专题9——解决问题

应用对称性解决实际问题【专题综述】轴对称图形和中心对称图形都是对称图形，应用其定义和性质求解诸如工厂决策、平分面积和周长、确定函数及求值，是初中数学中常见的问题，下面略举几例，与大家共同探究求解此类问题的方法．定理1 如果两个图形关于某一直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线．定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【方法解读】一、工程决策例1 如图1，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉农作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的哪一点，可使所修建的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法）．分析根据定理1可知：只需作出点A关于河流a的对称点D，连结BD交a于C，则C点即为所求符合题意的点．二、平分周长和面积例2 如图2所示，一个矩形内有任意一圆，请你用一直线同时将圆与矩形的周长二等分，说明作图的道理和方法．分析根据定理2可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形周长等分、面积等分．设矩形对角线交点为O1，则O1为矩形的对称中心，圆的圆心为O，则O为圆的对称中心，故直线⊙O1为所求直线．例3 有一块方角形钢板，如图3所示．请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）．分析 延长FE 可将这块方钢分成两个矩形ABMF 、MCDE ．设两矩形的对称中心分别为O 、O 1，根据定理2可知，经过中心O 的任意一条直线可将矩形MCDE 面积平分；经过中心O 1的任意一条直线可将矩形ABMF 面积平分，故过O 、O 1的直线可将这块方钢面积平分．三、求解析式例4 如图4所示，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，A 点坐标是(1，0)．(1)经过点C 的直线y ＝43x －83与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积； (2)若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 面积平分，求直线l 的方程．分析 (1)略；(2)根据定理2可知，设矩形的对称中心为O ，平分矩形面积的直线l 必经过矩形中心O ，所以直线EO 为所求作的直线l ．又O 点坐标为(3，2)，E 点坐标为(2，0)，故直线l 的方程为y ＝2x －4．四、求最值例5 代数式()224129x x ++-+的最小值是_______．分析 通过观察代数式，可构造如图5所示的几何图形，设线段AB 上有一点E ，且AB ＝12，AE ＝x ，则EB ＝12－x ．AC ＝2，且垂直AB 于A ；BD ＝3，且垂直BD 于B ．则CE ＝24x +，DE ＝()2129x -+那么，问题变成E 在AB 上何处时，CE ＋DE 最小？根据定理1可知，设点F 为点C 关于AB 的对称点，并设E 为DF 与AB 的交点；则CE ＋DE ＝FE ＋ED ＝DF 为最小（两点之间线段最短）．此时DF2＝122＋(3＋2)2＝169，所以DF ＝169＝13，即代数式的最小值为13．【强化训练】1. （2017黑龙江省龙东地区）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2B．23C．4D．83 32. （2017山东省莱芜市）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P 是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．72B．273C．355D．2643.（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC4．（2017广西贺州市）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，AC CD DB==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=12∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45.（2017临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）A．62B．10C．226D．2296．（2017山东省菏泽市）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，43）B．（0，53）C．（0，2）D．（0，103）7.（2017贵州省毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D 点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A ．340B ．415C ．524 D ．6 8. （2017贵州省黔南州）如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 在CD 边上，且DE =2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（ ）A ．310B ．103C ．9D ．929. （2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为 ．10. （2016四川省雅安市）如图，在矩形ABCD 中，AD =6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED =3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP +PQ 的最小值为（ ）A ．2B 2C ．3D ．33。

四年级下册数学教案-第四单元第九课时解决问题人教版一、教学目标1. 让学生理解解决问题的基本步骤，并能运用到实际问题中。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 培养学生合作交流、积极参与的学习态度，激发学生对数学的兴趣。

二、教学内容1. 乘除法的意义及在实际问题中的应用2. 解决实际问题时，如何运用乘除法进行计算3. 解决实际问题时，如何根据情景选择合适的计算方法三、教学重点与难点1. 教学重点：乘除法的意义及在实际问题中的应用2. 教学难点：解决实际问题时，如何根据情景选择合适的计算方法四、教学过程1. 导入新课通过创设情境，引出本节课的主题——解决问题，让学生明确本节课的学习目标。

2. 学习新课（1）乘除法的意义通过举例，让学生理解乘法的意义：求几个相同加数的和；除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

（2）乘除法在实际问题中的应用通过例题，让学生掌握如何运用乘除法解决实际问题。

（3）解决实际问题时，如何根据情景选择合适的计算方法通过练习题，让学生学会根据情景选择合适的计算方法，提高解决问题的能力。

3. 巩固练习设计不同层次的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 课堂小结让学生回顾本节课所学内容，总结解决问题的基本步骤和方法。

5. 课后作业设计与课堂内容相关的作业，让学生在课后进行巩固。

五、教学评价1. 学生能够理解乘除法的意义，并能运用到实际问题中。

2. 学生能够根据情景选择合适的计算方法，解决实际问题。

3. 学生在解决问题过程中，表现出合作交流、积极参与的学习态度。

六、教学反思1. 在教学过程中，要注重培养学生的数学思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。

2. 教学方法要灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生在轻松愉快的氛围中学习。

3. 注重个体差异，因材施教，让每个学生都能在数学学习中得到发展。

总之，本节课的教学内容与目标明确，教学过程设计合理，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

比值法解决问题
一、问题描述
在电路专题9中，我们遇到了一个需要用比值法求解的问题。

问题描述如下：
我们有一台由电源、电阻和电流表组成的电路。

已知该电路的
总电压为V，总电阻为R，电流表的电阻为r，电流表的读数为I。

我们需要求解以下问题：
1. 电源电压为多少？
2. 电路的电阻是多少？
二、解决方法
我们可以利用比值法来解决这个问题。

下面是具体步骤：
1. 首先，我们需要计算电流表的内阻。

根据欧姆定律，我们知
道电流I可以表示为单位电阻上的电压之比，即I = V/r。

根据这个
公式，我们可以得到电流表的内阻为r = V/I。

2. 接下来，我们可以用总电阻减去电流表的内阻来计算电路的
电阻，即R = (V/I) - r。

3. 最后，我们可以利用欧姆定律来求解电源电压，即V = I * R。

三、结果分析
通过比值法，我们可以得到以下结果：
1. 电源电压为V = I * R。

2. 电路的电阻为R = (V/I) - r。

四、总结
比值法是一种解决电路问题的常用方法。

通过求解电流表的内阻，我们可以进一步计算电路的电阻和电源的电压。

在实际应用中，我们可以根据具体问题使用比值法来解决电路中的各种问题。

以上就是电路专题9中使用比值法解决问题的文档内容。

——文档结束——。

比值法比值法是初中物理的精髓所在，很多学生对此感觉无从下手，更准确地说，是他们往往看着题目，而选择不下手解决问题，因为较为繁琐，索性放弃。

还有的同学，是数学功底太差，运算起来很吃力。

从定量计算到比值法，适当地提升，让学生感受到比值法解题的方便和快捷1.蒸汽电熨斗是把水升温并汽化成水蒸气，从而熨烫衣服的。

如图所示为一款有高温和低温两档的蒸汽电熨斗电路图原理图。

R 为保护电阻，R1、R2为发热电阻，其中R2=242Ω，则（1）发热电阻是利用电流的_________效应工作的。

分析电路图可知，闭合 S1，当 S2________时，电熨斗处于高温档。

（2）电熨斗处于低温档时，正常工作功率为 1100W 。

求：通过电路的电流是多大？ R1的电阻是多少？通电 3min 产生的热量是多少？（3）若将该款电熨斗进行改造，使其正常工作时高温档功率为 1000W 。

要求只改变其中一个电热丝的阻值。

请你分析和计算，求出该电热丝改变后的阻值应为多少？2.图甲是某电热水壶的内部简化电路，其中R1是加热管， R2是限流电阻，只有加热管放出的热量能被水吸收。

S1是一个防干烧开关（或称“温控开关”），S2、S3是手动开关，调节 S2、S3可以使电热水壶分别处于加热或保温状态。

图乙是该电热水壶的铭牌。

（1）要使电热水壶处于加热状态，应怎样调节开关 S2和 S3？（2）由该电热水壶的铭牌可知，加热管R1的阻值为多少？55J，那么电（3）假设当电热水壶处于保温状态时水温保持恒定，此时水每秒向外界散热热水壶处于保温状态时的总功率约是多少？3. 如图所示为一种保温电热水壶的电路示意图，烧水时，开关 S2处于_________状态。

若电热水壶烧水时消耗的功率为 1000W，则电阻 R1=_________ 。

如果保温状态下电热水壶消耗的功率是烧水时的 1/10，则R2消耗的功率为_________W.比值法的深入体验，体会解题方法4.如图所示的电路中，电源电压保持不变R1=15Ω，闭合 S1、 S2，断开 S3时，电流表示数为 0.4A，则此时 R1两端的电压为V．当 S1、S2、 S3都闭合时， R1的电功率为 P1；闭合 S1， S3，断开 S2时， R1的电功率变为 P1的 9/16 ，则 R2的电阻为Ω．5.如图所示，将灯L1、 L2按图甲、乙两种方式接在电压均为U 的两个电路中，在甲图中灯 L1的功率为 4W，在乙图中灯 L1的功率为 9W．设灯丝电阻不变．下列说法中不正确的是A ．甲、乙两图中灯 L 1两端的电压之比是2： 3B．L 、L 两灯灯丝电阻之比是 2： 11 2C．甲图中灯 L1、 L2的功率之比是 2： 1D．甲、乙两图电路消耗的总功率之比是3：26. 如图所示，电源电压保持不变，R ： R =1： 4。