浙江省宁波市镇海中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷2020.11(word版,含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a 等于（ ）A.1B. C. D.32.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ）A.B.C. D.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.在中，D 是BC 上一点，满足，M 是AD 的中点，若，则（ ）A.B.C.D.5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）D.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A ，B 两点，若，则（）A.4B.3C.2D.17.已知函数，若，，，则有（）{}0,1A =-{}0,1,2B a =-A B ⊆1-3-1z 2z 12i z =-12z z =34i 55-34i 55+41i 5+41i 5-x ∃∈R 220x x a ++<1a ≤1a <1a ≥1a >ABC △2BD DC = BM BA BC λμ=+λμ+=54785658π12()()sin 20y x ωϕω=+>12y =3AB π=ω=()xxf x e e-=+3log 0.6a =0.013b =5log 3c =A. B.C. D.8.已知函数（a ，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）A.B. C.2 D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布，且，则C.X 和Y 是分类变量，若值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布，且，则10.已知数列的前n 项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列B.为等比数列C.D.11.已知曲线C 的方程为：，，，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知，，下列命题正确的是（ ）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D.若，将沿MN 翻折，使面面，则折后三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.()()()f a f b f c >>()()()f b f c f a >>()()()f b f a f c >>()()()f c f a f b >>()()221f x a x bx a =-+-+b ∈R 2a ≠[]1,222a b +3212()~20,X B p ()8E X =() 4.8D X =()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2~2,X N σ()50.2P X >=()150.6P X -<<={}n a n S 13a =()()*1310n n n a na n ++-=∈N {}n na n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3n n a n =⋅()1213344n n n S +-=⋅+()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩()1,0M -()1,0N AMN α∠=ANM β∠=()sin sin 2sin αβαβ+=+tan3tan22αβ+ABN △4+3πα=AMN △AMN ⊥MNB AB =12.双曲线的渐近线方程为______.13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字。

浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。

镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则 A∩B=（ ）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. 2x±y=0B. x±2y=03. 已知公差不为零的等差数列{an}满足值为（ ）C. 4x±y=0D. x±4y=0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 的A.B.C.D.4. “a＞0”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数的图象可能是（ ）A.B.C.D.6. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：ξ 78910P x 0.1 0.3 y已知 ξ 的数学期望 E（ξ）=8.9，则 y 的值为（ ）A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.27. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（ ）A. 2B.C.D. 1第 1 页，共 14 页8. 对于定义域为 R 的函数 f（x），若存在非零实数 x0，使函数 f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）A. f（x）=2x-x2B. f（x）=x2+bx-2（b∈R）C. f（x）=1-|x-2|D. f（x）=x-sinx9. 已知是平面内三个单位向量，若 ，则的最小值（）A.B.C.D. 510. 已知数列{an}满足 2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（ ）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a7二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为______，|z|=______．12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 已知 x，y 满足条件则 2x+y 的最大值是______，原点到点 P（x，y）的距离的最小值是______ 14. 小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不 放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为15. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB=2AC，则 =______．16. 若函数在上有零点，则的最小值为17. 如图，椭圆的离心率为 e，F 是 Γ 的右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内任意一点，，，若 λ＜e，则 e 的取值范围是______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若求 a2+c2 的取值范围．，且，19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PC 垂直平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， PD=AB=2AD=2CD=2，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值．20. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的 n∈N*，都有 an+2=3an+1-2an． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n∈N*都有，求实数 m 的取值范围．第 3 页，共 14 页21. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-1，0），F2（1，0），过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆 于 P、Q 两点，且|PQ|=3． （1）求椭圆的方程； （2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△F1MN 的内切圆的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2e3x （Ⅰ）若 x＜0，求证：f（x）＜ （Ⅱ）若 x＞0，恒有 f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数 k 的取值范围2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. A10. C11. 212. 144-12π 168+6π13. 614. 3215. 316. -17. （0， ]第 4 页，共 14 页18. 解：（Ⅰ）==所以，解得，k∈Z．所以函数 f（x）的单调递增区间为，k∈Z（Ⅱ）因为，所以．所以 ．又因为，所以 3=a2+c2-ac，即 a2+c2=3+ac．而 a2+c2≥2ac，所以 ac≤3，即 a2+c2≤6．又因为 a2+c2=3+ac＞3，所以 3＜a2+c2≤6．19. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 ABCD，故PC⊥AC．………………（2 分）又 AB=2，CD=1，AD⊥AB，所以 AC=BC= ．故 AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．………………（4 分）所以 AC⊥平面 PBC，所以平面 ACE⊥平面PBC． …………………………（6 分）（Ⅱ）解：PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥CD．又 PD=2，所以 PC= ． …………（8 分）在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面 ACE⊥平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．由面积法得：即．…………（10 分）又点 E 为 AB 的中点，．所以．……………………………………（12 分）又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等． 连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 ．所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为．……………………（15 分）另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．因为 PD=2，所以．所以有：C（0，0，0），D（0，1，0），，A（1，1，0），B（1，-1，0），． …………（9 分）．，．第 5 页，共 14 页设平面 ACE 的一个法量为 =（x，y，z），则取 x=1，得 y=-1，．即=．…………（13 分）设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜ ， =． …………（15分）20. 解：（Ⅰ）由 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）． ………………（2 分）又 a1=1，a2=3，所以 a2-a1=2． 所以{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．…………………（3 分）所以．…………………（4 分）所以 an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n-1．…………（7 分）（Ⅱ）因为==．………（9 分）所以 Sn=b1+b2+…+bn= （12 分） 又因为对任意的 n∈N*都有，所以=．………恒成立，即，即当 n=1 时，．………（15 分）21. 解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，解得 a=2，b= ，故椭圆方程为=1,（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的半径 为 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此内切圆面积最大，R 就最大，此时也最大，由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my-9=0，得 则 令 t=， ，则 t≥1，，=，第 6 页，共 14 页则，令 f（t）=3t+ ，则 f′（t）=3- ，当 t≥1 时，f′（t） 0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有 f（t）≥f（1）=4，≤3，即当 t=1，m=0 时，≤3，=4R，∴Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 π．故直线 l 方程为：x=1，△F1MN 内切圆面积的最大值为 π.22. 证明：（Ⅰ）∵函数 f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由 f′（x）＞0，得 x＜- 或 x＞0；由 f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为 f（- ）= ，∴当 x＜0 时，f（x）≤f（- ）= ＜ = ．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 且 x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2lnx-1， ∴存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0， ∴当 x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当 x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，∵h（x0）=+2lnx0-1，得=，令=t0，则 2lnx0+3x0=lnx0，且 φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数 k 的取值范围是（-∞，0]． 【解析】1. 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 【解答】 解：B={0，1，2，3}；第 7 页，共 14 页∴A∩B={1，2，3}． 故选：C．2. 【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐 进方程．属于基础题．渐近线方程是 -y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是 -y2=0整理得 x ±2y=0． 故选：B．3. 解：公差不为零的等差数列{an}满足，∴=a1（a1+3d），解得 a1=-4d， ∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴==．故选：A．由公差不为零的等差数列{an}满足，利用等差数列的通项公式列方程求出a1=-4d，由此能求出 的值． 本题考查等差数列的前 3 项和公式和前 1 项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：由 a＞0，得 a+ ≥2 =2 ，是充分条件，由 a+ ≥2 ，得：a＞0，故 a＞0”是“”的充要条件，故选：C． 根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．5. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零 点判断函数的正负是解决本题的关键． 判断函数 f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数 的正负进行判断即可 【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B，第 8 页，共 14 页令得或,所以 x 轴右侧的零点为，在上取，则，排除 C，故选：D．6. 解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4． 故选：C． 根据分布列的概率之和是 1，得到关于 x 和 y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得 到另一个关于 x 和 y 的关系式，联立方程，解出要求的 y 的值． 本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨 治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7. 解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A，从而 C1A∥平面 BDE， ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距 离，设为 h，在三棱锥 E-ABD 中，VE-ABD= S△ABD×EC= × ×2×2× =在三棱锥 A-BDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ，∴S△EBD= ×2 ×=2∴VA-BDE= ×S△EBD×h= ×2 ×h=∴h=1 故选：D． 先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离， 最后利用等体积法求点面距离即可 本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法， 等体积法求点面距离的技巧，属基础题8. 解：满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．A．f（x）=2x-x2 的两个零点为 2，4，当 x0=3，在（-∞，3）和（3，+∞）上与 x 轴都有 交点，满足条件． B．判别式△=b2+8＞0 恒成立，即抛物线与 x 轴恒有两个交点，在两个零点之间的任何 一个 x0 都是“界点”． C．由 1-|x-2|=0 得|x-2|=1，得 x-2=1 或 x-2=-1，即 x=3 或 x=1，函数有两个零点 1，3，存 在“界点”． D．函数 f（x）的导数 f′（x）=1-cosx≥0，即函数 f′（x）在 R 上是增函数，不可能存 在两个零点，不存在“界点”． 故选：D． 满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．结合条件判断函数的零点个数即 可． 本题主要考查函数零点个数的判断，结合满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零 点是解决本题的关键．第 9 页，共 14 页9. 解：根据题意设 =（1，0）， =（0，1）， 对应的点 C 在单位圆上，（ +2 ）2-（2 + ）2=3 2-3 2=0，所以| +2 |=|2 + |，|2 + |+|3 +2 - |表示 C 点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为 2x-5y+4=0，原点到直线 2x-5y+4=0 的距离为= ＜1，所以与单位圆相交，所以|2 + |+|3 +2 - |的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即 ． 故选：A． ，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．| +2 |=2| + |，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为| +2 |=|2 + |．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中 直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10. 解：∵2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），∴an-an-1≤an+1-an， ∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6， ∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6）， 即 3（a7-a6）≥a6-a3， 故选：C． 由已知可得 a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则 a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求． 本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．11. 解：=（1+i）（2 1+i）=2（i 1+i）=-2+2i，则 z 的虚部为 2，|z|==2 ．故答案为：2，2 ． 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积 S=2×6×6+4×4×4-9π+ ×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π． 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求 解即可． 本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已 知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关 键．13. 解：作出 x，y 满足条件的可行域如图：第 10 页，共 14 页目标函数 z=2x+y 在的交点 A（2，2）处取最大值为 z=2×2+1×2=6．原点到点 P（x，y）的距离的最小值是：|OB|= ． 故答案为：6； ； 画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值．利用可行域 转化求解距离即可． 本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的 关键．14. 【分析】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况：①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元；④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元；⑧2 张 10 元，3 张 20 元．由此能求出现从中掏出纸币超过 45 元的 方法总数；小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，由此能求出刚好是 50 元的概率． 【解答】 解：小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同）， 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况： ①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元； ④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元； ⑧2 张 10 元，3 张 20 元． ∴现从中掏出纸币超过 45 元的方法有n= + + + + + +=32．小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数 N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，∴刚好是 50 元的概率 P= = = ．故答案为：32； ．15. 解：设 AC=x，则 AB=2x，在三角形 ABC 中由余弦定理得 BC2=x2+（2x）2-2•x•2x•cos120°=7x2，∴cosC== ，∴sinC= ，∴sin∠ADC=sin（60°+C）=sin60°cosC+cos60°sinC=．在△ADC 中由正弦定理得，∴，∴AD= x= × = ，故答案为：3． 设 AC=x 后，用余弦定理求出 BC，再求出 cosC，sinC，sin∠ADC，接着在△ADC 中用正第 11 页，共 14 页弦定理得 AD= AB，则 AB=3AD．本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦，属中档题．16. 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用判别式大于等于 0，端点处的函数值的符 号，结合配方法，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得△≥0，f（-1）≤0 或 f（1）≤0，化 a2-3b 为 a 的式子，由二次函数的最值求法， 可得最小值． 【解答】解：函数在[-1，1]上有零点，可得△≥0，即（a+ ）2≥4b，且 f（-1）f（1）≤0，即（ -a+b）（ +a+b）≤0；或 f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜- ＜1，即 a-b≤ ，a+b≥- ，-7＜a＜5．即有 a2-3b≥a2-= [（a-1）2- ]≥ ×（- ）=- ，当且仅当 a=1 时，取得最小值- ，故答案为：- ．17. 解：设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得 P（，），，可得 Q（，），由，可得 kFQ=- ，即为=- ，化为 λ=＜e= ，可得 ＜2+k2，对 k＞0 恒成立，由 2+k2＞2，可得 a2≤2b2， 即为 a2≤2（a2-c2），可得 c≤ a，即 0＜e≤ ，故答案为：（0， ]．设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得 a，b 的关系， 可得所求离心率的范围．第 12 页，共 14 页本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化 简整理的运算能力，属于中档题．18. （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=，利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由已知可求，求得 ，利用余弦定理，基本不等式可求 ac≤3，可得 a2+c2≤6，根据 a2+c2=3+ac＞3，即可得解其取值范围． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式 等知识在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．19. （Ⅰ）证明 PC⊥AC，AC⊥BC．推出 AC⊥平面 PBC，即可证明平面 ACE⊥平面 PBC．（Ⅱ）过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．说明 PF 垂直平面 ACE．通过点 E 为 AB 的中 点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G， 则 GB=2DG．转化求解即可． 另解：建立坐标系．求出平面 ACE 的一个法量，利用空间向量的数量积求解直线 PD 与 平面 AEC 所成角即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象 能力以及计算能力．20. （Ⅰ）通过 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）．推出{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式．（Ⅱ）因为=，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解m 的范围． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21. 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R 就最大是关键．（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，由此可求椭圆方程； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的径 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN 的面积，利 用换元法，借助于导数，即可求得结论．22. （Ⅰ）求出 f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而 f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而 f（x）的极大值为 f（- ）= ，由此能证明当 x＜0 时，f（x）＜ ．（Ⅱ）k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，由此能求出实数 k 的取值范围．第 13 页，共 14 页本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、 最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．第 14 页，共 14 页。

浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}ln(1)A x y x ==+∣，{}11,x B y y x ==−∈R ∣，则A B =（ ） A ．()1,0− B ．(1,)−+∞C ．RD ．(,0)−∞(1,0)A B =−故选：A. ．设复数i i z +=−A ．2−B ．0CD ．2【答案】B故选：B.3．若a b >，则（ ） A ．22a b > B ．20232024a ab b +<+ C ．11a b< D ．a a b b22,a b bb ，显然a b b 成立，0a b 时，则22b <，又22,a a a b b b ，故a b b 成立，0b >>时，0,0a b b，显然a a b b 成立，b >时都有a a b b ，故D 正确，4．设集合*}1,{|0A x x x =≥∈N ．若B A ⊆，且B 中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，则B 中的两位数的个数为（ ） A ．72 B ．78C ．81D ．90由B A ⊆，对于集合B 中的两位数元素，任意一个元素的各数位的数字互不相同，排除11,22,33,44,55,66,77,88,99；任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9，排除18,27,36,45,54,63,72,81,90； 共有90个两位数，排除其中18个，所以B 中的两位数的个数为72个. 故选：A5．用测量工具测量某物体的长度，需测量n 次，得到n 个数据123,,,,n a a a a ．设函数()211()n i i f x x a n ==−∑，则当()f x 取最小值时，x =（ ）A ．()1ni i x a =−∑B ．11ni i a n =∑C ．1i ni a =∑D ．21ni i a =∑(n x a ++−222222a x a x a +++−()22212)1n n a x a a a n n++++++,na n++时，()f x 取最小值，最小值为)22n n a a n ++⎛⎫++− ⎪⎝⎭. i a 时，(f x 取最小值.6．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“2q ”是“{}1n S a +为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】应用等比中项的性质，由{}1n S a +为等比数列，解出q 值，即可判断. 【详解】依题，“{}1n S a +为等比数列”，所以()()()2211131Sa S a S a +=+⋅+，得()()2121123222a a a a a a +=⋅++，化简得()22(2)22q q q +=++，解得2q ，则“2q”是“{}1n S a +为等比数列”的充要条件.故选：C7．边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）A B C ．(8π− D ．(8π−PF 为正四棱锥P ABCD −的高，作设FE x =，则1PE x =−，在直角三角形又因为正四棱锥P ABCD −的外接球球心在它的高记球心为O ，半径为R ，连接,OB FB 8．设函数()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭．若π3x =−为函数()f x 的零点，π3x =为函数()f x 的图象的对称轴，且()f x 在区间ππ,102⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）A ．334B ．394C ．607D ．12二、多选题9．在正六边形ABCDEF中，（）A ．AC AE BF −=B ．3AC AE AD +=C ．2||AD AB AB ⋅= D ．AD 在AC 上的投影向量为AC可由投影向量的定义求解D.【详解】AC AE EC FB −==,故A CE 相交于M ，,AD BF 相交于1122MD NM BC ===, 所以3622AC AE A A N AD M +===,故B 错误，21cos602||2AD AB AD AB AB AB AB ⋅=⋅=⋅⨯=,故C 由于180120120,30,2BCD ACB −∠=∠==故1203090,ACD BCD ∠=∠−=故AC CD ⊥，所以AD 在AC 上的投影向量为AC ，D 正确， 故选：CD10．已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ）A ．21a b+的最小值为4B ．22a b +的最小值为15C ．1122log log a b +的最小值为3D ．24a b +的最小值为【答案】BCD【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断A ； 利用消元法结合二次函数的性质即可判断B ；利用基本不等式结合对数运算即可判断C ；利用基本不等式结合指数运算即可判断 D. 【详解】21,a b +=0a >，b 当25b =时，因为0,a >1log log a +11．已知正三棱柱111ABC A B C −的各条棱长都是2，D ，E 分别是11AC ，11A B 的中点，则（ ） A ．1A B ∥平面1CDBB ．平面1CDB 与平面111A BC C ．三棱锥11B A BC −的体积是三棱柱111ABC A B C −体积的13D ．若正三棱柱111ABC A B C −的各个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为16π3【答案】ABC 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；判断出1CDC ∠即为平面1CDB 与平面111A B C 夹角，即可判断；C ，应用等积法1111B A BC C A BB V V −−=即可判断；D ，判断出球心在上下底面的中心的连线的中点，解直接三角形即可得.【详解】A ，连接11,BC B C ,交于点F ,连接DF ,则F 为的中点，故DF 为11C A B △的中位线， 则1//DF A B ，DF ⊂平面1CDB ,1⊄A B 平面1CDB ,故1A B ∥平面1CDB ，A 正确； B ，依题得，1CC ⊥平面111A B C ，，1DB ⊂平面111A B C ，则11DB CC ⊥，12．已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于,A B 两点，分别过点,A B 作y 轴的平行线与函数的2log y x =的图象交于,C D 两点，则（ ）A ．点,A D 和原点O 在同一条直线上B ．点,CD 和原点O 在同一条直线上C ．当BC 平行于x 轴时，则点AD ．当BC 平行于x 轴时，则点A 的纵坐标为23log 【答案】BC 【分析】O A B三点共线可知，选项B，由,,则由对数运算性质得log x三、填空题13．在61x ⎫+⎪⎭的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答）【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；14．已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，则2a b += ． 根据向量的数量积的定义，求得1a b ⋅=，结合22244a b a b a b +=++⋅，即可求解2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，可得cos 452a b a b ⋅=︒=⨯2222(2)4481413a b a b a b a b +=+=++⋅=++=. 故答案为：13.15．已知α是三角形的内角，若2cos cos2sin2ααα=−，则tan α= ． 【答案】2− 【分析】分析可知，sin 0α>，利用二倍角的正弦和余弦公式化简可得出tan α的值. 【详解】因为α是三角形的内角，则sin 0α>，且2cos cos2sin2ααα=−，即222cos cos sin 2sin cos ααααα=−−， 所以，2sin 2sin cos ααα=−，可得sin 2cos 0αα=−>，故tan 2α.故答案为：2−.16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且2AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率等于 ．在抛物线24y x =中，焦点为在双曲线22221(x y a b−=抛物线准线l 与双曲线交于∴1x x ==−， AB =四、解答题17．已知四边形ABCD 内接于O ，若1AB =，3BC =，2CD DA ==．(1)求线段BD 的长．(2)若60BPD ∠=︒，求PB PD +的取值范围．18．设函数2()(0,0)ax f x a x b x =≠>+，满足：①1(1)2f =；②对任意0x >，1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭恒成立．(1)求函数()f x 的解析式．(2)设矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()f x 的图象上．设矩形ABCD 的面积为S ，求证：01S <<．19．在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，AB BC a ==，()AD b b a =>，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 成30︒角，且4PD PE =．(1)求证：BE PD ⊥；(2)当直线PC 与平面ABE a b 的值．那么0,0,3b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,,0)D b ，(C故BE a ⎛=− ⎝，0,PD b ⎛= ⎝因为0BE PD ⋅=，所以BE PD ⊥，即BE PD ⊥． 2）因为(,0,0)AB a =，所以0AB PD ⋅=，故故平面ABE 的法向量0,n PD b ⎛== ⎝设直线PC 与平面ABE 所成角为θ223,|23b ab PC n b b a +<>=+a ，即12a b =．20．第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是0.5，且每次答题互不影响．(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少? (2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并说明理由．21．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()1)233(0,2,n n n k S a S k k n n −+=+>≥∈N ． (1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2)设数列{}n a 的公比为()f k ，数列{}n b 满足：11b =，11()(2,)n nf b n n b −=≥∈N ．求112233411111(1)n n n b b b b b b b b ++−+−+−． 【答案】(1)证明见解析11213435111111111111(1)n n n n n n b b b b b b b b b b b ++−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n b ⎫++=−⎪⎭为奇数时，112211(1)n b b b b +−−+−221262)39n n n ++++()111111n n n b b +++−+−=22．已知 a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =−−. (1)当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a 的值； (2)若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.()()=21=22， 2ln ln m n m n −−。

宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。