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第七章 激光特性的控制与改善习题1．有一平凹氦氖激光器，腔长0.5m ，凹镜曲率半径为2m ，现欲用小孔光阑选出TEM 00模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处的两种情况下小孔直径各为多少？(对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基模。
)解：腔长用L 表示，凹镜曲率半径用1R 表示，平面镜曲率半径用2R 表示，则120.5m,2m,L R R ===∞由稳定腔求解的理论可以知道，腔内高斯光束光腰落在平面镜上，光腰半径为012141 ()] 0.42mmw L R L ==-≈共焦参量为22070.420.87m 632810w f ππλ-⨯==≈⨯ 凹面镜光斑半径为10.484mm w w w ==≈ 所以平面镜端光阑直径为 03.3 1.386mm D w =⨯=平 凹面镜端光阑直径为 13.3 1.597mm D w =⨯=凹2．图7.1所示激光器的M 1是平面输出镜，M 2是曲率半径为8cm 的凹面镜，透镜P 的焦距F =10cm ，用小孔光阑选TEM 00模。
试标出P 、M 2和小孔光阑间的距离。
若工作物质直径是5mm ，试问小孔光阑的直径应选多大？图7.112解：如下图所示：12P小孔光阑的直径为：31.061010022mm 0.027mm 2.5f d a λππ-⨯⨯==⨯≈⨯其中的a 为工作物质的半径。
3．激光工作物质是钕玻璃，其荧光线宽F ν∆=24.0nm ，折射率η=1.50，能用短腔选单纵模吗？解：谐振腔纵模间隔222q q c LLνηλλη∆=∆=所以若能用短腔选单纵模，则最大腔长应该为215.6μm 2L ληλ=≈∆所以说，这个时候用短腔选单纵模是不可能的。
6．若调Q 激光器的腔长L 大于工作物质长l ，η及'η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，试求峰值输出功率P m 表示式。
解：列出三能级系统速率方程如下：2121 (1)2 (2)R dN l NcN n dt L d nN n dtστσυ=∆-'∆=-∆式中，()L l L l ηη''=+-，η及'η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，N 为工作物质中的平均光子数密度，/,/R c L c υητδ'==。
激光原理(周炳琨)激光（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation，即激发辐射的光放大）是一种特殊的电磁辐射，它的特点是具有高度的方向性、高度的空间和频率的纯度、高度的能量聚集度以及高度的能量稳定性。
激光是由一个叫做激光源的装置产生的，它是一种特殊的电磁辐射，它的特点是具有高度的方向性、高度的空间和频率的纯度、高度的能量聚集度以及高度的能量稳定性。
激光源的工作原理是通过利用激发辐射的原理来产生激光，它是一种特殊的电磁辐射，它的特点是具有高度的方向性、高度的空间和频率的纯度、高度的能量聚集度以及高度的能量稳定性。
激发辐射的原理是一种物理现象，它指的是一个原子或分子在受到外部光激发作用时，在其能级之间跃迁时发射出跟外部激发光一样频率的光，这种光称为激发辐射。
激发辐射的原理是激光源的基本工作原理，它的特点是具有高度的方向性、高度的空间和频率的纯度、高度的能量聚集度以及高度的能量稳定性。
激光源的结构一般包括激光器件、激光器件驱动电路、激光调谐电路、激光调制电路以及激光输出系统等组成部分。
激光器件是激光源的核心部件，它决定了激光源的性能。
激光器件分为半导体激光器件、离子激光器件、气体激光器件和激光晶体等类型。
激光器件的工作原理是在激光器件内部，电路设计的特殊形式和特殊的结构，使得原子或分子在受到外部光激发作用时，发生激发辐射，从而产生激光。
激光器件驱动电路是激光器件的基本组成部分，它的作用是将外部的电源转换成激光器件所需的电压和电流，从而使激光器件能够正常工作。
激光调谐电路是激光器件驱动电路的基本组成部分，它的作用是通过调节电路中的参数，使激光器件能够输出一定的频率和能量，从而使激光器件能够正常工作。
激光调制电路是激光调谐电路的基本组成部分，它的作用是通过调节电路中的参数，使激光器件能够输出一定的频率和能量，从而使激光器件能够正常工作。
激光输出系统是激光器件的基本组成部分，它的作用是将激光器件输出的激光聚焦到一个特定的位置，从而使激光器件能够正常工作。
激光原理(周炳琨)概述激光（Laser）是指由物质在受到外界能量激发时，通过放射出的光束具有高度的单色性、相干性和方向性的一种光源。
激光原理是指实现激光的产生以及激光的特性与作用的基本原理。
激光技术已经广泛应用于科学研究、医疗、通信、材料加工等领域。
激光产生原理1. 激光器的构成激光器通常由激活介质、光腔和泵浦三部分构成。
其中，激活介质是激光的源头，光腔用于放大激光信号，而泵浦则用于向激活介质输送能量。
2. 激活介质激活介质是产生激光所必需的物质，它具有可以被激活、通过受激辐射放出高度单色的光等特性。
常见的激活介质有气体、固体和液体。
2.1 气体激光气体激光器是使用气体作为激活介质的激光器，常见的气体激光器有CO2激光器、氦氖激光器等。
它们的激活介质分别是二氧化碳和氦氖气体，通过电子激活气体分子，使其达到受激辐射的能级，从而产生激射。
2.2 固体激光固体激光器是使用固体晶体作为激活介质的激光器，常见的固体激光器有Nd:YAG激光器、Nd:YVO4激光器等。
它们的激活介质通常是镨钇掺杂的钇铝石榴石晶体，通常使用光泵或电泵的方式来激发晶体。
2.3 液体激光液体激光器是使用液体作为激活介质的激光器，常见的液体激光器有染料激光器、红宝石激光器等。
它们的激活介质通常是含有染料的溶液，通过外界刺激能激活染料分子，产生激射。
3. 光腔光腔是激光器中光信号的放大装置，其作用类似于谐振腔。
光腔有两端透明的镜子，称为半反射镜和全透射镜。
其中，半反射镜只透过一部分光，而全透射镜使光完全透过。
4. 泵浦泵浦是为激活介质提供能量的装置，通过各种能量输入方式将能量输入到激活介质中。
常用的泵浦方式有光泵和电泵两种。
光泵是指通过光能量向激活介质输送能量，而电泵则是指通过电流向激活介质输送能量。
激光特性与应用1. 激光特性激光具有以下几个独特的特性：•高度单色性：激光光束的频率很单一，其波长非常狭窄，通常只有几个纳米的范围。
•相干性：激光具有相位高度一致的性质，可以保持光束的干涉性质，实现干涉光的实验和应用。
周炳琨激光原理第五章习题解答（完整版）1、证明： 由谐振腔内光强的连续性，有I =I 'ηη''=⇒'⋅'=⋅⇒C N CNV N V N 谐振腔内总光子数 )(l L S N NSl -'+=Φ)(l L NS NSl -'+=ηη ηηη/])([l l L NS +-'=η/L NS '= , )(l L l L -'+='ηηRNSl C n dt d τησΦ-∆=Φ21 R L NS NSl C n dt dN L S ητηση'-∆='21 , CL R δτ'=L CNL l CN n dt dN '-'∆=δσ21 2、解答：（1）ln t 21σδ=∆2.0=δ， cm l 10=HA v ννπσ∆=202212214 s A cs s321104,1,-⨯===ττηνZ H MH c500102,⨯=∆=νλν，nm 3.6940=λ371101.4-⨯=∆cm n（2）010)(ng H ∆=νHA v ννπ∆202212422012)2()()2(H H νννν∆+-∆lg t δ==012ννν-=∆osc L c q '=∆2ν n=82=∆∆qoscνν 3、解答：红宝石理想三能级系统：2211131n A n W dtdn +-=和n n n 21=+ 则：()12113211n A W n A dtdn +-= 设()()()tA W 12113et c t n +-=，代入上式，并利用n )0(n 1=得：()n A W W ne A W A )t (c 211313t A W 2113212113+++=+则:()t A W 21131321132112113ne A W W n A W A )t (n +-+++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-=∆+-t A W 21131321132111222113e A W W A W A 21n n f f n n 令()0n d =∆τ，并由()st 131W τ=，可得：()()()1W W W W 2lnW W 1t1313t1313t1313sd -+=ττ， ()()13t 13t 1313sdW W 12lnW W 11-+=ττ。
激光原理周炳琨参考书激光，这个词儿听起来是不是有点儿高大上？可别急，今天咱们就轻松聊聊这玩意儿。
激光其实是个光的魔法师，能把普通的光变成那种超专一、超亮的“光束”。
它的原理嘛，简单来说，就是通过激发一些分子，让它们发出光，然后再把这些光“聚集”起来。
想象一下，一个小小的派对，几个人在那儿随便聊，可一旦把大家都聚到一起，气氛立马热闹起来。
嘿，这就是激光的魅力。
要说激光的发明，那可是个传奇故事。
最早在上世纪五十年代，科学家们像是在拼图游戏一样，拼出了一种叫做“受激辐射”的现象。
听上去有点儿复杂，但其实就像是给光加了一剂兴奋剂，光一下子活跃了起来。
你能想象吗？光在那儿欢快地跳舞，咱们要做的就是把它引导到一个地方，结果就变成了激光。
这种光啊，不仅仅是亮，它的能量集中得很，可以穿透各种材料，简直是科技界的“超人”。
说到激光的应用，真是无处不在！从医疗到通信，再到工业制造，激光无所不在。
你去医院的时候，看到医生用激光做手术，嘿，那可是比刀子还精准，简直就像是给病人打了一针“精准疫苗”。
再比如，咱们平时用的光盘、激光打印机，都是激光在帮忙。
激光打印出来的东西，清晰得像是刚刚出炉的饼干，酥脆可口。
而在通信领域，激光更是个大功臣，帮助信息在光纤里飞速传递，快得让人眼花缭乱。
哦，对了，激光还有一种特别的“性格”，那就是单色性。
也就是说，激光光束几乎是单一颜色的，像一条直直的彩虹，不像普通光那样杂乱无章。
你想想，平时我们看到的灯光，有红有蓝有黄，但激光却能把这种“杂货铺”变成一条美丽的直线，简直就是视觉的享受。
这种独特的性格让激光在科学研究中大放异彩，比如在光谱分析中，它能够帮忙鉴别各种物质，简直就是科学家们的“金钥匙”。
激光的使用，真是有些“无所不能”的感觉。
不过，玩激光也得小心，别以为它光看起来帅气，实际上如果不小心照到眼睛上，那可是要出大事的。
就像开车一样，得遵守交通规则。
激光也有自己的“法规”，使用不当可不是什么好事。
《激光原理》习题解答第一章习题解答1 为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λ∆应为多少？解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即 c L c ⋅=τ根据相干时间和谱线宽度的关系 cL c ==∆τν1又因为 0γνλλ∆=∆，00λνc=，nm 8.6320=λ由以上各关系及数据可以得到如下形式： 单色性=0ννλλ∆=∆=cL 0λ=101210328.61018.632-⨯=⨯nmnm解答完毕。
2 如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm 和Z MH 3000=γ输出1瓦连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt 时间内输出的能量为dE ，则功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d νnh E =，其中n 为dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。
由以上分析可以得到如下的形式：ννh dth dE n ⨯==功率 每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：()()()13410626.61--⨯⋅⨯====s s J h dt n N s J νν功率每秒钟发射的光子数 根据题中给出的数据可知：z H mms c13618111031010103⨯=⨯⨯==--λν z H mms c1591822105.110500103⨯=⨯⨯==--λνz H 63103000⨯=ν把三个数据带入，得到如下结果：19110031.5⨯=N ，182105.2⨯=N ，23310031.5⨯=N3 设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=? (b)当λ=1μm ，T=300K 的时候，n2/n1=? (c)当λ=1μm ，n2/n1=0.1时，温度T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即： TK E E T k h f f n n b b )(expexp 121212--=-=ν（统计权重21f f =） 其中1231038062.1--⨯=JK k b 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。
填空1.线宽极限：这种线宽是由于自发辐射的存在而产生的,因而是无法排除的2.频率牵引：在有源腔中，由于增益物质的色散，使纵模频率比无源腔纵模频率更靠近中心频率的现象3.按照被放大光信号的脉宽及工作物质驰豫时间的相对大小，激光放大器分为三类：连续激光放大器、脉冲激光放大器和超短脉冲激光放大器。
此时由于光信号与工作物质相互作用时间足够长，因受激辐射而消耗的反转集居数来得及由泵浦抽运所补充，因此反转集居数及腔内光子数密度可以到达稳态数值而不随时间变化，可以用稳态方法研究放大过程。
这类放大器称为连续激光放大器；因受激辐射而消耗的反转集居数来不及由泵浦抽运补充，反转集居数和光子数在很短的相互作用期间内达不到稳定状态。
这类激光放大器必须用非稳态方法研究，称为脉冲激光放大器；当输入信号是锁模激光器所产生的脉宽为(10 -11~10-15 )s 的超短脉冲时，称为超短脉冲激光放大器4. 这是由于当脉冲前沿通过工作物质时反转集居数尚未因受激辐射而抽空，而当脉冲后沿通过时，前沿引起的受激辐射以使反转集居数降低，所以后沿只能得到较小的增益，结果是输出脉冲形状发生畸变，矩形脉冲变成尖顶脉冲，脉冲宽度变窄5. ，工作物质可处于三种状态:①弱激发状态：激励较弱，△n<0，工作物质中只存在着自发辐射荧光，并且工作物质对荧光有吸收作用。
②反转激发状态：激励较强。
0<△n<△n t,0<g0<δ/l。
③超阈值激发状态：若激励很强，使△n<△n t,g0l>δ，则可形成自激振荡而产生激光。
6.即在低Q值状态下激光工作物质的上能级积累粒子，当Q值突然升高时形成巨脉冲振荡，同时输出光脉冲，上述方式称作脉冲反射式调。
激光能量储存于谐振腔中,这种调Q 方式称作脉冲透射式调Q。
7. 当(Ωt+β)=2mп时，光强最大。
最大光强I m=(2N+1)2E02,锁模时；I m=(2N+1)E02，未锁模时。
Ω=2п△V q8.红宝石激光器Cr3+ 694.3nm 三钕激光器Nd3+ 1064nm 四He-Ne激光器Ne 632.8nm 四激发方式共振能量转移CO2激光器CO2 10.6nm 四激发方式直接电子碰撞级联跃迁共振转移简答1.光腔作用：（1）模式选择。
保证激光器单模（或少数轴向模）振荡，从而提高激光器的相干性。
（2）提供轴向光波模的反馈。
2.震荡条件：g0l≥δ3. 激光的四性：单色性、相干性、方向性和高亮度4.光腔损耗：（1）几何偏折损耗。
光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，这种损耗为几何偏折损耗。
(2)衍射损耗。
由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当光在镜面上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。
(3)腔镜反射不完全引起的损耗。
它包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特窗、调Q元件、调制器等)所引起的损耗。
5. 光束衍射倍率因子M2定义为M2=实际光束的腰斑半径与远场发散角的乘积/基模高斯光束的腰斑半径与远场发散角的乘积，数值越小，激光束越亮；K=1/M2称作光束传输因子，它也是国际上公认的一个描述光束空域传输特性的量。
6.自然加宽：在不受外界影响时，受激原子并非永远处于激发态，它们会自发的向低能级跃迁，因而受激原子在激发态上具有有限的寿命。
这一因素造成了原子跃迁谱线的自然加宽，线性函数：谱线宽度：7. 多普勒加宽：多普勒(Doppler)加宽是由于作热运动的发光原子(分子)所发出的辐射的多普勒频移引起的。
线性函数：谱线宽度：8. 当频率为v q的纵模在腔内形成稳定振荡时,腔内形成一个驻波场,波腹处光强最大,波节处光强最小。
因此虽然v q模在腔内的平均增益系数等于g t ,但实际上轴向各点的反转集居数密度和增益系数是不相同的,波腹处增益系数(反转集居数密度)最小,波节处增益系数(反转集居数密度)最大。
这一现象称作增益的空间烧孔效应。
由于轴向空间烧孔效应,不同纵模可以使用不同空间的激活粒子而同时产生振荡,这一现象叫做纵模的空间竞争。
9. 对于由多普勒非均匀加宽工作物质组成的驻波激光器，当振荡模频率v q≠v0 时，I+和I-两束光在增益曲线上分别烧两个孔。
10. 单模输出功率P 和单模频率v q的关系曲线。
在v q=q0处，曲线有一个凹陷，称作兰姆凹陷。
11. Q 调制技术，它的基本原理是通过某种方法使谐振腔的损耗因子δ（或Q值）按照规定的程序变化，在泵浦激励刚开始时，先使光腔具有高损耗因子δH，激光器由于阈值高而不能产生激光振荡，于是亚稳态上的粒子数便可以积累到较高的水平。
然后在适当的时刻，使腔的损耗因子突然降低到δ，阈值也随之突然降低，此时反转集居数大大超过阈值，受激辐射极为迅速的增加。
于是在极短时间内，上能级储存的大部分粒子的能量转变为激光能量，形成一个很强的激光巨脉冲输出。
采用调Q 技术很容易获得峰值功率高于兆瓦、脉宽为几十毫微秒的激光巨脉冲。
12. 一般非均匀加宽激光器，如果不采取特殊选模措施，输出是它们的无规叠加的结果，输出强度随时间无规则起伏。
但如果使各振荡模式的频率间隔保持一定，并具有确定的相位关系，则激光器将输出一列时间间隔一定的超短脉冲。
这种激光器称为锁模激光器。
腔内有q=-N,-(N-1),…0,…(N-1),N等(2N+1)个模式振荡相邻模式的初位相之差保持一定称为相位锁定。
1.7．证明当每个模式内的平均光子数(光子简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证：受激辐射跃迁几率为2121W B νρ= 受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为式中，/n ννρ表示每个模式内的平均能量，因此/()n h ννρν即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。
1.8．(1)一质地均匀的材料对光的吸收系数为-10.01mm ，光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？(2)一束光通过长度为1m 的均匀激励的工作物质。
如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
解：(1) 出射光强与入射光强之比为所以出射光强只占入射光强的百分之三十七。
(2) 设该物质的增益为g ，则即该物质的增益系数约为10.69m -。
2.4试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔的稳定性条件为0<g 1∙g 2<1,其中g 1=1-1R L ,g 2=1-2R L （a 对平凹腔：R 2=∞,则g 2=1,0<1-1R L<1，即0<L<R 1 (b)对双凹腔：0<g 1∙g 2<1, 0<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1 LR >1，L R >2或L R <1L R <2且LR R >+21(c)对凹凸腔：R 1=1R ,R 2=-2R ,0<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1，L R >1且LR R <-||2121212121B W A A n h νννρρν==0.011001outine e e 0.37l I I α--⨯-===≈1outin 1ln ln 20.69m I g l I -⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭2.6．图2.1所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2f R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos )f R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
解：22222101011211110101442132221A B l l C D f f l l l l f f f l l f l f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭()221312l l A D f f+=-+ 稳定条件 223111l lf f-<-+<左边有22320210l lf fl l f f -+>⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以有21l lf f><或 对子午线： 对弧失线： 有：或所以同时还要满足子午线与弧失线cos2Rf θ=子午2cos Rf θ=弧失223cos L R θ<<21cos L R θ<R R <<>或R R <<>或2.23．如图2.2光学系统，如射光=10.6μm λ，求"0ω及3l 。
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于11l F =，所以11l F '==2cm 所以对第二个透镜，有213cm l l l '=-=已知20.05m F =，根据 得014.06μm ω''=，38.12cm l =2.24．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。
今用一望远镜将其准直。
主镜用镀金反射镜R =1m ，口径为20cm ；副镜为一锗透镜，1F =2.5cm ，口径为1.5cm ；高斯束腰与透镜相距l =1m ，如图2.3所示。
求该望远系统对高斯光束的准直倍率。
解：入射高斯光束的共焦参数为由于1F 远远的小于l ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为这样可以得到在主镜上面的光斑半径为即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。
这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为ωcmF 5=0022.49μm F λωπω'==240 1.49910mf πωλ-'==⨯222322220()()l F F l F l F f ω-=+-+''=200.427mf πωλ==000.028mmωω'==0()6cm 10cm R R λωπω'≈=<'101.9M ==4.2．长度为10cm 的红宝石棒置于长度为20cm 的光谐振腔中，红宝石694.3nm 谱线的自发辐射寿命3410s s τ-≈⨯，均匀加宽线宽为5210MHz ⨯。
光腔单程损耗0.2δ=。
求(1)阈值反转粒子数t n ∆；(2)当光泵激励产生反转粒子数 1.2t n n ∆=∆时，有多少个纵模可以振荡？(红宝石折射率为1.76)解：(1) 阈值反转粒子数为：222212112337217344210 1.764100.2 cm 10(694.310) 4.0610cm H s t n l l πνητδδσλπ----∆∆==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯(2) 按照题意 1.2m t g g =，若振荡带宽为osc ν∆，则应该有22221.222H t t osc H g g ννν∆⎛⎫ ⎪⎝⎭=∆∆⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由上式可以得到108.9410Hz osc H νν∆=⨯相邻纵模频率间隔为10831022( 1.76())2(10 1.7610) 5.4310Hzq c c l l L l ν⨯∆==='⨯+-⨯+=⨯所以1088.9410164.65.4310osc q νν∆⨯==∆⨯ ，所以有164~165个纵模可以起振。
