【2份】2016年高考数学(理科)二轮专题复习：专题四 不等式(知识梳理+配套作业)

不等式及线性规划1． 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2． 五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法例1 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9【详细分析】由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是对口升学的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2＋7a －b (其中a >b )的最小值为________．(2)设命题p ：{x |0≤2x －1≤1}，命题q ：{x |x 2－(2k ＋1)x ＋k (k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 【详细分析】(1)由题意知a >0且Δ＝4－4ab ＝0， 即ab ＝1，则由a >b 得a －b >0.故a 2＋b 2＋7a －b ＝(a －b )2＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b ≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”． (2)p ：{x |12≤x ≤1}，q ：{x |k ≤x ≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k <121≤k ＋1，∴0≤k ≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)5 (2)2105【详细分析】(1)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5. (2)方法一 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1， 得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t 2－24(t 2－1)≥0，解得t 2≤85，即－2105≤t ≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105.方法三 化已知4x 2＋y 2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 32【详细分析】2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32.(2)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________． 答案 1【详细分析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z 的最大值为1.考点三 简单的线性规划问题例3 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元． 答案 36 800【详细分析】设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400yx 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________． (2)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是________． 答案 (1)－13(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23 【详细分析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：为“同上异下”，这叫B的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．。

回扣四 数列与不等式陷阱盘点1 忽视通项公式能否统一致误已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形而直接用S n －S n －1表示，事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[回扣问题1]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________．陷阱盘点2 忽视数列性质中的整体代换致误等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，不能灵活地运用整体代换进行基本运算，如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解．[回扣问题2]等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8＝________． 陷阱盘点3 忽视对公比的讨论致误运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论(1)忽视数列的各项及公比都不为0.(2)注意到公比q ＝1或q ≠1两种情形，进行讨论．[回扣问题3]设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝________． 陷阱盘点4 忽视二次项系数大小讨论致误解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a ＜0进行讨论．[回扣问题4]若不等式x 2＋x －1＜m 2x 2－mx 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 陷阱盘点5 基本不等式应用中，忽视使用条件容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解．如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值．[回扣问题5]已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 陷阱盘点6 线性规划问题中，忽视目标函数几何意义致误求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解．如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等．[回扣问题6]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 3a ＋y 4a ≤1，x ≥0且y ≥0，若z ＝y ＋1x ＋1的最小值为14，则a ＝________． 陷阱盘点7 数列的通项或求和中，忽视n 的奇偶性分析的活用致误对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． [回扣问题7](2014·山东高考改编)若a n ＝2n －1，且b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，则数列{b n }的前n项和T n ＝________．回扣四 数列与不等式1.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥22.43 [由等差数列的性质，a 8b 8＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝43.] 3．1或－1 [(1)若q ＝1时，显然S 3＋S 6＝9a 1＝S 9成立．(2)当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝a 1（1－q 9）1－q.由于1－q 3≠0，得q ＝－1.]4．(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ [原不等式化为(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋1＞0对x ∈R 恒成立． (1)当m 2－1＝0且m ＋1＝0，不等式恒成立，∴m ＝－1.(2)当m 2－1≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＞0，Δ＝[－（m ＋1）]2－4（m 2－1）＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1或m ＜－1，m ＞53或m ＜－1，因此m ＞53或m ＜－1. 综合(1)(2)知，m 的取值范围为m ＞53或m ≤－1.] 5．9 [∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ＝23时，等号成立．] 6．1 [作约束条件的可行域如图所示．则z 表示可行域内的点(x ，y )，点P (－1，－1)连线的斜率．则z min ＝k OA ，∴0－（－1）3a －（－1）＝13a ＋1＝14，故a ＝1.] 7.⎩⎪⎨⎪⎧2n 2n ＋1（n 为偶数）2n ＋22n ＋1（n 为奇数） [b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， ∴T n ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇函数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 所以T n ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1， 故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2n ＋1（n 为偶数），2n ＋22n ＋1（n 为奇数）.]。

十二、不等式1.（2017高考新课标2理数5）．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A2. （2018高考新课标2理数14）．若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法. 详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.3.（2016高考新课标2理数24），选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式f (x ) ＜2的解集.（I ）求M ；（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.4．（2017高考新课标2理数23）[选修4—5：不等式选讲]已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【考点】基本不等式、配方法5. [选修4－5：不等式选讲]（2018高考新课标2理数23）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．（2016年没考查线性规划）。

高考数学不等式知识点归纳高考数学有些重点需要复习，其中包括不等式的内容。

下面店铺给大家带来高考数学不等式知识点，希望对你有帮助。

高考数学不等式知识点不等式概念用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。

在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如x+y≥xy，-2x≤1，x>0 ，x<3，3x≠5等。

根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式;也分一次或多次不等式。

只要有一边是超越式，就称为超越不等式。

例如lg(1+x)>x是超越不等式。

不等式性质①如果x>y，那么yy;(对称性)②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z;⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数或负数) [1]或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：;⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：：⑧倒数法则。

[2]……如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。

不等式原理编辑主要的有：①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

查字典数学网整理了不等式题型及解题方法，帮助广大高中学生学习数学知识!因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

知识整合1。

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。

在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2。

整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3。

在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。