高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第3讲 导数的概念及其简单应用课件 理
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导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
2021届高考数学(新课改版)二轮专题六函数与导数第3讲导数的几何意义及简单应用课件
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题六函 数与导 数第3讲 导数的 几何意 义及简 单应用 课件( 完美课 件)
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题六函 数与导 数第3讲 导数的 几何意 义及简 单应用 课件( 完美课 件)
解题方略
返回
由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数范围问 题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变 分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′ (x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性 问题转化成不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先 求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出 参数的取值范围； (4)若已知f(x)在区间D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极 值点不是D的端点．
[解析]
返回
(1)设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′
＝
1 x
＋1，则该切线的斜率k＝
1 x0
＋1＝2，解得x0＝1，所以切点
坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
(2)f′(x)＝1－
a 2x2
，设切点坐标为
x0，x0＋2ax0
，则切线方
程为y－x0－
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题六函 数与导 数第3讲 导数的 几何意 义及简 单应用 课件( 完美课 件)
返回
[例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线
的斜率为2，则该切线的方程为________；
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第3讲 导数的概念
第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,若l ⊥m,则Ρ点的坐标可能是( B )(A)（-错误!未找到引用源。
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） (B)（错误!未找到引用源。
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）(C)（错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
）(D)（-错误!未找到引用源。
,-错误!未找到引用源。
）解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y ′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>错误!未找到引用源。
+1(e为自然对数的底数)的解集为( A )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)解析:不等式f(x)>错误!未找到引用源。
+1可以转化为e x f(x)-e x-3>0令g(x)=e x f(x)-e x-3,所以g′(x)=e x(f(x)+f′(x))-e x=e x(f(x)+f′(x)-1)>0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)>0⇒x>0,即不等式的解集是(0,+∞).故选A.4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)[-5,-3] (B)[-6,-错误!未找到引用源。
高考数学二轮复习 函数与导数 课时考点2 导数的概念及应用
课时考点2 导数的概念及应用高考考纲透析：（理科）(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。
(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
（文科）(1)了解导数概念的某些实际背景。
(2)理解导数的几何意义。
(3)掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。
(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。
高考风向标：导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。
高考试题选：1.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）2. 设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）.（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.3. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=，（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.热点题型1: 函数的最值已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．变式新题型1：已知]2,1[,6)(3-∈+-=x b ax ax x f 的最大值为3，最小值为29-，求b a ,的值。
高考数学新课标全国二轮复习课件2.函数与导数2
第二讲
导数
导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),
y=x,y=x2,y=x3,y=������ ,y= ������的导数.
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
������ ������
过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 解析:由曲线 y=ax2+������ 过点 P(2,-5), 得 4a+2 =-5. 又 y'=2ax-������ 2 ,
������ ������ ������
①
调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、
极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.
1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即k= f'(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s'(t)=v(t),v'(t)=a(t).
在点
π 2
,2 处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则
(2-cos ������ )'sin ������ -(2-cos ������ )(sin ������ )' 1-2cos ������ si n 2 ������ π 2
导数
导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),
y=x,y=x2,y=x3,y=������ ,y= ������的导数.
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
������ ������
过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 解析:由曲线 y=ax2+������ 过点 P(2,-5), 得 4a+2 =-5. 又 y'=2ax-������ 2 ,
������ ������ ������
①
调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、
极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.
1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即k= f'(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s'(t)=v(t),v'(t)=a(t).
在点
π 2
,2 处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则
(2-cos ������ )'sin ������ -(2-cos ������ )(sin ������ )' 1-2cos ������ si n 2 ������ π 2
2019高考数学二轮复习第3讲导数的简单应用课件理
2 0
1 3 ax (-cos x)dx,则 的展开式中 , x 项的系数为 2 ax
9
答案
-
21 2
2 0
解析 a=
(-cos x)dx=-sin x
1 2 x sin sin 0 ==-1. 的 0 2x 2
令f '(x)=0,解得x=t2- 3 ,或x=t2+ 3 . 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x f '(x) f(x)
(-∞,t2- 3 ) + ↗
t2- 3 0 极大值
(t2- 3 ,t2+ 3 ) ↘
t2+ 3 0 极小值
(t2+ 3 ,+∞) + ↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2- 3 )=(- 3 )3-9×(- 3 )=6 3 ;函数 f(x)的极小值为f(t2+ 3 )=( 3 )3-9×( 3)=-6 3.
值.
1.函数y=
1 A. e
C.0
x x 在[0,2]上的最大值是 e 2 B. 2 e 1 D. 2 e
(
)
1 x 答案 A 易知y'= x ,x∈[0,2],令y'>0,得0<x<1,令y'<0,得1<x e x ≤2.所以函数y= x 在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.所以y= e x 在[0,2]上的最大值是y| = 1 .故选A. x=1 x e e
x2 1.已知函数f(x)=-ln x+ +3,则函数f(x)的单调递减区间是 2
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理
答案：y＝0 或 9x＋4y＝0
考点 2 利用导数研究函数的单调性
1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可．
2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
例 2(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
(2)∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∴k＝f′(0)＝1＝－m1 ，∴m＝－1. (3)由导数的几何意义，知 k＝y′＝ex＋e－x－3≥2 ex·e－x－3＝ －1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 即 tanα≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x≤12，tanα＝k<0， 所以 α 的最小值是34π.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
考点 2 利用导数研究函数的单调性
1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可．
2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
例 2(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
(2)∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∴k＝f′(0)＝1＝－m1 ，∴m＝－1. (3)由导数的几何意义，知 k＝y′＝ex＋e－x－3≥2 ex·e－x－3＝ －1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 即 tanα≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x≤12，tanα＝k<0， 所以 α 的最小值是34π.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
高三数学二轮复习 2.4导数及其应用课件
3．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1；
③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；
⑦(lnx)′＝1x； ⑧(logax)′＝－xl1na.
(2)导数的四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③[gfxx]′＝f′xgxg－ 2xfxg′x. ④(理)(f(u))′＝f′(u)·φ′(x)＝af′(ax＋b)
[解析] (1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk， 令f′(x)＝0，得x＝±k. 当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞， －k)
－k
(－k， k)
k
(k，＋ ∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x)
4k2 e－1
0
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调 递减区间是(－k，k)．
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于 f(－k)＝4ek2≤1e. 解得－12≤k<0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时， k 的取值范围 是[－12，0)．
[评析] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情 况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等 式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分 解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类 讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千 万不要忽视了定义域的限制．
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第1课时导数与函数性质ppt课件文
则
x1
x2
12m m
1 22, m
x1x2 1,
所以0<x1<1<x2,其中x1=12,xm2= 1,4m 12m 14m
2m
2m
此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.
综上所述,当m≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<m< 1
4
1上2m 单 2m 调1递4减m;,12m 2m 14m
典型例题
(2017课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 解析 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增. ②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0. 故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.
A.
1 2
,
B.
1 2
,
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
答案 D f '(x)=1 +2ax=2 a x 2 (x1>0),根据题意有f '(x)≥0(x>0)恒成
x
x
立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥- x1 2 (x>0)恒成立,所以a≥0,故实数
高三数学复习课_导数的概念与计算课件.ppt
知识要点：函数变化快慢与图象的关系 (1) (2)
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f'(x)>0且越来越大 f'(x)>0且越来越小
(3)
(4)
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f'(x)<0且越来越小 f'(x)<0且越来越大
题型:求参数的取值范围 [例2] 已知f ( x ) ax 3 x x 1,
解不等式f'(x)<0，得函数单调减区间.
***例1***
判断下列函数的单调性 , 并求出 单调区间: (1) f ( x ) e x;
x
( 2) f ( x ) x x x .
3 2
练习1:函数y=lnx－x的单调增区间 是_____.
小 结2
一般地, 如果一个函数在某
y y=f(x) b x
Hale Waihona Puke 知识要点 3、函数极值的判断： 1)当x0 附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,
那么f(x0)是极大值;
2) 当x0 附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 那么,f(x0)是极小值. 可导函数f(x)在极值点处的导数为0.但 导数为0的点不一定为极值点。
知识要点
4、求函数极值的步骤：
在图3.3-14、图3.3-15中，观察[a, b] 上的函数y=f(x)的图象，它们在[a, b]上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值 和最小值分别是什么？
三、范例
1 3 [例5] 求函数f ( x ) x 4 x 4 3 在区间[0,3]上的最大值与最小值 .
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3
3
( 1 4 3a , 1 4 3a )内单调递增.
3
3
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 解：(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.
(C)[ 3 , 3 ) (D)[ 3 ,1)
2e 4
2e
解析:由 f(x0)<0,即 ex0 (2x0-1)-a(x0-1)<0,得 ex0 (2x0-1)<a(x0-1).
当 x0=1 时,得 e<0,显然不成立,所以 x0≠1.
若
x0>1,则
a>
ex0
2x0 1
x0 1
.令
g(x)=
ex
2x 1
2
因为 x0<1,所以 a< ex0 2x0 1 .
x0 1 易知,当 x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 要满足题意,则 x0=0,此时需满足 g(-1)≤a<g(0), 得 3 ≤a<1(满足 a<1),故选 D.
2e
x 1
,则
g′(x)=
2 xe x
x
3 2
x 12
.
当 x∈(1, 3 )时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 2
当 x∈( 3 ,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 2
要满足题意,则 x0=2,此时需满足 g(2)<a≤g(3), 得 3e2<a≤ 5 e3,与 a<1 矛盾,所以 x0<1.
4a 2b c 8, 则 f(x)=5x2-10x+8,此时 f(-1)=23≠0,符合题意.故选 A.
3.(2011 新课标全国卷,理 9)由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形 的面积为( C )
(A) 10 (B)4 (C) 16 (D)6
3
3
解析:画简图如图,由
第3讲 导数的概念及其简单应用
考向分析 核心整合 热点精讲 阅卷评析
考向分析
考情纵览
考点
年份
导数的几何意义 及应用
利用导数研究函 数的单调性
利用导数研究函 数的极值与最值
定积分
2011 21(1)
9
2012
2013 ⅠⅡ
2014 ⅠⅡ
2015
Ⅰ
Ⅱ
12 21(1)
21(1)
21(1)
数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即k=f′(x0). 温馨提示 不要将“过点A的切线”错以为“在点A处的切线”.
若
A,C,D
正确,则有
4a
2b
c
8,
②
4ac
b
2
4a
3,
③
由①②得
b c
8 3 8
a, 2a,
代入③中并整理得
9a2-4a+
64 9
=0,
3
又 a 为非零整数,则 9a2-4a 为整数,故方程 9a2-4a+ 64 =0 无整数解,故 A 错. 9
2a b 0, 若 B,C,D 正确,则有 a b c 3, 解得 a=5,b=-10,c=8,
若
A,B
都正确,则有
a b c 2a b
0,
0,
解得
b=-2a,c=-3a,
则 f(x)=ax2-2ax-3a.
由于 a 为非零整数,所以 f(1)=-4a≠3,则 C 错.
而 f(2)=-3a≠8,则 D 也错,与题意不符,故 A,B 中有一个错误,C,D 都正确.
a b c 0, ①
2.(2015陕西卷,理12)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学 分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( A) (A)-1是f(x)的零点 (B)1是f(x)的极值点 (C)3是f(x)的极值 (D)点(2,8)在曲线y=f(x)上 解析:由已知得 f′(x)=2ax+b, 则 f(x)只有一个极值点,
21(1) 12
12、 21(1)
21(2)
10
12
真题导航
1.(2015 新课标全国卷Ⅰ,理 12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在 唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( D )
(A)[- 3 ,1) (B)[- 3 , 3 )
2e
2e 4
所以 f(x)在 x=x2= 1 4 3a 处取得最大值. 3
又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.
备考指要
1.怎么考 本讲主要考查导数的几何意义,导数的运算法则及利用导数研究函数的单调 性,求函数的极值、最值等. (1)对导数的几何意义的考查主要是已知切线方程求参数,多在解答题的第 (1)问中出现. (2)对导数的运算法则一般不单独考查,在利用导数研究函数的单调性等问 题时作为解题工具而出现. (3)对函数的单调性、极值、最值的考查,主要是体现在解答题的第(2)问中, 通过对单调性、极值、最值的研究,进而考查不等式证明、不等式恒成立、 函数零点等.考查分类讨论思想、数形结合思想及推理论证能力,综合性很 强. (4)高考对定积分的考查相对较少,主要考查利用定积分求面积、难度中等. 2.怎么办 熟练掌握导数的几何意义、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性, 求函数的极值、最值的一般步骤.
y
x
2,
y x,
解得
x
y
4, 2,
所以
A(4,2).
如图阴影面积
S= 4 [ 0
x -(x-2)]dx= 16 .故选 C. 3
4.(2014安徽卷,理18)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2.
令 f′(x)=0,得 x1= 1 4 3a ,x2= 1 4 3a ,
3
3
x1<x2.所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).
当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞, 1 4 3a )和( 1 4 3a ,+∞)内单调递减,在