压杆稳定-tzb
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第十三章 压杆稳定
h b
x z
所以矩形截面压杆在支承情况相同时， 首先在xz 平面内绕 y轴失稳弯曲。
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
两个重要结果
（2）屈曲位移函数
C1 sin kx,已知K
n , n
l
1
C1
sin
x
l
称为屈曲位移函数
它表示两端铰支压杆承受临界力时的弹性曲线为 一半波正弦曲线。亦称为失稳波型或失稳形式。
才可使用欧拉公式
第十三章 压杆稳定/四、不同类型压杆的临界力、临界力总图 4、临界应力总图：
（1） p 的大柔度杆
（细长杆属弹性范围内的
失稳问题其临界力由欧拉 公式确定
Fcr
2EI (l)2
或
Ccr
2E 2
第十三章 压杆稳定/四、不同类型压杆的临界力、临界力总图
4、临界应力总图：
（2）s p 的中柔度杆
若取l 100cm,则产生明显变形时，Fmax 50N
若取l 200cm,则产生明显变形时， Fmax 12.80N
1mm
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
如何判断压杆的稳定与不稳定? 平衡构形—压杆的两种平衡构形：
F<Fcr : 直线平衡构形 F>Fcr : 弯曲平衡构形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
左图桥下侧面观察，右图桥上看：长15.372米的 斜杆一根鼓出1.46米，另一根鼓出0.905米。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第九章 压杆稳定
Fcr cr A 4源自 45 103 2
301106 478MPa
Fcr 478 nst 11.5 [nst ] Fmax 41.6
所以满足稳定要求。
[例5] 某液压油缸活塞直径 D 65mm ，油压 p 1.2MPa 。活塞 P 220MPa， 杆长度 l 1250 mm ，材料为35钢， E 210 GPa ，
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=1
0.5l
[例2] 求下列细长压杆的临界力， 解：图(a) F
E 200GPa ,l 0.5m 。
F
10
50103 12 I min 10 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
AB杆满足稳定性要求
P 280MPa， [例4] 空气压缩机的活塞由35钢制成， s 350MPa ，
E 210 GPa 。长度 l 703mm，直径 d 45 mm ，最大压力
Fmax 41.6kN ，规定安全系数为 [nst ] 8 ~ 10 。试校核其稳定性。
9.3 9.8 9.14
2E 2 210 109 97 对所用材料35钢来说： 1 6 P 220 10
由于 1 ，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。
l
§9-5 提高压杆稳定性的措施
EI Fcr 2 ( l )
2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）
301106 478MPa
Fcr 478 nst 11.5 [nst ] Fmax 41.6
所以满足稳定要求。
[例5] 某液压油缸活塞直径 D 65mm ，油压 p 1.2MPa 。活塞 P 220MPa， 杆长度 l 1250 mm ，材料为35钢， E 210 GPa ，
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
μ=1
μ0.7
μ=0.5
μ=1
0.5l
[例2] 求下列细长压杆的临界力， 解：图(a) F
E 200GPa ,l 0.5m 。
F
10
50103 12 I min 10 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
AB杆满足稳定性要求
P 280MPa， [例4] 空气压缩机的活塞由35钢制成， s 350MPa ，
E 210 GPa 。长度 l 703mm，直径 d 45 mm ，最大压力
Fmax 41.6kN ，规定安全系数为 [nst ] 8 ~ 10 。试校核其稳定性。
9.3 9.8 9.14
2E 2 210 109 97 对所用材料35钢来说： 1 6 P 220 10
由于 1 ，所以前面用欧拉公式进行的试算是正确的。
l
§9-5 提高压杆稳定性的措施
EI Fcr 2 ( l )
2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）
压杆稳定
去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
第八章：压杆稳定
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
二、其他支座条件下细长压杆的临界应力 表8-1 压杆的长度系数
Fcr
2EI ( l)2
杆端约束 情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
挠 曲 线 形 状
长度系数
2.0
1.0
0.7
0.5
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-3 图示细长压杆，已知材料的弹性模量 E 210GPa，压杆
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-1 细长压杆为钢制空心圆管，外径和内径分别为 20mm 和 16mm，杆长 0.8m，钢材的弹性模量为 210GPa，
压杆两端铰支，试求压杆的临界载荷 Fcr。
解：压杆横截面的惯性矩为
I (D4 d 4 ) (0.024 0.0164 ) m4
64
64
4.63109 m4
(2)如果 F k l ，即 F k l ，则杆将继续偏斜，不能回复到原来的竖直平衡位
置，表明其原来的竖直平衡状态是不稳定的；
(3)如果 F k l ，即 F k l ，则杆不仅在竖直位置保持平衡，而且在偏斜状
态也能够保持平衡。
第一节：压杆稳定的概念
临界压力或临界力：当压力逐渐增加到某一极限值时，如果再作用 一个微小的侧向干扰力，使其产生微小的侧向变形，在除去干扰力 后，压杆将不再能够恢复其原来的直线平衡状态，这说明压杆原来 直线形状的平衡是不稳定的，上述压力的极限值称为临界压力或临 界力。一般用Fcr表示，它是判断压杆是否失稳的一个指标。
简明材料力学作业-压杆稳定
未来发展趋势
跨学科应用
01
压杆稳定分析将与计算机科学、人工智能等跨学科领域结合，
实现更加精准和高效的分析。
数值模拟与实验验证
02
压杆稳定分析将更多地采用数值模拟方法，并结合实验验证，
以提高分析的可靠性和精度。
智能化与自动化
03
压杆稳定分析将借助智能化和自动化技术，实现快速、自动的
分析和优化设计。
Part
实验结果分析
1. 根据实验数据，绘制出压杆的 载荷-位移曲线，分析曲线的变化 趋势。
4. 根据实验结果，总结出提高压 杆稳定性的方法与措施。
2. 比较不同直径和长度的压杆的 临界载荷，分析影响压杆稳定性 的因素。
3. 通过实验结果与理论计算结果 的比较，验证理论模型的正确性。
Part
04
压杆稳定的实际应用
5. 重复实验，对不同直径 和长度的压杆进行测试， 以获得更全面的数据。
2. 在压杆的末端逐个增加 砝码，观察压杆的变形情 况，记录下砝码质量和对 应的位移数据。
4. 继续增加砝码，直至压 杆发生失稳，记录下失稳 时的临界载荷。
3. 在实验过程中，注意观 察压杆的弯曲程度，判断 其是否出现失稳现象。
工程实例介绍
桥梁结构
桥梁的桥墩、桥拱等关键部位， 需要承受较大的压力和弯矩，压 杆稳定的分析对于确保桥梁安全
至关重要。
建筑结构
高层建筑的柱、梁等承重结构，需 要承受建筑物自重和风载等外部载 荷，压杆稳定的分析有助于提高建 筑的稳定性。
机械装备
机械设备中的轴、杆等部件，在受 到外力作用时，需要进行压杆稳定 分析，以确保设备的正常运行。
临界载荷分析
临界载荷分析是研究压杆在达到临界 状态时所承受的载荷，即屈曲载荷。
第十八章压杆稳定第一节压杆稳定的概念
=1 一端固定、一端自由 =2 两端固定 = 0.5 一端固定、一端铰支 ≈ 0.7 由此可知，杆端的约束愈强，则 µ 值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则 µ
两端铰支 值愈大，压杆的临界力愈低。 事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆， 如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较， 就可以用几何类比的 方法，求出它们的临界力。从挠曲线形状可以看出：长为 l 的一端固定、另端自由的压 杆，与长为 2l 的两端铰支压杆相当；长为 l 的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两
I min =
hb3 1 4 = b = 1.5 × 104 mm 4 12 6 π 2 EI Pc = = 29.6 × 103 N 2 ( µl )
上述计算表明，在横截面积相同时，空心圆形截面压杆的惯性矩较大，故临界力较高，从而 使压杆的稳定性提高。
第三节 压杆的临界应力 一、细长压杆的临界应力
编制：季维英
第二节 细长压杆临界力——欧拉公式
所谓理想压杆，是指轴线为直线的构件承受轴向压力；且杆件失稳时，其轴线变为偏离 直线不远的微弯曲线；另外，既不考虑微弯状态下杆内剪切变形的影响，也不考虑轴向变 形。 试验表明，临界载荷随构件两端的约束形势变化而变化，因此，下面介绍几种典 型的约束形式下压杆的临界载荷。
2）两端固定的压杆
π 2 EI Pcr = (o.5l ) 2
3）一端固定、一端铰支的压杆
Pcr ≈
π 2 EI (0.7l ) 2
综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为
Pcr =
π 2 EI (µ l ) 2
（18-2）
式中， µ l 称为相当长度。 µ 称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：
第七章 压杆稳定
P = st cr
∫
l
0
EI ( y") dx
l 2 0
2
∫ ( y' ) dx
=m in
∫
l
0
EI ( y")2 dx
l 0
( y' )2 dx ∫
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分 方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求 泛函的最小值。 实际计算时，不必要取出一切可能的y。 通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把 原来的大范围缩小到只包含一个参数 α 的挠度 函数集。
若取 n = 2,3,4L 则
k= 2π 3π 4π ⋅ ⋅ L l l l
3π Asin x l 4π Asin x l KK
2π y = Asin x l
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在 的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中 干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。 ∴实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意 义上的就是 n = 1时的 P 。 cr
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆 i 长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很 重要的参数。
.5.2
欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 EIy"= M(x) 出的，而它又用到 胡克定律 ∴ 欧拉公式只有在 σcr ≤ σ P 时才适用 即 设
λP = π
E
π 2E λ≥ σP
σP
欧拉公式适用于 λ ≥ λP
.1.2
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到 P ，杆中应力一般< P 。 cr cr ∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。∴细长压 杆也称为弹性压杆。
P D
f
P cr
∫
l
0
EI ( y") dx
l 2 0
2
∫ ( y' ) dx
=m in
∫
l
0
EI ( y")2 dx
l 0
( y' )2 dx ∫
这是一个泛函数驻值问题，与上节的平衡微分 方程的本征值问题完全等价。求精确解就要求 泛函的最小值。 实际计算时，不必要取出一切可能的y。 通常的作法是缩小范围求近似解。例如可以把 原来的大范围缩小到只包含一个参数 α 的挠度 函数集。
若取 n = 2,3,4L 则
k= 2π 3π 4π ⋅ ⋅ L l l l
3π Asin x l 4π Asin x l KK
2π y = Asin x l
若拐点处不存在夹持，这些只是理论上可能存在 的形状，只要稍有扰动，就立即消失。而实际中 干扰因素很多，不可避免，初曲率、力偏心等。 ∴实际中这些临界状态不存在。工程上有实际意 义上的就是 n = 1时的 P 。 cr
称为压杆的柔度或长细比。它反映了压杆 i 长度、支承条件、截面尺寸形状对的影响是很 重要的参数。
.5.2
欧拉公式适用范围
欧拉公式是由导 EIy"= M(x) 出的，而它又用到 胡克定律 ∴ 欧拉公式只有在 σcr ≤ σ P 时才适用 即 设
λP = π
E
π 2E λ≥ σP
σP
欧拉公式适用于 λ ≥ λP
.1.2
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲
细长压杆，当压力达到 P ，杆中应力一般< P 。 cr cr ∴ 细长压杆是在弹性范围内失稳的。∴细长压 杆也称为弹性压杆。
P D
f
P cr
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
第九章压杆稳定-文档资料88页
F= Fcr
l
x
F=Fcr
y
F=Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
12
M =Fcrw
E Iw MF crw
w Fcr w 0 EI
记
k 2 Fcr EI
wk2w0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
m l2
引入 惯性半径 i I A
材料力学
中南大学土木建筑学院
34
临界应力
s cr
p2Ei2
m l 2
记 m l 称为实际压杆的柔度（长细比）
i
柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、
截面尺寸和形状对临界应力的影响。
用临界应力表达的欧拉公式
s cr
p2E
2
相同面积条件下，临界应力
EI
x
Fcr FR
得： dd2xw2 k2wF ERI(lx)
w
x
l
解得： wAsinkxBcoskxFR(lx)
Fcr
y
材料力学
中南大学土木建筑学院
18
wAsinkxBcoskxFR(lx)
由杆端的边界条件：
x 0， w 0
Fcr B FR l 0
F cr
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
F
B k
刚 性 杆
l
F
F
F
B
FR
B
FR
B
FR
微
直
小继 续线偏偏平
转
转
衡
l
x
F=Fcr
y
F=Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
12
M =Fcrw
E Iw MF crw
w Fcr w 0 EI
记
k 2 Fcr EI
wk2w0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
m l2
引入 惯性半径 i I A
材料力学
中南大学土木建筑学院
34
临界应力
s cr
p2Ei2
m l 2
记 m l 称为实际压杆的柔度（长细比）
i
柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、
截面尺寸和形状对临界应力的影响。
用临界应力表达的欧拉公式
s cr
p2E
2
相同面积条件下，临界应力
EI
x
Fcr FR
得： dd2xw2 k2wF ERI(lx)
w
x
l
解得： wAsinkxBcoskxFR(lx)
Fcr
y
材料力学
中南大学土木建筑学院
18
wAsinkxBcoskxFR(lx)
由杆端的边界条件：
x 0， w 0
Fcr B FR l 0
F cr
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
F
B k
刚 性 杆
l
F
F
F
B
FR
B
FR
B
FR
微
直
小继 续线偏偏平
转
转
衡
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2 EI Fcr ( l ) 2
cr a b
55 目录
小 结
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则 3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力
4、掌握简单压杆的稳定计算方法
i I A
1 1.732 103 得 108 P 16
AB为大柔度杆
D4 d 4 4 64 D 2 d 2
2 EI Fcr 118kN 2 l
Fcr 118 n 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
11-4
28 目录
解： CD梁
M
C
0
F 2000 FN sin30 1500
得 FN 26.6kN l 1 AB杆 i 1.5 l 1.732m cos30
29 目录
FN 26.6kN l AB杆 1 i 1.5 l 1.732m cos30
y y
y y
y
13 目录
y
y y
y
14 目录
y y
15 目录
y
16 目录
y
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀）
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
17 目录
例题
解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
18 目录
其他约束条件下细长压杆的临界力
19 目录
第十一章 压杆稳定
主讲：汤忠斌
西工大
.
主要内容
基本概念 细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4
§11-5
§11-6
目录
稳定系数法
提高压杆稳定性的措施
2 —构件基本承载能力 近代工业发展，高强度材料钢材的应用， 结构大型化，构件承载能力的认识也在发展。 1879年，苏格兰横跨台斯克海湾的大桥破 坏，13个桥跨结构崩溃，一列火车下海。 1896年，瑞士的孟汉希太因坦铁路大桥因 桁架压弦杆件失稳，200多人遇难。 1907年，加拿大魁北克大桥。事故分析表 明，构件由于丧失稳定而引起整个结构破坏。
10
FCR——临界力
压杆承受载荷应该小于FCR 。 构件失稳时的应力水平很低，失效不是强 度不足，而是稳定性不够。 杆件失稳与载荷，长度，截面等因素有关。 其它构件也有稳定问题，例如薄壳，板。
11
§11-2
细长压杆的临界力
两端铰 支细长 压杆的 临界力
y y y
11-2
y y y
y
12 目录
y
压力等于临界力
8 目录
压力大于临界力
9 目录
稳定——物理界的普遍意义
F<FCR, 直线，加干扰变曲线，但是撤去干
扰可以恢复。构件平衡稳定。
F＝FCR, 直线，加干扰变曲线，撤去干扰不
能恢复直线。
压杆由直线平衡转变为曲线平衡，构件的
平衡不稳定。简称失稳，或者屈曲。
F >FCR,杆件轴线成为曲线，并且失稳破坏 。
Fcr
越大越稳定
•减小压杆长度 l
•减小长度系数μ（增强约束）
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
11-6
51 目录
•减小压杆长度 l
52 目录
•减小长度系数μ（增强约束）
53 目录
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
54 目录
•增大弹性模量 E（合理选择材料） 大柔度杆 中柔度杆
3
§11-1
基本概念
不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平 衡位置，但扰动撤销后小球回复到 平衡位置
4 目录
微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置
11-1
工程实例
5 目录
压杆的稳定性试验
6 目录
压杆的平衡
压力小于临界力
7 目录
压杆丧失直
线状态的平衡，
过渡到曲线状态 的平衡。 失稳
屈曲
y
31
x
x
解：1、求出大刚度平面柔度
bh3 Iz 8 105 m 4 12
iz Iz 5.77 10 2 m A
F
F
7m
z
y
z
z
1l
iz
121.3 P
2、求出小刚度平面柔度
x x
F
F
7m
z
b3h Iy 2.88105 m4 12 Iy iy 3.46 10 2 m A l y 2 101.2 P iy
s
(小柔度杆/短粗杆)
cr sb
24 目录
•压杆柔度
•临界柔度
l i
i
I A
2E P P
P 比例极限
s
•临界应力 2E P (大柔度杆) cr 2 欧拉公式
a s b
s 屈服极限
P s (中柔度杆) cr a b
30 目录
D2 d 2 16mm 4
图示连杆截面为120×200的矩形，材料为A3钢。连杆所受 最大轴向压力为50kN。连杆在xy平面内产生弯曲时，两端可 认为铰支；而在xz平面内产生弯曲时，两端可认为是固定端。 试确定其工作安全因数。λp =100，λs =61.4，
x
x
x
F
F
7m
z
y
z
3、临界压力
2 EI z Fcr 161.5 103 N 161.5kN 1l 2
y
z
4、安全因数
Fcr 161.5 nst 3.23 F 50
33
解：
§11-5
§11-6
提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
2 EI Fcr ( l ) 2
20 目录
B
21
D
22
§11-3
压杆的临界应力
微分方程的基础—虎克定律
惯性半径
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
细长杆
23 目录
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆/细长杆)
λS λ λ P (中柔度杆/中长杆)
欧拉公式
直线经验公式
cr a b b s
a s s b
s (小柔度杆) cr s
直线公式 强度问题
25 目录
临界应力总图
26 目录
B
l i
Fcr cr A
l
27 目录
§11-4
Fcr F [F ] nst nst ：稳定安全系数
工作安全系数
压杆的稳定校核
Fcr n nst F
cr n nst
5、了解提高压杆稳定性的主要措施
56 目录
第十一章作业 11—2、 5、 11、 12、
57
谢谢大家！
cr a b
55 目录
小 结
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则 3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力
4、掌握简单压杆的稳定计算方法
i I A
1 1.732 103 得 108 P 16
AB为大柔度杆
D4 d 4 4 64 D 2 d 2
2 EI Fcr 118kN 2 l
Fcr 118 n 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
11-4
28 目录
解： CD梁
M
C
0
F 2000 FN sin30 1500
得 FN 26.6kN l 1 AB杆 i 1.5 l 1.732m cos30
29 目录
FN 26.6kN l AB杆 1 i 1.5 l 1.732m cos30
y y
y y
y
13 目录
y
y y
y
14 目录
y y
15 目录
y
16 目录
y
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀）
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
17 目录
例题
解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
18 目录
其他约束条件下细长压杆的临界力
19 目录
第十一章 压杆稳定
主讲：汤忠斌
西工大
.
主要内容
基本概念 细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4
§11-5
§11-6
目录
稳定系数法
提高压杆稳定性的措施
2 —构件基本承载能力 近代工业发展，高强度材料钢材的应用， 结构大型化，构件承载能力的认识也在发展。 1879年，苏格兰横跨台斯克海湾的大桥破 坏，13个桥跨结构崩溃，一列火车下海。 1896年，瑞士的孟汉希太因坦铁路大桥因 桁架压弦杆件失稳，200多人遇难。 1907年，加拿大魁北克大桥。事故分析表 明，构件由于丧失稳定而引起整个结构破坏。
10
FCR——临界力
压杆承受载荷应该小于FCR 。 构件失稳时的应力水平很低，失效不是强 度不足，而是稳定性不够。 杆件失稳与载荷，长度，截面等因素有关。 其它构件也有稳定问题，例如薄壳，板。
11
§11-2
细长压杆的临界力
两端铰 支细长 压杆的 临界力
y y y
11-2
y y y
y
12 目录
y
压力等于临界力
8 目录
压力大于临界力
9 目录
稳定——物理界的普遍意义
F<FCR, 直线，加干扰变曲线，但是撤去干
扰可以恢复。构件平衡稳定。
F＝FCR, 直线，加干扰变曲线，撤去干扰不
能恢复直线。
压杆由直线平衡转变为曲线平衡，构件的
平衡不稳定。简称失稳，或者屈曲。
F >FCR,杆件轴线成为曲线，并且失稳破坏 。
Fcr
越大越稳定
•减小压杆长度 l
•减小长度系数μ（增强约束）
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
11-6
51 目录
•减小压杆长度 l
52 目录
•减小长度系数μ（增强约束）
53 目录
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
54 目录
•增大弹性模量 E（合理选择材料） 大柔度杆 中柔度杆
3
§11-1
基本概念
不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平 衡位置，但扰动撤销后小球回复到 平衡位置
4 目录
微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置
11-1
工程实例
5 目录
压杆的稳定性试验
6 目录
压杆的平衡
压力小于临界力
7 目录
压杆丧失直
线状态的平衡，
过渡到曲线状态 的平衡。 失稳
屈曲
y
31
x
x
解：1、求出大刚度平面柔度
bh3 Iz 8 105 m 4 12
iz Iz 5.77 10 2 m A
F
F
7m
z
y
z
z
1l
iz
121.3 P
2、求出小刚度平面柔度
x x
F
F
7m
z
b3h Iy 2.88105 m4 12 Iy iy 3.46 10 2 m A l y 2 101.2 P iy
s
(小柔度杆/短粗杆)
cr sb
24 目录
•压杆柔度
•临界柔度
l i
i
I A
2E P P
P 比例极限
s
•临界应力 2E P (大柔度杆) cr 2 欧拉公式
a s b
s 屈服极限
P s (中柔度杆) cr a b
30 目录
D2 d 2 16mm 4
图示连杆截面为120×200的矩形，材料为A3钢。连杆所受 最大轴向压力为50kN。连杆在xy平面内产生弯曲时，两端可 认为铰支；而在xz平面内产生弯曲时，两端可认为是固定端。 试确定其工作安全因数。λp =100，λs =61.4，
x
x
x
F
F
7m
z
y
z
3、临界压力
2 EI z Fcr 161.5 103 N 161.5kN 1l 2
y
z
4、安全因数
Fcr 161.5 nst 3.23 F 50
33
解：
§11-5
§11-6
提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
2 EI Fcr ( l ) 2
20 目录
B
21
D
22
§11-3
压杆的临界应力
微分方程的基础—虎克定律
惯性半径
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
细长杆
23 目录
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆/细长杆)
λS λ λ P (中柔度杆/中长杆)
欧拉公式
直线经验公式
cr a b b s
a s s b
s (小柔度杆) cr s
直线公式 强度问题
25 目录
临界应力总图
26 目录
B
l i
Fcr cr A
l
27 目录
§11-4
Fcr F [F ] nst nst ：稳定安全系数
工作安全系数
压杆的稳定校核
Fcr n nst F
cr n nst
5、了解提高压杆稳定性的主要措施
56 目录
第十一章作业 11—2、 5、 11、 12、
57
谢谢大家！