湖南省2019届高三六校联考试题数学(理科)含答案解析

2019届湖南省高三六校联考第三次模拟考试数 学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝A ．2＋2iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝ A ．6 B ．3 2 C ．3 D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为A.72B.52 C. 2 D.3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x ＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝⎛⎦⎤712，1312B.⎣⎡⎭⎫712，1312C.⎝⎛⎦⎤1112，1712D.⎣⎡⎭⎫1112，171212．已知函数f(x)＝e x －ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)A.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e B.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎤e －1，e 2－12 C.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省湘东六校2018年下期高三联考理科数学试题总分:150 时量：120分钟 考试时间：2018年12月8日醴陵市一中·浏阳市一中·攸县一中·株洲市八中·株洲市四中·株洲市二中姓名： 考号：第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数，则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.若集合}01|{≤≤-=x x A ，}0)1(log |{2≤-=x x B ，则=B AA.}11|{<≤-x xB.}11|{≤<-x xC.}0{D.}11|{≤≤-x x3.函数xxee x x y -++=sin 的图象大致为A B C D4.已知向量，，则的面积为 A.B. C. D.2 5.已知函数，则下列说法不正确的是A.)(x f 的图象关于直线2π=x 对称 B.)(x f 的周期为2πC.)0,(π是)(x f 的一个对称中心D.)(x f 在区间]2,4[ππ上单调递减 6.在ABC ∆中，C B A 、、的对边分别为c b a 、、，其中ac b =2，且B C sin 2sin =，则其最小角的余弦值为i Z i Z -=+=2,32121Z Z -)2,1(=AB )21(，-=AC ABC ∆53423A.42-B.42C.825 D.437.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为A.4i ≤B.5i ≤C.6i ≤D.7i ≤8.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点， 且BF AF 21=，则直线AB 的斜率为A.C.--9.右图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为A.33B.36C.63 D.633（第9题图）10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正十边形10321A A A A ⋅⋅⋅的中心，1A 在x 轴正半轴上，任取不同的两点i A 、j A （其中，10,1≤≤j i ，且N j N i ∈∈,），点P 满足02=++j i OA OA OP ，则点P 落在第二象限的概率是A.457 B.458C.51D.92（第10题图） 11.己知函数x ex x f 2)(=，若关于x 的方程01)()]([2=-++m x mf x f 恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 A.)2,0( B.)2,11(e -C.}1,41{2e -D.)1,41(2e- 12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两顶点分别为21,A A ，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点,若在线段BF 上（不含端点）存在两点21,P P ，使得221211A P A A P A ∠=∠2π=，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是A.)215,1(+ B.)213,1(+ C.)215,0(+ D.)213,23(+ 第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线2x e x f x +=)(，则曲线在(0,)(0f )处的切线与坐标轴围成的图形面积为 .14.若变量x ，y 满足31031102x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且y ax z -=的最小值为1-，则实数a 的值为 .15.在平面直角坐标系xOy 中，点),(00y x P 在单位圆O 上，设α=∠xOP ，且)43,4(ππα∈．若1312)4cos(-=+πα，则0x 的值为 ．16. 如图，四棱锥ABCD P -中，1=AP ，矩形ABCD 的周长为8，当三棱锥PCD A -的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为和，则的值为 .三、解答题（本大题共7小题共70分，其中第22，23题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必做题：共60分.17.（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S满足，且11=a 。

2019年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A ．8B ．17C ．29D ．836．若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A 、B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ） A ．200 B ．350 C ．400 D ．5008．圆O 的半径为3，一条弦AB=4，P 为圆O 上任意一点，则•的取值范围为（ ）A ．[﹣16，0]B ．[0，16]C ．[﹣4，20]D ．[﹣20，4]9．设函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题（ ）①∀x ∈R ，f （f （x ））=1；②∃x 0，y 0∈R ，f （x 0+y 0）=f （x 0）+f （y 0）；③函数f （x ）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣AB1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】利用交集定义、集合相等的定义直接求解．【解答】解：∵集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n∈Z}，∴M≠P，N∩P=∅，M∩N=∅，故选：B．2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再求出其共轭复数得答案．【解答】解：∵（2+i）i=﹣1+2i，∴复数（2+i）i的共轭复数为﹣1﹣2i，其虚部为﹣2．故选：B．3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y【考点】轨迹方程．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．故选：D．4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}对任意的m，n∈N*满足a n•a m=a n+m，且，可得a2，a3，a4，a5．即可．【解答】解：∵数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，∴a2=a1a1=，a3=a1•a2=．那么a4=a2•a2=．a5=a3•a2=．故选：A．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．8 B．17 C．29 D．83【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=3，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=8，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=29，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为29，故选：C6．若，则=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A、B两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A药品至少100箱，B药品箱数不少于A药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（）A．200 B．350 C．400 D．500【考点】简单线性规划的应用．【分析】设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，根据约束条件对目标函数的范围进行验证即可【解答】解：设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，若x+y=500，又因为≥x，∴y≥250，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=75+0.15y＞100，不合题意．若x+y=400，又因为y≥x，∴y≥200，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=60+0.15y≥90，合题意．故选：C8．圆O的半径为3，一条弦AB=4，P为圆O上任意一点，则•的取值范围为（）A．[﹣16，0]B．[0，16]C．[﹣4，20]D．[﹣20，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得BC=AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法则，可得•==，代入数量积即可得出•的取值范围．【解答】解：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．则BC=AB=2．∴cos∠OBA=．∴•===．==．∵cos∈[﹣1，1]，∴12cos﹣8∈[﹣20，4]．故选：D．9．设函数，则关于函数f（x）有以下四个命题（）①∀x∈R，f（f（x））=1；②∃x0，y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由，可得f（x）=0或1，则∀x∈R，f（f（x））=1，故①正确；当时，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正确；∵x为有理数，则﹣x为有理数，x为无理数，则﹣x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．∴真命题的个数是4个．故选：A．10．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（0）=f（），由此得到a=b，再根据函数f′（x）的图象的一个对称中心是，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，∴f（0）=f（），即b=asin（ω•）+bcos（ω•）=a，∴f（x）=asinωx+acosωx=a•sin（ωx+）．又函数f'′（x）=a•ω•cos（ωx+）的图象的一个对称中心是，∴a•ωcos（ω•+）=0，∴ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=8k+2，故取ω=2，则f（x）的最小正周期是=π，故选：C．B1C1D1的内切球O球面上的11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣A动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】轨迹方程．【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，B1C1D1的棱长为2，∵正方体ABCD﹣A∴O到过D，C，N的平面的距离为1，∴截面圆的半径为：=2，∴点P的轨迹周长为：2π×2=4π．故选：C．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】令f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象得出a的范围．【解答】解：f（x）关于y轴对称的函数为h（x）=f（﹣x）=x+2﹣x﹣（x＞0），令h（x）=g（x）得2﹣x﹣=log2（x+a）（x＞0），则方程2﹣x﹣=log2（x+a）在（0，+∞）上有解，作出y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象如图所示：当a≤0时，函数y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象在（0，+∞）上必有交点，符合题意；若a＞0，若两图象在（0，+∞）上有交点，则log2a，解得0，综上，a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为48．【考点】分层抽样方法．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n 的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，∴共有个体（5+1）×8=48，故答案为：48．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由此构造关于x的方程，解得答案．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+π•（）2×1.6=12.6，∵π=3．解得x=3，故答案为：3．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故答案为：16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由公差d是的约数，得到d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项，∴公差d是的约数，∴d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），∴d的所有可能取值之和为：=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE 中，求解BE即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S△，然后求解最大值．ABE【解答】解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：，∴．∵BC=CD，∴，又，∴．在Rt△BDE中，所以．（2）设∠ABE=α，∵，∴．在△ABE中，由正弦定理，得，∴．∴=．∵，∴．∴当，即时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．证明CG⊥C1E．DE⊥CG，推出CG⊥平面A1DE，即可证明平面CDG⊥平面A1DE．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1DE的法向量，平面A1BF的法向量，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．【解答】解：（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明如下：由于DE∥AC且，∴，故D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．在正方形CBB1C1中，，故∠CHE=90°，即CG⊥C1E．又A1C1⊥平面CBB1C1，CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又因为C1E∩DE=E，故CG⊥平面A1DE，从而平面CDG ⊥平面A1DE．（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，于是可以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以A1（2，0，2），D（1，1，0），E（0，1，0），B（0，2，0），F （0，1，2），G（0，2.1），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，1，0）．由（1）知平面A1DE的法向量为=（0，2，1），设平面A1BF的法向量为=（x，y，z），则，即：，令x=1得，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，则cosθ===．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．进而得出数学期望．【解答】解：（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，，．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．因为E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），所以方案二更适合．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，直线AD：y=k2x+1，同理有，推出k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．【解答】解：（1）由题设知，，，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD 若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a ≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，min利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1⇒t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，可得其左焦点，即可得出m．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y=m．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．可得曲线C的直角坐标方程：2（x2+y2）﹣（x2﹣y2）=12，∴曲线C的标准方程为，则其左焦点为，故，曲线C的方程．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，得t'2﹣2t'﹣2=0，则|FA|•|FB|=|t'1t'2|=2，第31页（共31页），故．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=x +2．（1）当a=1时，求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集； （2）求证：中至少有一个不小于． 【考点】反证法的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集；（2）利用反证法证明即可．【解答】（1）解：当a=1时，|2x ﹣1|+|2x +1|≤x +2，无解；，解得；，解得．综上，不等式的解集为． （2）证明：若都小于， 则，前两式相加得与第三式矛盾．故中至少有一个不小于．。

2019届湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校高三下学期联考理科数学试题一、单选题1．复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】因为由，得．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，是基础题．2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出集合，由此能求出．【详解】∵集合=且，∴=或．故选：D．【点睛】本题考查补集的求法，分式不等式的求法等基础知识，是基础题．3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为，则俯视图中三角形的高等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】画出几何体的直观图，利用几何体的体积，转化求解即可．【详解】如图，该几何体为四棱锥，体积为，所以．故选：D．【点睛】本题考查已知三视图求解几何体的体积，空间想象能力以及计算能力，属于中档题．5．已知是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程.【详解】当时，，，，，切点为，切线方程为．切线方程为．故选：A．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．6．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定 【答案】B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：()4cos sin 1x x dx π-=⎰，于是此点取自阴影部分的概率为)()114141.41122 3.22P ππ-=⨯=>=． 又21112P P =-<，故12P P >． 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 7．已知中，，，，于，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用已知条件转化，然后根据向量垂直的条件列出方程，化简并得到关于的方程，从而推出即可． 【详解】，，，，可得，，．故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积运算以及向量垂直条件的应用，运用了方程的思想，属于中档题．这类型问题当中，关键是运用数量积运算建立关于参数的代数方程，从而求出参数的比值.8．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.9．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如：，则称，为“简单的”有序对，而称为有序对的值，那么值为的“简单的”有序对的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对.可利用分步计数原理，确定的每一个数位的取法，即可得值为的“简单的”有序对的个数. 【详解】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对，则对于数，利用分步计数原理，第一位取法有3种：0,1,2；第二位取法有1种：0；第三位取法有2种：0,1；第四位取法有10种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；所以值为2019的“简单的”有序对的个数是．故选：C．【点睛】本题考查了分步计数原理，以及转化的思想，属于中档题．10．若是方程的解，是方程的解，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将方程的解、方程的解转化为函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标来求解．【详解】考虑到，是函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标，而函数与函数的图像关于对称，则，，两点关于对称，则有因此．故选：A．【点睛】本题考查函数的与方程的综合问题，以及转化的思想，属于中档题目．这类型题的关键是合理地转化，一般都运用到这两种类型转化：（1）函数零点方程的根函数与轴交点的横坐标；（2）函数零点方程的根函数与函数交点的横坐标.11．已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．【详解】由题意知，，，，，，，上上恰有一个最大值和一个最小值，，．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况. 12．已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（其中为自然对数的底数，）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知在上有解，从而；又有唯一整数解，设，，当时，唯一整数解为1，应满足；当时，唯一整数解为，应满足，由此能求出的取值范围．【详解】由题意得，在上有解，在上单调递增，，又恰好有唯一整数解，即有唯一整数解．设，，结合题意可知：①若，则其唯一整数解为，故应满足，故；②若，则其唯一整数解为，故应满足，故．由①②得的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了函数极值点存在性问题、不等式有唯一整数解的问题以及导数的应用等基础知识，考查了分类讨论思想、化归与转化思想，以及运算求解能力，是难题．函数极值点存在性问题，关键是转化为导数零点存在性问题；不等式有唯一整数解的问题，关键是寻找出对应的整数解，得到函数在其相邻整数的不等关系，从而求解出参数范围.二、填空题13．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．【答案】2【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．【答案】12【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15．在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．【答案】【解析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．【详解】设，则：由于，所以：．则：，设，所以：，因为当时，，当时，，所以当时，的最小值为，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）.三、解答题16．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的、，都有．（Ⅰ）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（Ⅱ）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）在中取，求得．然后求出当时的通项公式，已知时成立后得到数列的通项公式，即可得到结论；（Ⅱ）求得，可得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【详解】（Ⅰ）由对任意的、，都有，取，，得，而，．当时，，当时该式成立，，即，可得数列为公差为，首项为的等差数列；（Ⅱ）证明：由，可得，即有，，两式相减可得，化简可得，由为自然数，可得，则．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，等差数列的证明，数列的错位相减法的应用，以及不等关系的证明，属于中档题．等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可.17．在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．【详解】（Ⅰ）证法一：是的中点，．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．由题意得，，即为二面角的平面角．，为的中点．，为等边三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分别为，的中点．，四边形为平行四边形．，平面，又平面．平面平面．法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．设平面的法向量为，，，，令，则，设平面的法向量为，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．平面的法向量设平面的法向量为，，，，取，得．设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．平面与平面所成二面角大小为．【点睛】本题考查了面面垂直的证明，二面角的求法，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，以及运算求解能力，是中档题．18．已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）设，由题意列式，化简得曲线的方程；（Ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求原点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法结合二次函数求最值．【详解】（Ⅰ）设，则，化简得，曲线的方程为；（Ⅱ）设，，联立，得。

绝密★启用前湖南省2019届高三六校联考试题 数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝A ．2＋2iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞)3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝A ．6B ．3 2C ．3D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为A.72B.52C. 2D. 3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x ＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝⎛⎦⎤712，1312B.⎣⎡⎭⎫712，1312C.⎝⎛⎦⎤1112，1712D.⎣⎡⎭⎫1112，1712 12．已知函数f(x)＝e x －ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)A.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e B.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎤e －1，e 2－12 C.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校高三下学期联考理科数学试题一、单选题1．复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】因为由，得．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，是基础题．2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出集合，由此能求出．【详解】∵集合=且，∴=或．故选：D．【点睛】本题考查补集的求法，分式不等式的求法等基础知识，是基础题．3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为，则俯视图中三角形的高等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】画出几何体的直观图，利用几何体的体积，转化求解即可．【详解】如图，该几何体为四棱锥，体积为，所以．故选：D．【点睛】本题考查已知三视图求解几何体的体积，空间想象能力以及计算能力，属于中档题．5．已知是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程.【详解】当时，，，，，切点为，切线方程为．切线方程为．故选：A．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．6．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定 【答案】B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：()4cos sin 21x x dx π-=-⎰，于是此点取自阴影部分的概率为()()12142141.41122 3.22P ππ---=⨯=>=． 又21112P P =-<，故12P P >． 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 7．已知中，，，，于，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用已知条件转化，然后根据向量垂直的条件列出方程，化简并得到关于的方程，从而推出即可． 【详解】，，，，可得，，．故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积运算以及向量垂直条件的应用，运用了方程的思想，属于中档题．这类型问题当中，关键是运用数量积运算建立关于参数的代数方程，从而求出参数的比值.8．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.9．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如：，则称，为“简单的”有序对，而称为有序对的值，那么值为的“简单的”有序对的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对.可利用分步计数原理，确定的每一个数位的取法，即可得值为的“简单的”有序对的个数. 【详解】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对，则对于数，利用分步计数原理，第一位取法有3种：0,1,2；第二位取法有1种：0；第三位取法有2种：0,1；第四位取法有10种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；所以值为2019的“简单的”有序对的个数是．故选：C．【点睛】本题考查了分步计数原理，以及转化的思想，属于中档题．10．若是方程的解，是方程的解，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将方程的解、方程的解转化为函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标来求解．【详解】考虑到，是函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标，而函数与函数的图像关于对称，则，，两点关于对称，则有因此．故选：A．【点睛】本题考查函数的与方程的综合问题，以及转化的思想，属于中档题目．这类型题的关键是合理地转化，一般都运用到这两种类型转化：（1）函数零点方程的根函数与轴交点的横坐标；（2）函数零点方程的根函数与函数交点的横坐标.11．已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．【详解】由题意知，，，，，，，上上恰有一个最大值和一个最小值，，．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况. 12．已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（其中为自然对数的底数，）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知在上有解，从而；又有唯一整数解，设，，当时，唯一整数解为1，应满足；当时，唯一整数解为，应满足，由此能求出的取值范围．【详解】由题意得，在上有解，在上单调递增，，又恰好有唯一整数解，即有唯一整数解．设，，结合题意可知：①若，则其唯一整数解为，故应满足，故；②若，则其唯一整数解为，故应满足，故．由①②得的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了函数极值点存在性问题、不等式有唯一整数解的问题以及导数的应用等基础知识，考查了分类讨论思想、化归与转化思想，以及运算求解能力，是难题．函数极值点存在性问题，关键是转化为导数零点存在性问题；不等式有唯一整数解的问题，关键是寻找出对应的整数解，得到函数在其相邻整数的不等关系，从而求解出参数范围.二、填空题13．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．【答案】2【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．【答案】12【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15．在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．【答案】【解析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．【详解】设，则：由于，所以：．则：，设，所以：，因为当时，，当时，，所以当时，的最小值为，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）.三、解答题16．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的、，都有．（Ⅰ）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（Ⅱ）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）在中取，求得．然后求出当时的通项公式，已知时成立后得到数列的通项公式，即可得到结论；（Ⅱ）求得，可得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【详解】（Ⅰ）由对任意的、，都有，取，，得，而，．当时，，当时该式成立，，即，可得数列为公差为，首项为的等差数列；（Ⅱ）证明：由，可得，即有，，两式相减可得，化简可得，由为自然数，可得，则．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，等差数列的证明，数列的错位相减法的应用，以及不等关系的证明，属于中档题．等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可.17．在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．【详解】（Ⅰ）证法一：是的中点，．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．由题意得，，即为二面角的平面角．，为的中点．，为等边三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分别为，的中点．，四边形为平行四边形．，平面，又平面．平面平面．法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．设平面的法向量为，，，，令，则，设平面的法向量为，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．平面的法向量设平面的法向量为，，，，取，得．设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．平面与平面所成二面角大小为．【点睛】本题考查了面面垂直的证明，二面角的求法，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，以及运算求解能力，是中档题．18．已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）设，由题意列式，化简得曲线的方程；（Ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求原点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法结合二次函数求最值．【详解】（Ⅰ）设，则，化简得，曲线的方程为；（Ⅱ）设，，联立，得。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5 【答案】D考点：集合的交集运算．2.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 【答案】D 【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数”，故选D. 考点：四种命题的概念.3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 【答案】C考点：程序框图中的循环结构. 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=- D ．sin 2cos 2y x x =+【答案】C 【解析】试题分析：A ．22cos 1cos 2y x x =-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数不单调；B ．tan y x =-在3(,)44ππ上不连续，也不符合题意；C ．cos(2)sin 2x 2y x π=-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数单调递减，符合题意；D ．sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3x (,)44ππ∈时，372x ,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数不单调，也不符合题意，故选C. 考点：三角函数的单调性.5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．10 【答案】D考点：随机抽样中的系统抽样法.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面半径为1高为6的圆柱按图中的截面截去一半剩下的部分，如图所示，所以几何体的体积21163,2V ππ=⨯⨯=故选A.考点：几何体的三视图与体积.7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)a x dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 【答案】A考点：二项式定理及微积分基本定理的应用.8.若函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件302302x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件，即2xy =图象上存在点(,)x y 在阴影区域内，则必有12m ≤，即实数m 的最大值为12，故选D.考点：简单的线性规划.9.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ> 【答案】D考点：等差、等比数列的前n 项和公式及数列的函数特性.10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++B ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 【答案】C【解析】试题分析：S 可能的取值有3种情况：2222222212,S a a b b b S a a b a b b b =++++=++++，23S a b a b a b a b b =++++．2213232()0,()0S S a b S S a b -=->-=->，所以321S S S <<，若2min 4S b a b =+，若a b ⊥，则min S 与a 无关，故选C ．考点：共线向量定理及平面向量数量积的应用.【方法点晴】本题以命题的形式考查平面向量的数量积及共线向量定理的应用，考查学生推理、运算和分析问题的能力，属于中档题.虽然形式上本题条件复杂给考生一种威慑感，但仔细分析实际上就是考查了平面向量的数量积运算，解答本题的关键是先求出S 的三种结果，通过作差比较123,,S S S 的大小关系，问题就迎刃而解了.11.设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确 【答案】A考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得c a c a ≥≥>，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到c a b a c -<<+即得p 的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出p 的取值范围.12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 【答案】D 【解析】考点：椭圆的标准方程、几何性质及基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质，着重考查了基本不等式和考生分析问题及利用函数思想解决问题的能力，属于难题.解答本题的入手点是消元法，根据椭圆方程把mn 转化为22b a，然后通过换元来构造函数，考查了考生应用函数的意识和能力，把问题转化为求函数在给定区间上的最值点问题，最后再根据椭圆中基本量,,a b c 求得离心率的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数21iz i=-，则z =________．【解析】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+ 考点：复数模的概念与复数的运算.14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________．【答案】4或【解析】试题分析：1242ABC S C ∆=⨯⨯=，得sin C =cos C =∴AB =，∴4AB =或．考点：利用余弦定理解三角形.15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53考点：圆与圆的位置关系.【方法点晴】本题形式上考查了圆圆的位置关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了. 16.给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x + 在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实 数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8 个．则所有正确命题的序号为________． 【答案】（1）（2）（3）考点：函数的单调性、奇偶性及函数的零点等知识的综合应用.【方法点晴】本题以多选题的形式考查了考生对函数单调性、奇偶性、分段函数及函数与方程等知识及分类讨论和数形结合及化归的能力，属于难题.要准确解答多选题，需要考生对每个命题都要作出准确判断才能得分.解答的（1）、（2）的关键是构造法，根据题目条件构造函数奇偶性和单调性定义的形式来判断；（3）考查了分段函数的单调性和分类讨论，避免思维定势；（4）需要通过数形结合来解答.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 【答案】(1) 若10a =，则0n a =，若10a ≠，则2nn a λ=；(2) 数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大. 【解析】试题分析：（1）根据11n n a a S S λ=+，当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，写出11,n n a s --的表达式，两式相减消去1,n n S S -得到数列{}n a 的递推式，根据等比数列通项公式求解，注意讨论1a 是否等于0；（2）根据（1）的结论设1lgn nb a =，整理得2lg 2nb n =-，判断出{}n b 的单调性和各项的符号，即可求得最大值.考点：数列的递推公式和等差数列通项公式和前n 项和的最值问题.18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ；（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）解：取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则OC ⊥平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE所成角，OC CD =AB x ==2AB =，取DE 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)、、、20,3030,4040,5050,60、两项培训，培训结束分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．【答案】（1）14；（2）35；（3）概率分布见解析，数学期望是267392.由题设知X的可能取值为0，1，2．∴15385153153177 (0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392 P X P X==--===⨯-+-⨯=，15345(2)498392P X==⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴X的概率分布为X 的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB ；（2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．【答案】（1）234p -；（2）k =或k =.根据1()(0)f x x x x =+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =或k =．．．．12分 考点：直线与抛物线位置关系的应用.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系问题，考查学生的运算能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于难题.本题第一问思维简单，主要考查了考生运用方程思想和韦达定理解决问题的能力，第二问的技巧在于利用导数的几何意义求得切线AM 斜率和方程，代换得到BM 的方程，从而求得点M 坐标，发现直线MF 与AB 相互垂直对于最后表示出四边形的面积十分关键，根据弦长公式求出AB 的长，代换得到CD 的出，最后通过四边形ACBD 的面积得到斜率k 的方程，这一过程考查了考生的逻辑推理能力和运算能力.21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()x x x g x e -+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞；（2）证明见解析.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<． 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，2EF EA AC ==，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1.考点：平面几何中四点共圆及三角形相似证明和应用.23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值．【答案】（1）222x y x +=，x m =+；（2）1m =或1m =.（2）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由0∆>，解得 13m -<<，∴2122t t m m =-． ∵121PAPB t t ==，∴221m m -=±， 解得1m =±或1m =．又满足0∆>．∴实数1m =或1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.24. （本小题满分10分）函数()f x ．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b BC A ∈、时，证明：124a b ab +<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析.考点：绝对值不等式的解法及不等式的证明.。

湖南省2019届高三六校联考试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝A ．2＋2iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的 体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝ A ．6 B ．3 2 C ．3 D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为A.72 B.52 C. 2 D.3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x ＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A. ⎝⎛⎦⎤712，1312B.⎣⎡⎭⎫712，1312C.⎝⎛⎦⎤1112，1712D.⎣⎡⎭⎫1112，1712 12．已知函数f(x)＝e x －ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…) A.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e B.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎤e －1，e 2－12 C.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届湖南省高三六校联考考前密卷（四）数学试题(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. 或C. D.【答案】A【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．【详解】，由B中不等式变形得：，解得：，即，∴A∩B=，故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】计算出，即可求出复数z的虚部．【详解】复数的虚部是2故选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则．3.等差数列的前项和为，若，则（）A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D【解析】【分析】由，则由等差数列的前n项和公式可求.【详解】，则则故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前n项和公式.属基础题.4.在矩形中，，，若向该矩形内随机投一点，那么使与的面积都小于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，由于，则三角形的高要，同样，P点到AD的距离要小于，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为：；故选：A．【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．5.从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】【分析】由于组成的数是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得.【详解】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况: 奇偶奇，偶奇奇，因此总共有种.故选C.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，排列，属于中档题.6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，故当x∈时，2x∈，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数，故选A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7.已知数列，则是数列是递增数列的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“a1＜a2＜a3”，则“数列{a n}是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列{a n}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的必要条件．故选B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a=63，b=36，满足a＞b，则a变为63-36=27，由a＜b，则b变为36-27=9，由b＜a，则a =27-9=18，由b＜a，则，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，则输出的a的值为9．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.在四边形中，，，则（）A. 5B.C.D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（）A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B【解析】【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为，可得设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知，长方体的表面积为：；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．故选B.．【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．11.如果函数满足（），则的一个正周期为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，可知,即可确定函数周期.【详解】根据，可知,令，则有，故可得周期,选A.【点睛】本题主要考查了函数的周期，属于中档题.12.下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（）（为自然对数的底数）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据所要比较大小的式子可以构造函数，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数，，当时，，当时，，所以函数在时单调递增，在时单调递减，而，所以，化简得故①错误，而，所以，即，化简可得故②正确，因为，所以，化简可得，故③正确，因为当时取最大值，若④成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B.【点睛】本题主要考查了利用函数的增减性比较大小，涉及构造函数，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13._______．【答案】【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【详解】即答案为.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14.在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______．【答案】【解析】【分析】利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项. 【详解】因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024, n=5,故的展开式的通项公式为T r+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.15.通常，满分为分的试卷，分为及格线.若某次满分为分的测试卷，人参加测试，将这人的卷面分数按照，，…，分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面分，则换算成分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．（结果用小数表示）【答案】【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得组的频率为，所以这次测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率，结合题目要求的转化分数即可算出结果。