中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题(含解析)

数学反证法经典例题一、题目：假设“所有整数都是偶数”成立，则下列结论正确的是？A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数（答案）C（注：在假设下，所有整数包括奇数也应被视为偶数，但此假设本身是错误的，此题考察反证法思维）二、题目：若声称“所有质数都是大于2的偶数”，则根据这一错误假设，下列哪个数不应被视为质数？A. 2B. 3C. 5D. 7（答案）B（注：在假设下，只有大于2的偶数被视为质数，但实际上3是质数且为奇数，此题同样考察反证法及质数定义）三、题目：假设“所有三角形的内角和不等于180度”，则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形（答案）D（注：根据几何学基本定理，任意三角形的内角和总是180度，此假设错误，用于考察反证法）四、题目：若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”，则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注：1的倒数是1，不小于1，此题考察反证法及对倒数概念的理解）五、题目：假设“所有平行线都会相交”，则根据这一错误假设，在平面几何中不可能存在的是？A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形（答案）A（注：平行线定义为不相交的直线，此假设与平行线定义相悖，考察反证法及平行线概念）六、题目：若声称“所有实数的平方都是正数”，则下列哪个数的平方不符合这一错误假设？A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5（答案）B和D（注：负数和0的平方不是正数，但此题为单选题形式，更严谨的答案是指出存在多个不符合，若必须单选，可选B或D中的任意一个作为代表，此题考察反证法及实数平方性质）七、题目：假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”，则根据这一错误假设，下列哪个数不符合这一条件？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D（注：4除了1和4本身外，还有2作为因数，此假设实际上描述了质数的性质，但4不是质数，考察反证法及质数定义）八、题目：若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”，则以下哪个圆的性质在此假设下不成立？A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数（答案）D（注：根据圆的定义，其周长与直径之比是π，此假设错误，考察反证法及对圆的基本性质的理解）。

2019备战中考数学专题练习-命题与证明反证法（含解析）一、单选题1.用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时第一步应假设（）A. 四个角中最多有一个角不小于90°B. 四个内角中至少有一个不大于90°C. 四个内角全都小于90°D. 以上都不对2.用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d＜r，则点P在⊙O的内部”首先应假设（）A. d≤rB. d≥rC. 点P在⊙O的外部D. 点P在⊙O上或点P在⊙O的外部3.用反证法证明：在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°．证明过程中，可以先（）A. 假设三个内角没有一个小于60°的角B. 假设三个内角没有一个等于60°的角C. 假设三个内角没有一个小于或等于60°的角D. 假设三个内角没有一个大于或等于60°的角4.用反证法证明“△ABC的三个内角中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设（）A. 三角形的三个内角都小于60°B. 三角形的三个内角中至多有一个角大于或等于60°C. 三角形的兰个内角中有两个角大于或等于60°D. 三角形的三个内角都大于或等于60°5.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（）A. ∠A=60°B. ∠A＜60°C. ∠A≠60°D. ∠A≤60°6.用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A. 假设一个三角形中只有一个锐角B. 假设一个三角形中至多有两个锐角C. 假设一个三角形中没有一个锐角D. 假设一个三角形中至少有两个钝角7.对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（）A. a不平行bB. b不平行cC. a⊥cD. a不平行c8.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（）A. 有一个内角小于45°B. 每一个内角都小于45°C. 有一个内角大于等于45°D. 每一个内角都大于等于45°9.用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d＜r，则点P在⊙O的内部”首先应假设（）A. d≤rB. d≥rC. 点P在⊙O的外部D. 点P在⊙O上或点P在⊙O的外部10.用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A. a不垂直于cB. a，b都不垂直于cC. a与b相交D. a⊥b11.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（）A. 至多有两个角小于60度B. 都小于60度C. 至少有一个角是小于60度D. 都大于60度12.对假命题举反例时，应注意使反例（）A. 满足命题的条件，并满足命题的结论B. 不满足命题的条件，但满足命题的结论C. 不满足命题的条件，也不满足命题的结论D. 满足命题的条件，但不满足命题的结论13.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”，应该先假设这个三角形中（）A. 没有一个内角小于60°B. 每一个内角小于60°C. 至多有一个内角不小于60°D. 每一个内角都大于60°二、填空题14.用反证法证明AB≠AC时，首先假设________成立．15.用反证法证明∠A＞60°时，应先假设________16.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ________17.用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设： ________18.用反证法证明“∠A≥60°”时，应假设________．三、解答题19.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．20.用反证法证明命题“已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE，CD交于点F，则BE，CD不能互相平分”是真命题．21.如图，直线AB与CD相交于O，EF⊥AB于F，GH⊥CD于H．求证：EF和GH必相交．。

初三反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。

下面是一些初三反证法练习题，通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地理解和掌握反证法。

1. 证明：不存在最大的有理数。

假设存在一个最大的有理数，记为M。

根据有理数的性质，我们可以找到一个比M大的有理数N，即N=M+1。

显然，N>M，这与M是最大的有理数相矛盾。

因此，不存在最大的有理数。

2. 证明：根号2是无理数。

假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数p和q的比值，即根号2=p/q。

我们可以进一步假设p和q没有公因数，否则可以约分。

将等式两边平方得到2=p^2/q^2，整理得到p^2=2q^2。

这说明p^2是2的倍数，根据整数分解定理，p也是2的倍数。

设p=2k，代入等式得到(2k)^2=2q^2，整理得到2k^2=q^2。

这说明q^2是2的倍数，因此q也是2的倍数。

这与p和q没有公因数相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。

3. 证明：不存在无限递增的整数序列。

假设存在一个无限递增的整数序列a1, a2, a3, ...。

我们可以取相邻的两个数ai和ai+1，如果ai>=ai+1，那么这个序列不是无限递增的；如果ai<ai+1，那么我们可以找到一个大于ai+1的整数，记为N，这与序列无限递增相矛盾。

因此，不存在无限递增的整数序列。

4. 证明：存在无限个素数。

假设只有有限个素数，记为p1, p2, p3, ..., pn。

我们考虑数N=p1*p2*p3*...*pn+1，显然N大于任意一个素数pi。

根据素数的定义，N只能是合数，即可被p1, p2, p3, ..., pn中的至少一个素数整除。

但是，N除以任意一个素数pi的余数都不为0，这与N是合数相矛盾。

因此，假设不成立，存在无限个素数。

通过这些反证法练习题的解答，我们可以看到反证法在数学证明中的重要作用。

通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。

61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。

2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。

3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。

反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。

反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。

二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。

案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。

1 专题二十六 反证法、命题与定理瞄准中考一、选择题1. （2018湖南省怀化市，8，4分）下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．菱形的对角线相等D ．相等的两个角是对顶角【思路分析】A ．两直线平行，同位角相等，根据平行线的性质定理，得出A 是真命题．相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出B 是假命题．根据菱形的性质可知，菱形的对角线相等是假命题．对顶角一定相等，但角相等不一定是对顶角，得出D 是假命题．2. 2018广西贵港，8，3分）下列命题中真命题是A ．a2＝(a)2一定成立B ．位似图形不可能全等C ．正多边形都是轴对称图形D ．圆锥的主视图一定是等边三角形 【答案】C3. （2018江苏常州，5，2）下列命题中，假命题是（ ）A ．一组对边相等的四边形是平行四边形B ．三个角是直角的四边形是矩形C ．四边相等的四边形是菱形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】B 【解析】∵231<<，352<<，∴介于53与之间的整数只有2，故选B.4. （2018内蒙古包头，10，3分）已知下列命题：2 ①若33b a >，则22b a >；②若点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在二次函数122--=x x y 的图象上，且满足x 1<x 2<1，则y 1>y 2>－2； ③在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；④周长相等的所有等腰直角三角形全等.其中真命题的个数是 ( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】C5. （2018四川眉山，9，3分）下列命题为真命题的是（ ）A ．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B ．相似三角形面积之比等于相似比C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形【答案】A【解析】①相似三角形面积之比等于相似比的平方，故B 错误；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C 错误；③顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，故D 错误，因此选A ．考点（知识点）讲解考点九、反证法 （3分）先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°[答案] C[解析] 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.一个角是钝角，一个角是直角[答案] A[解析] 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．9.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°[答案] D[解析] 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．10.在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角[答案] C[解析] 用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角．11.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角[答案] A[解析] 从结论的反面出发进行假设，证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°[答案] B[解析] 用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．13.用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角[答案] D[解析] 用反证法应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．14.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B. 三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D.三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角[答案]D[解析] 假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角．二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．2．用反证法证明命题“a，b是自然数N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4.若a∥b，b∥c，证明a∥c．用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设三角形中至少有两个是直角或钝角7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角．8.用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是：假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个．9.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角．10.用反证法证明“在△ABC中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步是假设△ABC中，每一个内角都大于60°．11.用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．12.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．三、解答题1．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明:用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．2．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C=180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．证明: 假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．。

一、选择题7．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．6．（2019·娄底）下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．8．（2019·衡阳）下列命题是假命题的是（ ）A. n 边形（n ≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．8．（2019·武汉）已知反比例函数xk y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接O A ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2；③ 若x 1＋x 2＝0，则y 1＋y 2＝0其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy |＝3，∴|k |＝|xy |＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x 1＜0＜x 2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y 1＞y 2,正确；③中，∵y 1＝16x -,y 2＝26x -,∴y 1＋y 2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x 1＋x 2＝0，∴y 1＋y 2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ． 1. （2019·岳阳）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．2. (2019·巴中)下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .由此得出一个关于之间数量关系的命题： 若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝. 又∵AE ＋BG ＝2CF ，∴CF ＝ 又∵CF ＞DF ，n ＞1，1y x =1y x =1y x =112,,11n n n-+a b -a b a b a b ÷a b 1y x=1,1n -1,1n +1n111(),211n n +-+∴＞，即＞. 故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论＞， ∵n ＞1，∴＞0， ∴＞.一、选择题10．（2019·深圳）下列命题正确的是（ ）A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x 2=14x 的解为x=14C ．六边形的内角和为540°D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【思路分析】对各个选项逐项判断．【解题过程】A 中，矩形的对角线相等，而不具备对角线互相垂直，故A 错误；B 中，方程x2=14x 的解为x=14或x=0，故B 错误；C 中，六边形的内角和为（6－2）×180°=720°，故C 错误；选项D 正确．故选D ．【知识点】矩形的性质；一元二次方程的解法；正多边形的内角和；全等三角形8.（2019•广安）下列命题是假命题的是( )A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦【答案】C【解析】A 、函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；B 、抛物线234y x x =--中△24250b ac =-=>，与x 轴有两个交点，正确，是真命题；C 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；D 、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选C ．111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n1111n n +-+2n1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2n【知识点】命题与定理；一次函数的平移；抛物线与坐标轴的交点；正方形的判定；垂径定理16.（2019·资阳）给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）均在反比例函数y =k x（k ＜0）的图象上，则y 2＜y 3＜y 1； ③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a 无解，则a ≥﹣1； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A 1，再将A 1绕原点逆时针旋转90°到点A 2，则A 2的坐标为（﹣n ，﹣2）．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【解析】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； ②反比例函数y =k x （k ＜0）在二、四象限，当x ＜0时，y ＞0；x ＞0时，y ＜0，且x 增大，y 增大，故y 1＞y 3＞y 2，故正确；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a无解，a ≥﹣1，正确； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A 1，则A 1（﹣2，n ），将A 1绕原点逆时针旋转90°到点A 2，A 2的坐标为（﹣n ，﹣2），正确．以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．【知识点】命题与定理一、选择题7． （2019·永州）下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】D【解析】选项A 中，可能是“SSA ”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B 中，没有“对角 线互相平分”这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C 中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D 正确．7．（2019 · 北京） 用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】本题共有3个命题： 命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b <.∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴0a b ab ->，化简得11a b <，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a b <；那么0ab >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b <，那么a b >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.【知识点】真假命题、不等式的性质.7. （2019 · 桂林）下列命题中，是真命题的是( )A ．两直线平行，内错角相等B ．两个锐角的和是钝角C ．直角三角形都相似D ．正六边形的内角和为360︒ 【答案】A【解析】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；B.两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；C.所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；D.正六边形的内角和为720︒，故错误，是假命题；故选：A ．7．（2019 ·常州）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．－2B ．－12C ．0D ．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ．【知识点】命题与证明；反证法；举反例。