弧长和扇形面积(2)

弧长和扇形面积（练习2）第1题. 如图10，扇形O D E 的圆心角为120 ，正三角形ABC 的中心恰好为扇形O D E 的圆心，且点B 在扇形O D E 内（１） 请连接O A O B 、，并证明A O F B O G △≌△； （２） 求证：A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．答案：（1）连结O A O B 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． O A O B ∴=．O A F O B ∠=∠．3601203AO B ∠==又120DOE ∠=A OB D O ∴∠=∠ A O B B O D D O E ∴∠-∠=∠-∠ 即A O F B O G ∠=∠故AO F BO G △≌△ （2）BO G BO F BG O F S S S =+ △△四边形而AO F BO G △≌△． 有BOG AOF S S =△△ AO FB O FBGOF S S SS ∴=+=△△△四边形又O 是正三角形ABC 的中心． 13AOBAB CS S ∴=△△BG OFS ∴四边形13A B C S =△即A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．DAE第2题. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形O A B 和扇 形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边形OPO Q '是正方 形，则阴影部分的面积等于 ． 答案：12-π第3题. 下图是一纸杯，它的母线A C 和E F 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形O A B ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8E F =cm ．求扇形O A B 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．答案：解：由题意可知：6AB =π， 4C D =π 设AOB n ∠=，A O R =，则8C O R =-由弧长公式得：6180n R =ππ，(8)4180n R -=ππ解方程组618041808nR nR n⨯=⎧⎨⨯=-⎩得4524n R =⎧⎨=⎩答：扇形O A B 的圆心角是45∵24R = 816R -= 1AA BB '(第2题图)Ｏ1624722OABS =⨯⨯=扇形ππ 7232O A B O CD S S S =-=-纸杯侧面积扇形扇形ππ 40=π224S =⋅=纸杯底面积ππ．40444S =+=纸杯表面积πππ．第4题. 半径为R 的圆弧 AB 的长为12R π，则AB 所对的圆心角为 ，弦A B 的长为 ．答案：90第5题. 半径为5的圆的弧长等于半径为2的圆的周长，则在半径为5的圆中，这条弧所对的圆心角的度数为 ．答案：144第6题. 在半径为4cm 的圆中，弧长为2cm 3π的弧所对的圆周角的度数为 ．答案：15第7题. 一个扇形的圆心角为30，半径为12cm ，则这个扇形的面积为 ．答案：212cm π第8题. 如图，1O 和2O 是半径为6的两个等圆，且互过圆心，则图中阴影部分的面积为．答案：24π-第9题. 如图，△ABC 内接于O ，4cm AB BC C A ===，则图中阴影部分的面积为 ．答案：216)93π-第10题. 如图，O A 是O 的半径，A B 是以O A 为直径的O ' 的弦，O B '的延长线交O 于C 点，且4O A =，45OAB ∠= ，则由 AB ，A C 和线段BC 所围成的图形（影阴部分）的面积是 ．答案：53π-第11题. 已知扇形的圆心角为60，半径为5，则扇形周长为（ ）Ａ．53πＢ．53π+10 Ｃ．56π Ｄ．5106π+答案：Ｂ第12题. 如果扇形的圆心角为150 ，半径是6，那么扇形的面积为（ ）Ａ．5π Ｂ．10π Ｃ．15π Ｄ．30π答案：Ｃ第13题. 如图，1O ，与2O 外切于点C ，M 与1O ，2O 都相内切，切点分别为A ，B ，1O 与2O 的半径均为2，M 的半径为6，求图中阴影部分的面积．答案：连结12O O ，1M O ，2M O 并延长，则1M O ，2M O 分别过点A ，B ．124O O = ，124O M O M ==，1212O O O M O M ∴==，122160M M O O M O O ∴∠=∠=∠=，12120AO C BO C ∴∠=∠=．12160112024423602236081063M O O M AB O AC S S S S 22⎛π⨯6π⨯2=--=-⨯⨯⨯-⨯ ⎝⎭π=π-=π-3 阴影扇形扇形第14题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，分别以B ，D 为圆心，2为半径画弧，求图中阴影部分的面积．答案：2909022360360ABCD BAC DAC S S S S 22π⨯2π⨯2=+-=+-=π-4阴影正方形扇形扇形．Ｄ第15题. 如图，阴影部分是某一个广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm ，10cm ，120AOB ∠=，求这个广告标志的周长（精确到0.1cm ）．答案：设半径为20cm ，10cm 的圆弧长分别为1l 和2l ．124080(cm )180l π20π==3，224040(cm )180l π10π==3．广告标志的周长为128040(2010)240cm l l A C B D ππ+++=++-⨯=π+20≈145.6()33．第16题. 如图，1O 与2O 相外切于C 点，A B 切1O 于A 点，切2O 于B 点，21O O 的延长线交1O 于点D ，与B A 的延长线交于点P ． （1）求证：2221P O P C P AP O =；（2）若AB =，6cm P C =，求图中阴影部分的面积．答案：（1）连结1O A ，2O B ，B C ，A C ，则12O A O B ∥，12180AO C BO C ∴∠+∠=．11O A O C = ，11O AC O C A ∴∠=∠，同理22O CB O BC∠=．112212360()180O AC O C A O C B O BC AO C BO C ∠+∠+∠+∠=-∠+∠=，1290AC O BC O ∴∠+∠= ，90ACB ∴∠= ，90CAB CBA ∴∠+∠=，11C BA O AC O C A ∠=∠=∠．Ｐ又C PA BPC ∠=∠ ，∴△PAC ∽△P C B ，P C P B P AP C∴=，2PC PA PB = ．222PC PA PB PB PAPAPA∴==．12O A O B ∥，21PO PB PAPO ∴=，2221P O P C P AP O ∴=．（2）设P A x =，由2PC PA PB =，得(36x x +=，解得x =2PA PD PC =，226PAPD PC∴===，4C D ∴=，14PO =，11sin 2PA PO A PO ∠==160PO A ∴∠= ，1120AO C ∴∠= ，260B O C ∠=．1213AO PA BO PB==，26O B =，121221422(26)cm 233OA B O OA COB CS S S S =--=+⨯π-6π=π()阴影梯形扇形扇形第17题. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A 点到B 点，甲虫沿 1ADA ， 12A EA ， 23A FA ， 3A GB 路线爬行；乙虫沿A CB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）Ａ．甲先到达B 点 Ｂ．乙先到达B 点 Ｃ．甲、乙同时到达B 点 Ｄ．无法确定答案：Ｃ第18题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，以C D 为直径在正方形内画半圆，再以D 为圆心，2为半径画弧A C ，则图中阴影部分的面积为（） Ａ．π Ｂ．23π Ｃ．32π Ｄ．2πＤ ＥＦＧＣ1A2A3A答案：Ｄ第19题. 如图，半圆O 的弦A B 平行直径C D ，已知24AB =，半圆E F 与A B 相切，求圆中阴影部分的面积．答案：如图所示，将小半圆沿C D 平行移动，使其圆心与点O 重合，这样所求阴影部分的面积不变．设平移后，小圆与线段A B 相切于G 点，连O G ，O B ，O G A B ∴⊥，且11241222B G A B ==⨯=．在Rt △O BG 中，222212144OB OG GB -===．2222211112222S S S O B O G O B O G G B 1=-=π-π=π(-)=π=π⨯144=72π2阴影大半圆小半圆．第20题. 已知一圆的周长为8cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，则该弧所对的圆周角为 ．答案：67.5第21题. 如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为 ．答案：180n r l π=第22题. 如果设圆心角是n 的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为 ．答案：2360n rS π=或12S lr =第23题. 圆心角为30 ，半径为R 的弧长为 ． 答案：6R π第24题. 圆周长为6π，则60 圆心角所对应的弧长为 ．答案：π第25题. 在半径为1cm 的圆中，弧长为23π的弧所对应的圆周角为 ．答案：60第26题. 在O 中，如果120的圆心角所对应的弧长为43π，则O 的半径为 ．答案：2第27题. 如果O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．答案：第28题. 圆心角是180 ，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的 ．答案：12第29题. 圆心角是n ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：360n ，360n第30题. 扇形的面积为34cm 2，扇形所在圆的半径32cm ，求扇形的圆心角．答案：120。

课题24.4 弧长和扇形面积(第2课时)【教学目标】(一)教学知识点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．【重点难点】重点：1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．难点：经历探索圆锥侧面积计算公式．【教学方法】观察猜想、合作交流、讲练结合【自主复习、预习】【教学过程】一、检查自主复习、预习1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．老师点评：（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，•圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，•但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．二、新课导学我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．（学生分组讨论，提问二三位同学）问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，•底面圆的半径为r，•如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，•因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=2360n lπ，其中n可由2πr=2180n lπ求得：n=360rl，•∴扇形面积S=2360360rllπ=πrL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=πrL+r2．例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则r=582π2258()202π+≈22.03S纸帽侧=πrL≈12×58×22.03=638.87（cm）638.87×20=12777.4（cm2）所以，至少需要12777.4cm2的纸．例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由S扇形=2360n Rπ求出R，再代入L=180n Rπ求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．解：（1）如图所示：∵300π=2 120 360Rπ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm）（2）如图所示：∵20π=20πr∴r=10，R=30900100-2∴S轴截面=12×BC×AD=12×2×10×22（cm2）三、巩固练习（一）基础训练——夯实基础一、课本课本P114 练习1、2、二、选择题．1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A．228° B．144° C．72° D．36°3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）A．3．332C．3 D．3（二）提升训练——能力培养1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的表面积是________（用含 的代数式表示）3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．（三）综合运用——拓展思维如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积．四、归纳小结本节课应掌握：1．什么叫圆锥的母线．2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．五、布置作业P108 8、9【课后反思】。

《弧长和扇形面积（第2课时）》精品教案课题24.4弧长和扇形面积（2）单元第二十四章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养学生的观察、想象、实践能力，获得数学学习经验，懂的数学与生活的密切联系。

能力目标通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题。

知识目标 1.了解圆锥母线的概念.2.理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用。

重点圆锥侧面积和全面积的计算公式的探索与运用。

难点探索圆锥侧面积计算公式。

学法自主探索、合作交流、启发引导教法情景教学法、活动探究法；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习引入回忆n°的圆心角所对的弧长公式和扇形面积公式，并讲讲它们的区别与联系．这节课主要探究圆锥的侧面积计算方法. 通过回顾上节课的主要知识，引导学生巩固重点，引出课题。

通过知识回顾，巩固重点，提出问题，激发学生的学习兴趣。

讲授新课二、探究新知活动1：圆锥的有关概念1.圆锥的形成①一个底面和一个侧面围成的；②一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的.引导学生思考圆锥的形成，学生按教师要求操作，观察，思考，通过探索圆锥的概念，将学生的思维从生活中走进2.把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．3圆锥的高：连接底面圆圆心和圆锥顶点的线段.4圆锥的侧面（曲面）和底面（圆）活动2：圆锥的侧面积问题：圆锥的侧面是一个曲面，无法直接求其面积.圆柱的侧面也是一个曲面，因为展开图是一个长方形，所以求圆柱的侧面积就是求其展开图的面积.类似的，利用圆锥的侧面展开图求其侧面的面积可以吗？圆锥的侧面展开图是什么图形？沿圆锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的顶点为圆心，母线为半径的扇形.如图所示，设圆锥的母线长为l，•底面圆的半径为r，•那么这个扇形的半径为_____，扇形的弧长为______,因此圆锥的侧面积为_______.扇形的弧长：2πr,圆锥的侧面积:注意：计算时需搞清圆锥与侧面展开扇形之间几个量的对应关系：交流，教师给出圆锥的母线、圆锥的高等定义。