第二十七章相似测试题

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。

第二十七章相似全章测试一、选择题1.如图，ciABCD 中，EF 〃AB, DE : EA=2 : 3, EF = 4,则 CD 的长为（）16A. —B. 8C. 10D. 163 【答案】CEF DE 2【解析】试题分析：由EF 〃AB 可得△ DEF^ADAB,根据相似三角形的性质可得一=——=-,再由EF=4AB AD 5 即可得AB=10,根据平行四边形的性质可得CD=AB=10.故答案选C. 考点：相似三角形的判泄及性质；平行四边形的性质.2.如图，ZACB=ZADC=90°, BC=a, AC=b, AB=c, S^A ABC^ACAD,只要 CD 等于（）ab C.— c【解析】解:假设厶ABC-A CAD, 即・・・要使△ ABC-ACAD,只要CD 等于故AC ABAB cc3.在菱形ABCD'P ，BFE 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC=2BE,则一的值是（）Fl ）c a【答案】A选A.1 1 1A•— B•— C. _2 3 41 D.-5【答案】B【解析】解：如图，VABCD 是菱形，月.4D=BC, •••△BEFSAD4F,BF BE 1・：EC=2BE, ：•吟BE,即 AZ>3BE, 故选 B.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性 质得出线段的长度关系.4.己知：如图，DE 〃BC, AD:DB=1:2,则下列结论不正确的是（）【答案】ADE AD AD I•••△ADESGBC ,・••芫荷莎面=亍・・•相似三角形周长比等于相似比,:・B, C 选项正确，：•四边形BCED 的面积=ZBC 的面积-AADE 的面积，•ID 选项正确. 故选A.5.如图，铁路道口的栏杆短臂长lm,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m竺=匹又FD ADAADE 的面积_1AABC 的面积9 AADE 的周长_ 1 AABC 的周长3 AADE 的面积 _ 1 四边形BCED 的面积8 面积比为相似比的平方, A' ^=2 B - 略不计）（ ）•【答案】C【解析】试题分析：设长臂端点升高X 米，则—/.解得：x 二&故选C. x 16 考点：相似三角形的应用. 止方形ABCD 与止方形BEFG 是以原点0为位似屮心的位似图形，且相似比【解析】试题解析：・・•正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为£ AD 1OA 1 OA 1 , z ,•••— , •: BG=J :.AD=BC=2, •: AD//BG, ：./XOAD^/XOBG, :.― 一，••- ------ ,解得：04=1, BG 3 OB 3 2 + OA 3 :・0B=3, ・・・C 点坐标为：（3, 2）,故选A.7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼J 它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原來的鱼位似C. 将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以丄，得到的鱼与原来的鱼位似2 【答案】C【解析】解：平面直角樂标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同吋乘以同一个非0的实数匕得到的图形 与原图形关于原点成位似图形，位似比是冈・若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点 对称.故选C ・8. 对于平面图形上的任意两点P, Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P'，Q',保持PQ=P r Q\我为点A, B, E 在x 轴上, 若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为（C. (2, 2)D. (4, 2)6.如图，在平面直角坐标屮,y个■屮 ■ I* JI ■ !■丄们把这种变换称为“等距变换”，下列变换屮不一定是等距变换的是（） A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似【答案】D【解析】试题解析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换〃； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换〃； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选D.在格点上）为顶点的三角形与AABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） A. (6, 0) B. (4, 2) C. (6, 5) D. (6, 3) 【答案】D【解析】解：•・•点人、B 、C 的坐标分别是(1, 7) , (1, 1) ,(4, 1),・・・AB=6, BC=3, ZABC=90°.AB BC 3 AED=4, CD=2, ZEDO90。

D B C A N M O 第27章《相似》单元测试题 一、选择题（每小题3分，共30分）1、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD DF ＝BC CEB ．BC CE ＝DF ADC ．CD EF ＝BC BE D ．CD EF ＝AD AF2、已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：13、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部份）与ABC △相似的是（ ）4、如图，△ABC 中，A ，B 两个极点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原先的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1(3)2a -+ 5、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部份）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ． 8 cm 2D ．16 cm 2六、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 别离是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形7、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =， AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2 八、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是，为尽可能达到好的成效，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 九、如图正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则 AO DO 等于（ ） A ．2 5 3 B ．13 C ．23 D ．12 10、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张二、填空题（每小题3分，共18分）B ．C ．D ． AB C A ．A B F C D E O1一、在□ABCD 中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE = ．1二、如图，在ABC △中，DE BC ∥，若123AD DE BD ===，，，则BC = ．13、在平面直角坐标系中，△ABC 极点A 的坐标为（2，3），若以原点O 为位似中心，画△ABC 的位似图形A B C '''△，使△ABC 与A B C '''△的相似比等于12，则点A ′的坐标为 ． 14、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD= ． 1五、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为极点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 1六、如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论： ①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．三、（本大题共3小题，第17题6分，第17、18题各7分，共20分）17、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．1八、如图，在矩形ABCD 中，点E F 、别离在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．【关键词】矩形的性质1九、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．A D E CB 第12题 第14题 E （第15题图） A B ′ CF B四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）20、小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发觉对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情形，他设计了一种测量方案，具体测量情形如下：如示用意，小明边移动边观看，发觉站到点E 处时，能够使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．现在，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝，CE ＝，CA ＝30m （点A E C 、、在同一直线上）． 已知小明的身高EF 是，请你帮小明求出楼高AB （结果精准到）．2一、如图，网格中的每一个小正方形的边长都是1，每一个小正方形的极点叫做格点．△ACB 和△DCE 的极点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．2二、如图，△ABC 在方格纸中（1）请在方格纸上成立平面直角坐标系，使A （2，3），C （6，2），并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′；（3）计算△A ′B ′C ′的面积S ．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3。

第27章相似单元测试卷及解析(时间45分钟，满分100分)一．选择题(每题４分，共24分)1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC，下列命题中正确的是（）A.ΔABC放大后角是原来的2倍B.ΔABC放大后周长是原来的2倍C.ΔABC放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对2．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）．A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m3( )A．2对B．3对C．4对D．5对4．如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C´处，并且C´D∥BC，则CD的长是( )Ａ．409Ｂ．509Ｃ．154Ｄ．2545．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在( )A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且14CF CD=，下列结论：①30BAE∠=，②A B E A E F△∽△，③A E E F⊥，④A D F E C F△∽△．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二．填空题(每题４分，共２4分)7．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长_________m，面积是___________m28．如图，在Ｒt△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一定点,点E是AC上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE与△ABC相似,则这个条件可以是________________________.9．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A/B/，则A/B/的长度等于____________．10．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是______________.11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．12．某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图).则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是____________________.三．解答题(每题10分，共40分)13．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点0；(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．ODCBAPAB CFDEDC BA(第5题) (第6题)(第3题)(第4题)C(第8题) (第10题)(第10题)14．在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==． （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．15．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.16．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置， (1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．四． 探究题： （12分）17．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n 1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p q ，，，的关系．AB DF F E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案或提示１．B ２．C ３．C ４．A ５．C ６．B ７．2400，4⨯1058．∠AED=90°, ∠ADE=90°,AE ∶AC=AD ∶AB,AE ∶AB=AD ∶AC 9．5310．78 11．22.5 12．(-2a,-2b) 13．(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1：2．(3)略． 14．（1）不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，90D ∠=°，32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴，．AB ACDE DF≠∴．Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似． （2）能作如图所示的辅助线进行分割．NM FE DC BA具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°，FDN C ∠=∠∴． ∴AMC FND △∽△．15．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB ∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD=∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 16．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例∴此两个菱形相似∴B D BD '=∴1B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´117．（1）2483927，， （2）23n⎛⎫⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2233m np q++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。

第27章 相似单元达标检测试卷形；④如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，则这两个图形是位似图形；⑤邻边之比都等于2的两个平行四边形相似。

正确的有（ ）个。

A ．4 B ． 3 C ． 2 D ．12．两个相似三角形的面积比为1：4，则它们对应的中线的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：2D ． 2：13．已知△ABC ∽△A′B′C′，AB=12cm ，AC=15cm ， A′B′=16cm ，则A′C′等于（ ） A ．18cm B ．20cm C ．24cm D ．32cm4．有一个多边形的各边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，4cm ，5cm ，和它相似的另一个多边形的最长边为9cm ，则这个多边形的周长是（ ）A ．12cmB ．18cmC ．36cmD ．48cm 5．下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是()6．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）A ．△ADE ∽△ECFB ．△ECF ∽△AEFC ．△ADE ∽△AEFD ．△AEF ∽△ABF 7．如图，线段AC ，BD 交于点O ，由下列条件，不能得出△AOB 与△DOC 相似的是（ ） A ．OB ：OC=OA ：ODB ．OA ：OB=OD ：OC C ．OA ：OD=AB ：CD D ．AB ∥CDE 第6题 第7题 第8题 第9题 8．若P 是Rt △ABC 的斜边AB 上异于B ，A 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条9．□ABCD 中，E 是边BC 延长线上一点，连接AE ，图中共有相似三角形（ ）对。

A ．4 B ．5 C ． 6 D ．710．如图，在△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC =( ) A 、1∶2 B 、2∶3 C 、1∶3 D 、1∶4 11、在斜坡的顶部有一铁塔，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小惠和小岚的身高都是1.6m ，同一时刻，小惠站在点E 处，影子在坡面上，小岚站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别是2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）m 。

单元测试 第27章 相似 (时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分。

下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的)A B C D2．下列四条线段中，不是成比例线段的为(B)A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C ．a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝23 3．如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D) A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12 C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝124．如图，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边C 1D 1的长是(C)A ．10B ．12 C.454 D.3655．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3.已知AB ＝4，则DE 的长等于(A)A ．6B ．5C ．9 D.836．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，∠AED ＝∠B ，且AD ＝2，AE ＝4，BD ＝10，则DE ∶BC 等于(B)A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶57．如图，根据测试距离为5 m 的标准视力表制作一个测试距离为3 m 的视力表．如果标准视力表中“E ”的长a 是3.6 cm ，那么制作出的视力表中相应“E ”的长b 是(B)A ．1.44 cmB ．2.16 cmC ．2.4 cmD ．3.6 cm8．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC 相似的三角形图形为(A)9．如图所示，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝(B)A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶4D ．2∶310．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件：①∠APB ＝∠EPC ；②∠APE ＝∠APB ；③P 是BC 的中点；④BP ∶BC ＝2∶3.其中能推出△ABP ∽△ECP 的有(C)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知AD AB ＝DEBC ，请添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，这个条件可以是答案不唯一，如：∠D ＝∠B 等．(写出一个条件即可)12．若△ABC ∽△A′B′C′，且AB ∶A′B′＝3∶4，△ABC 的周长为12 cm ，则△A′B′C′的周长为16_cm ．13．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则S 四边形NBAM ＝3.14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝5.5m.15．如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N.当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 2或5三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)如图，DE ∥BC ，EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ，求DB 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴BD AB ＝CE AC. ∵EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ， ∴BD7.5＝7.5－BD 2＋7.5－BD. 解得BD ＝4.5或12.5(舍去)． ∴BD ＝4.5 cm.17．(9分)如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD.∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE.∴△ABC∽△EAD.18．(9分)如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．(1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；(2)分别写出点A1、B1的坐标．解：(1)如图．(2)A1(4，0)，B1(2，－4)．19．(9分)如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA ＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE.求证：(1)△ABC∽△AED；(2)BE·AC＝CD·AB.证明：(1)∵∠BAE＝∠DAC，∠BAC＝∠BAE－∠CAE，∠DAE＝∠DAC－∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵∠ACB＝∠ADE，∴△ABC∽△AED.(2)∵△ABC ∽△AED ，∴AB AC ＝AEAD .∵∠BAE ＝∠CAD ， ∴△ABE ∽△ACD. ∴BE CD ＝AB AC， 即BE·AC ＝CD·AB.20．(9分)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D ，F 是BA 延长线上一点，连接FD ，CD.若∠CDB ＝∠F. (1)求证：FD 是⊙O 的一条切线； (2)若AB ＝10，AC ＝8，求DF 的长．解：(1)证明：∵∠CDB ＝∠CAB ，∠CDB ＝∠F ， ∴∠CAB ＝∠F. ∴FD ∥AC.∵∠AEO ＝90°，∴∠FDO ＝90°. ∴FD 是⊙O 的一条切线．(2)∵AB ＝10，AC ＝8，DO ⊥AC ， ∴AE ＝EC ＝4，AO ＝5.∴EO ＝3. ∵AE ∥FD ， ∴△AEO ∽△FDO. ∴AE FD ＝EO DO .∴4FD ＝35. 解得FD ＝203.21．(10分)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4 m ，如图所示．已知小丽同学的身高是1.5 m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm ，求旗杆DE 的高度．解：由题意，得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ， △ABC ∽△EDC ， 则AB ED ＝BC DC .即1.5DE ＝0.54. 解得DE ＝12.答：旗杆DE 的高度为12 m.22．(10分)如图，直线y ＝ax ＋1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与双曲线y ＝kx (x ＞0)相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC ＝2，点A 的坐标为(－2，0)．(1)求双曲线的解析式；(2)若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q ，C ，H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标．解：(1)把A(－2，0)代入y ＝ax ＋1中，求得a ＝12，∴y ＝12x ＋1.把y ＝2代入y ＝12x ＋1中，得x ＝2，∴P(2，2)．把P(2，2)代入y ＝k x 得k ＝4.则双曲线解析式为y ＝4x .(2)设Q(a ，b)，∵Q(a ，b)在y ＝4x 上，∴b ＝4a .当△QCH ∽△BAO 时，CH AO ＝QHBO ，即a －22＝b 1.∴a －2＝2b ，即a －2＝8a .解得a ＝4或a ＝－2(舍去)．∴Q(4，1)；当△QCH ∽△ABO 时，可得CH BO ＝QHAO ，即a －21＝b 2. 整理，得2a －4＝4a.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(舍)． ∴Q(1＋3，23－2)．综上，Q(4，1)或Q(1＋3，23－2)．23．(11分)阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ∶BD ＝1∶2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值．小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)． 请回答：AP PD 的值为32．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ∶BC ∶AC ＝1∶2∶3 .图1 图2 图3 (1)求APPD的值；(2)若CD ＝2，则BP ＝6.解：(1)过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC ＝k ， ∵DC ∶BC ＝1∶2，∴BC ＝2k.∴DB ＝DC ＋BC ＝3k. ∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE. ∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠DBP. 又∵∠AEP ＝∠BEC ，∴△AEF ≌△CEB.∴AF ＝BC ＝2k. ∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP. ∴AP PD ＝AF DB .∴AP PD ＝23. (2)提示：根据DC ∶BC ∶AC ＝1∶2∶3，DC ＝2，可得BC ＝4，AC ＝6.由E 为AC 的中点，可以求出CE ＝12AC ＝3.在Rt △BEC 中，由勾股定理求出BE ＝5.结合△AEF ≌△CEB ，从而得出EF ＝BE ＝5，∴BF ＝10.再根据△AFP ∽△DBP ，得出FP PB ＝AP PD ＝23，即10－PB PB ＝23，解得PB ＝6.。

BACDEF''AB CBCAP第二十七章 相似单元测试卷 姓名一、选择题1.ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为3,那么DEF ∆和ABC ∆的相似比为( )A.32B.23C.49D.942．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A ．BC DEDB AD =B ．ADEFBC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDEAB EF =3.下列说法正确的是( ) A.各有一个角是100 的两个等腰三角形相似; B.各有一个角是45 的两个等腰三角形相似 C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似; D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似4.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )A B C D 第4题 5.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( )A.150cmB.155cmC.160cmD.165cm6．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )A ．PA ·AB ＝PC ·PB B ．PA ·PB ＝PC ·PD C ．PA ·AB ＝PC ·CD D ． PA ∶PB ＝PC ∶PD7.如图,ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是( ) A.AC AB CDBC= B.CD BC ADAC=C.2AC AD AB =⋅D.2CD AD BD =⋅ 第6题图8.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( )B.D.9、△ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则这样的点最多是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数第7题 第8题 第11题 第12题二、填空题10. 若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．11. 如图,已知ACP ∆∽ABC ∆,4,2AC AP ==,则AB 的长为 . 12.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的___.13.如图,ABC ∆中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则B::ADE DFGE FBCG S S S ∆=梯形梯形 .14.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''∆与PQR ∆是位似三角形,此时P Q R '''∆与PQR ∆的 位似中心是_____,位似比为______ 三、解答与证明15.如图,四边形ABCD 各顶点的坐标 分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一象限内,画出以原点为位似中心,相似比为12的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标.16、如图；正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，BP=3PC ，Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP17、如图，已知AB//EF//CD 。

第二十七章 相似全章测试一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( ) A ．32 B ．41 C ．31 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A ．21=BC DE B ．21=∆∆的周长的周长ABC ADEC ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC 4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD 长为( )A ．1B ．23 C ．2 D ．255．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A ．BC DEDB AD =B ．ADEF BC BF = C ．FC BFEC AE =D ．BCDEAB EF =7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )A ．P A ·AB ＝PC ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·PD C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．10．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．11．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．12．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．三、解答题（本题共33分，13--15每小题5分，16—18每小题6分）13．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1． (1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB 的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．N PE C B A 17.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？18.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．四、解答题（本题共25分，19--21每小题6分，22题7分）19．如图所示，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点，OC 交AB 于E 点． (1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．20．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为（-1，-1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形．22.如图，DB 为半圆的直径，且BD=2，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．（1）连接BE ，求证：BE 平分∠DBC ；（2）设AD=x ，CF=y ，求y 关于x 的函数解析式．五、解答题（本题满分7分）23.在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE 与正方形EFCD 的位置如图所示． （1）请你按下列要求画图： ① 联结BD 交EF 于点M ；② 在AE 上取一点P ，联结BP ，MP ，使△PEM 与△PMB 相似；（2）若Q 是线段BD 上一点，连结FQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足BD FR 21，则QRFQ 的值为_____________．六、解答题（本题满分7分）24.在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；A ，②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换)得到△ADE，则线段BD的长为cm；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFCG，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△A BI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．。

c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学（下）第二十七章《相似》单元测试一、 选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.下列四组线段中，不能成比例的是.A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝3，c ＝4，d ＝12C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝62.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ， AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，DE ＝2，则BC ＝. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图，E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数，且＝＝＝k ，下列四个点中，在正比例函数y ＝k x 的图像上的是. A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）7.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点， AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积 扩大为原来16倍，那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，则下列结论：①AC 2＝AD ·AB ； ②CD 2＝AD ·BD ；③BC 2＝BD ·AB ；④CD ·AD ＝AC ·BC ；⑤＝.第10题图D C BA 第11题图第12题图F ED C B A第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A QKGF D AG D A E D A正确的个数有.A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ，则点B /的横坐标是. A. －a B. － C. － D. －12.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC于点F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，关于x 的函数图像是二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是. 14.如图，DE 是△ABC 的中位线，已知＝2，则四边形BCED 的面积为.15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ， 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形，已知AB ＝1，则DE ＝.17.如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF ＝9cm ，GK ＝6cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长是.第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P M F D C18.如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是.19.如图，以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似形△ABC ，若S 1表示△ADE的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，则S 1∶S 2＝.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ，则它的斜边上的高与斜边比为21.如图，直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y轴上，如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ，∠A ＝90°，BC 和DE 交于点P ，若AC ＝6，AB ＝8， 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题：（本大题共56分）23.（6分）如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ？ ⑵当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.24.（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. ⑴求证：△EDM ∽△FBM ； ⑵若DB ＝9，求BM.第26题图B25.（10分）已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm ）26.（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点M ，交取于点N ， ⑴求证：BA ·BM ＝BC ·BN ；⑵如果CM 是⊙O 的切线，N 是OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值.第27题图F E D C BAC27.（10分）如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC于点E. ⑴求AE ∶AC 的值；⑵若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长.28.（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似.F第22题图PE DC B A第23题图DC BA P D C第11题图第12题图F EDCBA参考答案：一、 选择题：1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.A ；7.C ；8.C ；9.C ；10.C ；11.D ；12.A ； 二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm ；18. 2.4；19. 1∶3；20.；21.（3，2）或（－3，－2）；22.；11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标 与原点O 重合，与B /的对应点B //的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形是△A //B //C ，则与点B //对应的点的横坐标为－（a ＋1） 一个单位，则得到B 的横坐标为－（a ＋1.选择D.12.解：特别的，当BE ＝0和4时，FC ＝0.当0＜BE ＜4时，易证： Rt △ABE ∽Rt △ECF ∴＝ ∴＝∴y ＝x 2＋x ∴y 是x 的函数.当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1. 选择A. 22题：解：作PF ⊥AB 于点F设PF ＝x ，由题意：BE ＝CD ＝2， ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴＝∴EF ＝x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴＝∴＝∴x ＝三、解答题：23.解：⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°PC ＝PD ＝CD ∴∠PCA ＝∠PDB ＝120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2＝AC ·BD即 ＝ 时，△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A ＝∠BPD ，∠B ＝∠APC∴∠PCD ＝∠A ＋∠APC ＝60°＝∠A ＋∠B ∠PDC ＝∠B ＋∠BPD ＝60°∴∠APB ＝60°＋∠APC ＋∠BPD ＝60°＋60°－∠A ＋∠60°－∠B ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－60°＝120° 24.解：⑴∵AB ＝2CD AE ＝BEB G第27题图F E D C B APA ∴CD ＝BE又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD ＝BE ∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM ⑵∵△EDM ∽△FBMFB ＝BC ＝DE ∴＝＝∴＝∴＝ ∴BM ＝3.25.解：⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边，把30cm 木条截成两段，其三角形不存在；⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边，把60cm 的木条截成两边，则：①将30cm 的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似；②将30cm 的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC 相似；③将30cm 的木条作为最短边，则三边对应不成比例； 因此，另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解：⑴证明：连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB ＝∠NMB ＝90°∠ABC ＝∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴＝ 即 BA ·BM ＝BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN ＝ON ∴MN ＝OC ＝ON ∵ON ＝OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON ＝60°∵OM ＝OB ∴∠B ＝30°∴在Rt △ACB 中，AB ＝6. 27.解：⑴证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴＝＝又∵AF ＝BF ∴＝ ∵BC ＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝⑵∵AB ＝a ，BF ＝AB ＝a ，又∵FB ＝EC ，∴EC ＝a ∵＝ ，∴AC ＝3EC ＝a.28.解：设经过t s 时，△PBQ ∽△ABC ，则 AP ＝2t ，BQ ＝4t ，BP ＝10－2t⑴ 如图①第28题图②QPCBA 当△PBQ ∽△ABC 时，有 ＝即 ＝∴t ＝2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时，有＝ 即 ＝ ∴t ＝1综合以上可知：经过2.5秒或1秒时， △QBP 和△ABC 相似.。

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——高斯人教版九年级数学第27章相似综合训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)2. (2019•雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是A．B．C．D．3. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）AEA．35B．23C．45D．324. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A （1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（）A．5B．2C．4D．255. (2019•沈阳)已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是A．3∶5 B．9∶25C．5∶3 D．25∶96. (2019•巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使13DE AD=∶∶，连接EF交DC于点G，则:DEG CFGS S△△=A．2∶3 B．3∶2C．9∶4 D．4∶97. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．154二、填空题9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF10. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．11.（2020·临沂）如图，在ABC∆中，D，E为边AB的三等分点，////EF DG AC，H为AF与DG的交点.若6AC=，则DH=_________.12. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OBA∆.已知)3,2(A，则点1A的坐标是．13. (2019•台州)如图，直线123l l l∥∥，A，B，C分别为直线1l，2l，3l上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线2l于点D．设直线1l，2l之间的距离为m，直线2l，3l之间的距离为n，若90ABC∠=︒，4BD=，且32mn=，则m n+的最大值为__________．14. (2019•烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO △与'A'B'O △是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为__________．三、解答题 15. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F .（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.16.（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G 是ABC ∆的重心.求证：3AD GD =.GDECBA17. （2020·通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•P A，求证：AB⊥CD．PDCBOA18.（2020·泰州）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，P为BC边上的动点（与B、C不重合），//PD AB，交AC于点D，连接AP，设CP x=，ADP∆的面积为S．（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．人教版九年级数学第27章相似综合训练-答案一、选择题1. 【答案】C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】B【解析】因为111A B C △中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．3. 【答案】A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE ∥AB ，∴CE AE =CD BD =32，∵CE+AE=AC ，∴CE CA =35．4. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，BC=2,AC=5.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．5. 【答案】C【解析】∵△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，AD =10，A'D'=6，∴△ABC 与△A'B'C'的周长比=AD ∶A ′D ′=10∶6=5∶3．故选C ．6. 【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△， ∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．7. 【答案】A 【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB 和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH ∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A ．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG 2=x .∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x 2+x ，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x =++=+，∴()22422222ABCD EFGHx S S x +==+正方形正方形D ．二、填空题9. 【答案】2 【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．10. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．11. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.12. 【答案】（，2） 【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．13. 【答案】253【解析】如图，过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =， ∵4BD =，∴4DM y =-，4DN x =-，∵90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒， ∴90EAB ABE ABE CBF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴EAB CBF ∠=∠，∴ABE BFC △∽△， ∴AE BEBF CF=，即x m n y =，∴xy mn =，∵ADN CDM ∠=∠，∴CMD AND △△， ∴AN DNCM DM=，即4243m x n y -==-， ∴3102y x =-+，∵23m n =，∴32n m =， ∴5()2m n m +=最大， ∴当m 最大时，5()2m n m +=最大， ∵22333(10)10222mn xy x x x x m ==-+=-+=，∴当1010332()2x =-=⨯-时，250332mn m ==最大， ∴103m =最大， ∴m n +的最大值为51025233⨯=．故答案为：253．14. 【答案】(32)-，【解析】如图，连接B'B 并延长，A'A 并延长，B'B 与A'A 的交点即为位似中心P点，由图可知B'、B 、P 在一条直线上，则P 点横坐标为–3， 由图可得ABO △和'A'B'O △的位似比为3162''OB O B ==，2BB '=， 所以12PB PB PB'PB BB'==+，解得PB =2， 所以P 点纵坐标为2，即P 点坐标为(32)-，．故答案为：(32)-，．三、解答题15. 【答案】解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AEDF AD =. ∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，222262210AE AB BE =+=+=.又∵4AD BC ==，∴6104DF=，∴105DF =.16. 【答案】证明：连接DE ，∵点G 是△ABC 的重心，∴点E 和点D 分别是AB 和BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE=12AC ，∴△DEG ∽△ACG ， ∴2AG AC DG ED ==， ∴2AG GD =∴AD=3DG ， 即AD=3GD ．17. 【答案】解：如图，连结AC ，BD ．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△ACP ∽△DBP ，∴AP DP =CPBP，∴PC •PD ＝PB •P A ，∵PC 2＝PB •P A ，∴PC =PD ，即AB 平分CD ，∵CD 是弦（不是直径），AB 是直径，∴AB ⊥CD ．BA18. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB ∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB =∴34CD x =∴34CD x =∴AD ＝3－34x（2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=-∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x=---=-+当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。