专题04 二次根式的运算(原卷版)

知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。

（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。

（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。

（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。

2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。

①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。

知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。

3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。

四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。

专题04平方根、立方根、实数期末真题汇编之十一大题型平方根、算术平方根、立方根概念的理解例题：（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（）A ．5-是25的一个平方根B ．116的平方根是14C ．64-的平方根是8-D ．64的立方根是4±【变式训练】1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（）．A 4±B ．2(3)-的算术平方根是3-C ．负数没有立方根D2的算术平方根2．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）下列说法正确的是（）A ．4的平方根是2B3C ．8的立方根是2D ．立方根是它本身的数是1求一个数的算术平方根、平方根、立方根例题：（22-23八年级上·四川达州·期末）4的平方根是，8-的立方根是，平方根是．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东枣庄·的立方根为．的平方根是．2．（22-23七年级下·湖北随州·的相反数是，4的平方根是，立方根是．利用算术平方根的非负性求解例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·80y -=，则xy 的平方根为．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏宿迁·()210b +=，则a b 等于．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）()220x y +-=，则x y -的算术平方根是．利用平方根、立方根的定义解方程例题：（23-24七年级上·山东滨州·期末）求下列各式中x 的值：(1)2(3)250x --=(2)31(1)322x -=【变式训练】1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）求下列各式中的x 值：(1)25100x -=(2)()334375x -=-．2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中x 的值：(1)2317x +=；(2)32(4)54x -=．平方根和立方根的综合应用例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a 的算术平方根为3，ab 的立方根为3-，b 和c 是互为相反数．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求 2a b c ++的平方根．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知31+m 的平方根是5,5n m ±-的立方根是3．(1)求m n -的平方根；(2)若4a m +的算术平方根是4，求32a n -的立方根．2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知21a +的平方根是7±，1b -的立方根为2-．(1)求a 与b 的值；(2)求3a b +的算术平方根．与算术平方根有关的规律探索题例题：（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：(0)a a >…0.00010.01110010000…表格中x=，y=．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位．（3）规律运用：①≈≈；2.24②7.07≈，则m=≈70.7．【变式训练】1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题：(1)表格中x=，y=．(2)从表格中探究a数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①≈．3.16②=，则a＝．1.6=1602．（22-23七年级下·江西南昌·期末）观察表格，回答问题：(1)表格中x=，y=；z=；(2)从表格中探究a①3.16≈；②8.973=897.3=，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)a的大小．当时，a>；当时，a=；当时，a<．无理数的识别例题：（23-24八年级上·湖北·期末）下列各组数中都是无理数的为（）A．20.07,,π3B．0.7, CπD【变式训练】1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）有下列各数：0.5，3.141513，π2，2.3030030003（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列实数227，3.14159265，π3，0.4040040004（相邻两个4之间0的个数逐次加1）中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个实数与数轴例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1-，若AB AE=，则数轴上点E所表示的数为．【变式训练】1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数1在数轴上的对应点可能是点．2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：b c +=．实数的大小比较例题：（23-24八年级上·四川成都·56（填><，或=）．【变式训练】1．（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）比较大小：．2．（23-24八年级上·山东青岛· 1.5（用“>”“<”“=”填空）．无理数整数部分的有关计算【变式训练】1．（22-23七年级上·山东威海·期末）已知a b 是它的小数部分，则()()323a b -++=．2．（23-24七年级上·山东威海·的整数部分是，1的小数部分是，10-的小数部分是．实数的混合运算例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：(12；(22+【变式训练】1．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）计算：(1(2|2|．2．（21-22七年级下·辽宁抚顺·期末）计算：(1)()311---；(2459-．程序设计与实数运算例题：（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（）A ．2±B ．2C D ．【变式训练】1．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入的64x =时，输出的y 等于（）A ．8BC D ．42．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（）A ．输入值x 为16时，输出y 值为4B ．输入任意整数，都能输出一个无理数C ．输出值yx 为9D ．存在正整数x ，输入x 后该生成器一直运行，但始终不能输出y 值新定义下的实数运算例题：（22-23七年级上·河北保定·期末）定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取26n =，第三次“F 运算”的结果是11．若111n =，（1）第一次“F 运算”的结果为；第二次“F 运算”的结果为；（2）照这样运算下去，第2022次“F 运算”的结果为．【变式训练】1．（22-23八年级上·四川达州·期末）对于任意实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，1=．现对72进行如下操作：8=，2=，1=，这样对72需进行次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是．2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果0kx b +=，其中k ，b 为有理数，x 为无理数，那么必然有0k =且0b =．据此，解决下列问题：(1)如果(20m n -+-=，其中m，n 为有理数，那么m =__________，n =__________；(2)如果(27m n m n --+-=，其中m，n 有理数，求32m n -的平方根．一、单选题1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在实数1.414-，π，3.1417，3.1212212221⋯（相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式计算正确的是（）A1=-B ．(22=-C 9=-D 5=±3．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法：（1）3±是9的平方根；（23±；（3）3是9的算术平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个4．（24-25七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，原理如图，当输入的16x =时，输出的y 等于（）A ．4B ．2C D ．5．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在22⨯方格中，每个小方格的边长为1，格点A 在数轴上，表示的数为1，以A 为圆心，AB 长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点P ，则点P 表示的数是（）AB 1CD 1二、填空题6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小：（填“>、<、或=”）7．（23-24八年级上·陕西西安·的立方根是的平方根是．8．（23-24七年级上·山东东营·期末）已知|24|0a -=，则2023()a b +的值为．9．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知数轴上表示1A B ，．若点A 是线段BC的中点，则点C 表示的数为．10．（21-22七年级下·山东德州·<<23<<分为2，2．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号[]m 表示实数m 的整数部分，例如：203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2=．按此规定，那么1⎤⎦的值为．三、解答题11．（23-24七年级上·山东东营·期末）（121++（2）已知()214x -=，求x 的值．（3）已知32780x -=，求x 的值．12．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图，实数πA ，B ，C ，D 四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：(1)实数π对应的点是；实数对应的点是；(2)π13．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）已知31x -的立方根是2，1x y +-的算术平方根是3．(1)求x ，y 的值；(2)求27xy +的平方根．14．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：(1)若27m =，则n =；(2)若输入m 的值后，无法得到n 的值，则输入m 的值是．15．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）阅读下面的文字，解答问题：是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部写出来．将的整数部分是11-<<23<<22．(1的整数部分是______，小数部分是______；(2)若m ，n 分别是623m n -的值．16．（23-24八年级上·北京顺义·期末）下表是a(1)表格中x =________，y =________；(2)借助表格解决下列问题：① 2.52≈≈________；② 5.326≈53.26≈，则c =________（用含有b 的代数式表示c ）；③当0a >a 的大小关系．。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题04二次根式一．选择题（共15小题）1．（2022•苏州）下列运算正确的是（）A．√(−7)2=−7B．6÷23=9C．2a+2b＝2ab D．2a•3b＝5ab【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解析】A.√(−7)2=7，故此选项不合题意；B.6÷23=9，故此选项，符合题意；C.2a+2b，无法合并，故此选项不合题意；D.2a•3b＝6ab，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2022•云南）下列运算正确的是（）A．√2+√3=√5B．30＝0C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a6÷a3＝a2【分析】根据二次根式的加减法判断A选项；根据零指数幂判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解析】A选项，√2和√3不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝1，故该选项不符合题意；C选项，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；D选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握a0＝1（a ≠0）是解题的关键．3．（2022•台州）无理数√6的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴2＜√6＜3．故选：B ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．4．（2022•眉山）实数﹣2，0，√3，2中，为负数的是（ ）A ．﹣2B ．0C ．√3D ．2【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．【解析】∵﹣2＜0∴负数是：﹣2，故选A ．【点评】本题主要考查实的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于零．5．（2022•株洲）在0、13、﹣1、√2这四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．13 C ．﹣1 D ．√2【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．【解析】∵﹣1＜0＜13＜√2，∴最小的数是﹣1，故选：C ．【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．6．（2022•江西）下列各数中，负数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．√2 【分析】根据负数的定义即可得出答案．【解析】﹣1是负数，2，√2是正数，0既不是正数也不是负数，故选：A ．【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．7．（2022•金华）在﹣2，12，√3，2中，是无理数的是（ ） A ．﹣2 B ．12 C ．√3 D ．2【分析】利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．【解析】﹣2，12，2是有理数，√3是无理数， 故选：C ．【点评】本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．8．（2022•舟山）估计√6的值在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴√4＜√6＜√9，∴2＜√6＜3，故选：C ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．9．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）A ．|﹣2|B ．√3C ．0D ．﹣5【分析】根据实数的定义判断即可．【解析】A ．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；B ．√3是正数，故本选项不合题意；C ．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D ．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．10．（2022•凉山州）化简：√(−2)2=（ ）A ．±2B ．﹣2C ．4D ．2【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．【解析】√(−2)2=√4＝2，故选：D ．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．11．（2022•泸州）−√4=（）A．﹣2B．−12C．12D．2【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解析】−√4=−√22=−2．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．12．（2022•泸州）与2+√15最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】估算无理数√15的大小，再确定√15更接近的整数，进而得出答案．【解析】∵3＜√15＜4，而15﹣9＞16﹣15，∴√15更接近4，∴2+√15更接近6，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．13．（2022•重庆）估计√3×（2√3+√5）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间【分析】先计算出原式得6+√15，再根据无理数的估算可得答案．【解析】原式=√3×2√3+√3×√5=6+√15，∵9＜15＜16，∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．14．（2022•重庆）估计√54−4的值在（）A．6到7之间B．5到6之间C．4到5之间D．3到4之间【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解析】∵49＜54＜64，∴7＜√54＜8，∴3＜√54−4＜4，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．15．（2022•天津）估计√29的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】估算确定出所求数的范围即可．【解析】∵25＜29＜36，∴5＜√29＜6，即5和6之间，故选：C．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．二．填空题（共20小题）16．（2022•武汉）计算√(−2)2的结果是2．【分析】利用二次根式的性质计算即可．【解析】法一、√(−2)2＝|﹣2|＝2；法二、√(−2)2=√4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“√a2=|a|”是解决本题的关键．17．（2022•常德）要使代数式有意义，则x的取值范围为x＞4．√x−4【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．18．（2022•天津）计算（√19+1）（√19−1）的结果等于18．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解析】原式＝（√19）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．19．（2022•新疆）若√x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≥3．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．20．（2022•杭州）计算：√4=2；（﹣2）2＝4．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解析】√4=2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．21．（2022•泰安）计算：√8•√6−3√43=2√3．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解析】原式=√8×6−3×2√3 3＝4√3−2√3＝2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．22．（2022•云南）若√x+1有意义，则实数x的取值范围为x≥﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．23．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2=2．【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．【解析】由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（2022•滨州）若二次根式√x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥5．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．【解析】要使二次根式√x−5在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．25．（2022•扬州）若√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解析】若√x−1在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．26．（2022•邵阳）若√x−2有意义，则x 的取值范围是 x ＞2 ．【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x 的不等式组，求出x 的取值范围即可． 【解析】∵√x−2有意义，∴{x −2≥0x −2≠0，解得x ＞0． 故答案为：x ＞2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．27．（2022•山西）计算：√18×√12的结果为 3 ．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解析】原式=√9=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则√a ⋅√b =√ab ．28．（2022•衡阳）计算：√2×√8= 4 ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解析】原式=√2×8=√16=4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2022•随州）已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7＝21．设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 3 ，最大值为 75 ． 【分析】先将√300n 化简为10√3n ，可得n 最小为3，由√300n 是大于1的整数可得√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时，即可求解． 【解析】∵√300n =√3×100n =10√3n ，且为整数， ∴n 最小为3， ∵√300n 是大于1的整数， ∴√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时， 300n =4，∴n ＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．30．（2022•宿迁）满足√11≥k 的最大整数k 是 3 ．【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵3＜√11＜4，且k ≤√11，∴最大整数k 是3．故答案为：3．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．31．（2022•湘潭）四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是 √3 ． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解析】四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是√3． 故答案为：√3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．32．（2022•陕西）计算：3−√25= ﹣2 ．【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．【解析】原式＝3﹣5＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．33．（2022•重庆）|﹣2|+（3−√5）0＝ 3 ．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．【解析】原式＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题关键．34．（2022•南充）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是4或7或8．【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．【解析】∵8﹣x≥0，x为正整数，∴1≤x≤8且x为正整数，∵√8−x为整数，∴√8−x=0或1或2，当√8−x=0时，x＝8，当√8−x=1时，x＝7，当√8−x=2时，x＝4，综上，x的值是4或7或8，故答案为：4或7或8．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键．35．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：√2（符合条件即可）．【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．【解析】1到3之间的无理数如√2，√3，√5．答案不唯一．【点评】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．三．解答题（共9小题）36．（2022•武威）计算：√2×√3−√24．【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．【解析】原式=√6−2√6=−√6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握√a•√b=√ab（a≥0，b≥0）是解题的关键．37．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|√3−2|+（π−√10）0−√12+（−12）﹣2．【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．【解析】原式＝2×√32+√3−2+1﹣2√3+1(−12)2=√3+√3−2+1﹣2√3+4＝3．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握a ﹣p =1a p （a ≠0）是解题的关键．38．（2022•宿迁）计算：（12）﹣1+√12−4sin60°． 【分析】先计算（12）﹣1、√12，再代入sin60°算乘法，最后加减． 【解析】原式＝2+2√3−4×√32＝2+2√3−2√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、二次根式的化简及特殊角的函数值是解决本题的关键．39．（2022•娄底）计算：（2022﹣π）0+（12）﹣1+|1−√3|﹣2sin60°． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解析】原式＝1+2+√3−1﹣2×√32＝1+2+√3−1−√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．40．（2022•台州）计算：√9+|﹣5|﹣22．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解析】√9+|﹣5|﹣22＝3+5﹣4＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．41．（2022•新疆）计算：（﹣2）2+|−√3|−√25+（3−√3）0．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解析】原式＝4+√3−5+1=√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．42．（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+√9−2sin30°．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．【解析】原式＝1+3﹣2×1 2＝1+3﹣1＝3．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握（﹣1）的偶次幂等于1，（﹣1）的奇次幂等于﹣1是解题的关键．43．（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|√2−1|+（12）﹣1−√8．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解析】原式＝1+√2−1+2﹣2√2＝2−√2．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．44．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16．【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根可以解答本题．【解析】tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16=√33+1−√33+1﹣3+4＝3．【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。

专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。

专题04 平方根（六大类型）【题型1：平方根的概念和表示】【题型2：平方根的性质】【题型3：利用开平方解方程】【题型4：算术平方根的概念】【题型5：算术平方根的非负性】【题型6：算术平方根的应用】【题型1：平方根的概念和表示】1．（2023•罗山县校级三模）4的平方根是（）A．−2B．2C．±2D．16 2．（2023春•南平期末）下列各数中，没有平方根的数的是（）A．﹣4B．0C．0.5D．23．（2023春•鹤山市期末）下列各数中，没有平方根的是（）A．65B．（﹣2）2C．﹣22D．4．（2023春•利川市期末）已知（x﹣1）2＝4，则x的值是（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．不确定5．（2023春•东至县期末）已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（）A．B．C．D．6．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．27．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是（）A．正数的平方根是它本身B．100的平方根是10C．﹣10是100的一个平方根D．﹣1的平方根是﹣1【题型2：平方根的性质】8．（2023春•兰山区期中）已知一个正数x的两个平方根分别是3a+2和2﹣5a，则数x的取值是（）A．±8B．8C．±64D．64 9．（2023春•路北区期中）若2x﹣4与3x﹣1是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1 10．（2023春•新市区校级期末）一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（）A．﹣1B．3C．9D．﹣3 11．（2022春•铅山县期末）已知一个正数x的两个平方根分别是2a+3与6﹣a，求a和x的值．12．（2022春•涪城区校级月考）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求这个正数m；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．13．（2022春•荣县校级月考）求未知数x的值：2（x﹣1）2＝8．【题型3：利用开平方解方程】14．（2022春•虞城县期中）求下列各式中x的值：（1）3（5x+1）2﹣48＝0；（2）2（x﹣1）3＝．15．（2022春•惠州期中）解方程：．16．（2022春•通城县期中）求下列各式中的x．（1）x2﹣143＝1；（2）4x2﹣16＝0．17．（2022春•磁县校级月考）求下列各式中x的值：（1）2x2＝2；（2）（x﹣1）2＝36．18．（2021秋•宿城区校级期末）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．19．（2022秋•鲤城区校级期中）求下列各式的x的值：（1）4x2＝100；（2）（x﹣1）3＝﹣64．20．（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a和m的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【题型4：算术平方根的概念】21．（2023春•抚顺月考）化简的结果是（）A．2B．±2C．D．±22．（2022秋•大名县期末）若是整数，则正整数n不可能是（）A．6B．9C．11D．14 23．（2023春•中江县期末）两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（）A．x+1B．x2+1C．D．24．（2023•香河县校级三模）已知，那么m＝（）A．﹣5B．5C．D．25．（2023春•绥棱县期末）下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．26．（2023春•渝中区校级月考）已知，，则（）A．0.00607B．0.0607C．0.001921D．0.01921 27．（2023春•鞍山期末）某中学要修建一个面积约为80平方米的正方形花圃，它的边长大约是（）A．8.7米B．8.8米C．8.9米D．9.0米28．（2023春•沙市区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【题型5：算术平方根的非负性】29．（2023春•微山县期中）若，则ab的值为（）A．﹣6B．﹣5C．﹣1D．1 30．（2023春•汶上县期中）若|a﹣1|与互为相反数，则a+b＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8 31．（2023春•连山区月考）若实数x，y满足，则的值为（）A．4B．2C．D．2或32．（2023春•新会区校级期中）若a、b为实数，且，则ab的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±1 33．（2023春•潮阳区校级期中）若实数a、b满足，则的值为（）A．4B．2C．D．2或34．（2023春•昭平县期中）已知实数x，y满足，则代数式（y ﹣x）2023的值为（）A．﹣2023B．2023C．﹣1D．1 35．（2023春•渝中区校级月考），则a+b＝（）A．a+b＝﹣1B．a+b＝1C．a+b＝2D．a+b＝3 36．（2023春•闽清县期末）若，则（b﹣a）2023的值是（）A．﹣1B．1C．52023D．﹣52023 37．（2023春•庄浪县期中）已知，那么（a+b）2018的值为（）A．32014B．﹣32014C．﹣1D．1【题型6：算术平方根的应用】38．（2023春•铁东区校级月考）张华想用一块面积为4000cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．39．（2022秋•渭滨区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．40．（2023春•西塞山区期中）已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．41．（2022秋•长安区校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，（1）则大正方形的边长是cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．42．（2023春•抚顺月考）为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制，霖霖同学准备在长50dm的正方形规定区域铺设一块面积是2200dm2的长方形地毯，且地毯的长与宽之比为3：2，霖霖同学能否完成地毯的铺设工作呢？请说明理由．。

专题04 二次根式【四大题型】二次根式有意义的条件（2023•海淀区校级期中）1x 的取值范围是（ ）A ．x ≠﹣2B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤﹣2（2023•东城区校级期中）2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x <C ．3x ³D ．3x £（2023•海淀区校级期中）3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．1x ¹B ．3x >-且1x ¹C ．3x ³-D ．3x ³-且1x ¹（2023•东城区校级期中）4x 的取值范围是 ．（2023•西城区校级期中）5x 的取值范围是 ．（2023•西城区校级期中）-=．6．已知x、y为实数，且4y=+，则x y最简二次根式（2023•海淀区校级期中）7．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A B C D（2023•西城区校级期中）8A B C D（2023•海淀区校级期中）9．写出一个你喜欢的最简二次根式．（2023•朝阳区校级期中）10的被开方数相同，则a值为．同类二次根式（2023•海淀区校级期中）11）A B C D（2023•丰台区校级期中）12）A B C D（2023•昌平区校级期中）13x的值为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3（2023•延庆区校级期中）14是同类二次根式的最简二次根式：．（2023•海淀区校级期中）15a = ．（2023•丰台区校级期中）16．若最简二次根式2a -2a ﹣b ＝ ．分母有理化（2023•东城区校级期中）17 ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-（2023•西城区校级期中）18．如果2a b ==，那么a 与b 的关系是（ ）A ．a b <且互为相反数B ．a b >且互为相反数C ．a b>D ．a b =（2023•西城区校级期中）19…回答下列问题：（1（2 ．（2023•丰台区校级期中）20．观察下列等式：第1个等式：11a ==-，第2个等式：2a ==，第3个等式：32a ==，第4个等式：42a =，¼ 按上述规律，回答以下问题：请写出第n 个等式：n a = ______．123n a a a a +++×××+= ______．1．B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x +2≥0，解得，x ≥﹣2，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，明确根号下为非负数是解题的关键．2．D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式有意义得到30x -³，求出不等式解集即可．【详解】解：Q 在实数范围内有意义30x \-³，3x \£，故选：D ．3．D【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可．【详解】解：根据题意得，30x +³且10x -¹，解得3x ³-且1x ¹．故选：D ．【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，是解题的关键．4．12x ³【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵∴210x -³，解得12x ³，故答案为：12x ³．【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．5．1x ³-且0x ¹【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：根据题意，得：100x x +³ìí¹î，解得：1x ³-且0x ¹，故答案为：1x ³-且0x ¹．6．5【分析】根据二次根式有意义的条件可得90x -³且90x -³，得x 和y 的值，即可求解．【详解】解：∵4y =+，∴9090x x -³ìí-³î，解得9x =，∴4y =，∴5x y -=，故答案为：5．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得到90x -³且90x -³是解题的关键．7．B【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 3=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B 是最简二次根式，符合题意；C =D 故选：B ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．8．D【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】A ＝BC ，不合题意；D 故选D ．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．9【分析】根据题意可得直接解答即可．【详解】解：由题意可得．（答案不唯一）【点睛】本题考查了最简二次根式的定义（ 1.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2.被开方数不含分母），解决本题的关键是掌握最简二次根式．10．1-【分析】本题考查二次根式，解一元二次方程，根据题意列一元二次方程2412a a -=-，求出根后，判断被开方数是否大于0，即可得出答案．【详解】解：的被开方数相同，∴2412a a -=-，即：2230a a --=，解得：1a =-或3a =，1a =-时，1230a -=>，符合题意，而3a =时，1250a -=-<，故不合题意，舍去，故a 值为1-．故答案为：1-．11．C【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．【详解】解：选项A=合并，不符合题意；选项B=合并，不符合题意；选项C=合并，符合题意；选项D=故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．12．C【详解】试题解析：A==A 选项错误；B==被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；C C选项正确；D==被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误．故选C．考点：同类二次根式．13．D【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵∴x+3＝2x，解得：x＝3，故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．14．答案不唯一，如【分析】根据同类二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.答案不唯一，如15．4【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于a 的一元一次方程，求解即可获得答案．【详解】解：∵∴∴3123a a -=+，解得4a =．故答案为：4．16．9【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】解：∵最简二次根式2a -∴2a ﹣4＝2，3a +b ＝a ﹣b ，解得：a ＝3，b ＝﹣3．∴2a ﹣b ＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．17．A【分析】将分子分母同时乘以2+【详解】原式2=+ 故选：A ．【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．18．B【分析】本题考查了分母有理化．根据平方差公式，可对b 分母有理化，根据相反数的定义、有理数的大小比较，可得答案．【详解】∵22a b ====-∴2a =2b =-a b>答案：B19．（1（2）11)2【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.试题解析：（1；（2+¼=11)2（．20=1-【分析】根据题意可知，12312a a a ======，42a ==×××，由此得出第n 个等式：n a =；将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：Q 第1个等式：11a ==，第2个等式：2a ==，第3个等式：32a ==，第4个等式：42a =，\第n 个等式：n a ==；123na a a a +++×××+答案第7页，共7页)()122=+++++L 1=，1=-．【点睛】本题考查二次根式的运算、数字的变化规律以及分母有理化，熟练掌握以上知识点，根据题目中所给的式子得出规律是解此题的关键．。

2023年中考数学总复习一轮讲练测（）第一单元 数与式专题04二次根式（讲练）1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．（2021•杭州）下列计算正确的是( )A 2=B 2=-C 2±D 2=±2．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．5x ≠ C ．5x > D ．5x3．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．9x ≠ C ．59x D ．59x <4．（2022秋•上城区校级期中）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简||a b a -+-( )A．b c-+D．2a b ca b c++-C．222--B．c b5．（2022=；2(2)-=．6．（2021x的值可以是．（写出一个即可）7．（2021春•鹿城区校级期中）当3a==．8．（2021秋•鄞州区校级期末）已知3y，则xy的值为．9．（2021秋•诸暨市期末）如图1，以Rt ABC∆各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为，则Rt ABC∆的斜边长AB=．10．（20201|-．11．（2022春•拱墅区期中）计算（1（2）12．（2022春•柯桥区月考）化简：（1；（2）22)+．13．（2022春•椒江区校级期中）阅读下列材料，并回答问题：把形如a +a a -、b 为有理数且0b >，m 为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；（2）-a 、b 的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. （3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab ＝ (a ≥0，b ＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式． (2)二次根式的乘法：a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)．(3)二次根式的除法：a b＝ (a ≥0，b ＞0)． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．考点一、 二次根式中字母的取值范围例1．（2021春•长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：（1）√2k −1．（2）√1k+1．【变式训练】1．（2022春•安吉县期末）若√x是二次根式，则x的值可以是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3 2．（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1 3．（2022春•仙居县期中）下列的式子中是二次根式的是（）A．√−1B．√3−πC．√83D．√3 4．（2022春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（）A．√a B．√a−1C．√1a+1D．√(a−1)25．（2022秋•南湖区校级期中）已知y=√x−2+√2−x+4，y x的平方根是（）A．16B．8C．±4D．±2考点二、二次根式的性质例2．（2021春•邗江区月考）计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√a2+|c﹣a|+√(b−c)2；（2）已知x、y满足y=√x2−9+√9−x2+1x−3，求5x+6y的值．【变式训练】1．（2022秋•南湖区校级期中）下列计算正确的是（）A．√(−2)2=±2B．√(−2)2=−2C．√−83=2D．√12=2√32．（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．√9=±3B．√22+32=5C．√4=2D．√(−3)2=−33．（2022春•长兴县期中）二次根式√50的化简结果正确的是（）A．5√2B．2√5C．10√5D．5√104．（2022秋•海曙区校级期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：√a2−|a+c|−√(c−b)2−|−b|的结果是（）A．2c﹣2b B．﹣2c C．﹣2a﹣2c D．05．（2022•谷城县二模）计算：√(1−√2)2=．6．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 ． 考点三 、二次根式的运算例3．（2022春•滨江区校级期中）计算：（1）√12−√43；（2）(√5−√3)2+(√5+√3)(√5−√3)． 【变式训练】1．（2022春•鹿城区校级期中）下列计算正确的是（ ）A ．√3√2=√62B ．√(−2)2=−2C ．(√2)2=4D ．√4916=2342．（2022春•婺城区期末）下列计算正确的是（ ）A ．3+√3=3√3B ．2√3+√3=3√3C ．2√3−√3=2D ．√3+√2=√53．（2022春•长兴县月考）已知a ＝2020×2022﹣2020×2021，b =√20232−4×2022，c =√20212−1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a4．（2022春•长兴县月考）（√6+√5）2021×（√6−√5）2022＝ ．5．（2022•江北区开学）若a +6√3=(m +n √3)2，当a ，m ，n 均为正整数时，则√a 的值为 ．6．（2022春•富阳区期中）计算：（1）√8×√18；（2）(7+4√3)(7−4√3)+(√5−1)2．7．（2022春•南湖区校级期中）计算：（1）12√12−√27−9√13 （2）(√15−4)2021×(√15+4)2022考点四 、二次根式的化简求值及应用例4．（2022春•拱墅区期中）已知a =√7+√6，b =√7−√6，试求：（1）ab ；（2）a 2+b 2﹣5+2ab ．1．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 ．2．（2022春•东阳市期末）设a =√7+√6，b =√7−√6，则a 2021b 2022的值是 ．3．（2022春•拱墅区期中）已知a=√7+√6，b=√7−√6，试求：（1）ab；（2）a2+b2﹣5+2ab．4．（2022春•义乌市月考）小芳在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a＝2−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√2022+√2021．（2）若a=1√2−1．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．5．（2022春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20√2cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5√2cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？。

专题04 一元二次方程的根与系数的关系知识点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； ③；④； ⑤；21x x ，a b x x -=+21ac x x =21222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-⑥；⑦⑧； ⑨；⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++12||x x -==22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==12x x -==122|||||x x x +==2|x =20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>120x x <120x x +<（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．一、单选题1．（2020·江西吉安市·九年级期中）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．132．（2019·广西桂林市田家炳中学八年级期末）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，若()()m 1n 16--=-，则a 的值为（ ）A ．﹣10B ．4C ．﹣4D ．103．（2019·山西九年级专题练习）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2、ax、2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）A ．x 1≠x 2B ．x 1+x 2、0C ．x 1•x 2、0D ．x 1、0、x 2、0 4．（2018·全国九年级单元测试）已知关于x 的方程(k ﹣2)2x 2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞43且k ≠2B ．k ≥43且k ≠2C ．k ＞34D ．k ≥34 5．（2020·广州市番禺区实验中学九年级月考）已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) A ．12x x ≠ B ．21120x x -= C ．122x x += D ．122x x ⋅=∆aa ab6．（2020·江西赣州市·九年级期末）一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .7．（2020·江苏南京市·九年级期中）设m 、n 是一元二次方程x 2、2x 、7、0的两个根，则m 2、3m 、n 、_______.8．（2020·江苏扬州市·九年级月考）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015= ．9．（2020·西南交通大学附属中学九年级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=的两个实数根，且22121213x x x x +-=，则k 的值为____.三、解答题10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程x 2+3x+m -1=0的两个实数根分别为x 1,x 2．（1）求m 的取值范围．（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.11．（2020·四川省九龙县中学校九年级期中）已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由． 12．（2020·河南商丘市·九年级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．13．（2020·乐山博瑞特网络科技有限公司九年级期中）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）,x x．x+k2+1=0有两个不等实根12（1）求实数k的取值范围．,x x满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．（2）若方程两实根1214．（2020·湖北孝感市·九年级其他模拟）已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．15．（2019·台州市书生中学九年级开学考试）已知关于x的一元二次方程x2、6x+、2m+1、=0有实数根．、1）求m的取值范围；、2）如果方程的两个实数根为x1、x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。

专题04 平方根、立方根以及实数【思维导图】◎考点题型1 求一个数的算术平方根例．（江苏·南师附中树人学校八年级期末）10的算术平方根是（）A．10B C．D．10变式1．（江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）下列说法正确的是() A．5-是25的平方根B．4±是16的算术平方根C．2是-4的算术平方根D．1的平方根是它本身）变式2．（江苏·A．3B．9±C．9-D．9变式3．（海南鑫源高级中学八年级期中）下列各数中,没有算术平方根的是（ ） A ．0.1 B ．9 C ．3(1)- D ．0◎考点题型2 利用算术平方根的非负性解题例．（福建泉港·八年级期末）若实数x ,y 满足30x -=．则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或15变式1．（广东·40b -=,那么a b -=（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．-5变式2．（江苏兴化·八年级期中）已知实数x ,y 满足30x -,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长为( )A ．12B ．15C ．18D ．12或15变式3．（云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）若1x -互为相反数,则xy 的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．5D ．6◎考点题型3 估计算术平方根的取值范围例．（福建· ）A ．在1～2之间B ．在2～3之间C ．在3～4之间D ．在4～5之间变式1．（安徽包河·最接近的整数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7变式2．（重庆巴蜀中学一模）估计2的值应在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间变式3的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5◎考点题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 2geti例．（北京朝阳·七年级期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长最接近整数（ ）A ．4B ．3C ．1D ．0变式．（北京·中考真题）已知2222431849,441936,452025,462116====．若n 为整数且1n n <<+,则n 的值为（ ）A ．43B ．44C ．45D ．46◎考点题型5 平方根的概念理解例．（山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）下列说法错误的是（ ）A ．1的平方根是±1B ．1-的立方根是1-C ．2的平方根D ．3-变式1．（海南海口·八年级期中）下列说法正确的是（ ）A ±5B ．﹣42的平方根是±4C ．64的立方根是±4D ）2＝2变式2．（湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列说法不正确的是（ ）A ．3-是9的一个平方根B 8的立方根C ．36的平方根是6±D ．16的平方根是4变式3．（海南华侨中学八年级期中）下列说法中,其中不正确的是（ ）A ．4的算术平方根是2B ．2的一个平方根C ．()21-的立方根是 1 D◎考点题型6 求一个数的平方根例．（江苏省无锡市经开区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）下列各式中,正确的是（ ）A ．4± B 3=± C 3= D 4=-变式1．（广东大埔·八年级期末）9的平方根是（ ）A ．3B ．3±C ．3-D ．2±变式2．（四川巴中·八年级期末）下列说法正确的是（ ）A ．1的平方根是1B ．（﹣4）2的算术平方根是4C±3 D 是最简二次根式变式3（重庆万州·八年级期末）下列等式正确的是（ ）．A 8=±B ．8=C ．8±D 4=±◎考点题型7 求代数式的平方根例．（2019·浙江杭州·九年级）已知()24a -,则-a b 的平方根是（ ）A B C ．D ．变式1．（2019·河南兰考·八年级阶段练习）在实数范围内,|100|0b -=,则a 与b 的积的算术平方根是（ ）A ．0B ．10C ．10-D ．10±变式2．（2020·贵州·贵阳市白云区第九中学八年级阶段练习）若是169的算术平方根,是121的负的平方根,则（＋）2的平方根为（ ）A ．2B ．4C ．±2D ．±4变式3．（2019·河南·南阳市第三中学八年级阶段练习）若3m =,代数式3m （ ） A ．7 B ．11 C ．7- D ．9±◎考点题型8 已知一个数的平方根,求这个数例．（全国·八年级）已知2m ﹣1和5﹣m 是a 的平方根,a 是（ ）A ．9B ．81C ．9或81D ．2变式1．（江苏·江阴市璜塘中学八年级阶段练习）如果一个正数a 的两个不同平方根是2x －2和6－3x ,则这个正数a 的值为（ ）A ．4B ．6C ．12D ．36变式2．（全国·八年级课时练习）若21x +和7x -是一个正数的平方根,则这个正数为（ ） A ．25 B ．225 C ．25或225 D ．25±变式3．（湖南·长沙市北雅中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+,则这个正数是（ ）A ．1-B ．3C ．9D ．3-◎考点题型9 利用平方根解方程例．（四川绵阳·七年级期末）已知2(23)4x -=,则x 的所有取值的和为（ ）A ．0B ．2C ．52D ．3变式1．（安徽无为·七年级期中）物体自由下落时,下落距离h （单位：米）可用公式25h t =来估算,其中t （t ＞0单位：秒）表示物体下落的时间．若一个篮球掉入80米深的山谷中,落入谷底前不与其他物体接触,则该篮球掉落到谷底需要的时间为（ ）A ．2秒B ．4秒C ．16秒D ．20秒变式2．（辽宁连山·九年级期末）方程x 2－9＝0的解是( )A ．x 1＝3,x 2＝－3B ．x ＝0C ．x 1＝x 2＝3D ．x 1＝x 2＝－3变式3．（全国·九年级单元测试）若2(22)x +=,则x 的值是（ ）A4 B 2 C 2+2 D 2或2◎考点题型10 立方根的概念理解例．（重庆实验外国语学校七年级期末）下列运算中,正确的是（ ）A 2=B 2=-C ．33=D 3=变式1．（贵州六盘水·八年级阶段练习）平方根和立方根都等于它本身的数是（ ） A ．±1 B ．1 C ．0 D ．﹣1变式2．（浙江·九年级专题练习）下列各式中,错误的是（ ）A ．B ．（a ﹣b ）2＝（b ﹣a ）2C ．|﹣a |＝aD ．2a =变式3．（云南·昆明市实验中学七年级期中）下列计算正确的是（ ）A 2-B 3±C 3=-D ．5=◎考点题型11 求一个数的立方根例．（福建洛江·八年级期末）−8 的立方根是（ ）A ．−2B ．2C ．±D ．64变式1．（广西港口·七年级期中）下列语句正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣3是27的立方根C ．125216的立方根是±56 D ．（﹣1）2的立方根是﹣1变式2．（辽宁凌海·x ,27-的立方根是y ,则2x y -的值为（ ）A ．7B ．11C ．1-或7D ．11或5-变式3．（山东·（ ）A ．28.72B ．0.2872C ．13.33D ．0.1333◎考点题型12 已知一个数的立方根,求这个数例．（江西新余· 2.938 6.329=,=（ ） A ．632.9 B ．293.8 C ．2938 D ．6329变式1．（河北· 6.882≈,68.82,则x 的值约为（ ）A ．326000B ．32600C ．3.26D ．0.326变式2．（甘肃·平川区四中七年级期中）已知x =6,y 3=-8,且0x y +<,则xy =（ ） A ．－8 B ．－4 C ．12 D ．－12变式3．（2019·广东·佛山市南海区大沥镇许海初级中学八年级阶段练习）a+3的算术平方根是3,b－2的立方根是2, ）A B ．C ．±6 D ．6◎考点题型13 算术平方根和立方根的综合应用例．（山东薛城·八年级期中）已知x 为实数,＝0,则x 2＋x ﹣3的算术平方根为（ ）A ．3B ．2C ．3和﹣3D ．2和﹣2变式1．（2020·甘肃·武威第九中学七年级期中）若a,b ,则a+b 的值是（ ）A ．4B ．4或0C ．6或2D ．6变式2．（2020·河北·3270b -=,那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7变式3．（广东·连南瑶族自治县教师发展中心八年级期中）实数a ,b 在数轴上对应的点的位置如图||a b +化简的结果（ ）A ．2a b +B ．bC ．2a b -D ．3b◎考点题型14 无理数的概念理解例．（广东揭东·,2272π中无理数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个变式1．（河南·郑州市第三中学八年级期末）下列各数：（每相邻两个3之间依次多一个1）,2π,13无理数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 变式2．（湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）下列各数是无理数的是（ ）AB C ．π D ．227变式3．（江苏江都·2,72π-,无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个◎考点题型15 实数的概念理解例．（全国·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数,其中错误的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式1．（福建·厦门双十中学八年级阶段练习）已知实数,m n 满足20n -=,则m n +的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．3变式2．（浙江·九年级专题练习）下列说法其中错误的个数（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是4±,用式子表示4=±；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式3．（全国·七年级期末）下列说法中不正确的是（ ）A ．0是绝对值最小的实数B 2=C ．3是9的一个平方根D ．负数没有立方根◎考点题型16 实数的分类例．（甘肃兰州·八年级期中）下列说法不正确的是（ ）A ．有理数和无理数统称为实数B ．实数是由正实数和负实数组成C ．无限循环小数是有理数D ．实数和数轴上的点一一对应变式1．（湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列说法正确的是（ ）A ．定理是真命题B ．真命题是定理C ．实数包括正实数和负实数D ．无理数是实际不存在的数变式2．（广东普宁·八年级期中）下面说法中,正确的是（ ）A ．实数分为正实数和负实数B ．带根号的数都是无理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．平方根等于本身的数是1和0变式3．（山东牡丹·八年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）．A ．实数分为正实数和负实数B ．无理数与数轴上的点一一对应C ．2-是4的平方根D ．两个无理数的和一定是无理数◎考点题型17 实数的性质例．（江苏江阴·1的相反数是（ ）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1-变式1．（2020·浙江省开化县第三初级中学七年级期中）下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于它本身的数一定是正数B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．负数没有立方根D ．实数与数轴上的点一一对应变式2．（2020·全国·八年级单元测试）化简3|的结果正确的是（ ）A 3B ．3C 3D ．3变式3．（全国·七年级单元测试）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A ．2与12B ．|2|-C ．-2D ．2◎考点题型18 实数与数轴例．（浙江海曙·七年级期末）如图,面积为5的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上,且表示的数为1,若点E 在数轴上,（点E 在点A 的右侧）且AB AE =,则E 点所表示的数为（ ）A B ．1 C D 2变式1．（重庆市实验学校八年级期中）如图,点C 所表示的数是（ ）A B C ．1D 变式2．（北京·八年级期中）如图,数轴上的点A 表示的数是1-,点B 表示的数是1,CB AB ⊥于点B ,且2BC =,以点A 为圆心,AC 为半径画弧交数轴于点D ,则点D 表示的数为（ ）A．2.8 B ．C ．1 D ．1变式3．（上海市罗南中学七年级期中）如图,数轴上点A 表示的数可能是（ ）A B C D◎考点题型19 实数的大小比较例．（重庆·忠县花桥镇初级中学校九年级期中）在实数4-,0,3-,2-中,最小的数是（ ） A ．4- B ．0 C ．3- D ．2-变式1．（浙江北仑·223,0,7--中,最小的是（ ）A B ．3- C ．0 D ．227-变式2．（河南郑州·九年级期末）在实数|﹣3.14|,﹣3,﹣π中,最小的数是（ ）A B．﹣3C．|﹣3.14|D．﹣π变式3．（广东阳山·八年级期末）在﹣3,0,2,,最小的数是（）A．B．﹣3C．0D．2◎考点题型20 程序设计与实数运算例．（山东张店·二模）在使用科学计算器时,依次按键的方法如图所示,显示的结果在数轴上对应的点可以是（）A．点A B．点B C．点C D．点D变式1．（全国·七年级期中）有一个数值转换器,原理如下：当输入的x为64时,输出的y是（）A．B．2C D．变式2．（全国·七年级期中）按如图所示的程序计算,若开始输入的值为9,则最后输出的y值是（）A B．C．3D．±3变式3（2020·福建惠安·八年级期中）有一个数值转换器,流程如下：当输入的x为256时,输出的y是（）AB．CD◎考点题型21 新定义下的实数运算例．（河南南召·九年级期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ,规定m ※n ＝m 2n －mn －3n ,如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2））A．B．-C．D．变式1．（广西·南宁二中七年级期末）规定一种新运算：b a b a a *=-,如2424412*=-=-．则()2*3-的值是（ ）．A ．10- B ．6- C ．6 D ．8变式2．（北京市第六十六中学七年级期中）a 为有理数,定义运算符号▽：当a ＞－2时,▽a ＝－a ；当a ＜－2时,▽a ＝ a ；当a ＝－2时,▽a ＝ 0．根据这种运算,则▽[4＋▽（2－5）]的值为（ ） A ．1- B ．7 C ．7- D ．1变式3．（贵州六盘水·九年级期中）对于任意实数a ,b ,定义一种新运算“☆”如下：22()()a b a a b a b ab b a b ⎧+≥=⎨+<⎩☆,若236m =☆,则实数m 等于（ ） A ．8.5 B ．4 C ．4或 4.5- D ．4或 4.5-或8.5◎考点题型22 与实数运算的规律题例．（辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图五个正方形中各有四个数,各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,可推测出m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．8变式1．（福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵,根据数阵排列的规律,第2021行从左向右数第2020个数是（ ）A ．2020B ．2021 CD变式2．（湖南·雨花外国语学校八年级开学考试）观察下列运算（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1我们发现规律：（x ﹣1）（xn ﹣1+xn ﹣2+…+x 2+x +1）＝xn ﹣1（n 为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）A ．32022﹣1B ．2022312-C ．2022312+D ．2022332- 变式3．（辽宁连山·七年级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是（ ）A ．216B ．147C ．130D ．442。