07-08-1复变函数考试题B

2010-2011第一学期数学与应用数学专业08级复变函数参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共50分）1、设a 、b 是实数，函数i y bx axy z f )()(22++=在复平面解析，分别求a 、b 之值，并求)(z f '. 解：)(z f 是复平面上的解析函数，则22),(,),(y bx y x v axy y x u +==在平面上满足C —R 方程，即： x y y x v u v u -==, …………………………2分故 bx ax yay 22-== 对y x ,∀ 成立， 1,2-==⇒b a …………………………3分222)(2)(iz i x y xy z f =-+=iz y i x i z x i y v i u z f x x 2)()2(2)(-=+=-+=+=' …………5分2、求i i 2)1(+，并指出其主值. 解：)))1(2(ln 2exp())1(2exp()1(2i iArg i i Ln i i i ++=+⋅=+ …………2分exp(2(2)))4exp((4)(ln 2))2i i k n i ππππ=+=-++ ))2sin(ln )2(cos(ln 42i en +=+-ππ；其中Z n ∈； …………4分 其主值为))2sin(ln )2(cos(ln 2i e +-π. …………5分3、计算积分C zdz ⎰，其中C 是从原点到1+3i 的直线段。

解：参数方程 103≤≤⎩⎨⎧==t t y t x …………2分C zdz ⎰510)31)(3(1010==+-=⎰⎰tdt dt i ti t …………5分4、计算⎰-++C dz z z )3211(，其中4||:=z C ，方向为正向. 解：由Cauchy 积分公式， …………2分原式=i i i z dz z dz z z πππ622123214||4||=⋅+⋅=-++⎰⎰==. …………5分5、计算⎰+Cz dz z e 55，其中1||:=z C ,方向为正向。

中南民族大学试卷标准答案及评分标准试卷名称 复变函数与积分变换（07－08第一学期）（ B 卷共 5 页）一．填空题（每小题2分，共10分）1. 方程5320z +=在复数范围内的全部解为 2(21)5,0,1,2,3,4k iek π+=．2.111()212z dz z z =+=++⎰i π．3. 幂级数(1)n nn i z∞=-∑的收敛半径为1．4、. 2Re [,0]z e s z= 1 ．5、. ()j t f t e -=的付里叶变换为()F ω= 2(1)πδω+二．判断题（每小题2分，共10分，正确打√，错误打⨯．）6. arg(1)4i π-=-． ( )7. 131(3)(3)3Ln i Ln i +=+． ( )8.121zz edz z π==-⎰． ( )9. 设级数(1)nnn cz ∞=+∑当2z =-时收敛，则级数在2z i =时也一定收敛． ( ) 10. 0z =为函数1ze z-的一阶极点． ( )答：6．√ 7．× 8．√ 9．× 10. ×.三．求解下列各题（每小题６分，共18分）：11、将3sin3cos55z i ππ=+写成三角形式解：33,arg 10z z π==， ------------------------------ 3分故333(cossin)1010z i ππ=+．------------------------------ 6分12、函数 22()f z y x i =- 在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)f i '+ 解：设2u y =，2v x =-则0,2,2,0x y x yu u y v x v ''''===-=．--------------------------2分在复平面上都连续，由C —R 方程有：y x =．故()f z 仅在直线y x =上可导，在复平面上处处不解析．--------- 4分且 (1)2f i i '+=-．----------------------------- 6分13．已知 223v x y y =-++，求解析函数iv u z f +=)(．解：∵2,23x yv x v y ''=-=+,由于()z f 解析 ∴有()23,(23)23x yu v y u y dx xy x y ψ''==+=+=++⎰ ---------- 2分 又2y x u v x ''=-= ，而()2yu x y ψ''=+ ，所以()0y ψ'=． ---------- 4分 则()y C ψ= ，从而23u xy x C =++，C 为任意实常数，()zf ()22233xy x c i x y y =+++-++． ---------------------------- 6分四．计算下列积分（每小题7分，共28分）：14、21(3)CI dz z =+⎰，其中C 为圆周：31z +=的左半部分从3z i =-+到3z i =--的一段半圆弧．解：由于21()(3)f z z =+ 在包含半圆周的某区域内解析，从而积分与路径无关，------------------------ 3分有3332311()|2(3)3i ii iI dz i z z -----+-+-===-++⎰．-------------------- 7分15． 2232zz eI dz z z==-⎰．解：()=z f 222zez z-在3z =内 有两个奇点0,2z z ==由复合闭路定理有：2232zz eI dz z z==-⎰＝2212zz edz z z=-⎰＋22212zz edz z z-=-⎰．（３分） ＝4(1)i e π-． -------------------- 7分16． 222(9)xI dx x +∞-∞=+⎰．解：令222()(9)zf z z =+，则()f z 在上半平面有一个奇点3z i =，且1R e [(),3]12s f z i i=． ------------------- 3分于是 6I π=． -------------------- 7分17． 4522z zI dz z ==+⎰．解：设45()2zf z z =+，则()f z 有5个奇点,1,2,3,4,5,k z k =都在曲线 C ：2z =的内部， ------------ 2分由留数定理，512R e [(),]k k I i s f z z π==∑＝2Re [(),]i s f z π-∞．------------ 4分211R e [(),]R e [(),0]1s f z s f zz∞=-=-，于是2I i π=．------- 7分五．求解下列各题（每小题7分，共14分）：18．将函数21()(1)f z z =-在1z i =-点展开成泰勒级数，并求收敛半径．解：由于1()()1f z z -'=-，而1111111()(1)z i z z i ii i==-+--+--------------- 2分＝11()(1)nn n z i ii ∞=-+-∑＝0()(1)n nn i i z i ∞=--+∑， ----------------------- 4分所以11()()(1)n n n f z i i n z i ∞-==---+∑． ----------------------- 5分且收敛半径为1R i ==． ----------------------- 7分19．将函数 21()9f z z =+ 在区域 63z i <+<+∞ 内展开成洛朗级数．解：1()(3)(3)f z z i z i =-+，当63z i <+<+∞时，111163363(1)3i z iz i iz iz i==-+-+-+ ----------------------- 2分＝16()33nn i z iz i∞=++∑＝11(6)(3)nn n i z i ∞+=+∑ ----------------------- 5分因此21()(6)(3)nn n f z i z i ∞+==+∑． ----------------------- 7分六．求下列函数在付里叶变换下的象函数)(ωF（每小题7分，共14分）：20． ,10;()0,.t t f t -≤≤⎧=⎨⎩其它解：01()()jt j tF f t edt tedt ωωω+∞---∞-==⎰⎰----------------------- 3分1111j tj tt tee dt t j j ωωωω---==+=--⎰----------------------- 5分21(1)j j j eeωωωω=+-. ----------------------- 7分21． 2()cos 2f t t =．解：1()(1cos 4)2f t t =+．由付里叶变换的线性性质有1()[()]2F ft ω==F F [[1]1[c o s 4]2t +F --------- 3分＝()[(4)(4)]2ππδωδωδω+++-． -------------------- 7分七．证明题（６分）：22、设0z 是解析函数()f z 的m 阶零点，证明()()00()0,0,1,,1;()0n m fz n m fz ==-≠ ．证：由于0z 是()f z 的m 阶零点，那么()f z 可表成0()()()mf z z z z ϕ=-． -------------------- 3分其中()z ϕ解析，且0()0z ϕ≠，展开成泰勒级数有12001020()()()()mm m f z c z z c z z c z z ++=-+-+-+，即泰勒级数中前ｍ项的系数都为０，由系数公式可知()()000()0,0,1,,1;()=!()0n m fz n m fz m z ϕ==-≠ 且．----------7分。

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。

2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。

第 1 页 共 3 页07-08B 浙江科技学院一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1． 设11iz i -=+，则它的幅角主值arg z 为 2． 设e z=1i +，则Im z 为 ；3． 设f (z )=zsinz ，则()f z '为 ；4． 不等式0|1|1z <-<所确定的区域为 ； 5． 设C 为正向圆周|z |=1，则d ccos zz z⎰为 ； 6． z=0是1sin z为 奇点（类型）； 7． 设幂级数11nn z n∞=∑，则它的收敛半径为 ； 8． 复积分11d |z|z |z |=⎰为 ； 9． 设函数1ze ，则它在奇点处的留数为 ；10．设函数()at f t e =(a 为复常数),则它的拉普拉斯变换为 .二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 当200620052004,z i zz z =++的值等于（ ）A iB -iC 1D -12. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处连续的充要条件是（ ）A. (,)u x y 在00(,)x y 处连续； B (,)v x y 在00(,)x y 处连续；专业班 学 姓 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………第 2 页 共 3 页C (,)u x y 和(,)v x y 分别在00(,)x y 处连续；D (,)u x y (,)v x y +在00(,)x y 处连续.3. 已知函数()(1)f z Ln z =-在各个分支的解析区域是（ ） A 实轴上半平面 ； B 虚轴的右半平面；C 除掉负实轴和原点的平面；D 除掉实轴上1和1的左边的的平面.4.设幂级数0n n n a z ∞=∑的收敛半径R >0，则它( )A. 在｜z ｜≤R 上收敛B. 在｜z ｜>2R上绝对收敛 C. 在｜z ｜<R 上绝对收敛D. 在｜z ｜≤R 上绝对收敛5. 0z =是2sin ()zf z z=的（ ） A 可去奇点 ； B 本性奇点； C 二阶极点； D 以上全不正确 .三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1． 计算积分czdz ⎰，其中C 是从点1到i 的直线段;2． 指出函数()cos sin x x f z e y ie y =+在整个复平面上的可导性与解析性;3. 计算积分212CI dz z z=+⎰ ，其中C 为正向圆周|z |=34. ;计算积分3||2e d (1)(3)zz z z z =--⎰ ;………………………………………………………………………………浙江科技学院考试试卷第 3 页 共 3 页5. 设C 为正向圆周|z |=R(R ≠2)，计算积分I=2(2)C z dz z -⎰ ；6. 求函数1(2)z z -在去心领域01z <<内的罗朗级数展开式；四、综合题（本大题共2小题,第1小题10分,第2小题7分,共17分） 1. 利用留数计算广义积分221dx(x )+∞-∞+⎰;2. 求矩形脉冲函数1,||,()(0)0,||t f t t ≤δ⎧=δ>⎨>δ⎩傅氏变换.专业班级 学号 姓名 ………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为.arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.i B z eπ=712.i C z π=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）1． 设()2,00,0z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f z 的连续点集合为（ ）。

（A ）单连通区域 （B ）多连通区域 （C ）开集非区域 （D ）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x iy =+可微的（ ）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ⎰（ ）。

()()()()()11444A B iC iD i πππ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么()()Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A iB iC Dππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

3．罗朗级数的()()11211133nnnn n n z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑收敛域为 。

第 2 页 共 4 页4． 映射1w z=，将圆域11z -<映射为 。

5．11cos z dz z ==⎰ 。

《复变函数》考试试卷(B)专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( )。

A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。

A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。

A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。

A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z（ ）。

A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分，计18分)1、设复数z=-i ,则z 的 三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +，则z ＝6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分，计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)（1）讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( B )。

2005级VB期末试题部分（2006 2007 — 2008 学年第二学期《复变函数》课程考试试卷A注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1．Ln i＝2．＝3．若函数2222()(2)f z x axy y i x xy y=+-+-++在复平面内处处解析，则a= ____4．幂级数(1)n nni z∞=+∑的收敛半径为______5．复变函数积分212(1)zdzz-=-⎰＝二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）1．点0z=为函数2sin zz的[ ]（A）可去奇点（B）本性奇点（C）一级极点（D）二级极点2．下列命题正确的是[ ](A) 如果()f z在z连续，那么()f z'存在；(B) 如果()f z'存在，那么()f z在z解析；.(C) 如果z是()f z的奇点，那么()f z在z不可导；(D) 如果()f z在区域D内解析且实部为常数，那么()f z在D内是常数.3．关于函数()f z z=的性质下列说法错误的是[ ]（A）()f z在整个复平面上都是连续的（B）()f z仅仅在原点可导（C）()f z在原点解析（D）()f z在整个复平面上都不解析4．下列说法正确的是[ ](A) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；(B) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内解析；(C) 幂级数(2)nnnc z∞=-∑在0z=收敛且在3z=发散；(D) 在z连续的函数一定可以在z的邻域内展开成泰勒级数.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教审题教…………………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………2005级VB 期末试题部分（20065． 设221()z f z d z ζζζ=+=-⎰， 则(3)f ＝[ ]（A ）0 （B ）2i π （C ）14i π （D ）6i π6． 级数0n n i n∞=∑是[ ](A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 无法判断三、试解下列各题（本题满分67分.）1．（本小题20分）计算下列积分:(1) 3()z C e dz z α-⎰ 其中1α≠， C 为正向圆周：1z =(2)2211Cz z dz z -+-⎰， 其中 C 为正向圆周：2=z(3) 22(1)zz e dz z z =-⎰ ，(4) 10sin z zdz ⎰2．（本小题12分）证明：32(,)3u x y y x y =-为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们组成的解析函数)(z f ，使0)0(=f .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教…………………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封2005级VB 期末试题部分（20063．（本小题8分）将函数)2)(1(1--z z 在021z <-<内展成Laurent 级数.4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数： （1） 212z z z+-（2）241ze z- （3） tan z π5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？（1） w z = （2） 2()f z x iy =- （3）()(cos sin )x f z e y i y =+三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教…………………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封2007 — 2008 学年第 二 学期 《复变函数》课程考试试卷A 参考答案一、填空题 (每小题3分)1．(2)()2k i k Z ππ+∈ 2．cos(2sin(2()k i k k Z ππ+∈3．2a = 4．25．0 二、选择题(每小题3分)1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B三、试解下列各题1．（本小题20分）计算下列积分:(1) 3()zC e dz z α-⎰ 其中1α≠， C 为正向圆周：1z = 解: 当1α>时，由Cauchy 积分定理得，原式＝0 …………2分 当1α<时，由Cauchy 积分公式得， 原式＝2()2!zz i e e i ααππ=''=…………5分 (2)2211Cz z dz z -+-⎰， 其中 C 为正向圆周：2=z解: 方法一: 由Cauchy 积分公式得，原式＝122(21)4z i z z i ππ==-+ ………………………………5分 方法二:22(21)1211C C z dz z z z dz z ⎡⎤++⎢⎥-⎣⎦-+=-⎰⎰0442(21)1C C dz i i z dz z ππ+=+==+-⎰⎰ (3) 22(1)zz e dz z z =-⎰ ， 解: 分别作两个互不相交互不包含的正向小圆周12,C C ,使1C 只包含奇点0,2C 只包含奇点1, 则122222(1)(1)(1)z z zC C z e e z ze dz dz dz zz z z =-=+--⎰⎰⎰012222(1)zzz z e e ii i z zπππ=='⎛⎫=+=⎪-⎝⎭…………5分 (4)10zsin zdz ⎰解: 函数zsin z 在复平面内解析, 积分与路径无关, 故101(cos sin )cos1sin1sin z z z z zdz =-+=-+⎰ (5)分2．（本小题12分）证明：32(,)3u x y y x y =-为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们组成的解析函数)(z f ，使0)0(=f .解：（1）因为 y x u xy xu6622-=∂∂-=∂∂ y yux y yu 6332222=∂∂-=∂∂ 所以 02222=∂∂+∂∂yux u ，即),(y x u 是调和函数。