二进制与十进制数间的转换二进制数的四则运算

二进制数算术运算二进制数的加、减、乘、除四则运算，在数字系统中是常常遇到的，它们的运算规章与十进制数很相像。

加法运算是最基本的一种运算,利用它的运算规章可以实现其它三种运算。

例如，减法运算可以借助转变减数的符号再与被减数相加,乘法运算可视为被乘数的连加，而除法则可视为被除数重复地减去除数。

1.二进制加法二进制加法运算的规章可简洁描述如下：1被加数00111加数+0+1+0+1+1和01110112.二进制减法这里先介绍无符号数的减法，其规章如下：借入被减数01110减数-0-0-1-1差01013.二进制乘法二进制乘法与十进制乘法相同，下面列出了四条规章：０×０＝００×１＝０１×０＝０１×１＝１4.二进制除法二进制除法与十进制除法相同。

5.用带符号位的二进制数实现减法运算(1)带符号位的二进制数一个二进制数既可表示为正数，也可表示为负数，其方法是在二进制数之前加一符号位。

通常用０表示正数，而用１表示负数，其余数位表示数的大小，例如，+5=0101，-5=1101。

(2)补码的概念补码是负数的一种表示方法。

现以人们熟识的十进制数为例来说明补码的概念。

常规减法运算以10为模的减法运算878787- 24-24=+76 63163可见，将减数24变为以10为模（称为模10）的补码为+76，然后相加并丢弃进位数，其结果相同。

模10的补码是这样求得的，模数10减1作为底数9，然后将减数的每一位数码从底数9中减去得到相应的数码，然后加1便得到补码。

在上例中99-24+1=75+1=76。

(3)二进制的模2补码及减法运算与模10的补码相类似，当二进制形成模2的补码时，模数2减1作为底数1，然后将减数的每一位从底减去，得到相应的位的数码，然后加1，便得到补码。

例如，011的模2补码为101。

实际上，一种简便的方法是将二进制数码中的0变为1、1变为0，再加1即可得到模2的补码。

二进制数和十进制数相互转换的另一种方法
二进制与十进制的相互转换是一个广泛流行的计算机科学和数学概念。

它的原理是很简单的，但是掌握了这种技能将变得无所不能，可以保持数学和计算能力的高度。

下面介绍一种二进制和十进制相互转换的方法。

该方法称为“四则运算”，即运用加减乘除四则运算法，使用四则运算将二进制转换为十进制，或者将十进制转化为二进制。

在这种方法中，从最右端开始，为第一个位置，向左依次增加一位，将1或者0代表二进制，此外，十进制值的比较时，也需要从右端开始，依次增加一位，表示十进制。

十进制转换为二进制的实现：首先，将十进制数转换为二进制数字，以45为例，首先将45除以2，得到结果22和余数1，继续将22除以2得到结果11和余数0，同理将11除以2得到结果5和余数1，再将5除以2得到结果2和余数1，最后将2除以2得到结果1和余数0，根据结果从右到左依次读取出结果101101，即为45的二进制表示。

二进制转换成十进制的实现：以11000为例，先与2按位相乘，1乘以2的三次方，再乘以2的二次方，再乘以2的一次方，最后乘以1次等于17，因此，11000的十进制数表示为17。

以上是用四则运算法实现二进制和十进制相互转换的方法，只要掌握了这个方法，就可以很容易的转换数字。

二进制数的运算及与十进制数的互化教学目的：让学生掌握二进制数的四则运算及二进制数与十进制数的互化规则教学重点：二进制数的四则运算及二进制数与十进制数的互化规则教学难点：十进制数转化为二进制数的方法教学方法：讲授法教学过程：一、复习提问：二进制数是如何转化为十进制数的？如（10111）2 =（）10二、新授：（一）、二进制的四则运算1、加法运算运算规则：逢二进一例9-1 求（10101）2 +（1101）2 = ？解：10101+ 1101100010 （10101）2 +（1101）2 = （100010）2找学生上台做：求（11101）2 +（1001）2 = ？求（10001）2 +（1011）2 = ？2、减法运算运算规则：借一作二例9-2 求（1101）2 -（110）2 = ？解：1101- 110111 （1101）2 -（110）2 = （111）2找学生上台做：求（11101）2 -（1001）2 = ？求（10001）2 -（1011）2 = ？* 乘法与除法运算和十进制的运算一样求加减乘除四则运算在实际应用中，用得最多的就只有加法，连减法都用得极少，故在教学中只是让学生重点掌握加法运算，对其他的只是了解一下。

（二）、二进制数与十进制数间的转换1、将二进制转化为十进制(N)B→(N)D：将(N)B写成按权展开的多项式，按十进制规则求各乘积项的积并相加。

举例讲解：P172 例9-52、十进制数转二进制数实例:(N)D→ (N)B ：整数除2取余倒记法（注意从下向上取），小数乘2取整顺记法例如：(58)10= ( )2(0.625)10= ( )2(58.625)10= ( )2解法如下：所以(58.625)10=(111010.101)2课堂练习：1、将下列十进制数转换为二进制。

(1) 252 (2) 20 (3) 39 (4) 37(5) 3 7.252、将下列各数转换为十进制数:(1) (110101)B , (2) (1101)B作业：分别求出0～20所对应的二进制数。

1.2 微型计算机运算基础1.2.1 二进制数的运算方法电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。

1．二进制数的算术运算二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。

（1）二进制数的加法根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：0＋0＝00＋1＝1＋0＝11＋1＝0 （进位为1）1＋1＋1＝1 （进位为1）例如：1110和1011相加过程如下：（2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0＝01－1＝01－0＝10－1＝1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。

但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。

二进制数乘法的法则为：0×0＝00×1＝1×0＝01×1＝1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。

某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。

可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。

再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110＝110余10。

2．二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。

（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。

二进制的算术运算规则二进制计算是电子计算器采用的计算形式。

电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种二进制运算：算术运算和逻辑运算。

运算符位运算符:&(按位与)|(按位或)^(按位异或)~(按位取反)<<(按位左移)>>(有符号的按位右移)>>>(无符号的按位右移)算术运算2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0=01－1=01－0=10－1=1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下 [1] ：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。

但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。

二进制数乘法的法则为：0×0=00×1=1×0=01×1=1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。

某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。

可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。

再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110=110余10。

说明：乘除法分原码乘法和补码乘法。

逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。

（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“+”或“∨”来表示。

逻辑“或”运算的规则如下：0+0=0或0∨0=00+1=1或0∨1=11+0=1或1∨0=11+1=1或1∨1=1可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。

⼆进制，⼋进制，⼗进制，⼗六进制的相互转换常⽤进制数：⼆进制，⼋进制，⼗进制，⼗六进制进制理解计算机中硬件之间的信息传递是由电流确定，假如⼀个半导体允许通过的电流是5A，如果电流通过的为5A，则通过，计为1，如果通过的电流⼩于5A，则不通过，计为0。

由此，出现两种情况的判断，与或⾮。

电流的传递由0或1来完成，由此引申出⼆进制数的概念，以便底层硬件有共同的“语⾔”，即机器语⾔，相互沟通和交流。

我们⽣活中⼀般数值的运算是⼗进制。

就是满10进1，个⼗百千万，依次递进。

由此，可以类⽐。

⼆进制（Binary）：0，1。

基数为2，逢⼆进⼀。

表⽰：(111)2或者(111)B⼋进制（Octal number system）：0，1，2，3，4，5，6，7。

基数为8，逢⼋进⼀。

表⽰：(111)8或者(111)O⼗进制（Decimal system）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

基数为10，逢⼗进⼀。

表⽰：(111)10或者(111)D⼗六进制（Hexadecimal）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A（10），B（11），C（12），D（13），E（14），F（15）。

基数为16，逢⼗六进⼀。

表⽰：(111)16或者(111)Hn进制:(逢n进1)个位数：n0（ 0个8）⼗位数：n1（ 1个8）百位数：n2（ 8个8）进制转换1.⼗进制转其他进制①　除⼆取余法（整数部分）：把被转换的⼗进制整数反复除以2，直⾄商为0，所得的余数（从末位读起）就是这个数的⼆进制表⽰。

②　乘⼆取整法（⼩数部分）:将⼩数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的⼩数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的⼩数部分⼜乘以2，⼀直取到⼩数部分为零为⽌。

如果永远不能为零，就同⼗进制数的四舍五⼊⼀样，按照要求保留多少位⼩数时，就根据后⾯⼀位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向⼊⼀位。

换句话说就是0舍1⼊。

读数要从前⾯的整数读到后⾯的整数。

一、二进制数与十进制数间的转换方法1、正整数的十进制转换二进制：要点：除二取余，倒序排列解释：将一个十进制数除以二，得到的商再除以二，依此类推直到商等于一或零时为止，倒取将除得的余数，即换算为二进制数的结果例如把52换算成二进制数，计算结果如图：52除以2得到的余数依次为：0、0、1、0、1、1，倒序排列，所以52对应的二进制数就是110100。

由于计算机内部表示数的字节单位都是定长的，以2的幂次展开，或者8位，或者16位，或者32位....。

于是，一个二进制数用计算机表示时，位数不足2的幂次时，高位上要补足若干个0。

本文都以8位为例。

那么：(52)10=(00110100)22、负整数转换为二进制要点：取反加一解释：将该负整数对应的正整数先转换成二进制，然后对其“取补”，再对取补后的结果加1即可例如要把-52换算成二进制：1.先取得52的二进制：001101002.对所得到的二进制数取反：110010113.将取反后的数值加一即可：11001100即：(-52)10=(11001100)23、小数转换为二进制要点：乘二取整，正序排列解释：对被转换的小数乘以2，取其整数部分(0或1)作为二进制小数部分，取其小数部分，再乘以2，又取其整数部分作为二进制小数部分，然后取小数部分，再乘以2，直到小数部分为0或者已经去到了足够位数。

每次取的整数部分，按先后次序排列，就构成了二进制小数的序列例如把0.2转换为二进制，转换过程如图：0.2乘以2，取整后小数部分再乘以2，运算4次后得到的整数部分依次为0、0、1、1，结果又变成了0.2，若果0.2再乘以2后会循环刚开始的4次运算，所以0.2转换二进制后将是0011的循环，即：(0.2)10=(0.0011 0011 0011 .....)2循环的书写方法为在循环序列的第一位和最后一位分别加一个点标注4、二进制转换为十进制：整数二进制用数值乘以2的幂次依次相加，小数二进制用数值乘以2的负幂次然后依次相加！比如将二进制110转换为十进制：首先补齐位数，00000110，首位为0，则为正整数，那么将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果如果二进制数补足位数之后首位为1，那么其对应的整数为负，那么需要先取反然后再换算比如11111001，首位为1，那么需要先对其取反，即：-0000011000000110,对应的十进制为6，因此11111001对应的十进制即为-6换算公式可表示为:11111001=-00000110=-6如果将二进制0.110转换为十进制：将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果二、二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。

二进制二进制就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同，二进制就是等于2时就要进位。

二进制加法：1+1＝10 有四种情况：0+0=010+1＝11 0+1=111+1＝100 1+0=1100+1＝101 1+1=10101+1＝110 如： 1 1 0 1110+1＝111 + 1 0 1 1111+1＝1000 = 1 1 0 0 0……可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。

二进制同样是“位值制”。

同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。

如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。

二进制数据110.11，大小顺序为22、21、20、2-1、2-2 第n位数表示2(n-1)十进制：二进制：0=00001=00012=00103=00114=01005=01016=01107=01118=10009=100110=1010……二进制乘法如： 1 1 1 0有四种情况：0×0=0 × 1 0 11×0=0 1 1 1 00×1=0 + 0 0 0 01×1=1 + 1 1 1 0= 10 0 0 1 1 0二进制减法：0－0=0 1－0=1 1－1=0 10－1=1二进制除法：0÷1=0 1÷1=1计算机中的十进制小数转换二进制，十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。

比如0.65换算成二进制就是：0.65 * 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整0.3 * 2 = 0.6 取0，留下0.6继续乘二取整0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整0.2 * 2 = 0.4 取0，留下0.4继续乘二取整0.4 * 2 = 0.8 取0，留下0.8继续乘二取整0.8 * 2 = 1.6 取1，留下0.6继续乘二取整0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整.......一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等。

各种进制之间的转换方法
首先，我们来讨论二进制和十进制之间的转换方法。

二进制是计算机中最常用的进制，而十进制则是我们日常生活中最常见的进制。

在二进制和十进制之间进行转换时，最简单的方法是将二进制数按权展开，然后相加即可得到其对应的十进制数。

例如，二进制数1011可以按权展开为12^3 + 02^2 + 12^1 + 12^0，计算后得到对应的十进制数为11。

接下来是八进制和十进制之间的转换方法。

八进制是以8为基数的进制，而十进制是以10为基数的进制。

在八进制和十进制之间进行转换时，我们可以将八进制数按权展开，然后相加得到其对应的十进制数，或者将十进制数除以8并取余数得到其对应的八进制数。

然后是十六进制和十进制之间的转换方法。

十六进制是以16为基数的进制，常用于表示颜色、内存地址等信息。

在十六进制和十进制之间进行转换时，我们可以将十六进制数按权展开，然后相加得到其对应的十进制数，或者将十进制数除以16并取余数得到其对应的十六进制数。

除了以上介绍的进制之间的转换方法，我们还可以通过进制之
间的转换来进行加减乘除运算。

例如，在二进制中进行加法运算时，我们可以按位相加，并注意进位的处理；在十六进制中进行乘法运
算时，我们可以将十六进制数转换为十进制数后进行乘法运算，再
将结果转换回十六进制数。

总之，掌握各种进制之间的转换方法对于理解计算机原理和进
行编程是非常重要的。

通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解
和运用各种进制之间的转换方法，从而提高自己在计算机科学和数
学领域的能力。

博大弘仕公务员考试：二进制问题应用作者：博大弘仕教育中心资料来源：在公务员考试中，所涉及的几乎都是十进制运算，很少涉及其他进制的知识点。

不同进制之间的转换，或者某种进制的四则运算，这些知识点都能够对考生的逻辑推理思维进行考查。

因此在未来可能会出现类似的题型。

在本篇文章中，博大弘仕杨金珏老师为大家介绍二进制与十进制之间的转换，以及二进制的四则运算。

（一）二进制简介现代计算机采用的就是二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。

为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。

比如110110（2），61（10）（二）二进制与十进制的转换1、十进制转二进制（除二倒取余）【例1】将54化成二进制（10）【博大弘仕分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2。

这个过程也可以简算以“短除法”求得。

将（54）10写成二进制数。

将54除以2，余数0写到对应的右边；再将商27除以2，余数1写到对应的右边；再将商13除以2，余数1写到对应的右边……，一直除到商是1为止。

最后的商“1”也写到对应的右边。

最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是54（10）的二进制数表示法。

因为54=27×2，即有27个“2”，故应第二位上进“27”，个位则为0；而27=13×2+1，即第二位27又要向第三位进“13”，而本位数字为“1”。

但13=6×2+1，即第三位上的13还应向第四位进“6”，且本位数字为“1”；接下去6=3×2，即第四位为0；3=1×2+1，即第五位为1；第六位为1；所以54（10）=110110（2）。

54（10）=110110（2）十进制数转化成其他进制的数都可以采用相同的方法。

比如十进制数转三进制数，逐一除以3，求余数即可。

二进制的四则运算法则加法法则： 0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10减法，当需要向上一位借数时，必须把上一位的1看成下一位的（2）10。

减法法则： 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 有借位，借1当(10) 看成2 0 - 1 - 1 = 0 有借位 1 - 1 - 1 = 1 有借位。

乘法法则：0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1除法应注意：0÷0 = 0 0÷1 = 0 1÷0 = 0 (无意义)除法法则：0÷1=0，1÷1=1二进制与十进制的算法格式相同，只不过十进制是逢十进一，而二进制是逢二进一。

编辑本段“满二进一”的算法二进制的逻辑运算二进制的或运算：遇1得1 二进制的与运算：遇0得0 二进制的非运算：各位取反二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

1、执行下列地进制逻辑乘运算（即逻辑与运算）0101100110100111其运算结果是多少？（要过程）2、执行下列二进制算术加运算11001001+00100111其运算结果是什么？（要过程）3、执行下列逻辑或运算01010100 V 10010011其运算结果是什么？（要过程）4、地进制运算1110*1101的结果是什么？要过程1、01011001∧10100111＝000000012、11001001＋00100111＝111100003、01010100∨10010011＝110101114、1110*1101＝10110110“与”（and）运算又称为逻辑乘运算，其运算符号通常用AND、∩、∧或·等表示。

两个变量的“与”运算的运算规则如下：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1即当两个变量中任一变量取0值时，其运算结果为0，只有当两个变量都是1，结果才是1。

1.2 微型计算机运算基础1.2.1 二进制数的运算方法电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。

1．二进制数的算术运算二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。

（1）二进制数的加法根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：0＋0＝00＋1＝1＋0＝11＋1＝0 （进位为1）1＋1＋1＝1 （进位为1）例如：1110和1011相加过程如下：（2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0＝01－1＝01－0＝10－1＝1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。

但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。

二进制数乘法的法则为：0×0＝00×1＝1×0＝01×1＝1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。

某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。

可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。

再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110＝110余10。

2．二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。

（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。

二进制的四则运算二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。

二进制运算口诀则更为简单。

1．加法二进制加法，在同一数位上只有四种情况：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。

只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。

例1 二进制加法（1）10110＋1101；（2）1110＋101011。

解加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。

10110＋1101＝100011 1110＋101011＝111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。

多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。

例2 二进制加法（1）101＋1101＋1110；（2）101＋（1101＋1110）。

解（1）101＋1101＋1110 （2）101＋（1101＋1110）＝10010＋1110 ＝101＋11011＝100000；＝100000从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。

巩固练习二进制加法（1）1001＋11；（2）1001＋101101；（3）（1101＋110）＋110；（4）（10101＋110）＋1101。

2．减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。

例3 二进制减法（1）11010－11110；（2）10001－1011。

解（1）110101－11110＝10111；（2）10001－1011＝110。

例4 二进制加减混合运算（1）110101＋1101－11111；（2）101101－11011＋11011。

解（1）110101＋1101－11111＝1000010－11111＝100011（2）101101－11011＋11011＝10011＋11011＝101101。

一、十进制数(Decimal Number)式中：ai 为0～9中的位一数码；10为进制的基数；10的i次为第i位的权；m,n为正整数，n为整数部分的位数，m为小数部分的位数。

二、二进制数(Binary Number)与十进制相似，二进制数也遵循两个规则：仅有两个不同的数码，即0,1；进/借位规则为：逢二进一,借一当二。

对于任意一个二进制数可表示为：二进制数仅0,1两个数码，其运算规则比较简单，下现列出了二进制数进行加法和乘法的规则：上表中式1+1=10中的红色为进位位。

三、十六进制(Hexadecimal Number)二进制数在计算机系统中很方便，但当位数较多时，比较难记忆及书写，减小位数，通常将二进制数用十六进制表示。

十六进制是计算机系统中除二进制数之外使用较多的进制，其遵循的两个规则为：其有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E，F等共十六个数码，其分别对应于十进制数的0～15;十六进制数的加减法的进／借位规则为：借一当十六，逢十六进一。

十六进制数同二进制数及十进制数一样，也写成展开式的形式。

在数制使用时，常将各种数制用简码来表示：如十进制数用D表示或省略；二进制用B来表示;十六进制数用H来表示。

如：十制数123表示为：123D123;二进制数1011表示为:1011B;十六进制数3A4表示为:3A4H。

在计算机中除上面讲到的二进制、十进制、十六进制外，还会讲到八进制数，这里就不讨论了。

下表列出了十进制0～16对应的二进制数和十六进制数。

各种数制相互转换二、各种进制相互转换1、进制转换为十进制方法是：将进制按权位展开，各项相加，就得到相应的十进制数。

例1： N=（10110.101）B =（？）D按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=16+4+2+0.5+0.125 =（22.625）D2、将十进制转换成进制方法是：它是分两部分进行的即整数部分和小数部分。

一、十进制数十进制数是日常生活中使用最广的计数制。

组成十进制数的符号有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9等共十个符号，我们称这些符号为数码。

在十进制中，每一位有0～9共十个数码，所以计数的基数为10。

超过9就必须用多位数来表示。

十进制数的运算遵循：加法时：“逢十进一”；减法时：“借一当十”。

十进制数中，数码的位置不同，所表示的值就不相同。

式中，每个对应的数码有一个系数1000,100,10,1与之相对应，这个系数就叫做权或位权。

十进制数的位权一般表示为：10n-1式中，10为十进制的进位基数；10的i次为第i位的权；n表示相对于小数点的位置，取整数；当n位于小数点的左边时，依次取n=1、2、3……n。

位于小数点的右边时，依次取n=-1、-2、-3……因此，634.27可以写为：634.27=6×102+3×101+4×100+2×10-1+7×10-2在正常书写时，各数码的位权隐含在数位之中，即个位、十位、百位等。

二、二进制电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。

这种数制叫做二进制。

要了解计算机，首先要了解计算机中数的表示方法。

为了区别不同数制表示的数，通常用右括另外下标数字或字母表示数制，十进制数用D表示，二进制用B表示，十六进制数用H表示，八进制用O表示。

二进制计算法的特点：①二进制数只有“0”和“1”两个数码，基数是2，最大的数字是1；②采用逢二进一的原则。

二进制的位权一般表示为：2n-1。

各位的权为以2为底的幂。

例如，(01101010)各位的权自至在依次为27、26、25、24、23、22、21、20。

二进制数的算术四则运算规则，除进、借位外与十进制数相同。

■二进制加法规则0＋0=0 1＋0=10＋1=1 1＋1=10（红色为进位位）■二进制减法规则0-0=0 0-1=1-借位1-0=1 1-1=0■二进制乘法规则0×0=0 1×0=00×1=0 1×1=1为了区别于十进制数，在书写时二进制数可以用两种方法表示：例如：(1011.01)2或1011.1B。

进位制介绍十进制数1.运算规则：逢十进一2.数码：0,1,2，…，93.权值：基数10的整数次幂（25）10=2*101+5*100 按权展开式二进制数：1.运算规则：逢二进一2.数码：0,13.权值：基数2的整数次幂。

（101101）2 = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20二进制的四则运算：二进制逻辑运算：逻辑真 true 1逻辑假 false 0常见的逻辑运算：逻辑与运算：FALSE AND FALSE false FALSE AND TRUE false TRUE AND FALSE false TRUE AND TRUE true 逻辑或运算：FALSE or FALSE false FALSE or TRUE true TRUE or FALSE trueTRUE or TRUE true二进制数和十进制数之间的相互转换：1）二进制转换为十进制按权展开，然后求和（101101）2 = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 = 452）十进制数转换为二进制数整数部分：除以基数2，取余数。

（商为0结束，先得到的余数离小数点最近）余数2 452 22 12 11 05 12 11 00 1十进制数（110）2=1*22+1*21+0*20=6二进制数转换为十进制数方法：按权展开，然后求和。

（1101）2=1*23+1*22+0*21+1*20=13十进制数转换为二进制数的方法：1.整数部分：除以基数2，取余数。

商为0时，结束。

先得到的余数离小数点最近。

（25）10----→（11001）2商余数2 252 12 12 6 02 3 02 1 10 1（61）10 -→( 111101)2商余数2 612 30 12 15 02 7 12 3 12 1 10 12.小数部分：规则：乘以基数2，取整数（0.125）10 -→（0.001）乘积整数部分2 0.1252 0.25 02 0.5 02 1.0 10.0（0.314）10→（0.0101000。

二进制数的运算方法
二进制数的算术运算包括四则运算:加、减、乘、除，下面分别介绍。

二进制数的加法
根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：
0＋0＝0
0＋1＝1＋0＝1
1＋1＝0 （进位为1）
1＋1＋1＝1 （进位为1）
例如：1110和1011相加过程如下：
二进制数的减法
根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：
0－0＝0
1－1＝0
1－0＝1
0－1＝1 （借位为1）
例如：1101减去1011的过程如下：
二进制数的乘法
二进制数乘法的过程可以模仿十进制数乘法。

然而，二进制乘法更简单，因为只有两个可能的乘法数字:0或1。

二进制数乘法的规则是:
0×0＝0
0×1＝1×0＝0
1×1＝1
例如：1001和1010相乘的过程如下：
从低位到高位，将被乘数乘以乘数的每一位。

如果乘数的一位是1，那么这个子部分的乘积就是被乘数。

如果乘数的一位为0，则部分积为0。

部分积的最低位必须与标准乘数对齐，所有部分积相加的结果就是乘法的乘积。

二进制数的除法
二进制数除法和十进制数除法非常相似。

被除数(或中间余数)可以从被除数的最高位开始与除数进行比较。

如果被除数(或中间余数)大于除数，被除数(或中间余数)减去除数，商为
1，得到减法后的中间余数，否则商为0。

然后将被除数的下
一个位移加到中间余数的最后一个位置，重复上述过程即可得到所需的商和最终余数。

例如：100110÷110的过程如下：。