新课讲义圆1

24.1.1 圆24.1.2 垂直于弦的直径 24.1.3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角》（1） 24.1.4 圆周角》（2）24.2.1 点和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（1）24.2.2 直线和圆的位置关系（2） 24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 24.2.2 直线和圆的位置关系（4） 24.2.3 圆和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长与扇形面积24.4 弧长和扇形面积（2） 第24章 圆复习课（一）导学案 第24章 圆复习课（二）导学案 第24章 圆复习课（三）导学案 第24章 圆复习课（四）导学案圆新课讲义24.1.1 《圆》学习目标1．了解圆的两种定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念. 2．了解圆是圆周而非圆面，理解等圆、等弧的概念. 学习重点：了解圆的两种定义，理解弦、弧等相关概念 学习难点：理解等圆、等弧的概念。

学习过程 一．自主学习1．为什么车轮要做成圆形的？ 2．你是怎样画圆的？根据画圆的不同方法，你能描述一下形成圆的过程吗？ 二．探索新知1．圆的两种定义：动态：在一个平面内，线段OA 绕着它 旋转一周， 形成的图形叫做圆。

静态：圆心为O 、半径为r 的圆可以看作是 . 例如：半径是3cm 的圆可以看作 .确定一个圆有两个要素，一是______，二是______，_____确定圆的位置，_____确定圆的大小.__________相等的圆叫等圆，___________相同的圆叫同心圆. 2．圆中相关概念如图1：_____________叫做圆心，__________叫做半径，以O 为圆心的圆记做_____.① 连接圆上任意两点的线段叫做 ；过圆心的弦叫做 ；圆中最长的弦是_____； ② 圆上任意两点之间的部分叫做______，弧AB 记做______；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做______；比半圆长的弧叫做_____，比半圆短的弧叫做____.③ 能够重合的圆叫做_________；能够重合的弧叫做_____________. 三。

第1讲圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念例1难度：★★模块二圆的有关性质例2、例3、例4、例5、例6、例7难度：★★★★模块一圆的有关概念1．圆的定义圆的形成性定义圆的集合性定义圆的本质属性示意图在一个平面内，线段OA 绕它的固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形（轨迹）叫做圆，记作“⊙O ”，读做“圆O ”，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径．1．圆上各点到定点的距离都等于定长．2．到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．确定一个圆，必须有两个条件：．决定它的，决定它的．2．圆有关的概念示意图圆的有关概念弦连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB 、AC 是弦．直径经过圆心的弦叫做直径．如图，AB 是直径．弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、B 为端点的弧记作⌒AB ，读做“圆弧AB ”或“弧AB ”半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧与劣弧大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的⌒ABC ）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的⌒AC ）叫做劣弧．等圆能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等．等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（）（2）过圆心的线段是直径．（）（3）直径只有一条．（）（4）过圆内一点只能作一条直径．（）（5）半圆是弧，弧是半圆．（）（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（）（7）长度相等的弧是等弧．（）例1（1）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在圆上，︒=∠110BOC ，AD ∥OC ，则AOD ∠的度数为．（2）如图，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，︒=∠60B ，︒=∠70C ，则BOD ∠的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为.【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．（第1题图）（第2题图）（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为．【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二圆的有关性质题型一垂径定理示意图垂径定理推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，'AA 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，'AA CD ⊥于点M ，则M A AM '=，⌒AD =⌒A `D ，⌒AC =⌒A `C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，'AA 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD AA <'，'AA 与CD 交于点M ，M A AM '=，则'AA CD ⊥，⌒AD =⌒A `D ，⌒AC =⌒A `C ．圆是图形，它有对称轴，每一条过的直线都是它的对称轴．垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（第1题图）（第2题图）（练习题图）（2）如图，在Rt △ABO 中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点P ，则PB=.【练习】如图，在⊙O 中，AB 为直线，P 为AB 上一点，过点P 作弦MN ，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN=.【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：BD AC =．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上一点，且PB 平分∠CPD ，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．题型二圆周角定理一、圆心角定理示意图圆心角的定义圆心角定理推论1推论2顶点在圆心，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，（圆心角）所对的弧相等．圆是以为对称中心的图形．实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形，这种性质叫做圆的旋转不变性．圆既是图形，又是图形．如上图，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ；②AB ＝CD ；③⌒AB =⌒CD 中有一个等式成立，则其它两个等式也成立．一般的，用“知一推二”来记忆圆心角定理及推论．注意：由② ①③时，要确定弦所对的是优弧、劣弧还是半圆．二、圆周角定理示意图圆周角的定义圆周角定理推论1推论2顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．同一条弧所对的圆周角有个．如上图，我们可以得到：∠AOB ＝∠ACB ．三、圆内接四边形示意图圆内接多边形性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图，四边形ABCD 是ʘO 的内接四边形，ʘO 是四边形ABCD 的外接圆．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°．四、圆周角导角思路：1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角.【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝．【例6】（1）如图，AB 是半圆O 的直径，D 为弧AC 的中点，∠B ＝40°，则∠C 的度数为．（2）如图，△ABC 内接于⊙O ，CH AB 于H ，连OC ，若∠HCB ＝15°，则∠ACO ＝．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知∠C ＝57°，∠D ＝45°，则∠CEB ＝．（4）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长线交AC 于E ，若∠BAC ＝50°，∠ABC ＝60°，则∠AEB＝．【例7】（1）如图，在⊙O 中，∠AOC ＝100°，则∠ABC 的度数为．（2）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，如果它的一个外角∠DCE ＝64°，那么∠BOD 的度数为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（3）如图，⊙O 的半径为1，弦AB ACB ＝．（4）如图，⊙O 的半径为1，弦AB AC ，则∠BOC ＝．第1讲圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝90°，则∠BCD的度数为（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE的值为4．如图，CD为⊙O的直径，CDCE，则=DE，2=AB⊥于E，8=AB．5.如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE，则⊙O1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为B综合训练9．如图，AB、CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM、ON．如果AB=CD，求证：OM=ON．10.如图，AB是圆O的弦，半径OC、OD分别交AB于E、F，且AE=BF，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=5，AB=5，求AE的长.数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。

小学数学圆的讲义一、圆的认识在我们的日常生活中，圆无处不在。

比如车轮、钟表的表盘、硬币等等，它们的形状都是圆。

那什么是圆呢？圆是平面上的一种曲线图形，它是由一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。

我们来画一个圆。

先准备好圆规，把圆规的一只脚固定在纸上，另一只脚带有铅笔，调整两脚之间的距离，这个距离就是圆的半径。

然后绕着固定的那只脚旋转一周，就画出了一个圆。

圆有两个重要的元素，一个是圆心，用字母“O”表示，圆心决定了圆的位置；另一个是半径，用字母“r”表示，半径决定了圆的大小。

从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆里，半径有无数条，并且长度都相等。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

在同一个圆里，直径也有无数条，并且长度都相等。

直径是圆里最长的线段，而且直径的长度是半径的 2 倍，用公式表示就是：d ＝ 2r ，r ＝d÷2 。

二、圆的周长同学们，我们知道了圆的基本概念，接下来了解一下圆的周长。

圆的周长就是围成圆的曲线的长度。

那怎么测量圆的周长呢？我们可以用一根线绕圆一周，然后测量线的长度，这就是圆的周长。

但是对于比较大的圆，这种方法就不太方便了。

其实，圆的周长和它的直径之间存在着一个固定的比值，这个比值被称为圆周率。

圆周率用希腊字母“π”表示，它是一个无限不循环小数，约等于31415926……在计算时，我们通常取圆周率的近似值 314 。

圆的周长计算公式是：C ＝πd 或 C ＝2πr 。

其中，C 表示圆的周长，d 表示圆的直径，r 表示圆的半径。

例如，如果一个圆的直径是 6 厘米，那么它的周长就是：C ＝πd＝ 314×6 ＝ 1884（厘米）如果已知圆的半径是 4 厘米，那么周长就是：C ＝2πr ＝ 2×314×4＝ 2512（厘米）三、圆的面积了解了圆的周长，接下来看看圆的面积。

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。

圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。

我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。

圆是一种非常完美和对称的图形。

无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。

这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。

二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。

通常用字母 O 表示。

2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

它决定了圆的大小。

用字母 r 表示。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧和劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径是圆中最长的弦。

6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。

例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。

人教版九年级数学上册讲义第二十四章圆第1课时圆教学目的理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．利用半径相等是解题教学重点理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念.利用半径相等是解题教学内容知识要点1圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A.C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC）叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．注意：在同一个圆中，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以利用半径相等是解题中重要的条件．对应练习1．下列条件中，能确定一个圆的是( )A．以点O为圆心B．以2 cm长为半径C．以点O为圆心，5 cm长为半径D．经过点A2．如图所示，图中弦的条数为( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．下列命题中正确的有( )①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，在圆O中，弦有，，直径是，优弧有, ，劣弧有, .5．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE，求证：B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．6．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( )A．38°B．52°C．76°D．104°7．已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( )A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝．经典题型9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE ＝BF.课堂总结弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧等概念在同一个圆中，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以利用半径相等是解题中重要的条件．课后练习1．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( )rA．50°B．60°C．70°D．80°2．点P到圆上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则此圆的半径为( )A．9 cm B．1 cmC．9 cm或1 cm D．无法确定3．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是cm. 4．已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.5．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．6．如图所示，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E 点，已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．参考答案1-3 CBB4 AC ，AB ， AB ， ABC ︵，CAB ︵， AC ︵，BC ︵.5.证明：∵BD ，CE 是两条高，∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵点O 为BC 的中点，。

圆的讲义知识点一：圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）知识点二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。