学科素养培优五数列题的求解技巧

数列与级数解决数列与级数问题的方法与技巧在数学中，数列与级数是一个非常重要的概念。

数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成，而级数是由一个数列的部分和所组成的。

解决数列与级数问题需要掌握一些方法与技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。

一、数列问题的解决方法与技巧1. 确定数列的通项公式：数列的通项公式表示了数列中第n项与n 的关系，是解决问题的关键。

要确定数列的通项公式，可以通过观察数列前几项之间的关系，找到规律，进而写出递推公式，再通过递推公式求得通项公式。

2. 求数列的前n项和：数列的前n项和也是解决问题中常需要求解的内容。

对于等差数列来说，可以使用求和公式：Sn = n(a1 + an) / 2来求解。

对于等比数列来说，可以使用求和公式：Sn = a1(1-q^n) / (1-q)来求解。

3. 求数列的极限：对于递推数列，极限是解决问题中的关键。

如果数列是收敛的，则可以通过求出极限值来得到数列的性质。

对于等差数列和等比数列来说，由于其性质已知，可以直接得出极限值。

二、级数问题的解决方法与技巧1. 判断级数的敛散性：级数的敛散性是解决问题中的基本问题。

对于正项级数，可以利用柯西收敛准则或者比较判别法来判断敛散性。

对于任意项级数，可以利用绝对收敛和条件收敛的概念进行判断。

2. 求级数的部分和：级数的部分和是指将级数的前n项相加得到的值。

求级数的部分和可以帮助我们判断级数的敛散性。

对于等差级数来说，可以使用求和公式：Sn = n(a1 + an) / 2来求解。

对于等比级数来说，可以使用求和公式：Sn = a1(1-q^n) / (1-q)来求解。

3. 求级数的极限：对于级数来说，极限是解决问题中的关键。

如果级数是收敛的，则可以通过求出极限值来得到级数的性质。

对于等差级数和等比级数来说，由于其性质已知，可以直接得出极限值。

以上是数列与级数解决问题的一些常用方法与技巧，希望对你能够有所帮助。

掌握这些方法与技巧，可以更好地解决数列与级数问题，并提升数学解题的能力。

学习数列问题的技巧和方法有哪些？答：数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考的重要考点之一。

目前，全国卷对数列板块降低了要求，大题一般放在17题位置，与三角函数可能轮流出现，难度中档及以下。

但是，这并不意味着你可以掉以轻心，可以不去重视，因为小题中的数列问题仍然可能出现难题，甚至放在12题或者16题位置，作为选择题或填空题的压轴题出现。

下面就数列章节简单谈谈学习的方法，仅供参考，说不定会让你灵光乍现，茅塞顿开。

一、把握数列板块的知识结构，形成自己的知识网络。

1、数列章节大致包含以下四个内容：数列的概念及其表示；等差数列及其前n项和；等比数列及其前n项和；数列的求和与综合应用。

2、数列在高考小题中，经常考查等差数列或等比数列的性质，比如中项公式、下标和公式、单调性、最大项与最小项、周期数列求值等。

3、数列中最重要的内容便是数列的通项公式和数列求和，在高考大题中，一般第一问考查求通项公式，第二问考查求和。

二、从考试题型上掌握数列解题的基本方法与技巧。

1、以数列的通项公式为例，常见的求数列的通项公式包括以下方法：利用和与通项的关系求解；利用累加法求解；利用累乘法求解；利用待定系数法求解；利用倒数法求解等。

2、以数列求和为例，常见的数列求和方法包括：利用公式法求解；利用分组求和法求解；利用倒序相加法求解；利用错位相减法求解；利用裂项相消法求解等。

3、以数列不等式为例，常考的有两类题型，一是证明数列不等式；二是已知数列不等式求参数的取值范围。

以证明数列不等式为例，常用方法有：单调性法、数学归纳法、放缩法等。

三、知道数列是一种特殊的函数，其特殊在定义为正整数集或它的子集，它的图像是一些孤立的点。

因此，数列的许多问题都可以利用函数的方法进行解决。

以判断等差数列为例，如果一个数列的通项公式是关于n的一次函数，那么这个数列是等差数列，同样如果一个数列的前n项和是关于n的不含常数项的二次函数，那么该数列也是等差数列。

数列解题方法与技巧
解题方法和技巧有很多种，以下是一些常见的数列解题方法和技巧：
1. 找规律：观察数列中的数字是否有一定的规律或者模式，例如等差数列、等比数列等。

通过找到规律可以推断出数列中的其他数字。

2. 列方程：将数列中的数字用变量表示，然后列出方程，通过求解方程来确定数列中的其他数字。

3. 递推关系：如果数列中的第n个数字可以通过前面的数字推断出来，可以利用递推关系来求解数列。

4. 数列求和公式：如果要求解数列的和，可以利用数列求和公式来计算。

5. 辅助数列：有些数列可以通过构造辅助数列来求解，例如斐波那契数列可以通过构造一个新的辅助数列来求解。

6. 数学工具：利用一些数学工具和技巧，例如数学归纳法、二项式定理等来求解数列。

7. 模拟计算：有时候可以通过模拟计算来求解数列，即通过计算数列中的前几个数字，找到数列中的规律，然后根据规律来计算其他数字。

8. 看题意：有时候可以根据题目中的提示和要求来判断数列的性质和规律，然后进一步求解。

以上是一些常用的数列解题方法和技巧，但具体的解题方法和技
巧还需要根据具体的数列问题来确定。

在解题过程中，还需注意审题、理清思路、细心计算等问题。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
数列通常用来解决组合现象，广泛应用于数学实际问题中。

高中数学中，常用数列题
来考察学生对求和公式、等差数列、等比数列规律以及相关技巧的掌握程度。

下面讲解一
下高中数学数列试题的解题方法和技巧分析：
1、确定数列类型：当我们遇到一个数列试题时，首先要弄清楚该序列是等差数列还
是等比数列，因为这两种类型的数列的解法是不一样的。

在观察数列时要注意每项与它的
相邻项的差值是否相等，即等差数列；在观察数列时要注意每项与它的相邻项的比值是否
相等，即等比数列。

2、推导公式：既然确定了数列的类型，接下来就要推导出该类型数列的通项公式。

如果是等差数列，就要找出头项、公差和项数之间的关系；如果是等比数列，就要找出头项、公比和项数之间的关系。

3、求出指定项：当推出了相应数列的通项公式后，就可以求出指定项的值了。

如果
是等差数列，就要通过位移法；如果是等比数列，就可以通过乘幂法求出指定项的值。

4、计算总和：如果试题要求求解数列的总和，这时要用到求和公式。

对于等差数列，有Sn=n(a1+an)/2；对于等比数列，有Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

需要特别注意的是，求和公
式在求解数列总和时只有在数列的末项为无穷项时才能使用，否则就要使用暴力求和的方法。

以上就是高中数学数列试题的解题方法和技巧分析，熟练掌握这些方法和技巧，可以
让我们在数学考试中更加容易把握试题，轻松拿下高分。

如何解决数列函数和方程的复杂题目五年级下册数学期末测技巧分享数学是一门需要逻辑思维和计算能力的学科，其中数列函数和方程是基础且重要的概念。

在五年级下册的数学期末测中，经常会遇到一些复杂的数列函数和方程题目，让学生们感到头疼。

但只要掌握一些技巧，你就能轻松解决这些问题。

本文将分享一些解决数列函数和方程复杂题目的技巧，帮助你在考试中取得好成绩。

一、数列函数题目的解决方法：1. 观察数列的规律：对于给定的数列，首先要观察其规律。

注意数列项之间的关系，以及数列中数字的变化规律。

这样可以帮助你更好地理解和解决题目。

2. 求通项公式：根据数列的规律，我们可以推导出数列的通项公式。

通项公式可以帮助我们方便地求出数列的任意一项。

对于一些简单的数列，可以通过观察规律来推导通项公式，而对于一些复杂的数列，我们需要运用数列的性质和定理来推导通项公式。

3. 使用递推公式：对于一些无法找到通项公式的数列，我们可以利用递推公式来求解。

递推公式通过已知项和前一项之间的关系，帮助我们计算出数列的下一项。

4. 应用数列性质求解问题：在解决数列函数题目时，还需要灵活应用数列的性质和定义。

比如等差数列的性质可以帮助我们计算数列项之间的差值，等比数列的性质可以帮助我们计算数列项之间的比值。

二、方程题目的解决方法：1. 明确方程的类型：方程题目可以分为一元一次方程、一元二次方程等不同的类型，而每种类型的方程都有不同的解法。

在解决方程题目时，首先要明确方程的类型，然后选择相应的解法。

2. 运用逆运算求解：对于一元一次方程，我们可以通过运用逆运算来求解未知数的值。

逆运算是指将方程中的运算操作逆转，从而得到未知数的值。

3. 运用配方法求解：一元二次方程可以通过配方法来求解。

配方法的关键是将方程转化为一个完全平方式，从而方便我们求解方程的根。

4. 运用因式分解求解：一些复杂的方程可以通过因式分解来求解。

将方程进行因式分解后，再运用零乘积法则，就可以获得方程的根。

数学数列解题技巧数列问题在数学中是一个很重要的部分，解决这类问题需要的不仅仅是数学知识，还需要一些技巧和策略。

以下是几种能帮助你迅速解决数列问题的技巧。

第一种技巧：观察序列模式数列问题的解法通常有很多种，但最重要的一种解法就是分析数列中的规律。

有时候，数列的规律并不是那么显然，但如果我们能够仔细观察数列的模式，那么就可以发现一些有用的信息。

例如，考虑这样一个数列：1, 2, 4, 7, 11, 16, ...如果你能够看出这个数列的规律，那么你就能迅速解决这个问题。

观察到第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，第四项减去第三项等于3，以此类推。

因此，你可以猜到，第n项和前n-1项的差等于n-1。

如果我们将这个规律用数学语言表示出来，就是：a_n - a_n-1 = n-1其中，a_n 表示数列的第n项。

有些数列中的规律可能没有上面的数列那样显而易见。

但是，如果你有耐心，仔细观察，你就可能发现一些规律。

例如，你可能需要将数列的项数写下来，然后找出每一项之间的相对关系。

第二种技巧：使用标志数标志数是一种非常有用的数列解题技巧。

标志数是一个虚构的数，用于帮助你推导数列的规律。

标志数通常用字母表示，例如a、b、c等。

标志数可以用于表示某个地方的数列值，或是某个数列的差值等。

例如，考虑这个数列：2, 6, 12, 20, 30, ...如果你能够找到这个数列中的规律，则可以使用标志数帮助你推导答案。

因此，让我们设a为这个数列的第一项，然后逐一找出每个项之间的差值：6-2=4, 12-6=6, 20-12=8, 30-20=10这些差值看上去并不那么有规律，但是我们可以将它们再次相减:6-4=2, 8-6=2, 10-8=2这就让我们立刻看出了规律！相邻项的差值相等。

因此我们可以使用这个规律来生成您的解：a_1=2, a_2=a_1+4=6, a_3=a_2+6=12, a_4=a_3+8=20 以此类推。

数列解题思路与技巧数学高考中，数列知识点的考查已经成为高考出题人比较看重的一项考点，甚至有一部分拔高题也都和数列有着直接的关系。

下面就是小编给大家带来的高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧，希望大家喜欢！高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧1.对数列概念的考查在高中数列试题中，有一些试题可以直接通过带入已学的通项公式或求和公式，就可以得到答案，面对这一种类型的试题，没有什么技巧而言，我们只需熟练掌握相关的数列公式即可。

例如：在各项都为正数的等比数列{b}中，首项b1=3，b1+b2+b3=21，那么b3+b4+b5等于多少？解析：（1）本道试题主要是对正项数列的概念以及等比数列的通项公式和求和公式知识点的考查，考查学生对数列基础知识和基本运算的掌握能力。

（2）本试题要求学生要熟练掌握老师在课堂上所教的通项公式和求和公式。

（3）首先让我们来求公比，很明显q不等1，那么我们可以根据我们所学过的等比数列前项和公式，列出关于公比的方程，即3（1-q3）/（1-q）=21。

对于这个方程，我们首先要选择其运算的方式，要求学生平时的练习过程中，要让学生能够熟练地将高次方程转化为低次方程进行运算。

2.对数列性质的考察有些数列的试题中，经常会变换一些说法来考查学生对数列的基本性质的理解和掌握能力。

例如：己知等差数列{xn}，其中xl+x7=27，求x2+x3+x5+x6等于多少？解析：我们在课堂上学习过这样的公式：等差数列和等比数列中m+n=p+q，我们可以充分利用这一特性来解此题，即：xl+x7= x2+x6= x3+x5=27，因此，x2+x3+x5+x6=（x2+x6）+（x3+x5）=27+27=54这种类型的数列试题要求教师在课堂教学中，对数列的性质竟详细讲解，仔细推导。

使得学生能够真正的理解数列性质的来源。

3.对求通项公式的考察①利用等差、等比数列的通项公式，求通项公式②利用关系an={S1，n=1；Sn-Sn-1，n≥2}求通项公式③利用叠加、叠乘法求通项公式④利用数学归纳法求通项公式⑤利用构造法求通项公式.4.求前n项和的一些方法在最近几年的数学高考试题中，数列通项公式和数列求和这两个知识点是每年必考的，因此，在高中数学数列的课堂教学中，教师要对数列求和通项公式这方面的知识点进行细致重点的讲解。

高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题是高中数学中的一个重要知识点，对于学生来说，掌握数列的解题方法和技巧是提高数学素养的关键之一。

下面我们将介绍一些常见的数列试题解题方法和技巧。

一、等差数列解题方法和技巧：
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前面的一项之间的差等于同一个常数d（称为公差）。

解等差数列试题时需要注意以下几点：
1. 求等差数列的通项公式，通常用a_n表示第n项，a_1表示第一项，d表示公差。

如果已知首项a_1和公差d，则通项公式为：a_n = a_1 + (n-1)d。

2. 判断一个数列是否是等差数列，可以计算相邻两项的差，如果差值相等，则说明数列是等差数列。

3. 在求和问题中，可以利用等差数列的性质：n个等差数列的和等于首项和末项的和乘以项数的一半。

总结：解高中数学数列试题的方法和技巧需要掌握数列的基本概念和性质，熟练掌握通项公式、公式的应用以及特殊数列的特点。

在解题过程中，要注意分析题目的要求，灵活运用已掌握的知识和技巧，多加练习和思考，在积累经验的基础上提高解题的效率和准确性。

解析数列题目的技巧与策略数列是数学中比较基础的一个概念，它具有广泛的应用，尤其在考试中，涉及数列的题目也是很常见的。

解决数列题目的过程对学生来说可能会存在一定的难度，但是只要掌握了一定的技巧和策略，问题就可以迎刃而解了。

下面，我们来探讨一些解析数列题目的技巧和策略。

一、确定数列的类型数列可以分为等差数列和等比数列，因此在解题之前，我们需要首先判断出这个数列是属于哪一种类型。

判断等差数列的方法是看相邻两项之间差是否相等，差相等则为等差数列。

判断等比数列的方法是看相邻两项之间商是否相等，商相等则为等比数列。

二、分析数列的性质在解题之前，我们需要对数列进行一定的分析，例如数列是否单调增加或单调减少，是否具有周期性等特点。

对于等差数列，如果相邻两项的差为正数，则数列单调递增；如果相邻两项的差为负数，则数列单调递减。

对于等比数列，如果相邻两项的商为正数，则数列单调递增；如果相邻两项的商为负数，则数列单调递减。

对于周期性数列，其特点是在一定规律下不断地出现相同的周期。

三、找出数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其下标之间的关系的公式。

一旦找出了数列的通项公式，就可以快速地用之求出任意给定项的值。

对于等差数列，一般的通项公式有An=A1+(n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。

对于等比数列，一般的通项公式有An=A1*q^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，q表示公比。

有时候，数列的通项公式并不是很容易找出，此时可以考虑用递推公式来求解，即根据数列中前n项的值来推导出第n+1项。

四、应用递推公式求解递推公式是数列中比较常用的求解方法之一，它根据数列中前n项的值来推导出第n+1项。

递推公式的形式可以不同，但是它们都遵循同样的思路，即通过利用前n项的值来求出第n+1项。

对于等差数列，一般的递推公式为An=An-1+d，其中An-1为前一项，d为公差。

对于等比数列，一般的递推公式为An=An-1*q，其中An-1为前一项，q为公比。

专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +.2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = .重点题型·归类精讲3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．5．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n n a n b b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .11．22n n a n =⨯，求n S .12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式. 对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+ 一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和21．已知12nn a +=，记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+.23．已知n a n =，设14122n n n a n n n a b a a a ++++=⋅⋅⋅，证明：1214nb b b ++⋅⋅⋅+<.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．已知1n n a n =+，证明：.题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)n nn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.3121234n n a a a n a a a ++++<+题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T ;（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T ;（3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．专题4-8 数列求和技巧进阶篇题型一：（1）已知142n n a a n −+=−，14a =求n S（2）已知12nn n a a −+=，11a =求n S题型二：（1）()252nn a n =−⨯，求n S .（待定系数法）（2）1111(1)(11)nn n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+，21n a n =−，1n n n b a a +=（5）222244111111414122121n n n c n n n n −+⎛⎫===+−⎪−−−+⎝⎭题型三：（1）2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和．（2）(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和（3）,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和题型四：已知数列()()21,2,n nn n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T题型一 并项求和简化计算一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 1．已知21n a n =−，若2πcos 3n n n b a =，求数列{}n b 的前31n +项和31n T +. 【解析】()2π2πcos 21cos 33n n n n b a n ==−， 【法一】并项求和()()()()()3133162π62π6π63cos 61cos 61cos333n n n n n n b b b n n n −+−+++=−+−++ ()()()22π63cosπ61cos 2π61cos33n n n −=−+−++ 化简得()()3133111636161022n n n b b b n n n −+++=−−+−−+=，故()()()311234567313311102n n n n T b b b b b b b b b b b +−+=++++++++++=+=−【法二】分组求和重点题型·归类精讲311233231331n n n n n T b b b b b b b +−−+=+++++++()()()311111135165636112222n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++−⨯−+−⨯−+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1612n ⎛⎫++⨯− ⎪⎝⎭()()()()165363561111161222222n n n n n n n +−+−+−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−+⨯−+⨯++⨯− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233113232222n n n n n n =−+−++−−=−，所以，数列{}n b 的前31n +项和3112n T +=−2．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1232,3,4a a a ===，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S = . 【答案】366【分析】设12n n n n b a a a ++=++，易得()9118n b n n =+−⨯=+，再由4012538S a b b b =++++求解.【详解】解：设12n n n n b a a a ++=++，由题意知{}n b 是公差为1的等差数列， 则11239b a a a =++=，故()9118n b n n =+−⨯=+，则21110b b =+=， 故()()()()25381323828583881383642b b b ⨯++++=++++++=⨯+=.于是()()()401234567383940S a a a a a a a a a a =+++++++++，125382364366a b b b =++++=+=.3．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知142n n a a n −+=−，14a =求n S ．【答案】22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时 【详解】解：()141242n n a a n n −+=−+=−，*n ∈N ，2n ≥． 当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a −+−=++++++=2n n =+； 当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a −−+−=+++++++=+22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.4．已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)21nn n n S a a n ++−=−，则8S = ．【答案】36【解析】由题意可得n 为奇数时，12121,21n n n n a a n a a n +++−=−+=+， 两式相减得22n n a a ++=；n 为偶数时，12121,21n n n n a a n a a n ++++=−−=+，两式相加得24n n a a n ++=，故()()()()8135724682282436S a a a a a a a a =+++++++=+++=. 故答案为：365．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++−=，50600S =，则12a a += .【答案】12−【解析】当43,n k k =+∈N 时，则()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++为偶数，可得()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++−==++，()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++−+==+，两式相加可得：4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，故()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=，解得1212a a +=−.6．已知21n a n =−，记()1nn n b S =−，求数列{}n b 的前30项的和30T .【解析】2(121)2n n n S n +−==， 所以2(1)(1)=−−=⋅n n n n b n S ， 所以2222223012342930T =−+−++−+()()()()()()2112433430292930=−⋅++−⋅+++−⋅+12342930=++++++30(130)4652⨯+==.7．已知12n n a +=，设()21log nn n b a =−，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20k T =的k 的值．【解析】()()()21log 11n nn n b a n =−=−+，212212(1)2(1)(21)1n nn n b b n n −−+=−⋅+−+=，当k 为偶数时，12341()()()2k k k k T b b b b b b −=++++++=，令202k kT ==，得40k =；当k 为奇数时，1113(2)22k k k k k T T b k ++++=−=−+=−，令3202k k T +==，得37k =， 所以40k =或37.8．已知13n n a =−，若()22π1cos 3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．【解析】()2222π2π12π1cos 11cos cos33393n n n n n n b a n ⎛⎫=+=−+= ⎪⎝⎭. 因为当N k *∈时，2223231324π12π5cos 2πcos 2πcos 2π333318k k k b b b k k k k k k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=−−+−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()18123345161718T b b b b b b b b b =+++++++++．555555123456181818181818=−+−+−+−+−+− 558(123456)6183=+++++−⨯= 所以数列{}n b 的前18项和为583.9．已知212n n a −=，设11b =，1,,n n na nb b n n +⎧=⎨−+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【详解】当n 为奇数时，2112n n n b a −+==； 则当n 为偶数时，1n n b b n ++=. 2122n n S b b b =+++()()()()1223452221n n n b b b b b b b b −−=+++++++()2112422n a n −=+++++−()()43432222112212n n n n n n −−+−−=++=+−+.题型二 裂项求和差比数列的其它处理方式（待定系数法）10．()252nn a n =−⨯，求n S .【答案】()()()()125212222n n n nn a n n n n λμλμλλμ+=−⨯=⎡++⎤⨯−+⨯=++⨯⎣⎦，22259λλλμμ==⎧⎧⇒⎨⎨+=−=−⎩⎩()()12192292n n n a n n +=⎡+−⎤⨯−−⨯⎣⎦，()()1121921427214n n n S n n ++=⎡+−⎤⨯+=−⨯+⎣⎦.213n nn a +=，求n S . 【答案】()11212233333n n n n nn n n n a λμλμλμλ−−++++−==−=， 112312λλμλμ==⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩，()112233n n n n n a −−++=−，223n nn S +=−.11．22n n a n =⨯，求n S .【答案】()()2121122n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()24222n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦， 令114042206t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=−⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()()21214162462n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=+−++⨯−−+⨯⎣⎦⎣⎦ ()()()21211416262326n n n S n n n n ++⎡⎤=+−++⨯−=−+⨯−⎣⎦.12．()2414133nn a n n =++⨯，求n S .【答案】()()2121133n nn a n n t n n t λμλμ+⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦()22623323n n n t λλμλμ⎡⎤=+++++⨯⎣⎦24262141332132t t λλλμμλμ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， ()()21221123223n nn a n n n n +⎡⎤⎡⎤=++++⨯−++⨯⎣⎦⎣⎦， ()()()21212112315255315n n n S n n n n ++⎡⎤=++++⨯−=++⨯−⎣⎦.【裂项相加】：(-1)n例：()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫−⋅=−+ ⎪++⎝⎭，本类模型典型标志在通项中含有(1)n −乘以一个分式.对于11(1)nn n n n n a a b a a ++=−+可以裂项为1111(1)(11)n n n n n n n nn a a b a a a a +++⎛⎫+ ⎪−+⎝=−⎭=13．若21n a n =−，数列{}n b 满足11(1)n n n n nb a a ++−=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T【答案】11(1)1421n n T n +⎡⎤−=+⎢⎥+⎣⎦. 【详解】由题可得1111(1)(1)(1)11(21)(21)42121n n n n n n n n b a a n n n n ++++−−−⎛⎫===+ ⎪−+−+⎝⎭，所以1111111(1)111(1)114343542121421n n n T n n n ++⎡⎤−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.14．已知数列{}n a 满足31nn a =−，若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++−⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．【答案】()()21142n n T n −=−+ 【分析】()()()2211112nn b n n ⎛⎫=−+⎪ ⎪++⎝⎭，分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下，利用裂项相消法和11n n n T T b ++=−求得结果，综合两种情况可得n T .【详解】()()()()()()()()()22222233221212651265111log log 132231nnnn n n n n n n n n n n b ++⎛⎫−⋅++−⋅++∴===−+ ⎪ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n为偶数时，()22222222111111112334451n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+++−−+⋅⋅⋅+−−+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭()()()22211114122n n n ⎛⎫+=− ⎪ ⎪+++⎝⎭；当n 为奇数时，()()()()112222111111443232n n n T T b n n n n ++=−=−−−=−−++++； 综上所述：()()21142n n T n −=−+.15．已知21n b n =−，设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=−++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤−.【详解】12121111(1)(1)(1),(1)(1)4(1)41nn n n n n n n c b b n n n n +++⎛⎫=−=−=−+ ⎪++++⎝⎭所以211111111111....1,41223212221421n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=−−++−−−+=− ⎪⎪−++⎝⎭⎝⎭由于2111(11)421n T n t n ⎛⎫=−≤≤−⎪+⎝⎭是递减的，所以211111.4216n T T ⎛⎫≤=−⎪⎭=− +⎝16．已知21nn a =−，求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+−⎪⎪−⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】1111111122211(1)()(1)()(1)()n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++++−−⋅=−=−+，所以()()()11111223111111111111121n n n n n nn n T a a a a a a a ++++++−−⎛⎫⎛⎫=+−+++−+=+=+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭． 17．已知()()612n a n n =++，若()()231nn n b n a =+−，求{}n b 的前n 项和n T .【详解】()()()2316112n n n n b n a n n ⎛⎫=+−=−+ ⎪++⎝⎭， 所以()1211111166********n n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=−+++++−+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()6312nn =−+−+. 【等差数列相邻2两项之积构成的的新数列】例如：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=++−−+一般式，当公差为k 时：[]1()()(2)()()3kn kn k kn kn k kn k kn k kn kn k k⋅+=⋅+⋅+−−⋅⋅+ 18．已知21n a n =−，1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T【答案】21(461)3n T n n n =+−.【分析】对n b 裂项，利用裂项相消法计算作答.【详解】当2n ≥时，()121112116n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++−+++−+−=−=6n b =，因此，12111()6n n n n n n n b a a a a a a ++−+=−，1212312211()(15)66nk n n n n n n k b a a a a a a a a a ++++==−=−∑，则21121221151(15)(21)(21)(23)3(461)6623nn k n n n k T b b a a a a a n n n n n n ++==+=−+=−++−+=+−∑，13b =满足上式，所以21(461)3n T n n n =+−.19．已知21n a n =−，()11nn n n b a a +=−，求数列{n b }的前n 项和n T .【答案】2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩【分析】对n 分奇偶讨论，当n 为偶数时，采用并项法求和，当n 为奇数时，11n n n n T a a T −+=− 【详解】当n 为偶数时， ()1223344511nn n n T a a a a a a a a a a +=−+−++−+()()()21343511n n n a a a a a a a a a −+=−++−+++−+()()()24321244212n nn a a a n n +−=+++==+当n 为奇数时， 当1n =时，13T =− 当3n ≥时，11n n n n T a a T −+=−()()()213232421212212n n n n n n −+−=−−+=−−+ 经检验，1T 也满足上式，所以当n 为奇数时，2221n T n n =−−+综上，数列{}n b 的前n 项和2*2*22,2,N 221,21,N n n n n k k T n n n k k ⎧+=∈=⎨−−+=−∈⎩一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−⎛⎫==−⋅=− ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n 一般结构()()()()()11111n n na kn a kn ab b a kn b k n b a k k n b a b =−−⎡⎤⎡⎤−++++⎣⎦−++⎣−⎦20．已知3n n b =，若()()*24141n n n b c n n +=∈−N ，求数列{}n c 的前n 项和 【详解】由()()*24141n n n b c n n +=∈−N ， 可得()()()()1441132121321321n n n n n c n n n n −+==−−+−+，则数列{}n c 的前n 项和为()()0112111111131333335321321n n n n −−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯−+ ()11321n n =−+.21．已知12nn a +=，记2(1)n n a b n n+=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 【解析】因为22(1)n n n a b n n++=+， 所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===−⎢⎥+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦，所以数列{}n b 的前n 项和为：()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=−=−⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦．22．已知2222n n n n b ++=，求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n −+++⋯++<⨯⨯⨯−⨯⨯+. 【详解】()()()1222211212n n n b n n n n n n n n n n n ++++++==⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯.()1111122212n n n n n ++⎛⎫=⨯+− ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭()()3112..12233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+ ()21232311111111111221222222322212n n n n n ++⎛⎫=⨯+−++−+⋯++− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭. ()211111221121121212nn n +⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⨯+− ⎪⨯+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭()111121 2.212n n n ++⎛⎫=−−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭另解：()()()21122122112212n n n n b n n n n n n n n n n ++⎛⎫++++==⨯− ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭()()311212233411n n b b b b bn n n n −∴+++⋯⋯++⨯⨯⨯−⨯⨯+()2231233412212222232212n n n n n n +⎛⎫++=⨯−+−+⋯+− ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭ ()1221212n n n +⎛⎫+=⨯−< ⎪ ⎪+⨯⎝⎭.得证23．已知n a n =，设14122n n a n n n b a a a +++=⋅⋅⋅1214n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【详解】解：因为14111241422(1)(2)12(2)n n n a n n n n n a n n b a a a n n n n n n ++++++++===⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅+，1112(1)2(1)(2)n n n b n n n n +=−⋅⋅+⋅++，故12n b b b ++⋅⋅⋅+=22311111112122232232342(1)2(1)(2)n n n n n n +−+−+⋅⋅⋅+−⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅+⋅++111142(1)(2)4n n n +=−<⋅++.对式子变形后再裂项24．已知121n a n =−，设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解析】()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +−+⎛⎫=====+=+− ⎪−+−−−+−+⎝⎭ 12311111112335212121n n nT c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+−+−++−=+ ⎪−++⎝⎭.25．已知24n a n =+，记1n nb na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【解析】()111112442n n b na n n n n ⎛⎫===− ⎪++⎝⎭， ∴11111111111432435462n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭ 32384(1)(2)n n n +=−++.26．已知()()*1N 1n a n n n =∈+，若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】2222111(1)n n b n n n +==+，则()2222222211111111223(1)(1)(1)n n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−=−= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.27．已知1n n a n =+，证明：. 【分析】由，得到，结合裂项求和及，即可得证. 【详解】解：由，则.所以.3121234n n a a a n a a a ++++<+1n na n =+1111122n n a a n n +⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭11012n n +>++1n n a n =+()()()()2112111112222n n n n n aa n n n n n n ++++⎛⎫===+− ⎪+++⎝⎭3121211111111111232435112n n a a a n a a a n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+−+−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113111122124212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++−−=+−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为，所以， 即题型三 (-1)n 的处理28．已知2(1)nnn a =−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解答】直接用等比数列求和公式(2)n n a =−，则()()()2122221233n n n S ⎡⎤−−−⎣⎦==−+⋅−−−29．已知(21)(1)nn a n =−−，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【分析】错位相减比分奇偶讨论要方便【解答】1231(1)3(1)5(1)(21)(1)n n S n =⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−所以23411(1)3(1)5(1)(23)(1)(21)(1)n n n S n n +−=⨯−+⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−， 相减得23121(1)2[(1)(1)(1)](21)(1)n n n S n +=⨯−+⨯−+−++−−−⨯−211(1)1(1)12(21)(1)1(1)n n n −+⎡⎤−−−⎣⎦=−+⨯−−⨯−−−12(1)n n +=−−，所以1(1)(1)n nn S n n +=−−=−.30．在,2n n n a n b ==，求数列{}(1)n n n a b −的前n 项和n T ．【分析】错位相减即可【解答】记(1)2(2)n n nn c n n =−⋅=−，1231(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n n −=−+⋅−+⋅−+⋯+−⋅−+⋅−23122(2)2(2)(1)(2)(2)n n T n n +−=−+⋅−+⋯+−−+−123113(2)(2)(2)(2)(22)(2))21(21n n n n n T n n ++=−+−+−+⋯+−−−⎡−−⎤−−−⎣⎦=+，11012n n +>++3111342124n n n n ⎛⎫+−+<+ ⎪++⎝⎭3121234n n a a a n a a a ++++<+12(31)(2)9n n n T +−−+−=.31．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n n n n a S ++−=，令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++.【答案】2122n +−【分析】根据偶数项和奇数项的关系可得221212222k k k k a a −++=+，进而根据分组求和即可. 【详解】当2n k =时，22122kk k a S ++=， 当21n k =−时，221212k k k a S −−=−，两式相加可得22121221222k k k k k k a S a S +−−=+−++，得221212222k k k k a a −++=+，由于12n n n b a a +=+，所以()()()()32547462622212222n n n b b b b a a a a a a a a +=++++++++++++()()()()21436522122222222n n −=++++++++()()24621352122222222n n −=+++++++++()()21414214221414n n n +−−=+=−−−题型四 分奇偶项求和11．已知数列()()21,2,n n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 （1）求数列{}n a 的前20项和20T （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n T . （3）求数列{}n a 的前21n −项和21n T −. （4）求数列{}n a 的前n 项和n T 【详解】（1）201351924620()()T C C c C c c C c =+++++++++24620(371139)(2222)=+++++++++()21011214(330)1062642143−+⨯+=+=−（2）由（1）知()()21,2,n n n n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.记13521n k A c c c c −=+++⋅⋅⋅+，2462n k B c c c c =+++⋅⋅⋅+2141k c k −=−，故234122n k A k k k +−=⋅=+ 222kk c =，故()224124241433k k nB ⋅−⋅==−− 1224123k k T A B k k +−=+=++ （3）2212124123k k k k T T c k k −−−=−=++ （4）当n 为偶数时，记n=2k则有1224123k k T k k +−=++，故222123n n n n T ++−=+当n 为奇数时，记n=2k -1则有2214123k k T k k −−=++，故21322423n n T n n +++=+− 故()22122212,22324,2,133n n n n n n k T n n n k k N +++++−⎧+−+=⎪⎪==⎪⎪⎩−∈+⎨32．已知21,n a n −=2n a =212n +，记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出()()2841123kk k k S −+=+，进而得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案；解法三：分组求和得出()21124823k k k k S −+⨯−=+，求解即可得出答案. 【详解】解法一：9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++ ()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法二：*k ∈N 时，21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+， 所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<，()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10. 解法三：当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++ ()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， 所以n 的最小值为10.33．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nn a =，若13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】,3,n n n n b n −⎧=⎨⎩为奇数为偶数，当n 为偶数时，()()1213124n n n n T b b b b b b b b b −=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()24131333n n =−++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+()2919112219nn n ⎛⎫− ⎪⎡⎤⋅+−⎣⎦⎝⎭=−⨯+− ()293184n n =−−； 当n 为奇数时()()211111931384n n n n n n T T b +++++=−=−−−()211193884n n ++=⨯−−；综上所述：()()2121193,884931,84n n nn n T n n +⎧+⨯−−⎪⎪=⎨⎪−−⎪⎩为奇数为偶数.。

数学中数列题解题技巧与关键知识点数列是数学中一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

解决数列题需要掌握一些关键的技巧和知识点。

本文将介绍数列题的解题技巧，并列举一些数列题的关键知识点。

一、等差数列的解题技巧等差数列是最常见的数列类型之一。

解决等差数列题可以运用以下技巧：1. 找出公差：公差是等差数列中相邻两项的差值，一般表示为d。

通过找出公差，可以帮助我们确定等差数列的规律。

2. 判断首项和通项公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

通过已知条件，可以确定首项和公差的值，并利用通项公式解决问题。

3. 利用等差数列的性质：等差数列具有一些特殊的性质，如任意三项的和等于三倍的中间项、前n项和的计算公式等。

在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。

二、等比数列的解题技巧等比数列是另一类常见的数列类型。

解决等比数列题可以运用以下技巧：1. 找出公比：公比是等比数列中相邻两项的比值，一般表示为q。

通过找出公比，可以帮助我们确定等比数列的规律。

2. 判断首项和通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。

通过已知条件，可以确定首项和公比的值，并利用通项公式解决问题。

3. 利用等比数列的性质：等比数列具有一些特殊的性质，如任意相邻三项的乘积相等等。

在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。

三、斐波那契数列的解题技巧斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项的和。

解决斐波那契数列题可以运用以下技巧：1. 理解斐波那契数列的定义：斐波那契数列的前两项分别为0和1，后面的每一项都是前两项的和。

通过理解这个定义，可以找出斐波那契数列的规律。

2. 利用递推关系求解：斐波那契数列可以通过递推关系an = an-1 + an-2求解，其中an表示第n项。

五年级数学解决数列问题的方法数列是数学中非常重要的概念，对于五年级的学生来说，学习解决数列问题的方法是至关重要的。

本文将介绍一些解决数列问题的方法，帮助五年级的学生更好地掌握和应用数列的知识。

一、数列的定义与表示数列是按照一定的规律排列的一组数，通常用{ }表示。

数列中的每个数称为项，第一个数称为首项，后续的数称为公差。

数列可以有无限多个项，也可以有有限多个项。

二、等差数列的解决方法等差数列是最常见的数列类型之一，其中每一项与前一项之间的差值都相等。

解决等差数列问题的方法有以下几种：1. 求公差：首先需要找到数列中任意两项之间的差值，即公差。

计算公差的方法是将两项之间的差值除以项数减一。

2. 求首项与末项：如果已知数列的首项和公差，可以通过公式a_n= a_1 + (n-1)d来计算数列的末项。

其中，a_n表示末项，a_1表示首项，n表示项数，d表示公差。

3. 求项数：已知数列的首项、末项和公差，可以通过公式n = (a_n - a_1) / d + 1来计算数列的项数。

4. 求和：如果需要计算数列的和，可以使用等差数列求和公式S_n= (n/2)(a_1 + a_n)来进行计算。

其中，S_n表示数列的和。

三、等比数列的解决方法等比数列是另一种常见的数列类型，其中每一项与前一项之间的比值都相等。

解决等比数列问题的方法有以下几种：1. 求公比：首先需要找到数列中任意两项之间的比值，即公比。

计算公比的方法是将任意一项除以其前一项。

2. 求首项与末项：如果已知数列的首项和公比，可以通过公式a_n= a_1 * r^(n-1)来计算数列的末项。

其中，a_n表示末项，a_1表示首项，r表示公比，n表示项数。

3. 求项数：已知数列的首项、末项和公比，可以通过公式n =log(a_n / a_1) / log(r) + 1来计算数列的项数。

其中，log表示以某个底数为底的对数运算。

4. 求和：如果需要计算数列的和，可以使用等比数列求和公式S_n= a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)来进行计算。

求解数列的基本方法和技巧解数列是高中数学中的一个重要内容，它涉及到数学运算中的递推、递归、等差数列、等比数列等概念。

正确掌握解数列的基本方法和技巧对于高中数学的学习和考试都非常重要。

下面将介绍解数列的基本方法和技巧。

一、观察法观察法是解数列问题最基本的方法。

通过观察数列的前几项，根据数列的规律找出数列的通项公式。

在观察数列时，可以注意数列的递推关系、差分关系、倍数关系、递归关系等。

例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, 14, …}，我们可以通过观察得到数列的公差为3，递推关系为An = An-1 + 3，因此数列的通项公式为An = 2 + 3(n-1)。

二、差分法差分法是解决数列问题的常用方法之一。

通过对数列进行差分，可以得到一个新的数列，然后再对新的数列进行观察和分析，找出其规律。

对于等差数列{2, 5, 8, 11, 14, …}，我们可以对数列进行一次差分得到{3, 3, 3, 3, …}，再观察得到这个新数列是一个常数数列。

因此，可以推断原数列的公差为3。

三、通项公式通项公式是在观察数列的规律后，通过一般的代数方法推导出的数列的表达式。

常见的数列通项公式有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。

对于等差数列{2, 5, 8, 11, 14, …}，通过观察可以得到数列的公差为3，首项为2，因此数列的通项公式为An = 2 + 3(n-1)。

对于等比数列{2, 6, 18, 54, 162, …}，通过观察可以得到数列的公比为3，首项为2，因此数列的通项公式为An = 2 * 3^(n-1)。

四、递推关系递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过递推关系可以得到数列的通项公式。

对于等差数列{2, 5, 8, 11, 14, …}，通过观察可以发现数列的递推关系为An = An-1 + 3，其中A1 = 2，因此数列的通项公式为An = A1 + 3(n-1)。

五、递归关系递归关系是指数列中后一项和前几项之间的关系，通过递归关系可以得到数列的通项公式。

数列解题思路与技巧数列解题是高中数学中的一个重要内容。

随着中考、高考对数学知识的要求日益提高，我们需要不断提高自己的数列解题能力。

本文将分享一些数列解题的思路与技巧，希望能给大家提供一些帮助。

一、数列的定义与分类数列是一组有序的、按照某种规律排列的数字。

通常用a1、a2、a3……an 表示，其中a1 为首项，an 为末项，n 为项数。

数列可分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等多种类型。

在解决数列问题时，要首先确定所给数列的类型。

二、等差数列的解题思路与方法等差数列常见的应用有求和、求公差、求项数等。

其中，求和是最常见的问题。

下面我们将讨论如何解决等差数列求和的问题。

1. 求和公式对于首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n 的等差数列，它的前n 项和可以用以下公式表示：Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)其中，Sn 表示前n 项的和。

这是一个经典的求和公式，掌握之后可以大幅提高求和的效率。

2. 已知首项、末项和项数，求和如果已知首项、末项和项数，我们可以通过求出公差来使用求和公式计算和。

例如，已知首项为1，末项为100，项数为20，求和。

首先，根据公式an=a1+(n-1)×d，可以求出公差为5。

然后，代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=20/2(2 ×1+(20-1) × 5)=1010。

因此，所求和为1010。

3. 已知首项、公差和项数，求和如果已知首项、公差和项数，我们可以直接使用求和公式计算和。

例如，已知首项为3，公差为2，项数为10，求和。

代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=10/2(2 ×3+(10-1) × 2)=65。

因此，所求和为65。

三、等比数列的解题思路与方法等比数列也是数列中重要的一类。

数学数列问题的答题技巧数学数列问题的答题技巧学生们在高中的数学学习过程中如果能够充分掌握高中数学数列试题的解题方法和技巧，这对于在大学期间学习数学会有很大的帮助。

高考数列通项、求和的答题技巧(1)解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

(2)构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

高考数列问题的易错点1.忽视等递推关系成立的条件，从而忽视检验前几项。

2.忽视n为正整数的默认条件，冒然求导，或利用不等式得到非整数的取等条件。

也会因此心理忽视这一个很好用(2) 通项公式：an=a1&times;q^(n-1); 推广式：an=am&times;q^(n-m);(3) 求和公式：Sn=n&times;a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an&times;q)/(1-q) (q&ne;1) (q 为公比，n为项数)(4)性质：①若 m、n、p、q&isin;N，且m+n=p+q，则am&times;an=ap&times;aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q&isin;N，且m+n=2q，则am&times;an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G &ne; 0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

数学解决数列问题的四种常用方法数列是数学中常见的概念，它由一系列按特定规律排列的数字组成。

解决数列问题需要运用一定的数学方法和技巧。

本文将介绍解决数列问题的四种常用方法，它们分别是递推法、通项公式法、等差数列求和法和等比数列求和法。

一、递推法递推法是解决数列问题最基础的方法，它通过找出数列中相邻项之间的关系来求解。

具体步骤如下：1.观察数列的前几项，找出相邻项之间的规律；2.根据规律确定递推关系，即确定如何从前一项得到后一项；3.根据递推关系，逐步求解数列的其他项，直到得到所需要的项。

递推法在解决数列问题时常常需要运用数学归纳法来证明递推关系的正确性。

二、通项公式法通项公式法是解决数列问题的一种高级方法，它通过找出数列中每一项与项号之间的关系，推导出数列的通项公式，从而直接求解数列的任意项。

具体步骤如下：1.观察数列的前几项，找出每一项与项号之间的规律；2.根据规律写出每一项与项号之间的表达式；3.将项号替换为所需的项数值，得到所需的项。

通项公式法适用于数列中每一项与项号之间存在较为明显的规律的情况。

三、等差数列求和法等差数列指的是数列中相邻两项之间的差值恒为常数的数列。

利用等差数列的特点，我们可以采用等差数列求和公式来求解等差数列的和。

具体步骤如下：1.确定数列的首项和公差；2.利用等差数列求和公式，将数列的首项、项数和公差带入计算；3.计算得到数列的和。

等差数列求和法适用于求解等差数列的和的问题，可以大大简化计算过程。

四、等比数列求和法等比数列指的是数列中相邻两项之间的比值恒为常数的数列。

利用等比数列的特点，我们可以采用等比数列求和公式来求解等比数列的和。

具体步骤如下：1.确定数列的首项和公比；2.利用等比数列求和公式，将数列的首项、项数和公比带入计算；3.计算得到数列的和。

等比数列求和法适用于求解等比数列的和的问题，同样可以简化计算过程。

总结：数学解决数列问题的四种常用方法是递推法、通项公式法、等差数列求和法和等比数列求和法。

如何解决数列与函数题五年级下册数学期末测技巧分享数列与函数题是五年级下册数学学习中的重要部分，也是在期末测中常常出现的题型。

针对这一类型的问题，掌握一些技巧和解题方法是非常必要的。

本文将分享一些解决数列与函数题的技巧，希望对同学们的数学学习有所帮助。

数列题部分数列题通常是以数列的规律性质为核心，要求学生根据数列的规律填写数列中的数字，或者推断数列中的某个数字。

下面介绍一些解决数列题的技巧：1. 观察法：首先，我们需要仔细观察数列中数字的变化规律。

可以从相邻数字之间的差值、倍数关系、递增递减规律等方面入手，找到数列中数字之间的关系。

比如，如果数列中的数字是递增的，那么可以判断数列是等差数列；如果数列中的数字是递减的，那么可以判断数列是等差数列。

2. 推导法：当我们观察到一定的规律后，可以通过推导来确定数列中的数字。

比如，我们可以通过计算得出相邻数字之间的差值，然后再根据这个差值来确定其他位置上的数字。

3. 列式法：对于一些复杂的数列题，我们可以通过列式的方式来解题。

将数列中的数字写成一个通项公式，然后根据已知条件来求解未知的数字。

函数题部分函数题是数学学习中较为复杂的一种题型，主要涉及到函数的概念和性质。

下面是一些解决函数题的技巧：1. 确定函数关系：首先，我们需要明确函数的关系是怎样的。

函数可以表示为一种依赖关系，比如输入x经过函数处理后得到输出y。

通过观察已知的输入和输出，我们可以确定函数的关系是线性函数、二次函数还是其他类型的函数。

2. 求解未知：在函数题中，常常需要求解未知的值。

我们可以通过已知的函数关系和充分的信息来求解未知。

对于线性函数，我们可以利用函数的斜率和截距来求解未知；对于二次函数，我们可以利用平方项和常数项来求解未知。

3. 推广函数性质：在解决函数题的过程中，我们还可以运用函数的一些性质进行推广。

比如对于奇数函数和偶数函数来说，当输入的值相反时，函数的输出也相反；对于对称函数来说，当输入的值关于某一点对称时，输出也关于该点对称。

处理数列问题的五个常用小技巧高考中，解决数列问题的技巧性较强，掌握一些处理数列问题的常用技巧，对寻找切入点，化归数列问题，提高解题的准确性都有所帮助.1、等差（比）数列的前n 项和公式和与通项公式的快速转化：大家知道，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式是：11(1)()n a a n d dn a d ，前n 项和公式是：1111()[(1)](1)222n nn a a n a a n d d S na n n 21()22d d na n .当d0时，通项公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的二次函数.对比1()na dn a d 与n S 21()22d d na n 可知：前n 项和公式变成通项公式是把n 降次：22n ns d d a nn，可借助导数记为：2nS anbn'n na S a ，其中'n S 是n S 的导数（把n 看成自变量），用口诀可记为：二次变一次，求导减二系.通项公式变成前n 项和公式是把n 升次：()22nnd d S a nn .用口诀记为：一次变二次，一次项减半，加上半系，然后升次如：2223[(3)1]22nn n a n S n nn 22nS nn2'1(2)'1n n a S nn 二次项系数=221n =23n , 一般地，na an b[()]22n an a S b n 211()22anba n2n S a nb n 2()'na a nb n a =2an b a特别地，2(1)2()(2)nna b c n S an bn ca anb a n若0c ，则数列从第二项起成等差数列.公比为q 的等比数列{a n }的通项公式为：11n na a q ，当q 1时，前n 项和公式为：1111(1)(1)()1111nnnna q a qa a S qqq q q .由等比数列的通项公式求其前项和公式，公比等于1的比较简单，公比等于2或12比较常用，在后面将要表述.当公比1q时，也可以是1111n n na a q a q a S q q ，可用口诀记为：末项乘以公比减去首项.，再把差除以（公比－1）.这是主要描述前n 项和公式变成通项公式.当,0nns aqb ab且0,1abqq （）时，对比11()11nn a a S qq q 知，11a aq ，从而1(1)a a q .即：,0nns aq b a b 且1(1)n na a q q.若,0nns aqb a b且，则1,1(1),2nn aq b n a a q qn，此时的1a 不符合1(1)n na a q q.2、公比是2或12的等比数列中，序号连续的项的和的求法对于等比数列{}n a ，当公比1q时，1111n n na a q a q a S q q ，当2q时，12nn S a a ，若公比为12，则倒序后变为公比是2，因而可归纳为：公比为2或12的等比数列中，序号连续的项的和，等于绝对值最大的加数的2倍减去绝对值最小的加数.如：124828115（－2）+（—4）+…+（—256）＝2（—256）—（－2）＝－5101111112047224820482204820483、非常手段求等差、等比数列的公差、公比数列的项的序号应取正整数，若以每项的序号为横坐标，该项的值为纵坐标来描点，则等差数列的图象是一条直线上一系列孤立的点.等比数列的图象是一条指数型函数（不一定是指数函数）图象上一系列孤立的点.因而我们也可以把这两种数列的图象拓展为连续曲线（直线也可以看成是直线），利用曲线上其它的点来确定一次函数或指数型函数中的参数.基于这个观点，可以让数列的项的序号取正整数外的其它数，有时处理起问题来会显得更方便.尤其是在做选择题、填空题时，不需要参考解题过程评分，利用这样的方式来处理更准更快.例1、等差数列n a ｛｝的前n 项和为n S ，且2S =10, 4S ＝36，则这个数列n a ｛｝的公差是按常规，列出一个关于首项1a 和公差d 的二元一次一方程组，消去首项1a ，解出公差d 即可. 但如此处理会更快些：2S =101.5a ＝5，4S ＝362.5a ＝9 于是， 2.51.59542.5 1.51a a d.公差实质上是直线的斜率.可以利用直线上两个点11,1222(),(,)P x y P x y 的纵坐标之差除以对应的横坐标之差，即：2121y y kx x （12x x ），或1212y y k x x （12x x ）.在数列中，利用两个点2(,),(,)m n M m a N n a 可得mna y dm n （m n ），或n m a a d nm（m n ）.与等差数列类似，也可借助曲线来解决相关问题，此处不再赘述.4、递推公式为：1()nna qa f n （0q ，()f n 是非零常数，或一、二次函数，或指数型函数）的数列n a ｛｝的通项公式的求法对数列的考查仍然以等差、等比数列为主线，命题时加上一些加、乘、乘方运算变化，把等差、等比的属性隐盖起来，使得问题出现的面孔有所改变.作为考生要做的事情，就是把隐藏了的等差、等比性质拨离出来，再用处理等差、等比的常规手段来处理.（1）当()f n 是一个非零常数d时，1nna qa d例2、已知数列n a ｛｝，111,23nna a a , 求数列n a ｛｝的通项公式.猜想：把常数3分配成两个数相加到1n a 和n a 上，变成1()nn a c q a c 的形式. 解：123nna a 当2n时，132(3)nna a 113(3)2n n a a 11a 123n na ,验证知符合 1.n数列n a ｛｝的通项公式为：123n na 一般地，如果数列n a ｛｝满足：11,nna a a qa d (0,1)q,可以把这个数列的每项都加上一个常数c ,使它变成公比为q 的等比数列.即：{}na c 是公比为q 的等比数列.设1()nna c q a c （2n），则1(1)nn a qa q c ，对比当2n时，1nna qa d ，得1dcq .可得到：11()()1111n n nn d dd d a aqa a qq q q q 1()1nn naqd a qda q 这种数列是把等比数列的各项加上一个常数后得到的数列.或者说成是等比数列平移后的数列.在通项公式上的表现是，相邻两项是一次函数的关系.（2）1nna qa anb （1q）型与处理（1）类似，令1(1)()nna s n tq a sn t ，则1(1)(1)nna qa q sn q t s ，对比1nn a qa an b ，得：(1)(1)q s a q ts b，可得到,s t 的值.与处理1nna qa anb （1q）型类似，也可求出21nna qa anbn c 型（相当于2()f n anbnc 型的数列的通项公式.（3）1n kn na qa ap（相当于()n kf n ap ）的可先转化成1n na qa d 型的来处理例3、在数列n a ｛｝中，14a ，1652nnna a (2n ).求数列n a ｛｝的通项公式.过程略.答案：11526n n na 以上主要分析1q 的情形，1q 的情形较简单，后面给出3道题供练习.5、对于含有n S 和n a 的递推公式例4、已知数列{}n a 中，1n13,S (1)(1)12na n n a 前项和（I ）求证：数列{}n a 是等差数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式.（I ）证明：由n1S (1)(1)12n n a ，得当2n 时，n 111S (11)(1)12n n a －＝11(1)12n n a 1n n S S 1(1)2n n a －112n na +122n a ＝(1)n n a －1n na +1(1)n n a －1n na +1＝0……….①又1(1)10nn na n a ………..②②－①，得：1120nn nna na na 11nn n na a a a 数列{}n a 是等差数列.（Ⅱ）解：由n1S (1)(1)12n n a ，得1221(21)(1)12a a a ，联系13a 可得，25a .故d ＝5－3＝2数列{}n a 的通项公式为：21na n 练习1、数列{}n a 满足：111,,nn a a a n 求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列n a ｛｝，1111,3(2)n n na a a n, 求数列n a ｛｝的通项公式.（312nn a ）3、在数列n a ｛｝中, 1114,(2)2n nnna a a ,其中>0. 求数列n a ｛｝的通项公式；通项公式为：(1)2nnna n ；。