4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。

- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。

- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。

- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。

2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。

- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。

- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。

- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。

直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。

下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。

-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。

- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。

-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。

2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。

- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。

3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。

-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。

- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。

第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。

教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。

二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。

例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。

不定积分的定义和计算不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。

在数学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数的逆运算。

一、不定积分的定义不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。

给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

二、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分的方法。

根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具体如下：（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。

2. 分部积分法分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。

公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。

通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。

3. 代换法代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。

通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。

常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。

4. 部分分式分解法当需要求解一个复杂的有理函数的不定积分时，可以使用部分分式分解法。

这个方法将有理函数表示为简单的分式之和，然后逐个求解每个分式的不定积分。

5. 其他方法除了上述方法外，还有一些特定函数的不定积分可以采用特殊的方法求解，例如三角函数、双曲函数、反三角函数等。

不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。

在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。

1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。

3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。

5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。

6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。