【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系

圆周角和圆心角的关系教案教案：圆周角和圆心角的关系教学目标：1.理解圆周角和圆心角的定义；2.掌握圆周角和圆心角的关系；3.运用所学知识解决实际问题。

教学准备：1.教材：《数学必修二》；2.教具：投影仪、计算器。

教学过程：Step 1：导入新知1.讲解圆周角和圆心角的概念。

圆周角：圆上的两条弧所对的角叫做圆周角。

圆心角：由圆心射出的两条弧所对的角叫做圆心角。

2.提问学生：“在圆上，两条弧所对的角是否相等？”3.引导学生发现，根据圆周角的定义，圆周角的度数等于弧所对的圆心角的一半。

Step 2：讲解圆周角和圆心角的关系1.通过投影仪展示有关圆周角和圆心角的图形，并示范解题方法。

2.教师讲解定理：“在同一个圆或等圆中，所对圆心角相等的圆周角也相等；所对圆周角相等的圆心角也相等。

”Step 3：练习1.完成教材《数学必修二》的相关习题。

2.制定小组练习题，提高学生之间的合作学习能力。

Step 4：运用1.学生进行一些实际问题的解答，如“一个园丁想在花园中心种一圈花，他决定每两株花之间的夹角是圆心角45°，他一共要种多少株花？”引导学生运用圆周角和圆心角的关系解题。

2.学生自主完成其他实际问题的解答。

Step 5：总结1.归纳总结圆周角和圆心角的关系，明确圆周角等于所对圆心角的一半。

2.提问巩固所学内容。

教学扩展：1.学生之间进行小组竞赛，比赛谁能最快解出题目中的圆周角和圆心角的关系。

2.学生利用计算器综合运用所学知识解决实际问题。

九年级上册数学教案《圆周角与圆心角的关系》教材分析《圆周角》这节课是人教版九年级上册第二十四章第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弧、弦、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的。

圆周角与圆心角的关系，在圆的有关说理、作图、计算中，应用比较广泛。

通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质。

同时，教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。

因此，本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十分重要的作用。

所以这一节课既是对前面所学知识的延续，又是对后面研究圆与其它平面图形的桥梁。

学情分析初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，学生既能在探索过程中条理清晰地阐述自己的观点，又能在倾听别人意见的过程中，逐渐完善自己的想法。

因此，本节课设计了一系列探究活动，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。

由于学生有了自主意识及参与度的提高，因此，这节课可以给学生充分的时间讨论交流。

教学目标1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。

2、经历探索圆周角与圆心角及其对弧关系的过程，了解并证明圆周角定理，发展合情推理和演绎推理的能力。

3、能用圆周角定理，进行计算及证明。

教学重点探索圆周角和圆心角的关系。

教学难点感悟圆周角和圆心角定理，证明过程中的分类、转化的数学思想。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、创设情境如图，运动员在球门前画了一个圆，进行无人防守的射门训练。

点B对球门AC的张角与点D对球门AC的张角，哪个张角大？师：要研究这个问题，我们先研究∠ABC、∠ADC、∠AEC。

观察这几个角，你发现了什么？学生经过观察，发现几个角的顶点都在圆上，角两边都与圆相交。

圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有一个交点，像这样的角，叫做圆周角。

二、探究新知如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB。

可以发现，∠ACB与∠AOB对着同̂，分别测量图中AB̂所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们一条弧AB之间存在什么关系呢？我们来研究这个问题。

圆周角和圆心角的关系教案教案目标：1. 理解和描述圆周角和圆心角的概念；2. 掌握圆周角和圆心角之间的关系；3. 能够解决与圆周角和圆心角相关的问题。

教学步骤：I. 引入（约5分钟）- 利用生活中的例子引起学生对圆周角和圆心角的注意，例如车轮、钟表等。

- 引导学生思考圆周角和圆心角的定义和特点。

II. 讲解圆周角和圆心角的概念（约10分钟）- 通过示意图解释圆周角和圆心角的定义，并介绍角度的度量单位。

- 强调圆周角是指相邻两条弧所对应的角，圆心角是指以圆心为顶点的角。

III. 圆周角和圆心角的关系（约15分钟）- 阐述圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角的度数是圆心角的二倍。

- 使用具体案例和图形进行说明，让学生理解这一关系。

IV. 解决问题（约15分钟）- 给学生一些练习题，让他们应用所学的知识解决问题。

- 引导学生逐步解决问题，并给予必要的提示和指导。

- 鼓励学生主动思考和讨论，提高解决问题的能力。

V. 总结（约5分钟）- 和学生一起总结本节课所学的内容，检查是否达到了教学目标。

- 强调圆周角和圆心角之间的关系对圆的几何性质的重要性。

VI. 拓展活动（约10分钟）- 给学生一些拓展问题，让他们运用所学的知识进行探究和进一步思考。

- 鼓励学生在小组内互相讨论和合作，提出自己的观点和解决方法。

VII. 课堂作业（约5分钟）- 布置一些课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展所学的内容。

- 强调作业的重要性，并鼓励学生按时完成和提交。

备注：以上教案的时间安排仅供参考，请根据实际情况做适当调整。

（教案完）。

中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章：导入1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。

引导学生通过观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。

1.2 教学内容介绍弧线的定义和特点。

介绍圆心角的定义和特点。

通过实例让学生理解弧线和圆心角之间的关系。

1.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解弧线和圆心角的概念。

引导学生进行观察和思考，发现弧线和圆心角之间的关系。

1.4 教学评估通过学生对弧线和圆心角概念的理解程度，评估学生对这部分知识的学习情况。

第二章：弧线的长度2.1 教学目标让学生掌握弧长公式，并能够运用到实际问题中。

2.2 教学内容介绍弧长公式的推导过程。

通过实例让学生运用弧长公式解决实际问题。

2.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解弧长公式的推导过程。

引导学生进行实际问题的解决，巩固弧长公式的运用。

2.4 教学评估通过学生对弧长公式的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。

第三章：圆心角的大小3.1 教学目标让学生了解圆心角的大小与所对弧长的关系。

3.2 教学内容介绍圆心角的大小与所对弧长的关系。

通过实例让学生观察和理解圆心角大小与所对弧长的关系。

3.3 教学方法使用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解圆心角大小与所对弧长的关系。

引导学生进行观察和思考，发现圆心角大小与所对弧长的关系。

3.4 教学评估通过学生对圆心角大小与所对弧长的关系的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。

第四章：圆周角定理4.1 教学目标让学生掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。

4.2 教学内容介绍圆周角定理的定义和证明过程。

通过实例让学生运用圆周角定理解决实际问题。

使用多媒体演示和实物模型，帮助学生理解圆周角定理的证明过程。

引导学生进行实际问题的解决，巩固圆周角定理的运用。

4.4 教学评估通过学生对圆周角定理的理解和运用情况，评估学生对这部分知识的学习情况。

圆周角和圆心角、弧的关系教学设计思想本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。

在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。

本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。

教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。

最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。

教学目标知识与技能：1．能说出圆心角、圆周角的概念；2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。

过程与方法：通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，体验探索过程。

情感态度价值观：体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。

教学重难点重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程教学方法1．采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。

2．学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。

教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时一、创设情境，引入新课通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 (如有条件可电脑闪动显示图形．)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．再进一步观察，是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦.这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系．二、一起探究1．请同学们自己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD。

同弧对应的圆周角和圆心角的关系1. 弧与圆周角的关系在圆的周长上任意取一弧，做一点作为一圆周角的顶点，这样的圆周角叫做弧所对圆周角，记做∠A。

这个圆周角∠A的度数等于这个弧所对圆周角的圆心角的度数。

2. 圆心角的定义圆心角是指圆周上的一点和圆心连接起来形成的角。

圆心角的度数等于这个圆周角所对圆周角的度数。

3. 圆周角和圆心角的关系任意一段圆周上的弧所对的圆周角，都对应着一个圆心角。

而且这两个角的度数是相等的。

4. 推论由于圆周上的弧和它所对的圆周角以及它所对的圆心角是一一对应的关系，所以当我们已知一个弧所对的圆周角的度数时，也就同时确定了它所对的圆心角的度数。

5. 实例分析如果我们已知一个弧所对的圆周角的度数为60度，那么根据同弧对应的圆周角和圆心角的关系，我们就可以确定这个弧所对的圆心角的度数也为60度。

6. 应用在实际问题解决过程中，我们可以利用同弧对应的圆周角和圆心角的关系，通过已知的圆周角来求解对应的圆心角，进而解决相关问题。

总结：同弧对应的圆周角和圆心角的关系是圆的基本性质之一，是在圆的相关问题中常常会遇到的一个重要概念。

掌握了这一性质，可以帮助我们更加深入地理解圆的性质和圆的相关定理，同时也有助于我们更好地解决与圆相关的实际问题。

同弧对应的圆周角和圆心角的关系是在圆的几何性质中非常重要的一部分，它们之间的通联和规律在数学和几何学中具有广泛的应用。

接下来我们将深入探讨同弧对应的圆周角和圆心角的关系，并通过一些实例和推论来进一步加深我们的理解。

7. 弧长和角度的关系在研究同弧对应的圆周角和圆心角的关系时，我们还需要了解弧的长度和角度之间的关系。

根据弧长的定义，圆的周长等于360°，因此我们可以得出一个推论：一周的弧长所对的圆周角为360°。

这就是说，一周的弧长所对的圆心角也为360°。

8. 圆心角的性质除了与同弧对应的圆周角相等外，圆心角还具有以下性质：- 圆心角相等的弧所对的圆周角也相等；- 圆心角所对的圆弧长度相等；- 圆心角相等的弧所对的圆弧长度相等。

第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。

2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿《圆周角和圆心角的关系》说课稿1“圆周角和圆心角的关系”是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级数学下册第三章第三节的内容，共两个课时，下面我从第一个课时的设计进行说明.一、教材分析本课是在学习了圆的各种概念和圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是本章重点内容之一。

1、本节知识点（1）圆周角的概念（2）圆周角的定理2、教学目标（1）理解并掌握圆周角的概念；（2）掌握圆周角定理，并能熟练地运用它们进行论证和计算；（3）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。

教学重点：圆周角定理。

教学难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

（重点与难点的突破将在教学过程中详细说明）二、本节教材安排本节共分两个课时，第一课时主要研究圆周角和圆心角的关系，第二课时研究圆周角定理的几个推论，并解决一些简单问题。

今天我向大家汇报的是第一课时的设计。

三、教学方法数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法与学法是密不可分的。

本节主要采取探究合作、启发引导的教学方法，多媒体的运用，激发了学生探究合作的积极性，为教师的启发引导提供了生动的素材，使学生获得知识，形成技能。

四、教学步骤（一）、旧知回放，探索新知（圆周角的概念的突破）1、出示课件，演示将圆心角的顶点由圆心拖至圆上，请同学们仿照圆心角的概念给形成的新角起名字，学生很容易的就会命名为圆周角。

2、引导学生进行讨论，规范圆周角的概念。

（设计意：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数学思想和方法，培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力，使学生通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义。

）特别说明：本节的引入我采用了动态演示的方法，从学生已知的圆心角出发，引申到这节课要学的圆周角，便于学生在已有的知识基础上掌握所学，符合学生的认知规律．本节教材中给出的引例是一个生动而实际的例子，但我并没有采用它，是因为这个例子映射的是＂同弧所对的圆周角相等＂的知识点，它要引出的是第二课时的内容．本着活用教材原则，在深入挖掘教材之后，我觉得这个例子放在第一课时并不太合适．3、巩固练习，看谁最棒（请同学们判断各形的角是否是圆周角，并说明理由。

圆周角和圆心角、弧的关系教学设计思想本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。

在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。

本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。

教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。

最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。

教学目标知识与技能：1．能说出圆心角、圆周角的概念；2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。

过程与方法：通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，体验探索过程。

情感态度价值观：体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。

教学重难点重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程教学方法1．采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。

2．学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。

教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时一、创设情境，引入新课通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 (如有条件可电脑闪动显示图形．)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦.这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系．二、一起探究1．请同学们自己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD。

课 题 3.4圆周角和圆心角的关系 教学设计【学习目标】1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。

2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程。

3、理解并掌握圆周角的定理及推论，并能运用其进行简单的计算和证明。

4、在学习过程中体会分类、转化、归纳等数学思想方法。

【学习重难点】重点：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理。

难点：圆周角定理的证明。

【学习方法】自主探究、合作交流 【学习课时】1课时【学习流程】 预 习 案【知识链接】点与圆的位置关系；圆心角、等弧的定义；圆心角、弧、弦之间的关系。

【教材助读】阅读课本P78—P80,自主完成下面问题，若不能解决与同伴交流。

【预习自测】1．圆周角的定义：顶点在 上，两边分别与圆 的角叫圆周角。

2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 。

3. 同弧或等弧所对的圆周角 。

4. 下列图形中的角是不是圆周角？是的划“√”，不是的划“×”。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 5.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由是 ； （2）∠BDC= °,理由是 。

探 究 案【导学释疑】请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？ 【自主探究】 动手操作： 画一画：请同学们在⊙O 中上确定 一条劣弧AC ，画出这条弧所对的圆心角∠AOC 与圆周角∠ABC ． 量一量：测量出所对的圆周角∠ABC 和圆心角∠AOC 的度数。

记录下测量的数据。

猜一猜：所对的圆周角∠ABC 和圆心角∠AOC 之间有什么关系？ODCBA第5题能证明你的结论吗．【合作探究】学习小组互相讨论、交流，寻找解题途径．想一想:一条弧所对的圆周角和圆心可能有几种位置关系?动手画一画。

证一证：如图，已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．证明：（1）圆心O在∠ABC的一边上。

教案：圆周角与圆心角的关系。

一、圆周角与圆心角的定义圆周角：在一个圆上，两个相邻的线段所夹的角叫做圆周角。

圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数。

圆心角：在一个圆上，以圆心为顶点，两条切线所夹的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。

二、圆周角与圆心角的性质1.圆周角和圆心角的度数是正比例关系。

根据圆周角的定义可知，一个圆上的所有圆周角的度数之和等于360度。

而根据圆心角的定义可知，一个圆上的所有圆心角的度数之和也等于360度。

因此，我们可以得出圆周角和圆心角的度数是正比例关系。

2.圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。

因为圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数，所以圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。

3.圆心角是其所对应的圆弧的一半。

根据圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。

因此，圆心角是其所对应的圆弧的一半。

4.在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。

根据圆周角的定义可知，两个圆周角的度数相等当且仅当它们所对应的圆弧的长度相等。

而圆心角的度数是其所对应的圆弧的一半，因此，在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。

5.在同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。

由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。

这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。

三、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角之间有以下的关系：1.在同一个圆上，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。

由圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。

因此，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。

2.在同一个圆上，圆周角相等的两个弧所对应的圆心角不一定相等。

由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。

这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

中学数学《弧线与圆心角》教案设计第一章：引入弧线与圆心角的概念1.1 教学目标让学生了解弧线和圆心角的基本概念。

让学生理解弧线和圆心角之间的关系。

培养学生观察和描述几何图形的能力。

1.2 教学内容引入弧线的概念，解释弧线是圆上任意两点间的部分。

引入圆心角的概念，解释圆心角是由圆心所夹的两条弧线之间的角。

引导学生通过观察和描述来理解弧线和圆心角之间的关系。

1.3 教学活动通过展示实物或图片，引导学生观察和描述弧线和圆心角的特点。

利用几何模型或绘图工具，引导学生直观地理解弧线和圆心角之间的关系。

让学生进行实际操作，测量和记录不同弧线和圆心角的大小。

1.4 教学评估通过观察学生的实际操作和描述，评估学生对弧线和圆心角概念的理解程度。

通过学生的测验或作业，评估学生对弧线和圆心角之间关系的掌握程度。

第二章：弧线的长度与圆心角的大小2.1 教学目标让学生理解弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。

培养学生运用比例和计算方法求解弧线长度和圆心角大小的能力。

2.2 教学内容引入弧线的长度概念，解释弧线的长度是圆心角所对的圆周的一部分。

引导学生通过观察和实验，发现弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。

教授比例和计算方法，让学生能够求解弧线长度和圆心角大小。

2.3 教学活动通过实际操作和观察，引导学生发现弧线的长度与圆心角的大小之间的关系。

利用比例和计算方法，引导学生求解不同弧线长度和圆心角大小。

进行小组讨论和合作，让学生分享和交流解题方法和经验。

2.4 教学评估通过观察学生的实际操作和计算，评估学生对弧线长度和圆心角大小之间关系的理解程度。

通过学生的测验或作业，评估学生运用比例和计算方法求解弧线长度和圆心角大小的能力。

第三章：圆心角与所对弧线的关系3.1 教学目标让学生理解圆心角与所对弧线的关系。

培养学生运用几何性质和定理证明圆心角与所对弧线的关系的能力。

3.2 教学内容引入圆心角与所对弧线的关系，解释圆心角等于其所对弧线的两倍弧度。

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第1课时一、教学目标1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.3．体会分类、归纳等数学思想方法.二、教学重点及难点重点：圆周角的概念及圆周角定理．难点：圆周角定理的证明．三、教学用具多媒体课件，圆规.四、相关资源微课，思维导图.五、教学过程【情境导入】在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？师生活动：教师出示问题，学生思考，初步了解本节课所要研究的问题．设计意图：通过射门问题，让学生从生活中发现数学问题，激发他们的好奇心和求知欲，为引出圆周角的概念作准备．【探究新知】想一想 观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有另一个交点．归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．设计意图：提出问题引起学生思考，让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念．做一做 如图，∠ AOB =80°．（1）请你画出几个AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角∠ AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论．答：（1）能画出无数个，如下图所示．通过度量可以发现：∠ ADB ，∠ ACB ，∠ AEB 这几个圆周角相等．（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠ AOB 的一半．EC D证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交AB于点M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=12∠AOB=12×80°=40°．结论：这样的圆周角有许多个，只要在ACB上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．议一议在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下：已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C=12∠AOB．分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C．∴∠AOB=2∠C，即∠C=12∠AOB．情况（2）和情况（3）可以转化为情况（1）来证明，详细证明见PPT．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．设计意图：进一步将问题一般化，探索结论是否依然成立，向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．想一想在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？师生活动：教师出示问题，学生独立完成．答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（AC）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于AC所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．结论：推论同弧或等弧所对的圆周角相等．设计意图：利用圆周角定理解决本节课开始提出的问题并得出圆周角定理的推论，提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力．【典例精析】例 如图，⊙O 的直径AB =8 cm ，∠CBD =30°，求弦DC 的长．师生活动：教师出示例题，学生独立完成，教师给出规范解题步骤．解：如图，连接OC ，OD ，则OC =OD =4 cm ，∠COD =2∠CBD =60°．故△COD 是等边三角形．所以CD =4 cm ．设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．【课堂练习】1．如图，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD =60°，则∠CAD 的度数为（ ）．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，点P 在劣弧CD上，是不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）．A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3．如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是优弧AB 上一点，D ，E 是AB 上不同的两点（不与A ，B 两点重合），则∠D +∠E 的度数为（ ）．A ．mB ．180°-2mC ．90°+2mD ．2m4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．5．如图，在⊙O中，∠O=50°，∠A= ．6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．D．2．A．3．B．4．70°．5．25°．6．答：∠BDC=∠BAC；还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．7．解：∵∠C=100°，∴BAD所对的圆心角=2∠C=200°．∴∠BOD=360°-200°=160°．又∵∠A=12∠BOD，∴∠A=12×160°=80°．设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．六、课堂小结1．圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．3．圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计3.4圆周角和圆心角的关系（1）1．圆周角2．圆周角定理3．圆周角定理的推论。