theoretical analysis problem on the chaotic theory and chaotic control from practical application. And the results of research can deepen more the cognition to chaotic control and information processing. Finally，conclusion is drawn and some outlooks of future research are suggested.Key Words：Nonlinear system；Fractional-order；Chaos；Synchronization當今，非线性动力学是自然学科中一门重要的前沿学科，它是在各门分支学科的基础上以非线性为特征逐步发展起来的综合性学科，旨在揭示非线性动力系统的共同性质、基本特征和运动规律。