定积分与微积分练习题及答案
一、选择题：
1如图，阴影部分面积等于( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.323 D.35
3
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝32
3.
2.⎠⎛0
24－x2dx ＝( )
A ．4π
B ．2π
C ．π
D.π2
[答案] C
[解析] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝1
4
×π×22＝π.
3．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π
4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该
点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )
A.π
4
B.12
C.π
2
－1
D.2π
[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是
π
2
，在这个区
4．设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则
2
⎰
f(x)dx 等于 ( )
A.34
B.45
C.5
6 D ．不存在
解析：数形结合，
2
⎰
f(x)dx=
1
⎰
x2dx+
2
1
⎰
(2-x)dx
=
321211(2)3021x x x +-=3115(422)326x +--+=
.答案：C 5．如图，函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.4
3
C. 3 D ．2
解析：函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于
2
⎰
(－x2＋2x ＋1－1)dx ＝
2
⎰
(－x2＋2x)dx ＝4
3
.答案：B
6.(2010·烟台模拟)若y ＝
x
⎰
(sint ＋costsint)dt ，则y 的最大值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．－7
2 D ．0
解析：y ＝
x
⎰
(sint ＋costsint)dt ＝
x
⎰
(sint ＋1
2
sin2t)dt
＝(－cost －14cos2t)0x
＝－cosx －14cos2x ＋54＝－cosx －14(2cos2x －1)＋54＝－12cos2x －cosx ＋32＝－1
2
(cosx ＋1)2＋2≤2. 答案：B
7．(2010·惠州模拟)⎠⎛0
2(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3
[解析] ∵y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x 0≤x≤1
3－x 1＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋3
2
＝3.
8．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )
A ．1
B ．e
C ．e －1
D ．e ＋1
[答案] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e
lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.
9．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －1 －，π
2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )
A.2＋π
4
B.12
C ．1 D.3
2
[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0 π2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝3
2.
二、填空题：
1．已知函数y ＝x2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4
3
，则k ＝________.
解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，
再由
k
⎰
(kx －x2)dx ＝(kx22－x33)0k
＝k36＝4
3
求得k ＝2.答案：2
2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y)， 则
x
⎰
(kx －x2)dx ＝
2x
⎰
(x2－kx)dx ，
即(12kx2－13x3)0x ＝(13x3－12kx2)2
x ，
解得12kx2－13x3＝83－2k －(13x3－1
2
kx2)，
解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．答案：(43，169)
3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．
解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：
v ＝v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2t ，0≤t ＜20，
50－t ，20≤t ＜40，
10，
40≤t≤60.
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s ＝
60
()d v t t
⎰
＝
20
3d 2t t ⎰
＋4020(50)d t t -⎰＋60
4010d t ⎰＝34t2200＋(50t －12
t2)
4020＋10t
40
20＝900米．答案：
900
