1对4 新课教案-数学N次方根

第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。

2.掌握分数指数幂与根式的互化。

二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。

教师提问，学生回答：x是a的平方根。

提问引入，吸引学生的学习兴趣。

2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

例如：2就是8的立方根。

n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。

那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。

当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。

加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。

的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。

正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。

根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。

你还记得哪些整数指数幂的运算性质。

把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。

学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。

晋城一中（数学）课时教案学年度第一学期主要教学过程设计二次备课教学过程一．n次方根的概念1.n次方根的定义一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根.（其中1>n，且*∈Nn）2. n次方根的性质(1)aa nn=）（(1>n，且*∈Nn).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数nanaan n.(3)负数没有偶次方根.(4)0的任何次方根都是0，记作00=n3. 根式的概念式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.例1 求下列各式的值：（1）33)8(-（2）2)10(-（3）44)3(π-（4）2)(ba-解：（1）8)8(33-=-（2）10)10(2=-（3）33)3(44-=-=-πππ（4）⎩⎨⎧<-≥-=-=-baabbabababa,,)(2二、分数指数幂的定义1.规定正数的正分数指数幂的意义是：n mnmaa=(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；2.规定正数的负分数指数幂的意义是：n mnmnmaaa11==-(0>a，m，*∈Nn，且1>n)；仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。

发展学生数学推理能力；通过根式的求值，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。

教学过程主要教学过程设计二次备课3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①s rsr aaa+=(0>a，r，Qs∈)；②rssr aa=)((0>a，r，Qs∈)；③rrr baab=)((0>a，r，Qs∈).(2)拓展：s rsraaa-=(0>a，r，Qs∈).例2 求值：（1）328；（2）43)8116(-.解：（1）42)2(8232332===；（2）827)23()32(])32[()8116(3343443====---例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中0>a).（1）322aa⋅；（2）3aa⋅例4 计算下式各式(式中字母均是正数).2115113366221(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（）；318842()m n-（）；323243(.a a a÷（）-)211115326236=[2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-（1）原式=4=4ab a3188842=()()m n-（）原式2233==.mm nn-2313223=()a a a-÷（）原式21313222=a a---166==a a a a--通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。

第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标：1. 理解n次方根、根式以及分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简与求值；3. 掌握并运用分数指数幂的运算性质。

二、教学重难点：重点：理解根式和分数指数幂的概念；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．三、教学过程：（一）复习导入回顾初中学过的知识：什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?类比归纳出n次方根的概念（二）探究新知探究一：n次方根的概念一般地，如果x n=a，则n叫做a的n次方根，其中n﹥1，且nϵN*.思考：n的取值会影响n次方根的值吗?类比平方根和立方根：例如：①x2=81； x2=-64；x2=0. ②x3=8；x3=-27；x3=0.学生归纳出结果：当n为偶数时，正数a的n次方根有2个，且互为相反数，其中，正的n n 次方根用表示；当n 为奇数时，a 的n 次方根有1表示.0的n 次方根为0,即n 0=0.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况.探究二：根式的概念(1)n 叫做根指数，a 叫做被开方数．规定n ＞1，且n ∈N *.那么，根式有怎样的性质呢？（2）探究根式的性质：①n n a )(； ②n n a例：55)3(-；55)3(；44)3(根据n 次方根的意义可得n n a )(有意义时，n a =一定成立.思考：n na =a 一定成立吗？? 例：447；44)7(-；557；55)7(-. 教师引导学生讨论并总结:n a =； n {,0;,<0.a a a a a ≥-==牛刀小试:（1）338-）（ （2）44-3）（π (3)2)10-（ （4）66-a ）（b探究三：分数指数幂的意义（1）根式与分数指数幂的互化观察几个式子，总结根式与分数指数幂互化的规律.1025a a =（a ﹥0）,842a a=（a﹥0）,1234a a=（a﹥0）,教师引导学生归纳:根式与分数指数幂互化的规律.引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?（2）分数指数幂的意义①正分数指数幂的意义：amn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)②负分数指数幂的意义：amn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)③0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.探究四：有理数指数幂的运算性质由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即：1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r sr s rsr r ra a a a r s Qa a a r s Qab a b a b r Q+=∈=∈=∈（）（）（）（三）随堂练习1.求值2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）328)1(438116)2(-⎪⎭⎫⎝⎛.)2(;)1(3322a a a a •3.计算下列各式（式中字母均为正数)：.))(3(;))(2();3()6)(2)(1(4233288341656131212132a a a n m b a b a b a ÷--÷--（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 板书设计 n 次方根与分数指数幂1. n 次方根2.根式的概念3.分数指数幂（1）根式与分数指数幂的互化（2）分数指数幂的意义4.有理指数幂的运算性质.。

4.1.1 n 次方根与分数指数幂教学设计一、教材分析：从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠，且0>(a a a nm、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：（一）自主预习——探新知： 问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。

4.1.1n次方根教案
教授n次方根是数学教学中的一个重要内容，它涉及到数学中
的指数和根号运算，对学生来说可能是一个较为新颖的概念。

设计
一份教案来教授n次方根需要考虑以下几个方面：
1. 知识背景，首先，教案应该包括n次方根的定义，例如如何
理解n次方根，以及它与指数的关系。

同时，也要讲解n次方根的
性质，如n次方根的运算规律和特点。

2. 教学目标，明确教学目标是设计教案的关键。

教师需要清楚
地确定学生需要达到的认知目标、能力目标和情感目标，例如学生
应该能够理解n次方根的概念，掌握n次方根的计算方法，以及能
够运用n次方根解决实际问题等。

3. 教学内容和方法，教案应该包括教学内容的安排和教学方法
的选择。

教师可以通过具体的例题引导学生理解n次方根的计算方法，也可以通过实际问题的讨论来培养学生的问题解决能力。

4. 学习过程，设计学习过程是教案的核心。

教师可以通过导入、提出问题、讲解、示范、练习和总结等环节来引导学生逐步掌握n
次方根的相关知识和技能。

5. 教学评价，教案还应该包括教学评价的内容，包括如何评价学生对n次方根的掌握程度，以及如何帮助学生发现和解决问题。

综上所述，设计一份教学n次方根的教案需要考虑知识背景、教学目标、教学内容和方法、学习过程以及教学评价等方面，以帮助学生全面地理解和掌握n次方根的相关知识和技能。

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。

有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。

课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。

数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。

n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。

分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。

教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。

将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。

教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。

根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。

但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。

二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。

然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。

教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。

由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。

然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。

通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。

三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。

n次方根与分数指数幂教学设计◆教学目标1．经历n 次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养．2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．◆教学重难点◆教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．◆课前准备PPT课件．◆教学过程（一）整体感知1．联系实际，明确任务问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？（3）这些函数可以解决哪些实际问题？师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．需要研究它们的概念、图象、性质．（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；322a；师生活动：学生独立完成后展示交流．到依据就是分数指数幂和预设的答案：3222=a a a（2）14211333322()()a a a a a a ===．设计意图：通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式．例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）31884()m n -； （3）()32324a a a -÷．师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：解：（1）()()2115211115110336632623622(2)(6)(3)26344a b a b a b a bab a +-+--÷-=⨯-÷-==⎡⎤⎣⎦；（2）331128882388443()()()m m n m n m n n---===；（3）()222113113131323246333262222222()a aa a a a a a a a aaa a a a ---÷=-÷=÷-÷=-=-=-．设计意图：本题具有一定的综合性，需要综合运用n 次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质．（三）归纳小结，布置作业问题7：本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？ 师生活动：学生讨论交流． 预设的答案：研究内容和路径可以用下图（图1）表示：n 次方根整数指数幂分数指数幂被开方数的指数能被根指数整除的根式 被开方数的指数不能被根指数整除的根式有理数指数幂运算性质图165p．（225a．。

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高中数学n次根式教案
主题：n次根式
目标：
1. 了解n次根式的概念；
2. 学会计算n次根式；
3. 能够应用n次根式解决实际问题。

1. 引入（5分钟）
教师向学生介绍n次根式的概念，说明n次根式是一种数学运算，表示对一个数的n次方根的运算。

例如，开方就是2次根式，即平方根；而开立方根则是3次根式等。

2. 讲解（15分钟）
教师讲解如何计算n次根式。

要求学生先化简根式，然后找到根号下的n次方的值。

举例说明如何计算不同次数的根式，如二次根式、三次根式等。

3. 练习（20分钟）
教师给学生一些练习题，让他们独立计算不同次数的根式。

学生可选择用手算或计算器来计算。

4. 应用（10分钟）
教师给学生提供一些实际问题，要求学生用n次根式解决问题。

例如，一个三角形的边长是27，求其边长平方和的平方根。

5. 总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调学生要掌握计算n次根式的方法和技巧，并能够应用到实际问题中。

6. 作业（5分钟）
布置作业，要求学生练习计算n次根式，并解决一些实际问题，以加深对n次根式的理解和掌握。

通过本节课的学习，学生将会对n次根式有更深入的理解和掌握，能够熟练计算各种次数的根式，并能够应用到实际问题中。

4.1.1 n次方根与分数指数幂一、内容与内容解析1.内容n次方根的定义及其性质，分数指数幂的定义，有理数指数幂的定义与运算性质．2.内容解析教科书章引言一方面指出了章头图所蕴含的数学模型，另一方面还列举了这些数学模型的其他背景实例，从而指出本章将类比幂函数的研究方法，学习指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，以及运用它们解决一些实际问题．教科书章头图是良渚遗址．通过章引言，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时间的变化按一定的规律衰减，引出本章将要学习的指数函数．在实际应用中，往往是先通过技术手段测出死亡生物体内碳14的含量，然后根据指数函数建立生物体内碳14的含量与死亡时间的关系，并利用对数和对数函数推算生物死亡的大致时间，从而实现考古的目的．由于死亡生物体内碳14的含量随时间连续变化，说明引进分数指数幂和无理数指数幂的必要性，并为指数函数的定义域是实数集提供了现实背景．研究函数必先掌握运算，而数及其运算是推动数学发展的源泉和动力之一，是数学的基石．指数幂运算和对数运算是两类基本运算，对数运算与指数幂运算紧密相连，需要转化成指数幂运算，因此，熟练掌握指数幂运算是本章的基础．指数幂运算的本质是数的自乘，把整数指数幂运算推广到有理数指数幂运算的本质就是使用新的运算符号表示根式运算和分式运算（负数指数幂运算），简而言之就是从一个符号的规定再到另一个符号的规定.只要能够准确进行两种运算符号的转化即可.而有理数指数幂这种数学运算符号表示的简洁性、运算的便捷性都优于分式和根式，这一符号的产生具有其必然性.比如：a与b的算术平均数为，几何平均数为，可理解为运算级的上升.事实上从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉才明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.指数幂运算的发展史充分说明基于数学语言的简洁性、准确性和合理性，有理数指数幂运算符号的产生与完善是有其历史必然性的.教科书在研究幂函数时把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作引出分数指数幂的表示法.数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容，于是从根式的意义入手，将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，又为了希望整数指数幂的运算能与其相容，于是只规定了被开方数为正数的分数指数运算.事实上分数指数幂是根式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式．而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.因此本节课的教学重点是：根式与有理数指数幂的意义及运算性质.二、目标与目标解析1.教学目标（1）经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质．（2）了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化.（3）理解有理数指数幂意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.达成如上目标的标志是：（1）学生能从平方根、立方根的概念学习过程中，归纳出一个数的n次方根定义，并能结合具体的例子理解n次方根的含义，及在n为奇数和偶数时化简的结果，特别是n为偶数时的情况.（2）学生通过将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，再进一步分析这一运算法则规定的合理性，通过根式与分数指数幂的互化，理解分数指数幂的意义．（3）学生能正确地完成根式及有理数指数幂的化简运算.三、问题诊断分析虽然学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，并在学习幂函数的过程中接触过二次根式的分数指数幂的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有困难．因此本节课教学难点是：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质.教科书是通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根，归纳类比出n次方根的一般定义与性质. n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广．教学时，可以用平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化区分负数指数幂与分数指数幂的不同，巩固、加深对有理数指数幂的理解.四、教学过程设计1．独立阅读，明确任务问题1请同学们先阅读教材第四章的章头图和章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）这些函数可以解决哪些现实问题？师生活动：学生独立阅读教材内容，回答上述问题．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，及其相关知识．（2）比如人口增长模型是指数函数；不可治愈的强传染病在大量人群中传播的初期都是一个简单的指数增长；声音的强度单位分贝是用对数做单位的（因为人耳对声音的变化很不敏感，其变化成倍数时才会有感）；衡量酸碱度的PH值也是取离子浓度的对数做单位的……举例时应突出指数函数爆炸性增长的特点，对数函数增速变缓的特征.设计意图：明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的研究指明方向．2．创设情境，引发思考问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义，并谈谈整数指数幂运算与乘法、除法运算的关系.指数的范围还能进一步扩充吗？师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师予以归纳.预设的答案：正整数指数幂来源于自乘运算，负整数指数幂运算来源于数的自乘运算的倒数，这种幂运算在表示形式上更加简洁.在学习幂函数时曾经把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜想，指数的范围还能进一步扩充．设计意图：通过复习整数指数幂的运算，体会指数运算源于数的自乘，同时为了表示的简洁才引入了指数幂运算，阐述指数幂运算产生的必要性，以便引出分数指数幂运算.3．类比归纳，形成定义问题3 请类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根，5次方根，10次方根，11次方根，……你认为n次方根应该是什么？预设的师生活动：先由学生举例解释，然后进行观察、归纳、抽象.预设答案：学生举例：①(±2）4=16，我们把叫做16的4次方根；②(-2)5=-32，我们把叫做-32的5次方根；③37=2187，我们把3叫做2187的7次方根；……教师讲解：设计意图：引导学生由特殊到一般进行观察、归纳、抽象.形成n次方根的定义．4.深入分析，精致定义问题4 对于任意一个实数，它的n次方根分别是怎样的？预设答案：设计意图：规范根式的表示方法，通过对被开方数的分类讨论，理解根式的意义．小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就容易避免出现错误．设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根概念，形成严谨的逻辑划分思想，提升逻辑推理的核心素养.将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式引出分数指数幂运算的定义.预设的师生活动：学生独立完成证明，然后交流展示．设计意图：通过简单应用，落实一个数到底有没有n次方根，一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.通过反例说明两步缺一不可．如果被开方数是一个正数，那么是一定成立的，并且其结果就是.为引出分数指数幂做铺垫.5．初步应用，深化理解例1 求下列各式的值：追问：求解的依据是什么？6.类比研究，获得有理数指数幂问题6负整数指数幂是用于表示分式的，如，其本质是通过扩充指数的范围表示分式．那么根式可以利用指数幂的形式表示吗？如果能，你要如何扩充指数的范围呢？尝试给出一个合理规定表示根式，并谈谈你这样规定的合理性.预设的师生活动：学生分组交流，可谈出多种方法，教师可提示以不改变指数幂的运算性质为标准.设计意图：从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.这一历史发展过程充分说明分数指数幂的产生有其历史必然性，学生可以通过类比归纳，感受数学家制定规则时内在的逻辑性、概念之间的相容性，体会数学的简洁美，提升类比推理的能力.追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，被开方数的指数能被根指数整除的根式，可以表示为分数指数幂的形式．那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如,是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？预设的师生活动：学生类比猜想得到答案.预设答案：教师讲解：我们规定正数的分数指数幂的意义是．被开方数为负时不做研究.设计意图：为问题6的解决铺设阶梯.追问2：阅读教科书，理解分数指数幂的意义，谈谈负分数指数幂的意义．零与负数有分数指数幂吗？能不能说说这些规定的合理性？预设的师生活动：学生阅读教科书,回答问题．预设答案：负分数指数幂是在正分数指数幂的基础上取倒数．规定0的正分数指数幂都是0；0不能做分母，零的负分数指数幂没有意义. 而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.规定：（1）0的正分数指数幂等于0；（2）0的负分数指数幂没有意义.设计意图：规范表示方法，通过探讨数学符号形成的科学性与合理性，与根式比较体会分数指数表示在运算中的简洁性，同时理解分数指数幂意义的本质就是根式.追问3：有理指数幂的运算性质有哪些？预设的答案：7.初步应用，深化理解例2求值：例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：追问：求解的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范．预设的答案：例2例3追问：通过求解这些题目，你获得了怎样的经验？预设的答案：要明确求解的依据，根据规则有序运算．在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．设计意图：求解的依据有理指数幂的运算性质，因此要转化为指数运算而不是转化为根式．体现分数指数幂在运算中的优越性．8．梳理小结问题7：谈谈理数指数幂运算性质的特点.预设的答案：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化的是以降低一个运算级来实现的．9.布置作业（1）教科书107页练习1、2、3；五、目标检测设计计算下列各式设计意图：检测根式与分数指数幂的互化及有理数指数幂的运算性质.。

4.1.1.1 n 次方根一、内容及其解析（一）内容：根式。

（二）解析：本节课要学的内容有根式理解它关键就是理解n 次方根概念及n 次方根的性质并学会或化简根指数为正整数时的根式。

学生已经学过了整数次幂的概念和运算性质，数的平方根、立方根的概念，以及二次根式的性质，本节课的内容根式就是在此基础上的发展。

由于它还与分数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。

教学的重点是利用n 次方根的性质化简n 次根式，所以解决重点的关键是在练习中加深理解。

二、目标及其解析（一）教学目标1．理解n 次方根概念及n 次方根的性质；2．学会或化简根指数为正整数时的根式；（二）解析1． 理解n 次方根概念及n 次方根的性质就是指通过复习初中学过的整数次幂的概念和运算性质，数的平方根、立方根的概念，以及二次根式的性质理解n 次方根概念及n 次方根的性质；2．学会或化简根指数为正整数时的根式就是指要合理运算两个公式：()n n n a ⇒=只要有意义的奇偶,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数. 三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是n 次根式的性质及应用，产生这一问题的原因是：学生在解题的时候总是忘记分析n 的奇偶性。

要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。

四、教学过程设计1、提出问题（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？（2）如456=a,,x x a x a ==根据上面的结论我们又能得到什么呢？（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？（4）可否用一个式子表达呢？活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n 次方根的概念，评价学生的思维。

n次方根【教学目标】1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想；3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根。

【教学重难点】1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根。

3．理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”。

【教学过程】一、问题导入1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？2．分析：设这个数为x，则可以建立方程xn=a，x叫做a的n次方根。

3．小结：（1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；（2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方。

二、问题探索1．求x：（1）x5=32，x=______，x5=-32，x=______。

（2）x4=16，x=______，x4=-16，x=______。

（3）x5=0，x=______，x4=0，x=______。

2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a 的n 次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？3．知识归纳：（1）当n 为偶数时，a 的n 次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a 的偶次方根； 正数a 有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a ”；其中n a 为a 的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a 叫被开方数，n 为根指数；读作“n 次根号a ”。

0的偶次方根等于0，n 0±=0；负数没有偶次方根（即当a<0时，n a 无意义）。

《根式》的教案导读：本文《根式》的教案，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

《根式》的教案华南师范大学曾春燕一．教学目标：1 、理解N 次方根的概念，学会用符号表示一个数的N 次方根。

2 、理解一个数的奇次方根和偶次方根的性质。

3 、会求一些特殊数的N 次方根。

4 、培养学生的逻辑推理能力和归纳总结的能力。

5 、通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯。

6 、让学生体验数学的简洁美和统一美。

二．重点、难点1 、教学重点：一个数的N 次方根的性质和N 次方根的概念。

2 、教学难点：区别偶次方根和奇次方根的性质。

三．学法与教具1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2 ．教具：多媒体计算机四、教学过程：1 ）引入：教师提问：什么是平方根？什么是立方根？同学们，你们可以分别举一个平方根和立方根的例子吗？学生回答：例如3 是9 的平方根5 是125 的立方根教师：这位同学答得很好！＝9 ，所以我们可以说3 是9 的平方根。

＝125 ，所以我们可以说5 是125 的立方根。

因此，我们可以得到你们在初中的时候学过的平方根和立方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根.教师：那么同学们让你们做一回数学家，猜想一下下面的横线上该填的是什么名称。

若＝16 ，则4 是16 的平方根；若＝27 ，则3 是27 的立方根；若24=16 ，则2 是16 的；若35=243 ，则3 是243 的。

从学生学过的初中知识来引入，既起到复习旧知识的作用，又便于学生作比较归纳。

（幻灯片展示）吸引学生的注意力（幻灯片展示）有利于培养学生的归纳类比能力教师：一般地，如果一个数的n （n>1 ，n ∈N* ）次方等于a ，那么这个数又叫做什么呢？（叫做a 的n 次方根），这是今天我们要学习的内容了。

2 ）新课讲解教师：刚才那道题大家填得怎样？（学生纷纷展示自己的答案。

n次根式教学设计发布时间：2023-02-15T07:57:50.622Z 来源：《中小学教育》2022年19期作者：代应松[导读] 1.理解n次方根的概念.2.掌握根式的性质.3.能利用根式的性质对根式进行运算.代应松泸州老窖天府中学一、教学目标1.理解n次方根的概念.2.掌握根式的性质.3.能利用根式的性质对根式进行运算.二、教学重难点重点：n次方根概念的理解；难点：n次方根概念的理解．三、教学过程（一）复习引入初中如何定义平方根和立方根的？类似的，归纳：1．n次方根：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* （二）概念理解试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.填空:(1)25的平方根等于________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于______________ (4)16的四次方根等于________________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于_________________ 思考：一个数的n次方根有多少个？归纳：即：若xn=a,则奇次方根:正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零. 归纳：即：若xn=a,则偶次方根：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零. 2．根式(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（三）例题分析例1：1.的运算结果是（）A.2B.C.D.例2：计算下列各式的值.例3：计算下列各式的值公式2：当n为奇数时，当n为偶数时，根式的运算性质（1）（2）当n为奇数时，当n为偶数时，正确区分和：（1）已暗含有意义，根据n的奇偶性可知a的取值范围；（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性. 例4：利用根式的性质化简求值（1）（2）（3）（4）例5：若，则实数a的取值范围是 .练习：若，则实数a的取值范围是 .（四）、课堂小结我们用类比的方法研究了：（1）n次方根的定义（2）n次方根的性质。