第54讲-条件概率与事件的独立性、正态分布(讲义版)

第六节ꢀ条件概率与事件的独立性、正态分布内容索引【教材·知识梳理】1.条件概率与相互独立事件的概率事件A (1)条件概率：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=_________为在______发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(A)P(B)(2)相互独立事件：设A，B为两个事件，若P(AB)=_________，则称事件A与事件B相互独立.2.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，X～B(n，p)成功概率记作___________，并称p为_________.3.正态分布(x)=，x∈R.(1)正态曲线函数：φμ，σ(2)定义：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=(x)dx，μ，σ正态分布N(μ，σ2)则称随机变量X服从_________，记作X～__________.上方(3)特点：①曲线位于x轴_____，与x轴不相交；x=μ②曲线是单峰的，它关于直线_____对称；x=μ③曲线在_____处达到峰值_______；1④曲线与x轴之间的面积为__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；高瘦⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“_____”，表示总体的矮胖分散分布越集中；σ越大，曲线越“_____”，表示总体的分布越_____.(4)3σ原则68.3%①P( μ-σ<X≤μ+σ)=______；95.4%②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=______；99.7%③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=______.【常用结论】1.若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立.2.若A，A，…，A相互独立，则P(A A…A)=12n12nP(A)P(A)…P(A).12n3.对于正态分布N(μ，σ2)，由x=μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a)；(2)P(X<x)=1-P(X≥x)；00(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(ꢀꢀ)(2)对立事件与独立事件是相同的.(ꢀꢀ)(3)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P=(ꢀꢀ)(4)正态曲线落在区间(μ-3σ，μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(ꢀꢀ)(5)正态曲线与x轴之间的面积大小不确定.(ꢀꢀ)提示:(1)×.当且仅当两个事件相互独立时才有P(AB)=P(A)P(B)成立.(2)×.因为A,B是对立事件等价于而A,B是独立事件等价于P(AB)=P(A)P(B),对立事件一定不可能同时发生,独立事件可以同时发生. (3)×.恰好第3次通过,也就是第1,2次没有通过,第3次通过,所以所求概率为(4) √.因为P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 ,所以正态曲线落在区间(μ-3σ，μ+3σ)之外的部分对应事件的概率为1-0.997=0.003.(5)×.因为正态曲线与x轴之间的面积为1.【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2 3 4 5条件概率的计算出错考点一、T2考点一、T3独立事件判断或计算概率时出错不能识别n次独立重复试验的模型考点二、T1二项分布问题计算中公式出错正态曲线的性质应用错误考点二、T2考点三、角度1考点三、角度2，36正态曲线的实际问题应用出错【教材·基础自测】1.(选修2-3P50练习AT2改编)先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.因为所以2.(选修2-3P67习题2-4AT1改编)已知随机变量X服从正态分布N(1,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c=________.ꢀ【解析】依题意知:(2c-1)+(c+3)=2,解得c=0.答案:03.(选修2-3P52例2改编)小明准备参加电工资格考试,先后进行理论考试和操作考试两个环节,每个环节各有2次考试机会,在理论考试环节,若第一次考试通过,则直接进入操作考试;若第一次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后进入操作考试环节,第2次未通过则直接被淘汰.在操作考试环节,若第1次考试通过,则直接获得证书;若第1次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后获得证书,第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为,每次操作考试通过的概率为,并且每次考试相互独立,则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是(ꢀꢀ)【解析】选B.因为小明本次电工考试中共参加3次考试,所以理论环节考试第一次没有通过,第二次通过,操作环节第一次通过,或者理论环节第一次考试通过,操作环节第一次没有通过,第二次通过或不过,所以所求的概率为考点一ꢀ条件概率、事件的独立性【题组练透】1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为而实体店里的家用小电器的合格率约为现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为(ꢀꢀ)3.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为不合格小电器在实体店购买的概率为所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是2.选C.因为P(B)=,P(AB)=所以P(A|B)=3.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是P=P(A+·B+··A)=P(A)+P(·B)+P(··A) =P(A)+P()·P(B)+P()·P()·P(A)=所以乙投篮次数不超过1次的概率为【规律方法】1.条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数n(A),再求事件AB 所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=基本事件法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简缩样法2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二ꢀn次独立重复试验、二项分布ꢀ【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为A.0.33(ꢀꢀ)B.0.66C.0.5D.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式(1)联想到用公式2(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次试验模型【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)≈0.33.2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X～B故其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为≈0.02.【规律方法】1.熟记概率公式n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为p k(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.【变式训练】1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(ꢀꢀ)【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=×2.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=则P(η≥1)=________.【解析】P (ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-p0·(1-p)2=所以p=,P(η≥1) =1-P(η=0)=1-答案:3.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.【解析】随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B所以P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4).所以变量ξ的分布列为ξ01234P考点三正态分布考什么:(1)正态曲线的应用.(2)正态分布与统计的综合应用.怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现.命题精解读学霸巧用正态曲线的性质解题好方(1)正态曲线关于直线x=μ对称,用此性质可以进行灵活转化.法(2)正态曲线与x 轴之间的面积是1.【命题角度1】正态曲线的应用【典例】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=()A.0.447B.0.628C.0.954D.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg 属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A.997B.954C.819D.683【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023.所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.2.选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.【解后反思】如何利用正态曲线的性质解题?提示:充分利用正态曲线的对称性及正态曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).【命题角度2】3σ 原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C 为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为()A.4 985B.8 186C.9 970D.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个?世纪金榜导学号【解析】1.选B.由题意P(0<X<3)=P(0<X≤2)+P(2<X<3)=0.682 7+(0.954 5 -0.682 7)=0.818 6,所以落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×=8 186.2.因为X～N所以μ=4,σ=.所以不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5)=1-P(4-1<X≤4+1)=1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈1-0.997 3=0.002 7≈0.003,所以1 000×0.003=3个,即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.【命题角度3】正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备今年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在去年“双十一” 前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.(ⅰ)任取一人,求该人是目标客户的概率;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值时概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3,≈0.49.世纪金榜导学号【解析】(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)=0.682 7.。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。

条件概率与事件的独立性一、课堂目标1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．2．掌握独立事件的定义和性质．3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．二、知识讲解1. 条件概率知识精讲（1）定义一般地，当事件发生的概率大于时（即），则事件发生的条件下事件发生的概率，称为条件概率，记作.（2）计算公式一般地，设为两个随机事件，且，则：．（3）性质①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．②若事件A与B互斥，即与不可能同时发生，则．③可加性：如果和是两个互斥事件，则．（4）条件概率的求法①定义法，先求和，再求；②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得．注意：求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概率，再利用概率的可加性，得到最终结果．经典例题A. B.C.D.1.某地气象台预计，月日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则（）．巩固练习A.B.C.D.2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二个路口遇到红灯的概率为，在两个路口连续遇到红灯的概率是．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）．经典例题A. B.C.D.3.一个盒子内装有个红球，个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是（）．巩固练习A. B.C.D.4.某盒中装有只乒乓球，其中只新球，只旧球，不放回地依次摸出个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）．经典例题A. B.C.D.5.袋中装有形状和大小完全相同的个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（）．巩固练习A.B.C.D.6.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合，令事件，，则的值为（）．2.乘法公式知识精讲由条件概率的计算公式可知，这就是说，根据事件发生的概率，以及事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.经典例题7.甲袋中有个白球，个红球；乙袋中有个白球，个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是．巩固练习A.B.C.D.8.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（）．A.B.C.D.9.已知箱中有红球个，白球个，箱中有白球个，（、箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从箱中取出个球放入箱，将箱中的球充分搅匀后，再从箱中随意取出个球放入箱，则红球从箱移到箱，再从箱返回箱中的概率等于（）．3. 事件的独立性知识精讲（1）定义当时，与独立的充要条件是这时，我们称事件、相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．（2）独立事件的性质对于两个独立事件和，有如下两个性质：①与，与，与也相互独立；②．经典例题A. B.C.D.10.袋中有大小形状都相同的个黑球和个白球．如果不放回地依次取次球，每次取出个，那么在第次取到的是黑球的条件下，第次取到白球的概率为（）．巩固练习A. B.C.D.11.已知件次品和件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）．经典例题12.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，，则此密码能被译出的概率为．巩固练习13.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．4. 互斥事件与独立事件知识精讲互斥事件与独立事件的区别：“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．知识点睛已知两个事件，它们的概率分别为.将中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系见下表.概率互斥相互独立1经典例题A.不相互独立事件B.相互独立事件C.互斥事件D.对立事件14.一袋中装有只白球，只黄球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则事件与是（ ）．巩固练习A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥15.掷一颗骰子一次，设事件：“掷出奇数点”，事件：“掷出点或点”，则事件，的关系（ ）．经典例题A.B.C.D.16.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过概率是（ ）．（1）（2）17.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：三科成绩均未获得第一名的概率是多少？恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？巩固练习18.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．A.B. C.D.A.B.C.D.19.社区开展“建军周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）．5. 全概率公式知识精讲（1）公式公式的推导：一般地，如果样本空间为，而为事件，则与是互斥的，且,所以,当且时，由乘法公式得：,所以，．（2）全概率公式的一般结论前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即与）后得到的.如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事均互斥，即；②；③.则对中的任意事件，都有，且.上述公式也称为全概率公式.经典例题20.某射击小组共有名射手，其中一级射手人， 二级射手人， 三级射手人， 四级射手人． 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、、． 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．巩固练习（1）（2）21.某仓库有同样规格的产品箱，其中箱、箱、箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，求：取得一件产品是次品的概率．若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．6. 贝叶斯公式知识精讲（1）贝叶斯公式一般地，当且时，有.这称为贝叶斯公式.（2）贝叶斯公式的推广同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意概率非零事件，有.上述公式也称为贝叶斯公式.经典例题22.甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为，乙厂商品的合格率为．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ．巩固练习23.某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错误的已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A.B.C.D.24.下面结论正确的是（ ）．若，则事件与是互为对立事件若，则事件与是相互独立事件若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件25.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．26.已知件产品中有件次品，现逐一不放回的检验，直到件次品都能被确认为止，则检验次数为的概率为 ．27.甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是 ．。

条件概率与事件的独立性概率论中的条件概率和事件的独立性是两个基本概念，它们在统计学、机器学习等领域中具有重要的应用。

条件概率用于描述在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率；而事件的独立性则描述了两个或多个事件之间的相互独立性。

在本文中，我们将深入探讨条件概率与事件的独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下发生的概率"。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的概念在实际问题中广泛应用。

例如，假设一批产品中有10%的次品，现在从这批产品中随机抽取一件，已知这件产品是次品，求其实际上是某个特定厂家生产的概率。

这个问题就可以利用条件概率来求解，假设事件A表示该产品是某个特定厂家生产的事件，事件B表示这件产品是次品的事件，那么我们需要求解的就是P(A|B)。

二、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生与否不会改变其他事件发生的概率。

具体地，对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则称事件A和事件B是相互独立的：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

事件的独立性在概率论中具有重要的应用。

例如，假设有两个骰子，求它们同时投掷时出现两个特定数字的概率。

我们可以将出现某个特定数字的事件定义为事件A和事件B，利用事件的独立性可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B)。

三、条件概率与事件的独立性的关系条件概率与事件的独立性之间存在着紧密的联系。

如果事件A和事件B相互独立，那么有以下关系成立：P(A|B) = P(A)这表示在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率与事件B无关。

第54讲条件概率与事件的独立性、正态分布一、考情分析1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；4.会用频率估计概率.二、知识梳理1.条件概率及其性质2.(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.(2)概率公式3.(1)完备事件组：设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，A n是样本空间的一个划分，满足：①A1∪A2∪…∪A n＝Ω.②A1，A2，…，A n两两互不相容，则称事件A1，A2，…，A n组成样本空间Ω的一个完备事件组.(2)全概率公式设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪ni ＝1A i＝S ，则对任一事件B ，有P (B )＝ i ＝1nP (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n ). (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k qn －k ，其中k ＝0，1，2，…，n .于是X 的分布列：X ～B (n ，p ). 5.正态分布(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f (x )＝12π·σe －（x －μ）22σ2，x ∈R (其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞). (2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682__6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954__4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997__4.[微点提醒]1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). 2.若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.三、 经典例题考点一 条件概率与事件独立性【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12解析 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝P (B )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14. 答案 B(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. ①求至少有一种新产品研发成功的概率；②若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立. ①记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.②设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (EF －)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25. 故所求的分布列为规律方法 1.求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )，这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.考点二 全概率公式【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解 设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1，2，3. B 1∪B 2∪B 3＝S ，由全概率公式得P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3). P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2， P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01，P (A |B 3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.规律方法全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，B n看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中.(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组.(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.考点三独立重复试验与二项分布【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.解(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.P(X＝0)＝C228C240＝63130，P(X＝1)＝C112C128C240＝2865，P(X＝2)＝C212C240＝11130，∴X的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310，P (Y ＝k )＝C k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－3102－k⎝ ⎛⎭⎪⎫310k， 所以P (Y ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100， P (Y ＝1)＝C 12·310·710＝2150， P (Y ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＝9100. ∴Y 的分布列为规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率. 考点四 正态分布【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<4)＝( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)设X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，μ＝2，得对称轴为x ＝2，P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝0.6. (2)∵X ～N (1，1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，∴P (0<X <2)＝68.26%，则P (1<X <2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.34 13＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587. 答案 (1)A (2)D规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )；②P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ).[方法技巧]1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法. 2.全概率公式的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算P (B )不易，但B 总是伴随着某个A i 出现，适当地去构造这一组A i 往往可以简化计算.3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k qn －k.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p . 四、 课时作业1．（2020·湖南高三其他（理））已知随机变量()21,X N σ，且，则()53221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．680 B ．640C ．180D ．40【答案】A 【详解】因为随机变量()21,XN σ，，所以2a =，代入可得()532212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 故()532212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中包含4x 的项为：()()()23323220323444535322240640680Cx C C x C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，系数为680， 2．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 3．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8【答案】D【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=， 所以，4．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.5．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布()2453,99N ，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）(附：()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)A ．36014B ．72027C ．108041D ．168222【答案】B 【解析】()2453,99ZN ，453,99μσ∴==，()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=，()()()2556513545525526512P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=，这些考生成绩落在的人数约为.6．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））在某市高二期末质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N ，已知参加本次考试的学生有人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该市的排名大约是（ ）（参考数据：若()2~,X N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<≤+=，()220.9544P X μδμδ-<≤+=）A ．1500B ．2180C ．2800D ．6230【答案】A【解析】考试的成绩X 服从正态分布(98,100)N98,10μσ==，，10.6826(108)2P ξ-∴≥=0.1587= 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.7．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【解析】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，.8．（2020·江西景德镇一中高三月考（理））理查德·赫恩斯坦（Richard J .Herrn stein ），美国比较心理学家和默瑞（Charles Murray ）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布.假设犹太人的智力X 服从正态分布2120),5(N ，从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为(附：若随机变量ζ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P x μσμσ-<<+=，(22)0.9544P x μσμσ-<<+=（ ）A ．B ．4.56%C ．15.87%D ．5.65%【答案】A【解析】解：根据正态分布的对称性与3σ原则得：()()()12210.954413020.022822P x P x P x μσμσμσ--<<+->=>+===.所以从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为.9．（2020·江西上高二中高二期末（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B【解析】由题意10．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）设随机变量(),7XN μ，若()()24P X P X <=>，则（ ）A ．3μ=，()7=D XB ．6μ=，()=D XC ．3μ=，()=D X D ．6μ=，()7=D X【答案】A【解析】因为随机变量(),7XN μ，且()()24P X P X <=>，所以由对称性知2432μ+==， 由正态分布(),7XN μ知方差()7=D X .11．（2020·湖南师大附中高三月考（理））某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布()290,XN a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ） A ．960 B ．480C ．240D ．120【答案】C【解析】由已知3(70110)5P X ≤≤=，∴， 所求人数为112002405⨯=． 12．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末（理））设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则（ ）A ．B ．1p -C ．12p -D ．12p - 【答案】D【解析】随机变量ξ服从正态分布()0,1N 正态曲线关于0ξ=对称(1)P p ξ>= 1(10)2P p ξ-<<=- 13．（2020·江西南昌二中高三其他（理））已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(90,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( ) 附:若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．8185件B ．6826件C ．4772件D ．2718件【答案】A【解析】依题意，产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64），得90,8μσ==，0.95440.6826(82106)0.95440.81852P X -∴<<=-=，质量在区间(82,106)内的产品估计有件.14．（2020·高邮市第一中学高三月考）若随机变量2~(,)(0)X N μσσ>，则有如下结论：()0.6856P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤，X ～N （120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间人数约为（ ） A ．7 B ．5 C ．10 D ．12【答案】B 【解析】~(120,100)X N ，(110130)0.6826P X ∴<=，(100140)0.9544P X <=，1(130140)(0.95440.6826)0.13592P X ∴<<=-=，130∴分~140分之间的人数约为400.13595⨯≈．15．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量X 服从正态分布，且，则()4P X >=（ ） A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】∵随机变量X 服从正态分布， ∴正态曲线的对称轴是2x =， ∵， ∴.16．（2020·黑山县黑山中学月考（理））下列说法中正确的是（ ） A ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1 B ．若正态分布()2~,X N μσ，则C ．把某中学的高三年级560名学生编号：1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为a ，然后抽取编号为10a +，20a +，30a +，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样D ．若一组数据0，a ，3，4的平均数是2，则该组数据的方差是52【答案】D【解析】对于A ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故A 错误；对于B ，由正态分布()2~,X N μσ，则正态分布密度曲线关于x μ=对称，即，故B 错误；对于C ，1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为a ，然后等间距抽取编号为10a +，20a +，30a +，…的学生，属于系统抽样， 故C 错误；对于D ，一组数据0，a ，3，4的平均数是2，即，解得1a =， 所以方差为，故D 正确.17．（多选题）（2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）下列判断正确的是（ ） A ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；B ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则；C ．若随机变量ξ服从二项分布：，则()1E ξ=；D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】BCD【解析】对于A. 直线l ⊥平面α，直线//m 平面β， 若//αβ，则l β⊥，由直线//m 平面β，所以l m ⊥. 若l m ⊥，不能推出//αβ，可能相交.所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故A 不正确.对于B. 随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，其图象的对称轴为，()40.79P ξ≤=所以()410.790.21P ξ≥=-=，则，故B 正确. 对于C. 由二项分布的期望公式可得()1414E ξ=⨯=，故C 正确. 对于D. 若22am bm >，则 a b >是真命题; 若a b >，则22am bm >是假命题.所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，故D 正确.18．（多选题）（2020·福建厦门双十中学高二期中）已知三个正态分布密度函数22()2()(,1,2,3)i i x i x x R i μσφ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．12σσ=B ．13μμ>C ．12μμ=D ．23σσ<【答案】AD【解析】根据正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， 所以μ1＜μ2＝μ3，BC 错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦长， 所以σ1＝σ2＜σ3，AD 正确．19．（多选题）（2020·重庆）下列命题中，正确的命题的是（ ） A ．已知随机变量服从二项分布，若()30E x =，()20D x =，则23p =； B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P P ξ-<≤=-； D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8x =时概率最大． 【答案】BCD【解析】对于选项A ：随机变量服从二项分布，()30E X =，()20D X =，可得，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，，，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率，所以当1k时，，由得，，即4415k ≤≤，因为，所以18k ≤≤且，即8k 时，概率最大，故选项D 正确．20．（多选题）（2020·山东寿光现代中学高二期中）甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布、，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．乙类水果的平均质量20.8kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99=σ【答案】AB【解析】因为由图像可知，甲图像关于直线0.4x =对称，乙图像关于直线0.8x =对称， 所以10.4μ=，20.8μ=，故A 正确，C 错误， 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确，因为乙图像的最大值为1.991.99，所以2 1.99σ≠，故D 错误，21．（2020·河北高三月考）2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2263，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数x ，并已求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为级，请利用该正态分布模型解决下列问题：（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．【解析】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为 ．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ， 则，解得2263n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好． ④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25． ⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2263． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()1222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，级消毒液有81860瓶． （ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，5，，()P Z μσ=≥+()110.68272=-0.15865=， 由（ⅰ）知，所以，故Y 的分布列为所以每瓶消毒液的平均利润为（元），故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．22．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试）2018年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据：将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．（1）请根据上述表格中的数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额X （单位：万元）近似地服从正态分布(,190)N μ，其中μ近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”．①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于μ的每年给予两次贷款机会，投资额不低于μ的每年给予一次贷款机会．每次贷款金额ξ及对应的概率如下：求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．附：，其中13.8n a b c d =+++≈【详解】（1）填写22⨯列联表如下所示：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关． ①调查的200个乡镇的投资额频率分布表如下：则，因为200个乡镇的高科技企业投资额X 近似地服从正态分布(,190)N μ， 所以2190,13.8σσ=≈，所以259.227.631.6μσ-≈-=，因为甲乡锁的高科技企业投资额为35万元，大于31.6万元， 所以甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”．②由小问21-可知这200个乡镇的投资额的平均数为59.2万元，甲乡镇的投资额为35万元，低于59.2万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，所得贷款总金额Y 的取值可以是800，1000，1200，1400，1600，(800)0.20.20.04P Y ==⨯=， (1000)20.20.50.2P Y ==⨯⨯=，，(1400)20.30.50.3P Y ==⨯⨯=， (1600)0.30.30.09P Y ==⨯=，贷款总金额Y 的分布列为（元）．23．（2020·广东广州·高三月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，(]1.7,1.8这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m ，n ，t 的值； （2）若从这批零件中随机选取3个，记X 为抽取的零件长度在的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足且，则称变量S 满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度Y （单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？【详解】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件， 则这批零件的长度大于1.60分米的频率为180.15120=， 记Y 为零件的长度，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120P Y P Y ≤≤=<≤==， ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120P Y P Y <≤=<≤==， ()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352P Y P Y <≤=<≤=⨯-⨯-⨯=，故0.0250.250.1m ==，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==. （2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在的概率20.350.7P =⨯=. 且随机变量X 服从二项分布()3,0.7XB ，则()()330010.70.027P X C ==-=⨯，()()213110.70.70.189P X C ==⨯-⨯=，，故随机变量X 的分布列为（或30.7 2.1EX =⨯=）. （3）由题意可知，0.1σ=，则()()1.4 1.60.7P Y P Y μσμσ-<≤+=<≤=； ， 因为，，所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布. 应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.。