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2021届高考数学总复习第71讲：概率与统计、统计案例的综合问题考点1概率与统计的综合问题破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分别在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100 000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有黄桃均以20元/千克收购；B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)[解](1)由题得黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2，∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2.其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为7 10.(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05，同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2，0.05.若按方案B收购：∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000个，黄桃质量不低于350克的个数为55 000个．∴收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000元．若按方案A收购：根据题意各段黄桃个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000，于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×20÷1 000＝709 000(元)．∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.解答本例第(2)问时，方案A需要算出黄桃的总质量，方案B需要求出黄桃质量低于350克和不低于350克的个数．[教师备选例题](2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解](1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.(2019·泰安模拟)2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护．某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位：万元)的柱状图．(1)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；(结果保留整数)(2)园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元．①分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；②现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．[解] (1)由柱状图可知，甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150,290,350,400,300,400，其平均数为16×(150＋290＋350＋400＋300＋400)＝315(万元)；乙企业这六年在环保方面的投入金额分别为100,200,300,230,500,300，其平均数为16×(100＋200＋300＋230＋500＋300)＝8153≈272(万元)，(2)①根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励t (x )(单位：万元)是关于该年环保投入x (单位：万元)的分段函数，即t (x )＝⎩⎨⎧ 0，x ≤200，20，200＜x ≤300，50，x ＞300.所以甲企业这六年获得的奖励之和为：0＋20＋50＋50＋20＋50＝190(万元)； 乙企业这六年获得的奖励之和为：0＋0＋20＋20＋50＋20＝110(万元)． ②由①知甲企业这六年获得的奖励数如下表：。
高考大题专项练6 高考中的概率、统计与统计案例1.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.依据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品.以X (单位:t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T 表示为X 的函数;(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率. 〚导学号32470892〛解:(1)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X )=800X-39 000.当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以T={800X -39 000,100≤X <130,65 000,130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估量值为0.7.2.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.33.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)依据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?〚导学号32470893〛解:(1)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3,y =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6.由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.3.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:(1)依据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;(2)假如某家庭年收入为9万元,猜测其年饮食支出.〚导学号32470894〛解:(1)由题意,知年收入x 为解释变量,年饮食支出y 为预报变量,作散点图如图.从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.由于x =6,y =1.83,∑i=110x i 2=406,∑i=110y i 2=35.13.∑i=110x i y i =117.7,所以b ^=∑i=110x i y i -10x y∑i=110x i 2-10x 2≈0.172,a ^=y −b ^x ≈1.83-0.172×6=0.798.从而得到线性回归方程为y ^=0.172x+0.798. (2)y ^=0.172×9+0.798=2.346(万元).所以家庭年收入为9万元时,可以猜测年饮食支出为2.346万元.4.某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S=x+y+z 评价该产品的等级.若S ≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:(1)利用上表供应的样本数据估量该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出全部可能的结果;②设大事B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求大事B发生的概率. 〚导学号32470895〛解:(1)计算10件产品的综合指标S ,如下表:其中S ≤4的有A 1,A 2,A 4,A 5,A 7,A 9,共6件,故该样本的一等品率为610=0.6,从而可估量该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的全部可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 4},{A 1,A 5},{A 1,A 7},{A 1,A 9},{A 2,A 4},{A 2,A 5},{A 2,A 7},{A 2,A 9},{A 4,A 5},{A 4,A 7},{A 4,A 9},{A 5,A 7},{A 5,A 9},{A7,A 9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1,A 2,A 5,A 7,则大事B 发生的全部可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 5},{A 1,A 7},{A 2,A 5},{A 2,A 7},{A 5,A 7},共6种.所以P (B )=615=25.5.某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成果的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业支配甲、乙两组各自研发一种新产品,试估量恰有一组研发成功的概率. 〚导学号32470896〛解:(1)甲组研发新产品的成果为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23;方差为s 甲2=115[(1-23)2×10+(0-23)2×5]=29.乙组研发新产品的成果为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=915=35;方差为s 乙2=115[(1-35)2×9+(0-35)2×6]=625.由于x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组.(2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故大事E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=715.6.某高校餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一班级同学中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(1)依据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方同学中有5名数学系的同学,其中2名宠爱甜品,现在从这5名同学中随机抽取3人,求至多有1人宠爱甜品的概率.附:χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2,其中n=n 11+n 12+n 21+n 22.解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异.(2)从5名数学系同学中任取3人的一切可能结果所组成的基本大事空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中a i表示宠爱甜品的同学,i=1,2,b j表示不宠爱甜品的同学,j=1,2,3.Ω由10个基本大事组成,且这些基本大事的消灭是等可能的.用A表示“3人中至多有1人宠爱甜品”这一大事,则A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.大事A是由7个基本大事组成,因而P(A)=710.。
