《基本不等式及其应用》教学反思

弋龟墅高中数学问题的设计与解决一基本不等式及其应用》的教学实践口陆晨（华东师范大学数学系，上海２０００６２）数学教学无论是以何种教学方式进行，都是在不断提出问题、分析问题、解决问题的过程中展开的，可以说问题是数学教学的核心。

一个“好”的问题设计有利于更好地为学生的探究学习创设和谐的气氛和情境，有利于促进学生的主动学习与思维发展。

此外，课堂教学目标的实现与教学效率的高低在很大程度上也取决于问题设计，衡量教师教学水平和业务能力的标志之一便是教学过程中的问题设计能力。

以下笔者基于《基本不等式及其应用》的教学实践谈谈自己的认识和思考。

在《基本不等式及其应用》教学实践中，为了更好地激发学生的学习兴趣、达成教学目标，笔者在新课引入和新知学习两个阶段设计了５个问题。

一、新课引入阶段为了激发学生的学习兴趣，同时也为了让同学们认识到日常生活中处处有数学。

笔者利用２００２年国际数学大会的会标（如图１）进行导入新课的设计。

【问题设计１】正方形的面积与４个直角三角形的面积和之间有什么样的数量关系？如何证明？图１设计说明：学生在尝试归纳、证明数量关系的同时，教师引导学生不断修正归纳出的数量关系。

同时用几何画板演示以帮助学生理解数量关系中等号成立的条件。

二、新知学习阶段为了让学生更好地理解和掌握基本不等式的内涵，笔者设计了一组问题，引导学生进行探索讨Ｉ。

２…０１０／。

１２见论、归纳总结，进而逐步明晰基本不等武的内涵。

【问题设计２】改变数量关系中字母的范围，数量关系还成立吗？设计说明：引导学生对基本不等式的适用范围进行探索。

在完成探索后，让学生尝试归纳和概括基本不等式。

（基本不等式１．对于任意实数口和ｂ，有ａ２＋ｂ２＞，２ａｂ，当且仅当ａ＝ｂ时等号成立）【问题设计３】如果ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ，用、／百和、／Ｆ分别代替“基本不等式１”中的字母和，你又能得到怎样的结论。

设计说明：基本不等式的内涵之一就是字母ａ和ｂ的“指代”，这是今后学习和应用基本不等式的难点之一。

基本不等式教学反思范本在复习完基本不等式第二课时后，我对这节课做了如下的反思：一.在教学过程中要充分发挥学生的主体地位在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位;或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。

在这节课中，我设计了多个让学生讨论的环节，但是当我说了同学们可以和自己的同桌讨论一下自己获得的结论之后教室里还是会很安静。

这样的课堂活动经过了一分钟后，我不得不自己来讲解我设计好的问题。

此时我感觉到这节已经失败了，因为我占据了本该属于学生的时间。

二.要设计好教学问题在教学中应合理设计教学中所要用的问题，我设计的学生互动环节为什么没有成功呢?我想很大的原因是我没有设计好问题，在提问题时没有明确我要求他们要给我什么样的结果。

在这节课中，我大部分的问题都是这样问的：请同学们自己首先来做一下这道题目，然后跟自己的同桌讨论一下自己的结果是否正确。

当学生听到这样的问题时，他们首先会自己一个人去完成题目，而不会跟自己的伙伴合作完成。

而且在数学教学中对问题的梯度设计很重要，因为新课程很强调概念的形成过程，而概念的产生是一个抽象的过程，所以在教学时要非常好的展示给学生概念是怎么产生的，而这个教学环节就要求教师能够设计好问题的梯度。

三.要学会设计有深度的问题在本节课的教学中，我问的最多的问题就是：同学们明白了没有啊，或者对不对啊，是不是这样的啊这些肤浅的问题。

而从课堂效果看，这些问题并没有调动学生的学习积极性，学生也只是机械的回答一下：是或者不是，对或者不对。

使学生跟老师之间的沟通成了一种机械的问答过程。

所以在以后的教学中我应该更加重视对问题深度的要求。

以上就是我对本节课的教学反思：多发挥学生的主体性地位，设计好教学问题并且要学会提有深度的教学问题。

基本不等式教学反思范本（二）根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。

“基本不等式”教学设计与教学反思一、教材背景分析1.教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。

教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。

2.学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.二、教学目标1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用；3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用；4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力；5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解。

4.1不等式教学反思
不等式教学是数学教学中的重要内容之一。

在教学过程中，我
们需要对不等式教学进行反思，以提高教学质量和学生的学习效果。

首先，我们需要反思教学方法。

不等式教学应该注重引导学生
从具体问题中抽象出不等式，培养学生的逻辑思维和推理能力。

我
们可以采用案例分析、实际问题引入等方式，让学生在实际问题中
感受不等式的应用，从而更好地理解和掌握不等式的性质和解题方法。

其次，我们需要反思教学内容。

不等式教学内容应该符合学生
的认知水平和学习需求，循序渐进地引入不等式的性质和解题方法，避免过于抽象或过于复杂的内容，确保学生能够逐步掌握不等式的
相关知识。

此外，我们还需要反思评价方式。

不等式教学的评价应该注重
考察学生对不等式知识的掌握程度和解决实际问题的能力，可以采
用开放性问题、综合性问题等方式进行评价，鼓励学生灵活运用不
等式知识解决问题。

总的来说，不等式教学反思需要从教学方法、教学内容和评价方式等多个角度进行，以期提高教学质量，激发学生学习的兴趣，提高他们的数学素养。

《基本不等式》教学反思
对于《基本不等式》这节课的教学过程，我有了很深刻的反思，原因是我认为这一节的内容很容易理解，但是在实际上课过程中却遇到了大问题。

在进行图形讲解时，学生十分配合，告诉我有正方形，有直角三角形。

在他们的描述中我肯定的认为学生理解了图形，因此没有逐个问关于正方形与直角三角形的关系。

而马上进入了下个环节，关于图形面积问题，此时学生仍在应和我，说出了直角三角形的斜边长，说出了正方形的面积。

但当我问由四个直角三角形组成的正方形实际面积时，学生们都一声不吭了，教室里鸦雀无声。

对于刚才还在积极和我互动的学生们，现在却没有了声音，我十分不解，再三追问下，他们仍然支支吾吾，我此时却是十分恼火了。

就在这个时候，下课的铃声响起了。

课后的我百思不得其解。

最后只好单独询问一个程度好的学生，他告诉我，他们可能没有真正读懂图形。

而我这时才明白，他们只是摸出了正方形的形状，也摸出了三角形的形状，但是它们是以什么形式组合在一起的却云里雾里。

对此，我深深的感到了自责，对于一个从教多年的教师来说，犯这种低级错误，只能说明在教学中松懈了，在备课时没有充分考虑学生的实际。

首先，盲生本来对图形问题就存在强烈的排斥心理，他们总是觉得图形与他们没有关系，殊不知在数学中“数形”不分家。

其次，大学生的自尊心，他们不愿意表现出自己不懂、不会，。

基本不等式”评课与反思
在教学过程中，我发现自己在讲解基本不等式的几何解释时，没有考虑到学生对几何知识的掌握程度，导致有些学生无法理解。

我应该在教学前对学生的几何知识进行一些温和提醒，以便更好地理解基本不等式的几何意义。

此外，我也发现在教学过程中讲解的速度有些快，有些学生跟不上，因此下次我会适当减慢语速，让学生更好地跟上教学进度。

总的来说，这节交流课让我受益匪浅，听课教师的评课让我看到了自己的优点和不足，让我更加明确了自己在教学中需要改进的地方。

同时，我的课后反思也让我更加深入地了解了备课和教学的重要性，以及如何更好地备课和教学。

我相信，在今后的教学中，我会更加努力地提高自己的教学水平，为学生的研究成长做出更大的贡献。

在教学设计中，我们常常会使用几何解释来让学生欣赏数学的美，并进一步研究数形结合的思想。

其中一个经典的几何解释是圆中垂直于直径的弦的一半不大于半径。

然而，我们在讲授时可能没有充分考虑学生的认知水平，导致时间上的消耗
比较多。

因此，备课时我们需要先备学生，充分考虑学生的认知能力和理解难度。

当然，一堂课的时间只有40分钟，要教授基本不等式需要4个课时的教学量。

因此，后续的工作需要学生的任课教师来完成。

教学的最主要目的是让学生真正学会知识，而上课的方式和应用的工具可能会有所不同，但都是为了让学生真正掌握知识。

如果还有类似的交流课或者公开课，我们将会更好地展示我们的教学成果。

第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

基本不等式教学反思基本不等式是数学中的重要概念，它涉及到数字之间的大小关系，是解决许多数学问题的关键。

在基本不等式的教学中，我发现了一些问题和反思，总结如下。

首先，对于基本不等式的教学内容设计上存在着一些问题。

在教学中，我发现学生对于不等式的理解较为薄弱，他们只是简单地知道不等式是用来比较大小关系的，但对于不等号的意义和不等式的性质没有深入的了解。

因此，在教学中应该注重帮助学生理解不等式的基本概念和性质，并引导学生通过实际问题来理解不等式的应用。

其次，基本不等式的解法和运用也需要进一步强化。

在教学中，我发现学生对于不等式的解法常常存在一定的困惑。

有些学生只是简单地记住了不等式解法的公式，却没有理解其背后的原理。

因此，在教学中我应该指导学生理解不等式解法的基本思路，并通过例题的讲解来帮助学生掌握解题的方法和技巧。

另外，我还发现学生在解决复杂不等式问题时，容易出现一些错误。

比如，他们经常在求解过程中存在概念混淆的问题，不知道应该如何运用不等式的性质来简化问题。

因此，在教学中我应该通过合理的练习和讲解，引导学生培养解题的思维能力和逻辑思维能力，帮助他们正确解决复杂不等式问题。

除了以上几点，我还发现在基本不等式的教学中，学生对于不等式的应用场景不够了解。

在实际生活中，不等式的应用非常广泛，可以用于求解各种问题，比如最优化问题、约束条件问题等。

因此，在教学中我应该引导学生分析实际问题，将不等式的概念和解法应用到实际中去，增强学生对于不等式的兴趣和学习动力。

综上所述，在基本不等式的教学中，我需要更加关注学生对于不等式概念和性质的理解，加强不等式解法和运用的讲解，引导学生培养解题的思维和逻辑能力，并关注不等式的应用场景。

通过不断反思和调整教学方法，我相信可以提高学生的学习效果和兴趣，帮助他们更好地掌握基本不等式的知识和技巧。

基本不等式教学反思（二）基本不等式是数学中常见的一类不等式，通过对基本不等式的学习和理解，可以帮助我们解决很多实际问题。

《不等式应用举例》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解不等式的概念和性质，掌握不等式的基本运算。

2. 能够运用不等式解决实际生活中的问题，提高分析问题和解决问题的能力。

3. 培养数学思维和数学素养，增强数学应用意识。

二、教学重难点1. 教学重点：理解不等式的性质，掌握不等式的基本运算。

2. 教学难点：运用不等式解决实际生活中的问题，培养数学思维和数学素养。

三、教学准备1. 准备教学素材，设计实际生活场景案例。

2. 制作PPT课件，准备黑板和粉笔等教学工具。

3. 预先布置学生预习课本相关知识，收集与不等式应用相关的资料。

四、教学过程：（一）导入新课1. 回顾生活中的不等关系，如：温度、身高、重量、质量等等。

2. 提出不等式的概念：数学中，不等式是含有不等号“>”，“<”，“≥”，“≤”的式子，用来表示数量之间的不等关系。

3. 导入本节课的主题——不等式的应用举例。

（二）探究新知1. 讲解不等式的性质，让学生理解不等号的方向如何改变。

2. 举例说明不等式在实际生活中的应用，如：行程问题、生产问题、投资问题等。

3. 让学生尝试自己举出一些不等式应用的例子，增强他们的理解和应用能力。

（三）课堂互动1. 组织小组讨论，让学生互相交流自己在生活中遇到的不等式应用例子。

2. 老师提问，学生回答，检查学生对不等式应用的理解程度。

3. 针对本节课的内容，设置一些练习题，让学生进行解答，以巩固所学知识。

（四）小结作业1. 小结本节课的主要内容，强调不等式在实际生活中的应用。

2. 布置作业：让学生尝试自己编写一道不等式应用题，并尝试解答。

这有助于他们进一步理解和掌握不等式的应用。

在课堂教学过程中，教师应注重与学生互动，激发他们的学习兴趣和积极性，同时通过实际例子帮助学生理解不等式的应用，使他们能够更好地掌握这一知识点。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解不等式的性质及其应用。

2. 掌握不等式在解决实际问题中的解法。