江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课堂精练苏教版必修4

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘课堂精练 苏教版必修41．点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，且GA GB GC GD λ+-=，则λ＝__________.2．下面给出四个命题 ，其中正确命题的个数是__________．①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m (a －b )＝m a －m b②对于实数m ，n 和向量a ，恒有：(m －n )a ＝m a －n a③若m a ＝m b (m ∈R )，则有：a ＝b④若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n3．若a ，b 是已知向量，且11(32)4(634-+-=)++0a c c b a b ，则c ＝__________.4．已知OA =a ，OB =b ，C 为AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为CB 上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD 的表达式为__________．5．平面向量a ，b 共线的等价条件是__________．(填序号)①a ，b 方向相同 ②a ，b 两向量中至少有一个为零向量③存在λ∈R ，b ＝λa ④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝06．在△ABC 中，点D 在直线BC 上，且4CD BD r AB sAC ==-，则r ＋s ＝__________.7．已知向量e 的模为2，求向量a ，b 的模，并指出向量a ，b ，e 彼此间的方向关系．(1)向量a ＝3e ，b ＝4e ；(2)向量a ＝2e ，b ＝－3e .8．设OA ，OB 不共线，P 点在AB 上．求证：OP OA OB λμ=+，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .9.用向量方法证明梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半．参考答案1. 答案：4解析：∵24GA GB GC GA GB CG CG GD +-=+-==，∴λ＝4.2. 答案：3解析：①②显然正确，③中当m ＝0时，对于任意两向量a ，b ，m a ＝m b 都成立，但不一定有a ＝b ，故③错误．④中首先可知m 、n 同号，又|m a |＝|n a |，|a |≠0，∴|m |＝|n |.∴m ＝n .∴④正确．3. 答案：－6(a ＋b )解析：∵11(32)4(634-+-=)++0a c c b a b ， ∴2463-+-=++0a c c b a b . ∴1223=++0c a b .∴c ＝－6(a ＋b )．4. 答案：459+a b解析：如图所示，AB OB OA =-=-b a ，∵23BC AB =， 13CD BC =， ∴1222()3399CD AB AB =⋅==-b a ． ∵11()33AC AB ==-b a ， ∴OD OA AD AC CD =+=++a 1245()()399+=+-+-=a b a b a b a . 5. 答案：④解析：由两个非零向量a ，b 共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件．④是．6. 答案：83解析：如图所示，由题意，得点D 在线段CB 的延长线上，∵4CD BD =， ∴43CD CB =.又∵CB AB AC =-， ∴444()333CD AB AC AB AC =-=-. ∴43r s ==. ∴83r s +=.7. 解：(1)∵a ＝3e,3>0，∴|a |＝3|e |＝6，向量a 的方向与向量e 的方向相同．又∵b ＝4e,4>0，∴|b |＝4|e |＝8，向量b 的方向与向量e 的方向相同．∵a ＝3e ，∴13=e a .∴443==b e a .∴a 与b 的方向相同．(2)∵a ＝2e ，且2>0，∴|a |＝2|e |＝4，向量a 的方向与向量e 的方向相同．又∵b ＝－3e ，且－3<0，∴|b |＝3|e |＝6，向量b 的方向与向量e 的方向相反．∵a ＝2e ， ∴12=e a . ∴332=-=-b e a ，向量a 的方向与向量b 的方向相反．8. 证明：∵P 点在AB 上，∴AP 与AB 共线．∴AP t AB = (t ∈R )．∴()OP OA AP OA t AB OA t OB OA =+=+=+-(1)OA t tOB =++. 令λ＝1－t ，μ＝t ，∴λ＋μ＝1.∴OP OA OB λμ=+，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .9. 解：如图，已知梯形ABCD 中，E ，F 是两腰AD ，BC 的中点，求证：EF ∥AB ∥CD ，且1()2EF AB CD =+．证明：∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴ED EA =-，CF BF =-. ∵,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++， ∴11()()22EF ED EA DC AB CF BF DC AB =+++++=+．又∵DC ∥AB ，∴设AB DC λ= (λ∈R )． ∴111()()222EF DC AB DC DC DC λλ+=+=+=.∴EF ∥DC .∵E ，F ，D ，C 四点不共线，∴EF ∥CD .同理，可证EF ∥AB .∵AB ∥DC 且同向， ∴111()()()222EF DC AB DC AB DC AB =+=+=+．∴1()2EF AB CD =+．综上，原命题得证．。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课堂精练苏教版必修21．已知A＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＋4＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝__________.2．过直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0的交点，且与直线0x＝垂直的直线的方程是__________．3．当12k<<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第__________象限．4．已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为__________．5．直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0交于点(2,3)，则经过两点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为__________．6．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是__________．7．(1)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，是否存在实数m，n，使l1，l2相交于点P(m，－1)?(2)不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，试求该定点的坐标．参考答案1．2 由20240x yx y+-=⎧⎨-+=⎩得2.xy=⎧⎨=⎩∴A∩B＝{(0,2)}．∵(A∩B)⊆C，∴点(0,2)在直线y＝3x＋b上，∴2＝3×0＋b，∴b＝2.2.255y+-+=解方程组210310x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得交点坐标为12,55⎛⎫-⎪⎝⎭.又因为直线0x=的斜率1k=，且与所求直线垂直，所以所求直线的斜率2k=所以所求的直线方程为2155y x⎫-=+⎪⎭，即255y+-+=3．二解方程组12kx y kky x k-=-⎧⎨-=⎩得121.1kxkkyk⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩因为12k＜＜，所以01kk<-，211kk->-.所以交点21,11k kk k-⎛⎫⎪--⎝⎭在第二象限．4．－4 在2x－3y＋4＝0中，令x＝0，得43y=，即直线l2与y轴的交点为40,3⎛⎫⎪⎝⎭.∵点40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，∴3×43＋C ＝0. ∴C ＝－4.5．2x ＋3y ＋1＝0 ∵点(2,3)为两直线l 1和l 2的交点，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0.∴A ，B 都在直线2x ＋3y ＋1＝0上．又l 1，l 2相交，∴A ，B 为不同的两点．故过两点A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 6.3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 由2402360x my mx y -+=⎧⎨+-=⎩得2263364.3m x m m y m -+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩∵两直线的交点在第二象限， ∴2263036403m m m m -+⎧<⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩⇒23.2m m <⎧⎪⎨>-⎪⎩ ∴322m -＜＜ 7．解：(1)将P 点坐标代入l 1，l 2方程得280210m n m m ⎧-+=⎨--=⎩解得17.m n =⎧⎨=⎩∴存在实数m ＝1，n ＝7，使l 1，l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，∴m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0.则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5一定通过直线x ＋2y －1＝0与x ＋y －5＝0的交点． 由方程组21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)．∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5经过定点(9，－4)．8．解法一：任意两条直线都相交，则11aa≠，111a≠，故a≠±1.且三条直线不共点，故10x ayx y a++=⎧⎨++=⎩的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0.∴a≠－2且a≠1.综合上述结果，此三条直线围成三角形的条件是a≠±1且a≠－2.解法二：∵三条直线能围成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．若l1，l2，l3交于一点，则l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y＋1＝0上．∴a(－a－1)＋1＋1＝0.∴a＝1或a＝－2.若l1∥l2，则有11a-=-，a＝1；若l1∥l3，则有－a＝－1，a＝1；若l2∥l3，则有1aa-=-，a＝±1.∴l1，l2，l3围成三角形时，a≠±1且a≠－2.。

2．3.1 平面向量基本定理[提出问题问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a 能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[导入新知]平面向量基本定理理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．(3)λ1，λ2是唯一的.[提出问题]问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：不一样．[导入新知]向量的夹角正确理解向量的夹角 (1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a ，b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 为a 与b 的夹角．(2)注意事项：①向量的夹角是针对非零向量定义的．②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示DC ，BC ，MN .[解] 如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形． 则DC ＝AN ＝12AB ＝12a ；BC ＝NC －NB ＝AD －12AB ＝b －12a ；MN ＝CN －CM ＝－AD －12CD＝－AD －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AB ＝14a －b .[类题通法]用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图所示，已知在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边的中点．若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量DE ，BF .答案：DE ＝a －12b ；BF ＝b －12a[例2] 已知|a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？[解] 如图所示，作OA ＝a ，OB ＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形．又因为∠AOB ＝60°，所以OC 与OA 的夹角为30°，BA 与OA 的夹角为60°.即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°. [类题通法]求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．[活学活用]如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB 与向量BC 的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE 与EC 的夹角． 答案：(1)120° (2)90°[例3] 121212x ，y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4(2)在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，求λ＋μ的值．[解] (1)D(2)设AB ＝a ，BC ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝b ＋12a ，AC ＝a ＋b ，所以AC ＝λAE＋μAF ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＝a ＋b .又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.[类题通法]1．平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.2．重要结论设e 1，e 2是平面内一组基底，[活学活用]若向量a，b 不共线，且c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底． 答案：c ，d 能作为基底．5．平面向量基本定理的应用[典例] (12分)如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．[解题流程][规范解答]设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2.(2分)∴存在实数λ，μ，使得AP ＝λAM ＝－λe 1－3λe 2，(4分)BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.(6分)故BA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋3e 2，(8分) 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(10分)∴AP ＝45AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1.(12分)[名师批注]选取恰当的基底是解决此类问题的前提．若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行．利用A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线建立＝λAM ，BP ＝μBN 是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法．由平面向量基本定理的唯一性建立关于λ，μ的方程组，求出λ，μ的值，即可求出AP 与AM 的关系，进而求出AP ∶PM 的值．[活学活用]如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，试问：1x ＋1y是否为定值？答案：1x ＋1y＝4，为定值．[随堂即时演练]1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④答案：B2．已知▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案：D3．如图，C ，D 是△AOB 中边AB 的三等分点，设OA ＝e 1，OB ＝e 2，以e 1，e 2为基底来表示OC ＝________，OD ＝________.答案：23e 1＋13e 2 13e 1＋23e 24．已知e 1，e 2不共线，且a ＝ke 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则k 等于________． 答案：15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量BC .答案：BC ＝e 1＋(k －1)e 2[课时达标检测]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μ e 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②答案：B2．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案：C3．如图，在矩形ABCD 中，若BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC ＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 答案：A4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b答案：B5．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR ―→等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 答案：B 二、填空题6．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．答案：90°7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________.答案：238．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.答案：23a －13b三、解答题9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.10．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试用a ，b 表示DC ，EF ，FC .解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC ＝AD ＝a ，DC ＝AF ＝12AB ＝12b .EF ＝ED ＋DA ＋AF＝－12DC －AD ＋12AB＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .11.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC ＝OD ＋OE .在Rt △OCD 中， ∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD |＝4，|CD |＝2， 故OD ＝4OA ，OE ＝2OB ， 即λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课堂精练 苏教版必修41．若e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，则下列命题中正确的序号是__________． ①空间任一向量p 都可表示为λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )②对平面α中的任一向量p ，使p ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对③若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0④λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )不一定在平面α内2．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于__________．3．已知ABCD Y 中，23BP BC =u u u r u u u r ，若AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则PD u u u r ＝__________. 4．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线时，λ的值为__________．6．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则x ＝__________，y ＝__________.7. 重力为1 N 的重物被两根细绳悬挂着，处于平衡状态(如图所示)，已知两细绳与水平线分别成30°，60°角，问两细绳各受到多大的力？8.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，14BF MC BC ==，设AB =u u u r a ， AD =u u u r b ，以a ，b 为基底表示AM u u u u r ，MH u u u u r ，AF u u u r ，MD u u u u r .参考答案1. 答案：③解析：①错，这样的p 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；②错，这样的λ1，λ2是惟一的，而不是无数对；④错，λ1e 1＋λ2e 2在α内，只有③正确．2. 答案：1解析：由平面向量基本定理得25,42,x y x y -=⎧⎨=-⎩解得2,1.x y =⎧⎨=-⎩ ∴x ＋y ＝1.3. 答案：13-b a解析：如图所示，111333PD PC CD BC CD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b b a . 4. 答案：43解析：延长AF ，DC 交于点H ，∵E ，F 为中点，∴AB ＝HC ＝CD ，AF ＝FH .∴2222()AC AH HC AF CE AF AE AC =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． ∴2233AC AF AE =+u u u r u u u r u u u r ，即23λ=，23μ=.∴43λμ+=. 5. 答案：12解析：∵a ，b 共线，∴存在惟一实数m ，使得a ＝m b ，即2e 1＋e 2＝m (e 1＋λe 2)．∵e 1，e 2不共线，∴2,1.m m λ=⎧⎨=⎩ ∴m ＝2，12λ=.6. 答案：1解析：设AB ＝1，则AC ＝1，BC =ED =2BD =，∴2DF =，2BF =.∴(122AD AB AC =++u u u r u u u r u u u r .∴12x =+，y =. 7. 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°， ∵1OP =u u u r (N)，∠P 1OP ＝60°，∠P 2OP ＝30°，11cos6010.52OP OP ==⋅=o u u u r u u u r (N)，2cos3010.87OP OP ==≈o u u u r u u u r (N)， 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 N 和0.87 N.8. 解：由于1144BF BC AD ==，∴14BF =u u u r b . 在△ABF 中，14AF AB BF =+=+u u u r u u u r u u u r a b ， 又∵14BF MC BC ==， ∴12FM BC =.∴12FM =u u u u r b . 则113424AM AF FM =+=+++=u u u u r u u u r u u u u r a b b a b . 又∵AH ＝HD ，∴12AH =u u u r b . ∴131(244MH AH AM =-=-+--)=u u u u r u u u r u u u u r b a b a b .又∵12HD =u u u r b ， ∴111424MD MH HD =+=--+=-+u u u u r u u u u r u u u r a b b a b .。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步 2.2.3 圆与圆的位置关系课堂精练苏教版必修2 1．两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)当a＝__________时，两圆外切；(2)当a＝__________时，两圆相内切．2．(1)圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为__________．(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．3．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ 的最小值是__________．4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为则a＝__________.5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．6．圆x2＋y2＝1和圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的公共弦所在直线被圆4x2＋4y2＝25所截，则截得的弦长为__________．7．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．8．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程．参考答案1．(1)－5或2 (2)－2或－1 ∵圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 1(a ，－2)，r 1＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心C 2(－1，a )，半径r 2＝2.当12125C C r r ==＋＝时，两圆外切，此时可解得a ＝－5或2；当12121C C r r ==－＝时，两圆内切，此时可解得a ＝－1或－2.2．(1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋3y ＝0 (1)由题意知，两圆的连心线即为AB 的垂直平分线．由已知得两圆圆心分别为(1,0)，(－1,2)，∴由两点式方程得012011y x --=---，即x ＋y －1＝0. (2)两圆方程联立消去二次项得到的x 、y 的二元一次方程即为直线AB 的方程．设点P (x ，y )为交点弦上任意一点，则2222101320x y x y ⎧+=⎨(-)+(-)=⎩相减得2x －1＋6y －9＝10－20，即x ＋3y ＝0.3．5 由x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0得(x －4)2＋(y －2)2＝9.∴圆心C 1为(4,2)，半径r 1＝3；由x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0得(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4， ∴圆心C 2为(－2，－1)，半径r 2＝2.∴min 121232325PQ C C r r ＝－－－＝－＝ 4．1依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB ，交y 轴于点C ，连结OA ，则OA ＝2. 两圆方程相减，得2ay ＝2，解得1y a =，∴1OC a=.又公共弦长为∴AC =于是，由Rt △AOC 可得OC 2＝AO 2－AC 2，即22212a=－， 整理得a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1.5．2x －y ＝0 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1. 设直线方程为y ＝kx ，则圆心到直线的距离为d =0=，解得k＝2.故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.6.由两圆方程可得其公共弦方程为x ＋y －1＝0，原点O 到该直线的距离2d =，而半径52r =，故弦长==＝7．解法一：联立两圆方程22221221301216250.x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0. 再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩ 联立得两交点坐标A (－1,2)、B (5，－6)． ∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点M (2，－2)，圆的半径为152r AB =＝.于是圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)，得圆心C 1212162,.2121λλλλ⎛⎫---- ⎪(+)(+)⎝⎭.∵圆心C 应在公共弦AB 所在直线上， ∴121216243202121λλλλ-(-)(--)⨯+⨯-=(+)(+).解得12λ=∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.8．(1)证明：将圆的方程整理，得 (x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系．解方程组222042200x y x y ⎧+=⎨--=⎩得42.x y =⎧⎨=-⎩所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a ) 2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2. 若两圆外切，则r 1＋r 2＝O 1O 2，即2=560a =－＞， 所以65a ＞，解得1a ＝若两圆内切，则|r 1－r 2|＝O 1O 2，2=650a =－＞，所以65a ＜.解得1a ＝或1a ＝舍去)．综上所述，1a ＝9.解：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0. 由于圆C 2始终平分圆C 1的周长，因此C 1(－1，－1)必在相交弦所在直线上， ∴2(1＋a )×(－1)＋2(1＋b )×(－1)－a 2－1＝0，即2252a ab ++=-.由圆C 2方程，得r ∴S ＝πr 2＝π(1＋b 2)2222254[(1)4]4a a a ππππ(++)⨯=+＝＋＋＋.∴当a ＝－1时，S 取最小值5π，此时b ＝－2，∴圆C 2的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法课堂精练 苏教版必修41．给出下列命题：①若OD OE OM +=，则OM OE OD -=；②若OD OE OM +=，则OM DO OE +=；③若OD OE OM +=，则OD EO OM -=；④若OD OE OM +=，则DO EO MO +=.其中所有正确命题的序号为__________．2．若向量a 与b 共线，|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__________.3．下列命题中，正确的个数是__________．①在平行四边形中，BA AD BD AB CD +-=+；②+=⇔=0a b a b ；③a －b ＝b －a ；④AB CB CD AD -+-的模为0.4．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的序号是__________．①向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同②向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同③向量a 与b 反向，则向量a －b 与a 的方向相同④向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同．5．(1)已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的形状是__________．(2)若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的平行四边形的形状必定是__________．6.如图，已知AB =a ，AC =b ，12AB =，5AC =，∠BAC ＝90°，则|a －b |＝__________，tan∠ACB ＝__________.7.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，求OD.8．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.9.已知a，b，c为不共线的三个向量，求证：|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.参考答案1. 答案：①②③④2. 答案：0或2解析：若a 与b 同向，则|a －b |＝|a |－|b |＝0.若a 与b 反向，则|a －b |＝|a |＋|b |＝2.3. 答案：3解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．由(+=⇔+-=⇔-+=⇔=0)00a b a a b a a a b b 知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的．4. 答案：②解析：∵a 与b 反向且|a |<|b |，∴a ＋b 与b 方向相同，与a 方向相反．∴②不正确．5. 答案：(1)平行四边形 (2)矩形解析：(1)∵OA OC OB OD +=+，∴OA OB OD OC -=-.∴BA CD =，∴BA 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．(2)设AB =a ，AD =b ，如图，则AC AD AB =+=+a b ，DB AB AD =-=-a b ，∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴AC DB =∴． 6. 答案：13 125解析：∵CB -=a b ，∴13CB -====a b a ，12tan 5ACB ∠==a b . 7. 解：∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC OC OB ==-=-c b .∴OD OA AD =+=+-a c b .8. 解：如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB =+a b ，再作OC =c ，则CB =+-a b c .如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB OA AB =+=+a b ，再作CB =c .∵CB OB OC =-，∴OC OB CB =-=+-a b c9. 证明：在平面内任取一点O ，作向量OA =a ，OB =b ，OC =c ，则向量BA =-a b ，CB =-b c ，AC =-c a ，(1)当A ，B ，C 不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |；(2)当A ，B ，C 共线时，若C 在线段AB 上时，有|a －b |＝|a －c |＋|c －b |，若C 不在线段AB 上时，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |.综上所述，总有|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.5 平面上两点间的距离课堂精练苏教版必修2 1．△ABC的顶点A(2,1)，B(4，－2)，C(－6,3)，则BC边上中线AM的长为__________．2．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为__________．3．点A(－1,2)关于直线2x＋y－1＝0的对称点的坐标是__________．4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为__________．5．已知A，B两点的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值为__________，此时点P的坐标为__________．6．(1)已知两点A(2,2)，B(5，－2)，在x轴上找一点P，使线段PA的长等于线段PB的长，则P点坐标为__________．(2)已知A(1,1)，B(2,2)，点P在直线12y x＝上，则PA2＋PB2取最小值时的P点坐标为__________．7．已知三角形ABD的顶点为A(－1,3)，B(3，－2)，D(2,4)，求BD边上的中线AM的长和AM所在的直线方程．8．(1)等边三角形的两个顶点坐标分别为A(4，－6)，B(－2，－6)，求另一顶点C的坐标．(2)已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)，C(2,5)，求顶点B和D的坐标(设A、B、C、D按逆时针顺序)．参考答案1.∵M为BC中点，∴M4623,22--+⎛⎫⎪⎝⎭，即M11,2⎛⎫-⎪⎝⎭.∴2AM==.2．13 点A(2,0)与点B(－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB必与直线CD平行，即k AB＝k CD，∴8041522nm--==---(-)，整理得m＋n＝13.3.112,55⎛⎫-⎪⎝⎭设A(－1,2)关于2x＋y－1＝0的对称点为A′(x′，y′)．则12210 222112x yyx''-++⎧⨯+-=⎪⎪⎨'-⎪=⎪'+⎩解得1512.5 xy⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩4.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭设B点的坐标为(x，－x)，则AB=当21222x=-=-⨯时，AB最短，即B11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.5．57,04⎛⎫⎪⎝⎭如图所示，A点关于x轴的对称点A′的坐标为(1，－1)，连A′B，则A′B与x轴的交点即为所求P点，∵只有当A′，P，B三点共线时，PA＋PB最小，∴min ()5PA PB PA PB A B ='='==＋＋由两点式可得A ′B 方程为113141y x +-=+-， 即4x －3y －7＝0，令y ＝0，得74x =. ∴P 点坐标为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6．(1)7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)设P (x,0)，依题意，利用距离公式，则有=72x =，故P 7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设P 001,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 22222220000005(1)1(2)2910222x x PA PB x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝－＋＋－＋－＋. 当095x =时，PA 2＋PB 2取到最小值，此时0910y =. 7．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 是线段BD 的中点，所以32522x +==,2412y -+==，即M 点的坐标为5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.由两点间的距离公式得2AM ==. 因此，BC 边上的中线AM的长为2；由两点式得中线AM 所在的直线方程为3151312y x -+=-+，即4x ＋7y －17＝0. 8．解：(1)设C (x ，y )，则AB ＝AC ＝BC ，又6AB ===，AC ==BC ==.∴66==解此方程组，得16x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或16.x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 故C点坐标是6)或(1,6)-．(2)如图，设B (x ，y )，由正方形的性质，M 为AC 中点，∴M 的坐标为(1,2)．又BM ⊥AC ， ∴2511120y x --(-)⋅=---，即x ＝7－3y .①∵AC ==，∴12BM AC ==. ∴(x －1)2＋(y －2)2＝10.②①代入②得(7－3y －1)2＋(y －2)2＝10.∴14y x =⎧⎨=⎩或32y x =⎧⎨=-⎩ (舍去第二组)．∴B (4,1)．∴D (－2,3)．。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步 2.2.1圆的方程课堂精练苏教版必修21．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y x的距离是__________．2．(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是__________．(2)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为__________．3．两条直线y＝x＋2a与y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4上，则常数a的值是__________．4．(1)若方程a2x2＋(2a＋3)y2＋2ax＋a＋1＝0表示圆，则实数a的值等于__________．(2)方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的范围是__________．5．(1)点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－8＝0的一条弦的中点，则这条弦所在的直线方程为__________．(2) 经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是__________．6．(1)已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是__________．(2)设P(x，y)是曲线C：x2＋(y＋4)2＝4为__________．7．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(6,9)，Q(5,3)是在圆上、圆外，还是圆内．8．求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．9.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径R的最大值；(3)求圆心C的轨迹方程．参考答案1.12圆的圆心是(1,0)，圆心到直线的距离12 =.2．(1)x2＋(y－2)2＝1 (2)(x－2)2＋(y＋2)2＝1(1)设圆心为(0，a)1 =，∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)圆与圆的对称只是圆心关于直线对称，而半径不变，即求点C1(－1,1)关于直线x－y －1＝0的对称点C2.易得C2(2，－2)．故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.3．15-或1 由题意知22y x ay x a=+⎧⎨=+⎩3.x ay a=⎧⎨=⎩即P点坐标为(a,3a)．∵点P(a,3a)在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4上，∴(a－1)2＋(3a－1)2＝4，解得a＝1或15 -.4．(1)－1 (2)1(,)2-∞(1)由条件得2222302410.a aa a a⎧=+≠⎨()-(+)>⎩解得a＝－1.(2)由方程表示圆的条件知，D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4m＞0，∴12m＜，即m的范围是1(,)2-∞.5．(1)x＋y－8＝0 (2)x－y＋1＝0 (1)圆心C(2,4)，k AC＝1，则弦所在直线的斜率为－1，方程为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0.(2)∵x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，∴圆心C 的坐标为(－1,0)．又过点C 的直线与x ＋y ＝0垂直，∴其斜率为1.故所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.6．(1)14＋(2)2(1)x 2＋y 2的最大值即圆上的点距离原点的距离平方的最大值．∵3r ==，圆心为(－2,1)，∴2222max ()3)(314x y ===＋＋(2)设曲线C 的圆心坐标为C ，则有C (0，－4)，A (1,1)的距离，其最大值为()max 22PA PC CA =＝＋＝7．解：由已知得圆心坐标为C (5,6)，半径121122r PP ===. ∴圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.又∵点M (6,9)与圆心C (5,6)的距离d r ===，∴M 在圆上；点Q (5,3)与圆心C (5,6)的距离为2d r ==<=，∴点Q 在圆内．8．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 因为O ，M 1，M 2三点在圆上，则有02042200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆心为(4，－3)，半径为5.9.解：(1)利用方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0， 得4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0， 解得117m -＜＜. (2)表示圆时，半径R ===由(1)知117m -＜＜， 则当37m =时，max 7R =.(3)设圆心为C (x 0，y 0)，则02034 1.x m y m =+⎧⎨=-⎩消去参数m 得(x 0－3)2＝14(y 0＋1)．但由于m ∈1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭，则x 0＝m ＋3∈20,47⎛⎫ ⎪⎝⎭.故所求圆心的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)，x ∈20,47⎛⎫⎪⎝⎭.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3.2空间两点间的距离课堂精练 苏教版必修21．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，x )，且AB ＝5，则x 的值等于__________．2. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体-ABCD A B C D ''''，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为__________．3．已知三角形的三个顶点A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (－5,0,2)，则过点A 的中线的长为__________．4．已知A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的正射影的长度为__________．5． 已知点A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (x,0,1)，且∠BAC ＝90°，则x ＝__________.6．对于任意实数x 、y 、z 的最小值为__________．7．(1)在yOz 平面上，求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)和C (0,5,1)等距离的点．(2)已知A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，求△ABC 的面积．8. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD ＝，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．参考答案1．3∵AB ＝5，∴5，(x －3)2＝15，3x =2.2a 由已知得：F ,,02a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，E ,,222a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2EF a = 3．7 线段BC 的中点坐标为M (－1,1，－2)，则中线AM 的长为7=.4. 求线段AB 在坐标平面yOz 上的射影长，可先求A ，B 两点在yOz 上的射影，然后再用两点间距离公式求解．A (3,5，－7)在yOz 上的射影是A ′(0,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 上的射影是B ′(0,4,3)，故A B ''==5．2 由题意知，BC 2＝AB 2＋AC 2，即(x －1) 2＋1＋(1－2)2＝(2－1)2＋(1－1)2＋(1－2)2＋(x －2)2＋(0－1)2＋(1－1)2，解得x ＝2.6. P (x ，y ，z )到O (0,0,0)的距离与到点M (－1,2,1)的距离之和，因而最小值就是两点间的线段OM 的长，OM =.7．解：(1)设点M (0，y ，z )为在yOz 平面上的点，则由空间两点间的距离公式知，MA =，MB =，MC =又知点M (0，y ，z )到A ，B ，C 三点的距离相等，∴MA ＝MC ，MB ＝MC .即2222222222220312005104220051y z y z y z y z ⎧(-)+(-)+(-)=(-)+(-)+(-)⎪⎨(-)+(+)+(+)=(-)+(-)+(-)⎪⎩ 整理，得4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩解得12.y z =⎧⎨=-⎩即所求点M 的坐标为(0,1，－2)．(2)∵AB ===，AC ===BC == ∴BC 2＋AC 2＝AB 2.∴△ABC 为直角三角形，且AC 、BC 是直角边．∴11·22ABC S AC BC ===V 8．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ， 则12FM FN ＝＝，故点F 坐标为11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭； 点G 在y 轴上，又34GD =， 故点G 坐标为30,,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故18HK=，12CK＝.故H坐标为71 0,,82⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课堂精练苏教版必修21．下列说法：①若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤若直线l1∥l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在．其中正确的个数是__________．x－＝垂直的直线的倾斜角为__________．2．与直线103．已知{(x，y)|ax＋y＋b＝0}∩{(x，y)|x＋ay＋1＝0}＝∅，则a，b所满足的条件是__________．4．已知两点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN＝90°，则P点坐标为__________．5．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝__________.6．(1)菱形ABCD的两对角线所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和3mx＋(m＋1) y －4＝0，则m的值为__________．(2)直线x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0与x轴、y轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为__________．7．(1)过原点作直线l的垂线，若垂足为A(－2,3)，求直线l的方程．(2)三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求AB边上的高所在的直线方程．(3)光线从点M(－2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程．8．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．9.已知A，B，C，D按逆时针方向排列，A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形．参考答案1．2 ①③中的直线可能重合，②中的直线l 1，l 2的斜率可能不存在，④⑤正确．2．60° 由直线x －1＝0得3k =，得k '=，即tan α=所以α＝60°.3．当a ＝1时，b ≠1；当a ＝－1时，b ≠－1 由题意，知直线ax ＋y ＋b ＝0与x ＋ay ＋1＝0平行，∴有a 2－1＝0.∴a ＝±1.当a ＝1时，b ≠1；当a ＝－1时，b ≠－1.4．(1,0)，(6,0) 设P 坐标为(x,0)，则k PM ·k PN ＝－1， 即22125x x-⋅=---， ∴x ＝1或x ＝6.∴P (1,0)，P (6,0)．5．8 l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，∴kl 1＝－1，12113AB k kl a-(-)===--. ∴a ＝6.由l 1∥l 2， ∴21b-=-，b ＝2. ∴a ＋b ＝6＋2＝8. 6．(1)13-或－1 (2)3 (1)∵菱形的对角线互相垂直，∴两条直线的方程的系数满足(m ＋1)·3m ＋1·(m ＋1)＝0，即3m 2＋4m ＋1＝0.解得m ＝－1或13-(2)∵四边形有外接圆，∴由圆内接四边形的内对角互补知两已知直线互相垂直．∴1·k ＋3·(－1)＝0，即k ＝3.7.解： (1)如图，∵32OA k =-，且OA ⊥l ， ∴l 的斜率为23k =. 于是l 的方程为23(2)3y x =－＋． 整理得2x －3y ＋13＝0.(2)∵72AB k =，∴与AB 垂直的直线的斜率为27-，故方程为2x ＋7y ＋m ＝0的形式，代入点C 坐标得m ＝－21.(也可由点斜式求，由23(0)7y x =-－－，得2x ＋7y －21＝0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x ＋7y －21＝0.(3)如图，由条件可知M 点关于x 轴的对称点M ′(－2，－3)在反射光线所在的直线上． ∴反射光线的斜率为3112k ==+. ∴反射光线所在的直线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．解：设所求直线方程为3x ＋4y ＋b ＝0，令x ＝0，得4b y =-，即A 0,4b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；令y ＝0，得3b x =-，即,03b ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又∵三角形周长为10，即OA ＋OB ＋AB ＝10，∴1043b b -+-=. 解之得b ＝±10，故所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.9.解：由直角梯形的知识知，若ABCD 为直角梯形，则必有一边垂直于与它相邻的两边，且这一边与它相对的边不平行，因此可设出点D (x ，y )，将各边斜率表示出来之后，建立斜率之间的关系即可．设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示，由于k AB ＝3，k BC ＝0， ∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰．(1)若CD 是直角梯形的直角腰，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝0，∴30y x-=，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)． (2)若AD 是直角梯形的直角腰，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， ∵3AD y k x -=，3CD y k x =-， 又由于AD ⊥AB ， ∴331y x-⨯=-又AB ∥CD ， ∴33y x =-，解上述两式可得18595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时AD 与BC 不平行． 综上，可知使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标为(3,3)或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.。