下载文档原格式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
特征根法求数列通项推导
特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。
该方法先求出数列的递推关系式，然后通过特征根分解的方式得到数列的通项公式。
具体步骤如下：
1. 求出数列的递推关系式：
设数列为{an}，递推式为an=ra(n-1)+sa(n-2)，其中r和s为常数。
2. 将递推式改写成矩阵形式：
设矩阵A为[ r s 1 0 ]，列向量Xn为[an an-1 an-2 1]，则有Xn=AXn-1。
3. 求出矩阵A的特征多项式：
特征多项式为det(A-λE)，其中E为单位矩阵，λ为特征值。
4. 求出矩阵A的特征值：
解特征多项式得到矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3、λ4。
5. 求出矩阵A的特征向量：
将λ1、λ2、λ3、λ4带入(A-λE)X=0中，解出矩阵A的特征向量。
6. 将矩阵A分解成特征向量的形式：
将特征向量组合成矩阵P，将特征值组合成对角矩阵D，得到
A=PDP^-1。
7. 求出数列的通项公式：
将A=PDP^-1带入Xn=AXn-1中，得到数列的通项公式为an=c1λ
1^n+c2λ2^n+c3λ3^n+c4λ4^n，其中c1、c2、c3、c4为常数，根据初始条件可求出。
求递推数列通项的特征根法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a 例1已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。
特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。
特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （二阶线性递推式） 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列 （分式递推式） 对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1） 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数） 代入12,a a 的值可求得c 值。
特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++−−−=⋅−−−.证明:2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+−=⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b cαβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()n n n n n n nn n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca d αααααβββββ+++−−++−+−+−∴===+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ−+−−−−−−−==−+−−−−−−−n n a a c a c a ααββ−−=⋅−−证毕定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+−+−.证明:22,d a c b cαα=−=−∵111()()()n n n n n n n n ca d ca daa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+−+−+−+−−+22222()(2)()()()2n n n n n nca a c ca a c ca a ca d a c a c a c a c a a αααααααααα+−+−+−===+−−+−−−−2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+−+−+−++===+−+−+−21n c a d a α=++−证毕例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.(1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略.解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a −−++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a −−+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−−+−−+−==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=−+为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333n nn n a a −−=−⋅=−+即3131n n na −=+例2.已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a −==−∈,求通项n a .解:考虑特征方程12x x=−得特征根1x =111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a −−−−−====+−−−−−−所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是以1111a =−为首项,公差为1的等差数列故11n n a =−即1n n a n+=例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a −−+==≥+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x −=，解得121,1x x ==−，令111111n nn n a a c a a ++−−=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =−，∴数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=+为首项，以13−为公比的等比数列，1111133n n n a a −−⎛⎞∴=⋅−⎜⎟+⎝⎠，3(1)3(1)n nn n n a −−∴=+−例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +−==∈+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2146x x x −=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==−，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+−⋅=−+，135106n n a n −∴=−2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4:若12λλλ==,则12()n n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.设)(11−+−=−n n n n ta a s ta a ，则11)(−+−+=n n n sta a t s a ,令⎩⎨⎧−==+qst p t s （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s ,则)(11111−+−=−n n n n a t a s a t a ,)(12221−+−=−n n n n a t a s a t a ,由等比数列性质可得1111211)(−+−=−n n n s a t a a t a ,1212221)(1−+−=−n n n s a t a a t a ,,21t t ≠∵由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..−−−−−=.（2）若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11t s =，则()()112112112111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n −==−=−=−−−−−+…，211121111s a t a s a s a nn n n −=−∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a t a n s a s a n n −−+=，所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=．例5.已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =−，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a −∴=+例6.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =−，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+×=⎪⎪⎨⎪=+×=⎪⎩，得1246c c =−⎧⎨=⎩，1322n n n a −−∴=例7.已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===−,求通项n a .解:考虑特征方程244x x =−得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+其中1211222()2024(2)81nn b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。
特征方程法求解递推关系中的数列通项当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：1n n n aa b a ca d ++=+ 令 ax b x cx d+=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2cp a d =+）(2)若例题 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。
则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1（3（4例1方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。
（1）当12x x ≠时，有1122n n n a c x c x =+； （2）当12x x =时，有111[(1)]n n a a n d x -=+-；其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。
