平面图形的镶嵌

《平面图形的镶嵌》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！我是来自八五九农场学校的数学教师李建莹，很荣幸能够参加此次说课大赛，今天我说课的内容是人教版七年级（下）第七章第四节——平面图形的镶嵌. 下面我将从以下几个方面对本课的设计进行详细的说明。

一、深入研究——说理念课程标准倡导“动手操作、自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造学习活动”，培养学生的探究能力。

”因此，我在本课的设计中，以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，由浅入深、循序渐进的设计流程，让学生亲历知识的再创造过程，在主动探索与合作交流中，体会数学的应用价值，实现规律在操作中发现，思维在交流中拓展，能力在应用中提升。

二、纵横联系——说教材“课题学习——镶嵌”是人教版七年级下册第七章第四节内容。

学生在本单元已经学习了三角形的有关概念和性质及多边形内角和、外角和公式。

镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用。

通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合运用所学知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义。

三、结合实际——说学情本节课的教学对象为七年级学生，七年级学生对镶嵌的认识大多来源于生活中的感性认识，对其内在规律往往关注不够，因此需要教师通过创设问题情境，组织学生动手操作，在活动中与学生共同探究，充分利用本年级学生对生活有很强的好奇心，乐于探索，愿意与人合作的性格特点，加深学生对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识，完成本节课的教学目标。

四、把握教材——说目标根据课程标准的要求，教学内容的特点以及七年级学生的认知水平,我确立了如下的教学目标：知识与技能目标：通过探索多边形平面镶嵌，知道三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。

在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。

平面镶嵌的条件非常重要。

平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。

凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。

在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。

在计算过程中，凸多边形也更容易处理。

平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。

这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。

这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。

除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。

平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。

这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。

如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。

在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。

通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。

这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。

在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。

需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。

即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。

在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。

除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。

在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。

这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。

在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。

常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。

这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。

《平面图形的镶嵌》教学设计一、教材分析1.从教材编写角度看《平面图形的镶嵌》是北师大版数学教材八年级下册的一节综合实践课，本节课主要是让学生通过动手操作、小组合作、多媒体辅助（几何画板）等多种形式探究平面图形镶嵌的条件。

在此之前，学生已经学习了三角形的内角和、多边形的内角和等知识。

通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。

2.从在教材中的地位与作用看本综合与实践活动课具有一定的现实性，可以激发学生的学习兴趣，形成良好的数学观，同时也有利于发展学生的数学应用意识。

进行本节课的学习，需要学生对图形进行一定的分解、组合、拼接，需要进行图案设计等操作活动，同时也需要应用所学习的平面图形的有关知识，因此本节课还具有一定的实践性和综合性。

本节课需要学生经历一个具体的研究过程，探索过程中需要从事一定的归纳、猜想、验证、推理等思维活动，这都有助于丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题和解决问题的能力。

二、学情分析在学习本节课之前，学生经历了对平行四边形性质和判定的探索活动，并掌握了如何求解多边形的内角和以及外角和。

在本章前几节的综合实践活动中，学生体现出了较强的主动合作和实践动手能力，积累了丰富的探索图形性质的经验。

八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本节课教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究，从而加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。

三、教学任务分析1.教学目标（1）知识传授：通过探索平面图形的镶嵌，认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基本镶嵌图案的一些方法。

（2）能力培养：经历动手拼、相互交流、展示成果等活动，探索发现多边形镶嵌的条件，培养学生发现问题、提出问题的能力，进一步发展探究意识，积累探究经验。

平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳．知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法 1、普通图形的镶嵌（1）任意三角形可以完成镶嵌 （2）任意四边形可以完成镶嵌2、用正多边形进行镶嵌：探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k 个正n 边形.根据上述限定条件有方程k ×n1802(0）一n =3600整理,得kn-2k-2n=0,即n=2k k 2一=2+2k 4一 n,k 皆为正整数, 当k=3时, n=2+234一=6 当k=4时, n=4当k=6时, n=3 进而限用一种正n 边形的镶嵌有三种情况: 正多边形的边数 一个顶点处正多边形的个数 3 6 4 4 63也就是说，若仅限于用一种正多边形镶嵌，符合条件的只有三角形、正方形和正六边形。

其相应的镶嵌图案如图1所示。

探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x个,正四边形有y个,根据限定条件有方程600x+900y=3600整理,得2x+3y=12,得整数解x=3，y=2即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌.类似可讨论出:（1）、用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;（2）、用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.（3）、用1个正三角形与2个正十二边形（4）、用1个正四边形与2个正八边形（5）、3个正三角形与2个正方形第1种情况图解第5种情况图解第4种情况图解第（1）种情况图解（用2个正三角形和2个正六边形）探究三、用多种正多边形进行镶嵌，例如：（1）、1个正方形，1个正六边形与1个正十二边形（2）、1个正三角形，2个正方形与1个正六边形（3）、1个正三角形，1个正七边形与1个正42边形（4）、1个正三角形，1个正八边形与1个正24边形（5）、1个正三角形， 1个正九角形与1个正十八边形（6）、1个正三角形，1个正十边形，1个正十五边形，第（2）种情况图解（7）、1个正四边形，1个正五边形与1个正二十边形知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形②正五边形③正六边形④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形例 4.小明家用瓷砖装修卫生间还有一块墙角面未完工(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。

平面图形的镶嵌一.研究成员：二.研究内容：平面图形的镶嵌的定义。

探究一：只用同一种图形,哪些图形可以镶嵌呢?探究二：用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以进行镶嵌呢?三.正文内容：1.生活中有许多平面图形的镶嵌的例子，下图就是一些：2.定义：用一种或几种形状、大小相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面图形的密铺。

3.探究一：只用同一种图形,哪些图形可以镶嵌呢?（1）正三角形（2）几个任意的全等三角形能否镶嵌？只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角，它们的和为360°；同一种任意三角形可以镶嵌。

（3）正四边形—正方形（4）同一种任意四边形能否镶嵌？只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角，它们的和为360°；同一种任意四边形可以镶嵌。

（5）正六边形用一种正多边形进行镶嵌只有正三角形、正方形、正六边形三种情况。

4.探究二：用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以进行镶嵌呢?①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌（每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形）②尝试用正三角形和正六边形镶嵌有两种情况：每个顶点周围有四个正三角形和一个正六边形每个顶点周围有两个正三角形和两个正六边形③尝试用正方形和正八边形镶嵌（每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形）用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等。

四．探究总结：任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌。

任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌。

用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形。

用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形。