上海数学教材练习册高一第二学期习题精选

（数学2必修）第一章 空间几何体 一、选择题1．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:92．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A. 23 B. 76C. 45D. 563．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:14．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:95．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm πB. 215cm π，212cmπC. 224cm π，236cm πD. 以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。

2.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。

三、解答题1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱， 求圆柱的表面积65P ABCVEDF2．如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组] 一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 单元综合练习一．填空题1. 函数y A ，21lg3x y x-=-的定义域为B ，则A B ⋂=__________. 2. 函数()2xf x x=+，则()12f -=__________. 3. 方程223310x x ++=的解是______________. 4. 函数1122log log y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是___________.5. 方程()2lg 2lg x x -=的解是_____________.6. 函数()1226g 7o 1l y x x -+=的值域是_______________.二．选择题7. 等式22log 2x =成立是等式2log 1x =成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8. 函数()101,x y a a a +>≠=的反函数一定经过点（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,1-9. 函数()2lg 1y x =-的单调递减区间是（ ）A ．()0,+∞B ．()0,1C ．()1,0-D ．(),0-∞10. 若函数()f x 的图像经过点()0,1，则()4f x -的图像经过点（ ）A ．()4,1B ．()4,1-C ．()4,1-D ．()4,1--三．解答题11. 已知222322x x +-=，求()2lg 1x +的值.12. 已知函数2x xe e y --=，求它的反函数，并判断反函数的奇偶性.13. 已知()()32log 19x f x x =+≤≤，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最值及相应的x 的值.14. 已知函数()()2110,2x x f x k k k =+-≠∈R . （1） 讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2） 已知()f x 在(],0-∞上单调递减，求实数k 的取值范围.第5章诱导公式练习题一、选择题1．sin 11π6的值是（） A.21B.－21C.23D.－232．已知的值为()A. B. C. D.3．已知tan,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且3π＜＜,则cos+sin =()A. B. C. - D. -4．已知tan=2,,则3sin2-cos sin+1=()A.3B.-3C.4D.-45．在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定6．若1sin()33πα-=，则5cos()6πα-的值为（）A．13B.13- C.223D.223-7．已知3cos()sin()22()cos()tan()fππ+α-αα=-π-απ-α，则25()3f-π的值为（）A ．12 B ．－12CD ．8．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．13 9．若76πα=，则计算21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-⋅+--所得的结果为（ ） A. 34-B. 14-C. 0D. 5410．已知sin()0,cos()0θπθπ+<->，则θ是第（ ）象限角. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 11．已知sinx=2cosx,则sin 2x+1=( ) (A)65(B)95(C)43(D)5312．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则（ ） A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 二、填空题13．已知.角α(0)πα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos()2πα+的值是___． 14．化简：___________)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(=---+--+-πααπαπαπαπαπ 15．已知32cos =a ，且02<<-a π，求)tan()cos()2sin()tan(a a a a +-+--πππ的值。

6.3.1正弦定理（作业）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，2a =，1c =，则C 的取值范围是（ ）.A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，5a =，45B =，105C =，则b 等于（ ）A ．2B ．10C ．D ．3．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，80a =，100b =，30A ︒=，则B 的解的个数是（ ） A ．无解B ．两个解C ．一个解D ．不确定4．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若2C B =，则b 等于（ ）A ．2sin cBB ．2cos cBC ．2sin cCD ．2cos cC5．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，用三个角A ，B ，C 或三条边长a ，b ，c 及外接圆半径R 表示三角形的面积S ，下列式子中正确的是（ ） ①4abcS R =；②22sin sin sin =S R A B C ；③sin sin =S aR B C ；④1sin sin sin 2S A B C =. A ．①②B ．①②③C ．①④D ．②③6．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，45,60,1︒︒===B C c ，则最小边长等于（ ）.A B C ．12D 7．（2020·上海高一课时练习）已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ） A ．20,28,40︒===a b A B ．18,20,150︒===a b A C ．20,34,70︒===b c BD ．60,50,45︒===b c B8．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，3,30︒===a c A ，则ABCS=_________.9．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,10︒===A a b ，则B =________. 10．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若3,10,30︒===a b C ，则ABCS=__________.11．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若20a =，11b =，30B =，则sin A =_________. 12．（2020·上海高一课时练习）半径为1的圆内接三角形的面积为14，则三边之积abc =________.13．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若45,15,2︒︒===B C b ，则该三角形的最长边等于________.14．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,45,10︒︒===A B a ，则b =________. 15．（2020·上海高一课时练习）ABC 的三内角为A ，B ，C ，且方程2()0+++=Bx A C x B 有两个相等的实数根，若cos cos =a C c A ，则ABC 是________三角形. 16．（2020·上海高一课时练习）若ABC 的外接圆半径为12，则2sin sin b C B c+=_________. 17．（2020·上海高一课时练习）若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为_______18．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，满足条件4,45a b A ︒===的ABC 的个数是________.19．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,8,︒===A a b ，则ABC 的面积等于_________. 三、解答题20．（2020·安徽宣城市·高一期中）△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；21．（2020·广东深圳市·红岭中学高一月考）在ABC ∆中，已知4B π=，c =3C π=，求,,A a b 的值．22．（2020·贵港市覃塘区覃塘高级中学高一月考）（1）等比数列{}n a 中，210S =，315S =，求n S .（2）在ABC ∆中，已知030,2B c b ===，求ABC ∆的面积23．（2020·全国高一专题练习）在ABC ∆中，若cos b a C =，试判断ABC ∆的形状.24．（2019·四川眉山市·仁寿一中高一月考）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos a C A =.（1）求角A .（2）若a =2c =，求ABC 的面积.25．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c bc a b c-+=+-. （1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．26．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=． （1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．27．（2019·四川成都市·成都七中高一月考）已知△ABC 中,,33BAC AB π∠==,BD DC λ=,且ACD ∆. (1)若3λ=,求AC 的长；(2)当线段BC 的长度最小时,求λ的值.28．（2021·江苏省锡山高级中学高一期末）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持4PAQ π∠=不变，设BAP α∠=.（1）将APQ 的面积表示成α的函数，并写出定义域； （2）求APQ 面积的最小值.29．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sinsin()2A Ca b B C +=+. (1) 求B ；(2) 若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求ABC ∆面积的取值范围。

6.1.4同角三角函数基本关系（作业）一、单选题1．（2021·上海市行知中学高一期末）1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈ D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．（2020·上海市川沙中学高一期末）下列命题中，错误的命题是（ ） A ．若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则5cos 13α=； B ．α是ABC 的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则ABC 必为钝角三角形； C ．存在无数个α，满足sin cos 2αβ+=，且cos cos 0αβ⋅= D ．存在无数个α，满足sec 3α=且2sin 3α=4．（2020·上海高一课时练习）已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．435．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ）A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-二、填空题6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．7．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知tan 2x =,则22sin cos 3cos sin 1x xx x ++的值为________．8．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________． 9．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.10．（2020·上海高一课时练习）已知α在第三、第四象限内，23sin 4-=-m mα那么m 的取值范围是______．11．（2020·上海高一课时练习）若1tan 2θ=，则2sin2sin +=θθ________. 三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）化简：sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα.13．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件确定角θ的终边所在象限. （1）sin 0θ<且tan 0θ>；（2）cos cot 0θθ>.14．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知1sin cos 5αα+=，0απ<<. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan cot αα-的值.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.16．（2020·上海高一课时练习）求下列方程的解集：（1）1cos ,(0,2)42⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ；（2）3tan (0,)3⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ.17．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件，求角x ：（1）已知tan [0,2)=∈x x π；（2）已知sin x =，x是第三象限角．18．（2020·上海高一课时练习）已知2222sin cos cos 1sin +⋅=ααγβ，求证：222tan cot sin ⋅=αβγ．19．（2020·上海高一课时练习）若tan 2θ=，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos θθθθ-+；（2）23cos 2sin cos -θθθ．20．（2020·上海高一课时练习）已知1tan 2θ=-，求：（1）sin 3cos sin 2cos ++θθθθ；（2）222sin 3sin cos 5cos -+θθθθ.6.1.4同角三角函数基本关系（作业）一、单选题1．（2021·上海市行知中学高一期末）1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据1sin()2πθ+=，可求得θ的表达式，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为1sin()2πθ+=， 所以2,()6k k Z ππθπ+=+∈或52,()6k k Z ππθπ+=+∈， 所以，52,()6k k Z πθπ=-∈或2,()6k k Z πθπ=-∈， 所以1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的必要不充分条件. 故选：B2．（2020cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈ D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈【答案】C【分析】把方程化为tan x =.cos 0x x +=，可化为tan 3x =-， 解得,6=+∈x k k Z ππ，即方程的解集为{|,}6x x k k Z ππ=-∈.故答案为：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（2020·上海市川沙中学高一期末）下列命题中，错误的命题是（ ） A ．若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则5cos 13α=； B ．α是ABC 的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则ABC 必为钝角三角形； C ．存在无数个α，满足sin cos 2αβ+=，且cos cos 0αβ⋅= D ．存在无数个α，满足sec 3α=且2sin 3α=【答案】D【分析】根据三角函数定义计算即可判断A;根据同角三角函数关系即可判断B;根据三角函数有界性可判断C; 根据同角三角函数关系即可判断D. 【详解】若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则55cos 1313t t α===，A 正确； 245sin cos 12sin cos 2sin cos 0399αααααα+=∴+=∴=-<(0,)sin 0,cos 0απαα∈∴>∴<∴ABC 必为钝角三角形；B 正确；sin cos 2sin cos 1cos 0αβαβα+=∴==∴=，cos cos 0αβ∴⋅=，C 正确；22114sec 3cos cos sin 1399αααα=∴=∴+=+<，所以D 错误；故选：D【点睛】本题考查三角函数定义、同角三角函数关系、三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属基础题,4．（2020·上海高一课时练习）已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【分析】根据同角三角函数关系，进行求解即可.【详解】因为45sin α=，故35cos α==± 又因为α是第二象限的角，故3cos α5=-故43sin tan cos ααα==-.故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数关系的简单使用，属基础题. 5．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式. 二、填空题6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【答案】-【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin α∴==sin tan cos ααα==-故答案为：-7．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知tan 2x =,则22sin cos 3cos sin 1x xx x ++的值为________．【答案】16【分析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以2cos x 即可求出分式的值. 【详解】22222222222sin cos sin cos sin cos tan 1cos .4cos 2sin 3cos sin 13cos sin cos sin 42tan 6cos x xx x x x x x x x x x x x x x x x====+++++++ 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力. 8．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.9．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.【答案】{2,0,2}-【分析】分别讨论x 在第一象限，第二象限，第三象限，第四象限四种情况，计算得到答案. 【详解】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈，当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=；当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=；当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-；当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=；综上所述：值域为{2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力. 10．（2020·上海高一课时练习）已知α在第三、第四象限内，23sin 4-=-m mα那么m 的取值范围是______．【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】∵角α在第三、四象限内，∴()sin 10α∈-，，可得23104m m--<<-， ①当40m ->时，即4m <时，原不等式可化为4230m m -<-<， 解之得312m -<<；②当40m -<时，即4m >时，原不等式可化为4230m m ->->， 此不等式组的解集为空集，综上可得312m -<<，可 得m 的取值范围是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.11．（2020·上海高一课时练习）若1tan 2θ=，则2sin2sin +=θθ________. 【答案】1【分析】由二倍角公式结合商数关系和平方关系，即可得出答案.【详解】2222221122sin cos sin 2tan tan 24sin 2sin 11sin cos tan 114θθθθθθθθθθ⨯+⋅+++====+++ 故答案为：1【点睛】本题主要考查了商数关系，平方关系的应用，属于中档题.三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）化简：sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα.【答案】sin α【分析】利用同角三角函数的基本关系式借助切化弦，割化弦，对表达式化简即可.【详解】sin 1cos 1tan ,cot ,csc cos tan sin sin ααααααααα====， ∴sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα=sin (cos sin sin sin cos cos 1cos si sin )n αααααααααα+-++=()()21cos si si n n cos sin 1cos cos 1sin sin ααααααααα+-++ =()()2cos sin cos sin 1cos cos 1sin sin 1αααααααα-+++ =22sin sin sin cos cos ααααα+-=sin α. 【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系在化简中的应用，考查了利用商数关系式切化弦，割化弦，属于基础题.13．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件确定角θ的终边所在象限. （1）sin 0θ<且tan 0θ>； （2）cos cot 0θθ>.【答案】（1）第三象限；（2）第一象限或第二象限. 【分析】（1）根据三角函数符号规律确定象限； （2）先解不等式，再根据符号确定象限.【详解】（1）由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上， 由tan 0θ>可知θ的终边在第一象限或第三象限， 所以角θ的终边在第三象限.（2）由题意，得cos 0cot 0θθ>⎧⎨>⎩或cos 0cot 0θθ<⎧⎨<⎩，所以角θ的终边在第一象限或第二象限.【点睛】本题考查三角函数符号规律，考查基本分析判断能力，属基础题. 14．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知1sin cos 5αα+=，0απ<<. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan cot αα-的值. 【答案】（1）75；（2）712-. 【分析】（1）对已知条件两边同时平方结合22sin cos 1αα+=可得12sin cos 025αα=-<，结合0απ<<，可得2παπ<<，进而可得sin cos 0αα->，计算()2sin cos αα-即可求解；（2）将tan cot αα-化切为弦再通分，利用整体代入即可求解.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=可得()21sin cos 25αα+=， 即221sin cos 2sin cos 25αααα++=，解得12sin cos 025αα=-<， 因为0απ<<，所以2παπ<<，可得sin 0,cos 0αα><，sin cos 0αα->所以()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-=⎪⎝⎭， 所以7sin cos 5αα-=， （2）22sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos αααααααααα--=-=()()sin cos sin cos sin 1775cos 5121225αααααα+=-⨯=--=.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出sin cos αα，根据其符号判断α所在的象限，可判断sin cos αα-的符号.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 16．（2020·上海高一课时练习）求下列方程的解集：（1）1cos ,(0,2)42⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ； （2）3tan (0,)3⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ.【答案】（1）17,1212⎧⎫⎨⎬⎩⎭ππ；（2）56⎧⎫⎨⎬⎩⎭π 【分析】(1)根据(0,2)x π∈可得4x π+的范围，再根据1cos 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可. (2)根据(0,)x π∈可得3x π+的范围，再根据tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可. 【详解】(1)因为(0,2)x π∈，故9,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又1cos 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故43x ππ+=或543x ππ+=，解得12x π=或1712π. 故解集为17,1212⎧⎫⎨⎬⎩⎭ππ(2)因为(0,)x π∈，故4,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故736x ππ+=，解得56x π=.故解集为56⎧⎫⎨⎬⎩⎭π【点睛】本题主要考查了已知三角函数值求角的问题，需要注意角度的范围以及特殊的三角函数值，属于基础题.17．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件，求角x ：（1）已知tan [0,2)=∈x x π；（2）已知sin 2x =-，x是第三象限角． 【答案】（1）3π或43π；（2）52,4+∈k k Z ππ 【分析】（1）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果； （2）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果；【详解】（1）由tan x =,3x k k Z ππ=+∈，因为[0,2)x π∈，所以023k πππ≤+<，因此0k =或1，故3x π=或43π；（2）由sin 2x =-得24=-+x k ππ或52,4x k k Z ππ=+∈， 又x 是第三象限角，所以52,4x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求角，熟记特殊角所对应的三角函数值即可，属于基础题型.18．（2020·上海高一课时练习）已知2222sin cos cos 1sin +⋅=ααγβ，求证：222tan cot sin ⋅=αβγ． 【分析】利用同角间的三角函数关系，将已知等式分离出γ角的三角函数，再把,αβ角化弦为切，即可证明结论.【详解】22222222sin sin cos cos 1,cos cos 1sin sin αααγαγββ+⋅=∴⋅=-, 22221tan cos cos sin αγαβ=-,2222222221tan cos 1tan cos s o sin 1co in c s sin s 1ααααβαβγγ∴=-=--+=+ 22222221sin 1tan (1)tan tan cot sin sin βαααβββ-=--=-⋅=⋅, ∴等式成立.【点睛】本题考查条件等式的证明，熟练应用同角间的三角函数关系是解题的关键，属于中档题.19．（2020·上海高一课时练习）若tan 2θ=，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos θθθθ-+；（2）23cos 2sin cos -θθθ． 【答案】（1）13；（2）15-【分析】(1)利用商数关系，化弦为切，代入所给正切值即可； （2）巧用平方关系，转为二次齐次式，化弦为切，代入计算即可. 【详解】（1）∵tan 2α=∴tan sin cos sin c 1211tan 121os 3θθθθθθ--===++-+；（2）∵tan 2α=222223cos 2sin cos 32tan 3413cos 2sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθθ---∴-====-+++ 【点睛】本题主要考查了同角基本三角函数间的关系，弦化切的思想，考查了运算能力，属于中档题.20．（2020·上海高一课时练习）已知1tan 2θ=-，求：（1）sin 3cos sin 2cos ++θθθθ；（2）222sin 3sin cos 5cos -+θθθθ. 【答案】（1）53；（2）285. 【分析】（1）直接利用齐次式计算得到答案.（2）变换原式22222sin 3sin cos 5cos sin cos θθθθθθ-+=+，再利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）原式sin 3cos 13tan 35cos 2sin 2cos 1tan 232cos 2θθθθθθθθ+-++====++-+. （2）原式2222222sin 3sin cos 5cos 2sin 3sin cos 5cos 1sin cos -+-+==+θθθθθθθθθθ2213252tan 3tan 528421tan 1514θθθ⨯++-+===++.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.。

上海高一数学练习册答案一、选择题1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 若\( a \neq 0 \)且\( ax^2 + bx + c = 0 \)有一个根为1，则下列哪个选项是正确的？A. \( b = -a \)B. \( c = a \)C. \( a + b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：C3. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，那么\( \cos60^\circ \)的值是：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C.\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 答案：A二、填空题1. 若\( \tan 45^\circ = 1 \)，则\( \cot 45^\circ \)的值为______ 。

答案：12. 等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，第10项为______ 。

答案：32三、解答题1. 解不等式\( |x - 3| < 2 \)。

解：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以转化为\( -2 < x - 3 < 2 \)，进一步得到\( 1 < x < 5 \)。

2. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求导数\( f'(x) \)。

解：根据导数的定义，\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)。

四、证明题1. 证明：对于任意实数\( x \)，都有\( 1 + x + x^2 \geq 0 \)。

证明：首先，当\( x = 0 \)时，不等式显然成立。

当\( x \neq 0 \)时，考虑函数\( g(x) = 1 + x + x^2 \)，求导得到\( g'(x) = 1+ 2x \)。

第4章 幂函数、指数函数和对数函数（下）1. （本P12. 4)已知16log 3m =,试用m 表示9log 16.2. （本P14例1原题作为2009年高考文科题）函数31y x =+的反函数为____________.3. （册P2. 9)已知lg2a =,lg3b =. 求lg 5、2log 3、12log 25。

4. (册P3. 5）设5614a=，试用a 表示7log 56.5. （册P4. 2）函数21y x =+(0x <）的反函数为__________________.6. （册P4. 3）如果函数()y f x =的图像过点(0,1),那么函数1()2y f x -=+的反函数的图像过点（ )（A ）(3,0) (B ）(0,3) （C)(2,1) （D ）(1,2)7. （册P5. 4)如果函数y =y =那么原来的函数的定义域是_______________.8. （册P5。

5）求函数201,10x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩的反函数。

9. （册P5. 2）函数101x y =+的反函数为_________________. 10. （册P6. 1、3）判断并证明函数1()lg1xf x x-=+的奇偶性和单调性. 11. （册P7. 4)求函数215log (610)y x x =-+在区间[1,2]上的最值.12. (册P7。

1、2)解方程:(1)59462x xx +=⋅；（2）446(22)100x x x x --+-++=。

13. (册P8. 3）解方程：111122log (95)log (32)2x x ---=--。

14. （册P9。

2）方程21log (4)3xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的根的个数为_________.15. （册P9. 1）（1)若5log log 3a b a ⋅=,则b =________。

（2）若点(1,7)既在函数y =,求a 和b 。

第01讲 正弦、余弦、正切、余切(核心考点讲与练)1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ. （4）角α在“ 0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 (1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以 原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆．5.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p （x ，y ），就有sin y r α=；cos x r α=；tan yx α=；cot x yα=； 6.任意角的正弦、余弦、正切、余切（1）平方关系：22sin cos 1αα+=（2）商数关系：sin tan (cos 0)cos αααα=≠；cos cot (sin 0)sin αααα=≠； （3）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；注意：1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos 3sin 22=+αα，2tan 2cos2sinααα=. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.考点一：象限角与终边相同的角【例1】（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630【例2】（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________【例3】（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角． 【例4】（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 【例5】（2021春•静安区试题）★☆☆☆☆【例6】（2021宝山区校级试题）★★☆☆☆【巩固练习】1.（2021春•黄浦区校级试题）★☆☆☆☆2.（2021春•普陀区校级试题）★☆☆☆☆3．（2020浦东新区校级试题）★★☆☆☆4.在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120- （2）640 （3）95012'-考点二：弧度制【例1】.把角6730'化为弧度制．【例2】若两个角的和是1弧度，此两角的差是1，试求这两个角．【例3】指出下列各角所在的象限：（1）517π； （2）π623-．【例4】（教材练习）★☆☆☆☆【例5】（2019春•黄浦区校级试题）★☆☆☆☆【巩固练习】1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A ．2B ．C ．D ．2．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．cm C ．()cmD ． cm 3．与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

专题02三角函数一、填空题高三校考期中）函数的最小正周期为【答案】由题意可得：函数的最小正周期.故答案为：.高三同济大学第一附属中学校考期中）已知函数，则函数的【答案】因为，所以的最小正周期为.故答案为：.高三上海市回民中学校考期中）函数的定义域为【答案】【分析】定义域满足.【解析】的定义域满足，即.故答案为：.高一校考期中）是由解析式得的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，高一格致中学校考期中）函数的一个对称中心是（．．．．【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断令，解得，所以函数图象的对称中心是，令,得函数图像的一个对称中心是，高一闵行中学校考期中）函数的值域是【答案】【解析】，因为所以函数的值域为.故答案为：.若，则的取值范围是【答案】【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围由题意，，而，则，当时，解得或；当时，解得，综上：.故答案为：.高一上海市进才中学校考期中）函数的严格增区间是【答案】【分析】根据正切型函数的图象与性质，得到，即可求解由题意，函数，令，解得，即函数的递增区间为.故答案为：.高一上海市大同中学校考期中）函数（，）的，最小正周期是，初相是【答案】【分析】根据函数的性质求出，即得函数的解析式因为函数（，）的振幅是因为函数的最小正周期是，所以.，所以.所以函数的解析式为.故答案为高一华东政法大学附属中学校考期中）函数，的最小正周期为，则实数【答案】/0.5【分析】由周期公式求出的值由题可知，，∴.故答案为：.高一上海市青浦高级中学校考期中）已知函数是偶函数，则的取值是【答案】【分析】根据余弦函数的性质求得的值令，则，所以的值为.故答案为：.高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知函数的最，则正整数的取值是解：因为函数的最小正周期不小于所以（），得，所以正整数的取值为高一上海市进才中学校考期中）若函数的图像关于直线对称，则【分析】根据三角函数的对称性，得到，即可求出结果因为函数的图像关于直线对称，所以，即.故答案为：.高一校考期中）若函数的最小正周期是，则【答案】【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值由于，依题意可知.故答案为：高一校考期中）若函数的最大值为，则的值为【答案】【分析】由三角函数辅助角公式可得，由三角函数的有界性可得函数的最大值为，再结合已知条件运算即可得解解：因为，即函数的最大值为，由已知有，即，故答案为.高一校考期中）函数（其中）为奇函数，则【答案】/函数是奇函数，则，而，所以.故答案为：高三校考期中）若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则【答案】易知函数向右平移个单位后得函数，此时函数关于轴对称，则，又，所以时，.故答案为：.函数图像上一个最高点为，相邻的一个最低点为，则【答案】【分析】由题知，，即，从而利用周期公式求出.由三角函数的图象与性质可知，，则，又，所以，.故答案为：.高三上海市建平中学校考期中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为【答案】/令,，将不等式转化成关于的一元二次不等式，因为，所以，即，令，，有令，，要使不等式对于任意恒成立，只需满足，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，即，得或，有最小值，，得，所以实数的最大值为.故答案为：.高一校考期中）若、是函数两个不同的零点，则的最【答案】【解析】、是函数的零点满足，所以，由于所以的最小值为.故答案为：.的部分图像，【答案】【分析】由图象，首先得出的值，然后根据的值运用周期公式求出值，再将最高点的坐标代入函数式中求解的值即可得出表达式【解析】由图象可知，，，，，将，又故答案为：.图像如图，则函数的解析式为【答案】【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解；【解析】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，所以，所以，，解得，，又，所以，所以；故答案为：23．（2023下·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期中）函数的部分图像如图所示，则的单调减区间为（A．B．【答案】B【分析】由图象得出函数的周期，从而可得减区间．【解析】由题意周期是，，，所以减区间是，故选：B．24．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（）A．B．【答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【解析】由题意，，即.由图可知，，解得，，此时，将点代入解析式，可得，即，所以，，即，取，，所以.故选：A.25．（2021下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，即可求出的取值范围．因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，所以，则，所以，又，，且，所以，故，因为当时，不等式恒成立，所以，令，因为，则，所以所以的最小值为，所以，即．故选：．把函数按进行平移，得到函数，且满足，则使得最小时，【答案】【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，依题意为奇函数，解得的取值，再求出的最小值，即可得解；解：把函数按进行平移得到，即，又，即为奇函数，所以，解得，又，要使最小，即取得最小，所以；故答案为：高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的最小，则实数的最小值为【答案】由题意利用正弦函数的周期性，结合题意即可求得实数的最小值．解：函数的最小正周期不大于所有，，则实数的最小值为，故答案为：．高三校考期中）若函数在上单调递增，则的最大值【答案】【分析】由正弦函数的性质，令可得函数的单调增区间，结合题设给定递增区间求由正弦函数的性质知：在上递增，在上递减，对于，有，可得；有，可得，所以题设函数在上递增，在上递减，要使其在上单调递增，则，故的最大值为.故答案为：.已知函数，，则的最小值是【答案】的最小值等于，进而可以求出结果因为，所以，，所以，故答案为：.高三上海市七宝中学校考期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为【解析】由得,,设,则作出与的图象如图则,得,即的最小值是,故答案为:.高三校考期中）记函数的最小正周期，若，为的零点，则的最小值为【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：高一上海市七宝中学校考期中）对于函数，有以下函数的图象是中心对称图形；任取，恒成立；函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等：因为，：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确；：令，即，或，当，显然成立，当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点④：，或，当，显然成立，当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确；故答案为：①③二、解答题已知向量，，函数.求函数的单调递增区间；若，求函数的值域(1)；(2).）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式、辅助角公式得，）由题设，令，则，所以函数的单调递增区间为.）由，则，故，可得，所以的值域为.34．（2023上·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知函数．(1)求函数的最小正周期及最大值；(2)令，①判断函数的奇偶性，并说明理由；②若，求函数的严格增区间.【答案】(1)，最大值为(2)①偶函数，理由见解析；②【分析】（1）根据二倍角公式化简的表达式，即可根据三角函数的性质求解，（2）利用奇偶性的定义即可判定奇偶性，根据整体法即可求解单调区间.【解析】（1）,，当时，即时，（2），是偶函数，理由如下：由于的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶函数；令，所以，取，则单调递增区间为，当，则单调递增区间为，由于，所以单调递增区间为的严格增区间为35．（2023上·上海黄浦·高三上海市向明中学校考期中）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.(2)【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．【解析】（1），则函数的最小正周期；令，解得，可得函数的单调递增区间为·令，解得，可得因数的单调递减区间为；（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，当，，由增大到1，当，，由1减小到，若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为36．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)若对任意都有，求实数t的取值范围．【答案】(1)单增区间为(2)【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间；（2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围.【解析】（1）由，令，则，所以的单调递增区间为.（2）由，则，故，又，则，所以，即.37．（2023下·上海闵行·高一校考期中）已知函数(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1，(2)(3)【分析】（1）由题意可得，由正弦函数的性质求解即可；（2）由题意可得,，将问题转化为，且在上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解；（3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.【解析】（1）当时，,所以当，即时，所以,此时；（2）因为为偶函数，所以,所以,所以，又因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，且在上恒成立，因为，所以，所以，解得所以m的取值范围为;（3）因为过点，所以所以，又因为,所以,所以，又因为对任意的，，都有成立，所以，因为，所以，设,则有图像是开口向下，对称轴为的抛物线，当时，在上单调递增，所以,所以，解得所以；当时，在上单调递减，所以,所以，解得所以;当时，,所以，解得所以,综上所述：所以实数a 的取值范围为【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可.一、填空题由上图可知：两个图象交点个数为4个，即函数()()lg 1,1sin ,0x x f x x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则y =故答案为：4．2．（2023上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知关于6．（2023下·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）已知()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若函数(g 实数a 的取值范围为.因为[2()()()1g x f x af x a =+--=故()0g x =时，即()1f x =或()f x 则()g x 在[8,8]x ∈-上恰有八个不同的零点，即等价于同的交点，由图象可知，1y =和()f x 的图象有则(1)y a =-+和()f x 的图象需有2故95a -<<-，则实数a 的取值范围为(9,5)--，故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解二、单选题7．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知函数的是（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在[]0,π上有4个零点。

6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（）A．43-与677B．900与1260-C．120-与960D．150与630o2．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（）A．第一象限角B．第一象限角或第二象限角C．第一象限角或第三象限角D．第一象限角或第四象限角3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（）A．2k π与k πB．2k ππ+与4k ππ±C．6k ππ+与26k ππ±D．2k π与2k ππ±4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（）A．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C．4,3k k Z ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成()A．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π，其中表示具有相同终边的角的组数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角.9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________.13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角.14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________．18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）22263A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭；（2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭；（2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.6.1.1任意角及其度量（1）任意角一、单选题1．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（）A．43-与677B．900与1260-C．120-与960D．150与630o【答案】D【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A，因为433602677-+⨯=，所以43-与677终边相同；对于B，因为90036061260-⨯=-，所以900与1260-终边相同；对于C，因为1203603960-+⨯=，所以120-与960终边相同；对于D，若150360630k+⨯=，解得43k Z=∉，所以150与630o终边不同.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）若α是第二象限角，则2α是（）A．第一象限角B．第一象限角或第二象限角C．第一象限角或第三象限角D．第一象限角或第四象限角【答案】C【分析】根据α是第二象限角，得22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，即可得解.【详解】由题若α是第二象限角，22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，,422k k k Z παπππ+<<+∈，当k 为偶数时，2α终边在第一象限，当k 为奇数时，2α终边在第三象限，则2α是第一象限角或第三象限角.故选：C 【点睛】此题考查根据角的终边所在象限判断其半角所在象限，关键在于熟练掌握任意角的概念.3．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（）A．2k π与k πB．2k ππ+与4k ππ±C．6k ππ+与26k ππ±D．2k π与2k ππ±【答案】B【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.【详解】A不是终边相同的角，2k π终边在x 轴的正半轴上，k π终边在x 轴轴上；B是终边相同的角；C不是终边相同的角6k ππ+终边落在直线3y x=上，26k ππ±终边落在3,03y x x =≥3,03y x x =-≥两条射线上；D不是终边相同的角，2k π终边落在坐标轴上，2k ππ±终边落在y 轴上.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进行比较验证.4．（2020·上海高一课时练习）与角240︒终边相同的角的集合是（）A．5,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B．52,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C．4,3k k Z ααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D．42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】利用终边相同的角的定义，结合42403π︒=，即可求解.【详解】42403π︒=，∴与角240︒终边相同的角的集合是42,3k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故选：D【点睛】本题考查终边相同的角的定义，属于简单题.5．（2020·上海高一课时练习）终边在y 轴上的角的集合不能表示成()A．2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B．1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C．,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D．,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边落在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=+∈==+-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，终边落在y 轴负半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=-∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭，故A 选项可以表示；将2,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭与(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭取并集为：,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故C 选项可以表示；将(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭与2,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭取并集为：,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故D选项可以表示；对于B 选项，当1k =时，0θ=或θπ=，显然不是终边落在y 轴上的角；综上，B 选项不能表示，满足题意.故选：B .【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.6．（2019·上海市宜川中学高一期中）已知下列四组角的表达式(各式中k Z ∈)()123k ±ππ与3±k ππ；()22k±ππ与22k +ππ；()32k -ππ与2k ππ+；()42k ±ππ与k π，其中表示具有相同终边的角的组数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4）【详解】对（1），当41,33k k πππ=+=，不存在23k ππ±与之对应，不正确；对（2），2k ππ±表示终边在y轴上的角，2+2k ππ表示终边在坐标轴y轴正半轴的角；不正确；对（3），+22k k ππππ-，表示终边在y轴上的角，正确对（4），2k ππ±表示终边在x轴负半轴的角；k π表示终边在x轴上的角,不正确；故选B 【点睛】本题考查终边相同的角的判断，是基础题二、填空题7．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z =+Î可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m m Z =Î时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z =+Î时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限；当32,()k m m Z =+Î时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二8．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）2020是第______象限角.【答案】三【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求．【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题．9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限【答案】三【分析】利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈化简可得.【详解】2020θ=︒,2020=5360+220θ∴=︒⨯220在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．10．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.【答案】285-︒【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与4π角终边重合的角的集合是________【答案】{|2,}4ππ=+∈x x k k Z 【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得：与4π角终边重合的角是2,4x k k Z ππ=+∈，所以与4π角终边重合的角的集合是{|2,}4ππ=+∈x x k k Z .故答案为：{|2,}4ππ=+∈x x k k Z 【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12．（2020·上海高一课时练习）在[0,2]π中与274π终边相同的角为________.【答案】34π【分析】将274π终边相同的角表示为272,4k k Z βππ=+∈，解不等式即可得解.【详解】与274π终边相同的角为272,4k k Z βππ=+∈，令272719022,,,488k k Z k k Z πππ≤+≤∈-≤≤-∈，所以3k =-，273644πβππ=-=，所以在[0,2]π中与274π终边相同的角为34π.故答案为：34π【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，关键在于熟练掌握终边相同的角的表示方法，根据题意建立不等式求解.13．（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，则2α是第______象限的角.【答案】二或四【分析】根据α是第三象限角，得到3222k k ππαπ+<<+，k Z ∈，再得到3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，然后讨论k 的奇偶可得答案.【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαπ+<<+，k Z ∈，所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.故答案为：二或四.【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.14．（2020·上海高一课时练习）终边在第一、第三象限平分线上的角α的集合可表示为____________.【答案】,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先分析角α为锐角时的情况，再根据角α终边的周期性求解即可.【详解】当角α为锐角时，易得4πα=，又第一、第三象限平分线上的角终边以π为周期，故角α的集合可表示为,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了终边相同的角的弧度制表达，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）四个角的大小分别为170°，480-︒，1500-︒，870°，其中终边在第二象限的角有_________.【答案】170°，870°【分析】将各角写成终边相同的角的集合,即360,k k Z α+⋅︒∈的形式并判断.【详解】170︒是第二象限的角；480720240-︒=-︒+︒是第三象限角；150********-︒=-︒⨯+︒是第四象限角；8703602150︒=︒⨯+︒是第二象限角.故答案为：170°，870°【点睛】本题考查了将角表示成终边相同的角的集合并判断终边是第几象限的角，属于容易题.16．（2020·上海高一课时练习）与8弧度终边相同的所有角是__________；它们是第________象限角，其中最小的正角为________；最大的负角为_________.【答案】{|28,}=+∈k k Z ααπ二82π-84π-【分析】直接根据角度终边定义得到答案.【详解】与8弧度终边相同的所有角是{}|28,k k Z ααπ=+∈，它们是第二象限角，当1k =-时，最小的正角为82π-；当2k =-时，最大的负角为84π-.故答案为：{|28,}=+∈k k Z ααπ；二；82π-；84π-.【点睛】本题考查了终边相同的角，属于简单题.17．（2020·上海高一课时练习）终边在第二、四象限角平分线上的角的集合：______________．【答案】3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈，当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈，问题得以解决．【详解】解：设角的终边在第二象限和第四象限的平分线上的角为α，当角的终边在第二象限的平分线上时，则324k παπ=+，k Z ∈，当角的终边在第四象限的平分线上时，则724k αππ=+，k Z ∈，综上，324k παπ=+，k Z ∈或724k παπ=+，k Z ∈，即34k παπ=+，k Z ∈，故答案为：3,4k k Z ααππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查终边相同的角的概念及表示方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（2017·上海市金山中学高一月考）1200的角属于第_________象限.【答案】二【解析】00001200=3360+120,120⨯在第二象限,所以1200的角属于第二象限三、解答题19．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列角的集合：（1）22263A k k k Z ππαπαπ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭；（2）,63B k k k Z ππαπαπ⎧⎫=+<+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）在平面直角坐标系中，先画出22,263ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.（2）在平面直角坐标系中，先画出,63ππαπαπ=+=+k k 的终边，再由角的范围画出.【详解】（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.20．（2020·上海高一课时练习）在下列角的集合中，找出终边位于4π-到4π之间的所有角：（1）3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭；（2）{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ.【答案】（1）1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ；（2）590-︒，230-︒，130°，490°【分析】（1）分别令4,3,22,3k =---，可得结果；（2）分别令2,1,0,1k =--，可得结果；【详解】（1）由于3,4A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，当4k =-时，134πα=-；当3k =-时，94πα=-；当2k =-时，54πα=-；当1k =-时，4πα=-；当0k =时，34πα=；当1k =时，74πα=；当2k =时，114πα=；当3k =时，154πα=；∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为1395371115,,,,,,,44444444----ππππππππ.（2）由于{}|360130,︒︒==⋅+∈B k k Z ββ，当2k =-时，590β=-；当1k =-时，230β=-；当0k =时，130β=；当1k =时，490β=；∴该集合中终边位于4π-到4π之间的角为590,230,130,490--.【点睛】本题主要考查终边相同的角的集合，利用k 的取值求出对应范围内终边相同的角，属于基础题.21．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.【答案】θ为96°或120°【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，即可得解.【详解】由题意得0180180227015360()k k Z θθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，解得24,︒=⋅∈k k Z θ，且90135︒︒<<θ，所以满足题意的θ为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.22．（2020·上海高一课时练习）已知0360α︒︒<<，且角α的7倍角的终边与角α的终边重合，求角α.【答案】60°，120°，180°，240°，300°【分析】根据终边相同角的性质，结合已知列出等式，再根据角α的取值范围进行求解即可.【详解】因为角α的7倍角的终边与角α的终边重合，所以有7360,k k Z αα︒=+⋅∈，解得60,k k Z α︒=⋅∈，而0360α︒︒<<，所以603600,k k Z ︒︒︒<<⋅∈，解得06,k k Z <<∈，即1,2,3,4,5k =，当1k =时，60α︒=；当2k =时，120α︒=；当3k =时，180α︒=；当4k =时，240α︒=；当5k =时，300α︒=，所以角α的值为：60°，120°，180°，240°，300°.【点睛】本题考查了终边相同角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.23．（2020·上海高一课时练习）写出终边与x 轴负半轴重合的角的集合，并求在360~720-︒︒之间的角.【答案】{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；180-︒，180°，540°【分析】根据终边与x 轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可.【详解】因为在0~360︒︒范围内，终边与x 轴负半轴重合的角为180︒，因此与180︒角终边相同的角构成集合{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；当360720α-︒<<︒时，有360360180720,k k Z ︒︒-︒<⋅+<︒∈，解得：33,22k k Z -<<∈，因此1,0,1k =-，当1k =-时，180α︒=-；当0k =时，180α︒=；当1k =时，540α︒=，所以终边与x 轴负半轴重合的角的集合是{}|360180,︒︒=⋅+∈k k Z αα；在360~720-︒︒之间的角为180-︒，180°，540°.【点睛】本题考查了终边与x 轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.。

6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4-B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )AB ．C ．D ．无法确定4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin αB ．cos αC ．sec αD ．cot α5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan 3x =-”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.9．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________. 11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角).15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<. （1）求角α的集合； （2）若cos02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan,sincos222ααα的符号.16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值.6.1.3任意角的三角函数（作业）一、单选题1．（2020·上海静安区·高一期末）设3sin 5α=-，4cos 5α=，那么下列的点在角α的终边上的是（ ） A ．()3,4- B ．()4,3-C ．()4,3-D ．()3,4-【答案】B【分析】利用任意角的三角函数的定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于A ，若点()3,4-在角α的终边上，则43sin ,cos 55y x r r αα====-，所以A 错误；对于B ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=-，4cos 5α=，所以B 正确； 对于C ，若点()4,3-在角α的终边上，则3sin 5α=，4cos 5α=-，所以C 错误；对于D ，若点()3,4-在角α的终边上，则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以D 错误，故选：B【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题2．（2020·上海高一课时练习）若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为( )A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-【答案】C【分析】利用三角函数的定义求出sin α、tan α即可求解. 【详解】由角α的终边经过点(5,12)P -， 则12sin 13α==，1212tan 55α==--， 所以121296sin tan 13565αα+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.3．（2020·上海高一课时练习）若点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=y 的值为( )A B ．C ．D ．无法确定【答案】B【分析】根据三角函数的定义，建立关于y 的方程，解得y 的值即可．【详解】∵点(1,)P y 是角α终边上一点，且cos α=，∴cos α==，化简得：2112y +=，解之得：y =．故选：B .【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，侧重考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．（2020·上海高一课时练习）若点(5,0)P -为角α终边上一点，则下列三角比不存在的是（ ） A ．sin α B ．cos αC ．sec αD ．cot α【答案】D【分析】根据三角比的概念对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】由题意点(5,0)P -为角α终边上一点，则5r OP ==.所以0sin 05y r α===，-5cos 15x r α===-，5sec 1-5r x α===- 由cot xyα=，因为0y =，所以cot α不存在.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的定义的应用，利用定义求对应的三角比，属于基础题.5．（2019·上海市文来中学高一期末）“tan x =”是“56x π=”的（ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件.D ．既非充分也非必要条件.【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义，即可判断.【详解】由56x π=，可推出tan 3x =-，而由tan x =()56x k k Z ππ=+∈，有多个解，即不能推出56x π=，故“tan x =56x π=”的必要非充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义以及三角函数值与角的关系，属于基础题. 6．（2017·上海市七宝中学高一期中）角α终边上一点()(2sin5,2cos5),0,2P απ-∈，则α=（ ） A ．52π-B ．35π-C ．5D ．52π+【答案】A【分析】根据任意角三角函数的定义，分别计算sin α与cos α，再根据诱导公式求解角α，即可.【详解】3522ππ<<，sin50∴<，cos50>令2r ====则2cos5sin cos502y r α-===-<，2sin 5cos sin 502x r α===< 所以角α在第三象限，即32ππα<<，由诱导公式可知，52πα=- 故选：A【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，以及诱导公式，属于中档题.7．（2016·上海虹口区·上外附中高一期中）锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为（ ） A ．3π-B ．3π-C ．32π-D ．32【答案】C【分析】利用终边上的点确定正切值，结合终边所在的象限，从而得到角α的弧度数. 【详解】因为锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，所以sin(3)2cos32tan(3)tan(3)2sin 322cos t )a 32n (ππαππ---===--=--， 因为3(0,)22ππ-∈，所以32πα=-.故选：C【点睛】本题考查三角函数的定义、诱导公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 二、填空题8．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角α的终边经过点P (3m ，-4m )(m <0)，则sin α+cos α=_____.【答案】15【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可． 【详解】由题意得：55r OP m m ====-则44sin 55y m r m α-===-，33cos 55x m r m α===-- 故431sin cos 555αα+=-=，故答案为：159．（2017·上海市金山中学高一期中）已知角α的终边经过点(),3P m -，且，则m 等于__________．4cos 5α=-【答案】－4【解析】由题意，4cos 5α==-，解得4m =-，故答案为4-.10．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4m α=，则tan α的值为________.【答案】3±或0 【分析】利用正弦函数的定义求出m ,利用正切函数的定义求出tan α的值.【详解】角α的终边上一点()P m根据正弦函数的定义得:sin 4m α==解得0m =或m =当0m =时,tan 0α=;当m =, tan 3α=-当m =, tan 3α=则tan α的值为:或0故答案为: 或0. 【点睛】本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是基础题.11．（2020·上海市进才中学高一期中）求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】π6【分析】先求sin 32π=，再结合余弦函数的值，求arccos 2即可得解.【详解】sin 32π=，cos 62π=，πarccos sin 36π⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.故答案为：π6 【点睛】本题考查了反余弦函数，重点考查了反余弦函数求值问题，属基础题.三、解答题 12．（2020·上海高一课时练习）已知3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，求α的值.【答案】43πα= 【分析】由已知条件得出1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出角3πα+的取值范围，可得出角3πα+的值，进而可求得角α的值. 【详解】由题意可得2cos 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02απ<<，7333πππα∴<+<，则533ππα+=，解得43πα=. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题.13．（2020·上海高一课时练习）已知角θ终边上一点P （异于原点）与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为4∶3，且cos 0θ<，求sin ,tan θθ的值. 【答案】当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【分析】根据cos 0θ<确定θ在第二象限或第三象限，讨论两种情况，结合距离之比为4∶3解得答案.【详解】cos 0θ<，故θ在第二象限或第三象限，当θ在第二象限时，()3,4P m m -，0m >， 故4sin 5θ==，44tan 33m m θ==--； 当θ在第三象限时，()3,4P m m --，0m >， 故4sin 5θ==-，44tan 33m m θ-==-. 综上所述：当θ在第二象限时，44sin ,tan 53==-θθ；当θ在第三象限时，44sin ,tan 53=-=θθ. 【点睛】本题考查了根据三角函数定义求三角函数值，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.14．（2020·上海高一课时练习）解方程：()2sin 5150︒-=x (x 为锐角). 【答案】{}15,27,87︒︒︒【分析】由题意可得()5151,5435x ︒︒︒-∈-，转化条件为()sin 515x ︒-=，求得515x ︒-的值后，即可得解. 【详解】 x 为锐角，∴(),090x ︒︒∈，()5151,5435x ︒︒︒-∈-，又()2sin 5150︒-=x ，∴()sin 5152x ︒-=， ∴65015x ︒︒=-或120515x ︒︒=-或420515x ︒︒=-，∴15x ︒=或27x ︒=或87x ︒=，∴原方程的解集为{}15,27,87︒︒︒.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的应用，考查了运算求解能力，准确识记特殊角的三角函数值是解题关键，属于基础题.15．（2020·上海高一课时练习）已知cos 0α>且tan 0α<.（1）求角α的集合；（2）若cos 02α<，求角2α终边所在象限； （3）判断tan ,sin cos 222ααα的符号.【答案】（1）22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；（2）2α终边在第二象限；（3）tan 0,sin cos 0222<⋅<ααα.【分析】（1）由三角函数值的符号可得α角的集合；（2）由（1）由不等式的性质可得2α的范围，可得所在象限； （3）由2α的象限可得三角函数值的符号，可得乘积的符号． 【详解】解：（1）cos 0α>，tan 0α<，所以α位于第四象限， α角的集合为22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； （2）由（1）可得22,2k k k Z παπαπ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭；所以,242k k k Z απαππ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭； ∴2α终边在第二、四象限，又cos 02α<，所以2α终边在第二象限； （3）由（2）知2α终边在第二、四象限， 当2α终边在第二象限时tan 02α<，sin 02α>，cos 02α<，所以sin cos 022αα< 当2α终边在第四象限时tan 02α<，sin 02α<，cos 02α>，所以sin cos 022αα<综上可得tan 02α<，sin cos 022αα<【点睛】本题考查三角函数值的符号及象限角，属于基础题．16．（2020·上海高一课时练习）已知角α的终边与直线3y x =-重合，求角α的正弦、余弦和正切值.【答案】当α的终边在第二象限时，sin tan 310==-=-ααα；当α的终边在第四象限时，sin tan 310===-ααα【分析】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则|||r OA a ==，分0a >，0a <两种情况，结合三角函数的定义即可解决.【详解】在角α的终边上取一点(,3)(0)A a a a -≠，则||||r OA a ===，当0a >时，此时角α的终边在第四象限，r =，所以cos10x r α===，sin10y r α-===，tan 3y x α==-；当0a <时，此时角α的终边在第二象限，r =，所以cos10x r α===-，sin 10y r α===，tan 3y x α==-. 【点睛】本题主要考查已知终边的位置求三角函数值，涉及到三角函数的定义，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17．（2018·上海市北虹高级中学高一期中）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,4,0P t t t ->，求sin cos αα+的值. 【答案】15【分析】由()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==，再结合三角函数的定义运算即可得解.【详解】解：因为()3,4,0P t t t ->，所以5OP t ==， 由三角函数的定义可得：44sin 55t t α==，33cos 55t t -α==-， 即431sin cos ()555αα=+-=+. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了t 符号问题，属基础题.。

专题01三角的顶点为坐标原点，始边与，则tansin2所以此时B 有两解.故答案为:2.35．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）题正确的序号是．①．若2a b c +>，则π3C <②．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形③．若2cos 22A b c c+=，则ABC 是直角三角形④．若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形⑤．若锐角ABC 中，则sin sin A +【答案】①③【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．经测量知(1)霍尔顿发现无论BD 多长，(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出【答案】(1)证明见解析，(2)3132【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；（2）利用三角形面积公式，结合三角函数恒等式，可得答案【解析】（1）在ABD △中，在BCD △中，2BD CD =4cos 32cos A C ∴-=，则2cos （2）2221214S S AB AD +=⋅(2211sin cos 1A C =+-=一、填空题cos【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题二、单选题7．（2023上·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）设集合2π4πsin sin sin 20232023A x x ⎧==++⎨⎩|A ．1011B ．1012【答案】B的取值会随着三、解答题ABC方案一：在墙壁OB 上取两点P 、Q ，用长度为20m 的移动围挡围成一个以（只有MP ，MQ 两边为移动围挡）；方案二：在墙壁OA 、OB 上分别取点E 、F 用长度为20m 别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？【答案】MPQ 的面积的最大值为250m ，EOF 的面积的最大值为【分析】设m,m MP x MQ y ==，表示出MPQ 的面积，利用基本不等式可求出其最大值，设从而可求出，比较可知存在。

果是（ ）
A． cos
B． cos
C． cos 3
D． cos3
二、填空题 5．（2020·上海高一课时练习） cos 75 的值为________．
6．（2020·上海高一课时练习）把 2 sin 2 cos 化成 Asin( )(A 0, 0 ) 的
2
2
形式是_________________．
A． 222
B． 223
C． 211
D． 212
【答案】A
【分析】先利用两角和的正切公式得到 tan1 tan 44 1 tan1 tan 44 ，进而得到
1 tan1 1 tan 44 2 ，再把原式转换为： 1 tan1 1 tan 44 1 tan 2 1 tan 43 1 tan 22 1 tan 23 ，即可得出
10．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）函数 y sin x 3 cos x 在[0, 2 ] 的
递减区间是__________
11．（2020·上海市控江中学高一期中）已知 cos 4 ， cos 3 ，则
5
5
tan tan ___________.
12．（2020·上海高一课时练习）若将 a sin b cos 化为 a2 b2 sin( ) 的形式，则 sin ________， cos ________；若将 a sin b cos 化为 a2 b2 cos( ) 的形式， 则 sin _________， cos ________．
31, 2
3 2
1
，将点
A
绕坐标原点 O
按逆时针方向旋转
6
到
点B
，如果终边经过点
A 的角记为
，那么终边经过点 B

6.1.2任意角及其度量（2）弧度制（作业）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 22．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考） 如图所示，在直角三角形ABC 中，A ∠为直角，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧交BC 于点D ，若AD 将ABC 的面积分成相等的两部分，设ABC α∠=（弧度），则（ ）A ．sin 2cos αα=B ．2sin cos αα=C ．t n a αα=D ．t n 2a αα=3．（2016·上海徐汇区·位育中学高一月考）一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ）A ．70cmB ．706cmC ．35(3cm π-D ．35.3cm π 4．（2017·上海静安区·高一期末）下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关5．（2020·上海市行知中学高一期末）将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 6．（2017·宝山区·上海交大附中高一月考）一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的中心角是（ ）A ．2弧度B ．3弧度C ．4弧度D ．5弧度7．（2019·上海市行知中学高一月考）如图，在直角三角形PBO 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若AB 平分PBO 的面积，且AOB α∠=，则（ ）A ．tan αα=B ．tan 2αα=C ．sin 2cos αα=D ．2sin cos αα=8．（2019·上海市实验学校高一期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．209．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米二、填空题 10．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 11．（2020·上海市进才中学高一期中）已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．12．（2020·上海崇明区·高一期末）若1弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所在的扇形面积等于________2cm13．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.14．（2020·上海高一课时练习）设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为___________.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.16．（2020·上海市金山中学高一期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________17．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad18．（2016·长宁区·上海市延安中学高一期末）已知扇形的圆心角为2π3，面积为25π3，则扇形的弧长为_______________．19．（2016·上海市大同中学高一期末）若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4，则这个扇形的面积为________.20．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度21．（2018·上海市南洋模范中学高一月考）如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是________.22．（2016·上海市金山中学高一期末）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.23．（2017·上海徐汇区·南洋中学高一月考）若扇形的中心角60α=，扇形半径12R cm =，则阴影表示的弓形面积为___________.三、解答题24．（2020·上海高一课时练习）已知扇形的周长为(0)C C >，当扇形圆心角α为多少弧度时，扇形的面积S 最大？并求此最大面积.25．（2020·上海市沪新中学高一期中）已知弓形的弦长为23，对应的圆心角为120，求此弓形的面积.26．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.27．（2020·上海高一课时练习）已知集合22,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，{|04}B y y π=<<，求A B .28．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1）（2）29．（2020·上海高一课时练习）如图，已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6.求：（1）AB的长l；（2）AB与弦AB所成的弓形的面积S.︒换算成弧度；30．（2020·上海高一课时练习）()1将2230'()2将5-弧度换算成角度(精确到0.01︒).31．（2020·上海高一课时练习）在扇形AOB中，半径等于r.（1）若弦AB的长等于半径，求扇形的弧长l；（2）若弦AB S32．（2020·上海高一课时练习）如图，扇形AOB 的半径6cm r =，圆心角3AOB π∠=.求阴影部分的面积S .33．（2019·上海市七宝中学高一月考）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）6.1.2任意角及其度量（2）弧度制（作业）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B 【分析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =，故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.2．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考） 如图所示，在直角三角形ABC 中，A ∠为直角，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧交BC 于点D ，若AD 将ABC 的面积分成相等的两部分，设ABC α∠=（弧度），则（ ）A ．sin 2cos αα=B ．2sin cos αα=C ．t n a αα=D ．t n 2a αα=【答案】D 【分析】根据题意得到2ABC S S ∆=扇ABD ，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到答案.【详解】解：因为AD 将ABC 的面积分成相等的两部分，所以，2ABC S S ∆=扇ABD所以，11222AD AB AC l AB ⋅⋅=⋅⋅⋅, 所以，11tan 222AB AB AB AB αα⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，化简得：tan 2αα=.故选：D.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.3．（2016·上海徐汇区·位育中学高一月考）一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ）A ．70cmB ．706cmC ．35(3cm π-D ．35.3cm π 【答案】D【分析】先求出经过35分钟，分针的端点转过的弧度数，再代入弧长公式求解.【详解】因为分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是260π ， 所以经过35分钟，分针的端点转过的弧度数为2735606ππ⨯=， 所以弧长为7351063cm ππ⨯=，故选：D. 【点睛】本题主要考查弧度数及弧度制公式，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．（2017·上海静安区·高一期末）下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关【答案】D【分析】根据弧度制的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；B 选项，一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π，正确； C 选项，根据弧度的定义，180一定等于π弧度，正确； D 选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D 错.故选：D. 【点睛】本题主要考查弧度制的相关判定，熟记概念即可，属于基础题型.5．（2020·上海市行知中学高一期末）将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．3πB ．6π C ．3π-D ．6π-【答案】A【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π.本题选择A 选项. 6．（2017·宝山区·上海交大附中高一月考）一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的中心角是（ ） A ．2弧度 B ．3弧度C ．4弧度D ．5弧度【答案】A【分析】设出扇形的半径与弧长，根据面积与周长列出方程组，求解出半径与弧长，根据弧长公式求出圆心角即为中心角.【详解】设半径为r ，弧长为l ，圆心角为θ，因为224lr l r =⎧⎨+=⎩，所以21l r =⎧⎨=⎩，所以2lrθ==.故选：A.【点睛】本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角，难度较易.已知扇形的半径为r ，圆心角为()0αα>，则扇形弧长为l r α=，面积为21122S lr r α==. 7．（2019·上海市行知中学高一月考）如图，在直角三角形PBO 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若AB 平分PBO 的面积，且AOB α∠=，则（ ）A ．tan αα=B ．tan 2αα=C ．sin 2cos αα=D ．2sin cos αα=【答案】B【分析】根据扇形的面积公式，直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式得出211tan 222r r r αα⨯=⨯，即可得出答案. 【详解】设扇形的半径为r ,则扇形的面积为212ar 直角三角形PBO 中，tan PB r α=，PBO 的面积为1tan 2r r α⨯ 由题意得211tan 222r r r αα⨯=⨯，tan 2αα∴= 故选：B【点睛】本题主要考查了扇形面积公式的应用，属于中档题.8．（2019·上海市实验学校高一期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.【详解】如图所示，扇形的半径为1sin 4023r π=⨯=， 所以扇形的面积为212160040233ππ⨯⨯=，又三角形的面积为212sin4023π⨯⨯=所以弧田的面积为216001600400 1.73908()33m ππ-≈-⨯=， 又圆心到弦的距离等于40cos203π⨯=，所示矢长为402020-=，按照上述弧田的面积经验计算可得1(2弦⨯矢+矢2)2212020)892()2m =⨯+=，所以两者的差为290889216()m -=.故选：B .【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息. 二、填空题10．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32π【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=.故答案为：32π. 11．（2020·上海市进才中学高一期中）已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________． 【答案】9【分析】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ，根据题中条件，由扇形面积公式，即可求出结果.【详解】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ， 由题意可得，2α=，6l =，所以3lr α==，因此扇形的面积为192S lr ==.故答案为：9. 【点睛】本题主要考查求扇形的面积，熟记公式即可，属于基础题型.12．（2020·上海崇明区·高一期末）若1弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所在的扇形面积等于________2cm 【答案】2【分析】算出扇形所在的圆的半径后可得扇形的面积. 【详解】设扇形所在的圆的半径为R ，则221R ==（cm ）， 故圆心角所在的扇形面积等于12222⨯⨯=.故答案为：2.【点睛】本题考查扇形的弧长与面积，熟记公式是解题的关键，本题属于容易题. 13．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.【答案】253π【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=.故答案为：253π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..14．（2020·上海高一课时练习）设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为___________.【答案】3,,5102πππ【分析】根据三角形内角和为π以及比例的性质求解即可. 【详解】因为三角形内角和为π，故各内角弧度分别为22355ππ=++，3323510ππ=++，52352ππ=++.故答案为：3,,5102πππ【点睛】本题主要考查了弧度制及其运算，属于基础题.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=.故答案为：2π. 16．（2020·上海市金山中学高一期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________【答案】【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由211S==222lr r α=求得半径，再由弧长公式求解.【详解】设弧长为l ，半径为r ，弧度为α，因为扇形的面积为2，所以211S==222lr r α=，又因为扇形圆心角的弧度数是2，所以r =所以扇形的弧长为l r α==.故答案为：【点睛】本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解.【详解】因为1180π︒=rad ，所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．（2016·长宁区·上海市延安中学高一期末）已知扇形的圆心角为2π3，面积为25π3，则扇形的弧长为_______________．【答案】103π 【分析】首先根据扇形面积公式可求出半径，再带入弧长公式即可. 【详解】由题知：22112252233S r r παπ==⨯⨯=，解得：=5r . 210533l r αππ==⨯=.故答案为：103π【点睛】本题主要考查扇形面积公式和弧长公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 19．（2016·上海市大同中学高一期末）若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4，则这个扇形的面积为________. 【答案】4【分析】根据扇形弧长公式求出半径，结合面积公式求解. 【详解】由题：扇形圆心角2α=，弧长4l，所以半径2r ，所以扇形面积142S lr ==.故答案为：4 【点睛】此题考查求扇形的面积，关键在于熟练掌握扇形的弧长公式和面积公式，根据弧长和圆心角的大小依次求解.20．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【分析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.21．（2018·上海市南洋模范中学高一月考）如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是________.【答案】23π【分析】先求扇形BEF 的面积，再求扇形BEF 在四边形ABCD 内面积，最后相减得结果. 【详解】扇形BEF 的面积为2122233ππ⨯⨯=,连接BD ,设,BE AD N BF CD M ==,,33NDB MCB DBN MBD CBM BD BD ππ∠=∠=∠=-∠=∠=因此DBN CBM ≅即扇形BEF 在四边形ABCD 内面积等于BCD 内面积，即为224⨯=因此图中阴影部分的面积是23π，故答案为：23π【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.22．（2016·上海市金山中学高一期末）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.【答案】24π-【分析】：设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，OC 平分AOB ∠, 可得阴影部分的面积. 【详解】解：设两个半圆交于点,O C ，连接OC BC 、,22111()42ππ⨯⨯=⨯, ∴直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC 平分AOB ∠,故阴影部分的面积是：2211122[()(]22224S ππ-=⨯⨯-⨯=.故答案为：24π-. 【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.23．（2017·上海徐汇区·南洋中学高一月考）若扇形的中心角60α=，扇形半径12R cm =，则阴影表示的弓形面积为___________.【答案】24π-【分析】过点O 作⊥OD AB 于点D ，根据60O ∠=︒，OA OB =可知OAB ∆是等边三角形，可得60OAB ∠=︒，由锐角三角函数的定义求出OD 的长，再根据OAB AOB S S S ∆=-弓形扇形即可得出结论．【详解】如图，过点O 作⊥OD AB 于点D ，中心角60α=︒，12OA OB ==，OAB ∴∆是等边三角形，60OAB ∴∠=︒，sin 6012OD OA ∴=︒==211121224232OAB AOB S S S ππ∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯-弓形扇形故答案为：24π-【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题．三、解答题24．（2020·上海高一课时练习）已知扇形的周长为(0)C C >，当扇形圆心角α为多少弧度时，扇形的面积S 最大？并求此最大面积.【答案】当2α=时，扇形的面积S 最大，最大值为216C .【分析】设扇形的半径为r ，则弧长l r α=，根据周长可得2l C r =-，再利用扇形的面积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】设扇形的半径为r ，则弧长l r α=，2r l C +=， 所以2l C r =-，其中02C r <<， 所以扇形的面积11(2)22S lr C r r ==-()2C r r =-222()216Cr rC -+≤=， 当且仅当4Cr =时，取得等号，此时2C l =，224C l C r α===.所以当2α=时，扇形的面积S 最大，最大值为216C .【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式、基本不等式，属于基础题.25．（2020·上海市沪新中学高一期中）已知弓形的弦长为120，求此弓形的面积.【答案】43π-【分析】根据余弦定理，求出扇形半径OA ，进而求出扇形面积和AOB 面积，即可求解. 【详解】设扇形的半径为R ，在AOB 中，由余弦定理得，2222122cos1203AB OA OB OA OB R ==+-⋅⋅︒=， 241422,3323AOB R AB S AB R πππ∴==⨯=∴=⨯⨯=扇形，，21sin1202AOB S R =⨯︒=△∴弓形的面积为43π【点睛】本题考查扇形的面积、余弦定理解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 26．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16.【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题.27．（2020·上海高一课时练习）已知集合22,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，{|04}B y y π=<<，求A B .【答案】79150,,,44444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππ【分析】两个集合交集分布情况为当0,1,2k =时，分别讨论即可得解.【详解】由题{|04}B y y π=<<，22,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭当1k ≤-时，集合A 中的元素全为负数，与集合B 交集为空集，当0,1,2k =时，791517,,,444444A ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当3k ≥时，集合A 中的元素全都大于等于234π，与集合B 交集为空集， 所以A B =79150,,,44444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππ.【点睛】此题考查求集合的交集运算，分别考k 取整数的情况讨论求解，可以结合角的终边所在象限求解.28．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1）（2）【答案】（1）222,43k k k Z παπαππ⎧⎫+<+∈⎨⎬⎩⎭；（2）,6k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，注意虚实线； （2）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，最后求并集得结果.【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为222,()43k k k Z ππππ++∈， 所以终边在阴影部分的角的集合为222,43k k k Z παπαππ⎧⎫+<+∈⎨⎬⎩⎭（2）边界对应射线所在终边的角分别为222,2,()667k k k k k Z πππππππ+++∈，， 所以终边在阴影部分的角的集合为722,22,66k k k Z k k k Z ππαπαπαππαπ⎧⎫⎧⎫≤+∈⋃+≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=,6k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析求解能力，属基础题.29．（2020·上海高一课时练习）如图，已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径长为6.求：（1）AB 的长l ；（2）AB 与弦AB 所成的弓形的面积S .【答案】（1）4π.（2）12π-【分析】（1）根据弧长公式直接求解；（2）先根据扇形面积公式求扇形面积，再减去三角形面积，即得结果. 【详解】（1）圆心角23απ=，半径6r =， 故AB 的长4l r απ==.（2）1122AOBS lr π==扇形.取AB 中点C ，连OC ，则OC AB ⊥，在Rt AOC △中，3,OC AC ==，∴12AOBSAB OC =⋅=.故12AOBAOB S S Sπ=-=-扇形【点睛】本题考查扇形面积公式以及弧长公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 30．（2020·上海高一课时练习）()1将2230'︒换算成弧度；()2将5-弧度换算成角度(精确到0.01︒).【答案】()18π弧度；()2286.48-︒. 【分析】利用1180π︒=弧度与1弧度180π⎛⎫=︒⎪⎝⎭进行互化. 【详解】解：()1223022.522.5180π'︒=︒=︒⨯=8π弧度. ()25-弧度()180********.483.1416π⨯⎛⎫⎛⎫=︒⨯-=-︒≈-︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查角度制与弧度制的相互转化，考查计算能力，属于基础题. 31．（2020·上海高一课时练习）在扇形AOB 中，半径等于r . （1）若弦AB 的长等于半径，求扇形的弧长l ；（2）若弦AB S【答案】（1）3r π； （2）213r π【分析】（1）由弦AB 的长等于半径，得到3AOB π∠=，然后利用扇形的弧长公式求解.（2）由弦AB 倍，先求12AOB ∠，进而得到AOB ∠，然后利用扇形的面积公式求解.【详解】（1）如图所示：设AOB α∠=，若弦AB 的长等于半径，则3πα=，所以扇形的弧长3παl r r（2）如图所示：若弦AB倍，则32sin 2AC AOCOAr， 因为0απ<<，所以3AOC π∠=，所以223παAOC， 所以扇形的面积为22111223απSlr r r . 【点睛】本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.32．（2020·上海高一课时练习）如图，扇形AOB 的半径6cm r =，圆心角3AOB π∠=.求阴影部分的面积S .【答案】2433cm π【分析】求出扇形部分面积，求出内切圆面积，再求出非阴影部分面积，即可得解. 【详解】由题：扇形AOB 的半径6cm r =，圆心角3AOB π∠=，所以扇形AOB 的面积136623AOBS ππ，设三角形AOB 的内切圆半径R ，根据等面积关系可得：136666622R ，所以R ，所以内切圆面积为233ππ，333332πππ所以阴影部分面积为24336332cm πππ【点睛】此题考查扇形面积公式的应用，涉及圆的面积，求内切圆的半径，利用图形间的关系求解面积.33．（2019·上海市七宝中学高一月考）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【答案】202m【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积.【详解】连接,,OA OB AB ，过O 作OG CD ⊥交AB 于E ，交劣弧AB 于F .过A 作AH CD ⊥交CD 于H ，过B 作BI CD ⊥交CD 于I .由于228AB AE BE ===，5OB OA ==，所以3,2,3OE FE OF OE EG EF FG ==-==+=，所以3AH BI ==，在直角三角形ADH 中，3tan ,tan 56,2AH D DH DH DH===，同理求得2CI =，所以28212CD =++=，故梯形ABCD 的面积为8123302+⨯=.在直角三角形OAE 中4sin 0.85AOE ∠==，故53,106AOE AOB ∠≈∠=，所以扇形OAFB 的面积为1063522360⨯⨯≈，而三角形AOB 的面积为183122⨯⨯=，所以弓形AFB 的面积为221210-=，故阴影部分面积为2301020m -=.【点睛】本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题.。

2020届第二学期高一数学练习一一、填空题：1、方程49280x x-⨯+=的实数解为2、方程2log ()log 2x x x x -=的实数解为3、若函数()2log ()a f x x ax =-+的定义域为1(0,)2，则实数a =4、函数x y e =的单调递减区间为5、函数()3log (3)f x x =+的反函数的图象与y 轴的交点坐标是6、某汽车厂生产的汽车数，从今年起每年必上一年平均增长20%，至少经过 年该汽车生产的汽车数可以增长到原来的4倍（精确到1年）7、函数()1422(0)x x f x x +=-+≤的值域是8、关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，对于系数,,a b c ，有如下结论： （1）0a >；（2）0b >；（3）0c >；（4）0a b c ++>；（5）0a b c -+>则正确结论的所有序号是9、设常数0a >，若241a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围是 10、设函数()()23,f x x ax a g x x a =-++=-，若不存在0x R ∈，使得0()0f x <与0()0g x <同时成立，则实数a 的取值范围是二、选择题：1、“1x >”是“21x >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、下列函数中同时具有以下两个性质：（1）奇函数；（2）值域为()1,1-的是（ ）A ．()21x f x x =+B ．()2210100101x x f x x x x ⎧>⎪+⎪==⎨⎪⎪-<+⎩C ．()10100101x x f x x x x ⎧>⎪+⎪==⎨⎪⎪<-⎩ D ．()200020x x x f x x x -⎧>⎪==⎨⎪<⎩3、方程2lg 1880x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34、若关于x 的方程2lg 3lg 40x x a ⨯-=有两个不相等的实数根，则方程的两根之积为（ ）A ．112 B ．12 C ．lg12- D ．与实数a 的取值有关三、解答题：1、已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈在单调递减，且为偶函数（1）求()f x 的解析式；（2）指出函数()()()5(2)F x af x a x f x =+-的奇偶性。