2018海淀一模数学理科试题(含答案)

北京市海淀区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．用三角板作ΔABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）2．图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体 以面相连接构成的不规则形状组件组成. 图2不可能．．． 是下面哪个组件的视图（ ）3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（ ） 4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）5．如果1a b -=，那么代数式2222(1)b a a a b-⋅+的值是（ ） B.2-D.1-6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A.0b c +>B.1ca >C.ad bc >D.a d >7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户 规模的变化情况.（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》） 根据统计图提供的信息，下列推断 一定不合理．．． 的是（ ） A ．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持 续上升C ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D ．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%※8．如图1，矩形的一条边长为X ，周长的一半为y. 定义〔X ,y 〕为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1， y=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域④C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域④时，矩形1可能和矩形2全等 二、填空题（本题共16分，每小题2分）2015-2017年中国在线教育用户规模统计图用户规模/万人在线教育用户手机在线教育课程用户11990979849871442613764117891101453032017年 6月2016年 12月2016年 6月2015年 12月1600012000800040009．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取 一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用 科学记数法表示为 ．11．如图，AB ∥DE ，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC== ．12．写出一个解为1的分式方程： ．13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道 和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下 隧道运行时间比地上大约多2分钟．．（130小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧 道全长为x 千米，依题意，可列方程为__________．14．如图，四边形ABCD 是平行四边形，④O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若④D = 72°， 则④BAE = °.※15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF=FB+BC ． 如图2，④ABC 中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6， D 是AB 上一点，BD=1，作DE ⊥AB 交④ABC 的 外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC==________°．16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.E DCBA E DCBAO图2图1DE CBAF MCBA请回答尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题， 每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：11()3tan 30|2|3-︒+．18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩19．如图，④ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接CD ， 过点B 作CD 的平行线EF ， 求证：BC 平分∠ABF ．FEDCBA20．关于x的一元二次方程22(23)10x m x m--++=.（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数．．，判断方程根的情况.21．如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE④BD，BE④AC，OE = CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是______时，四边形AOBE的面积取得最大值是_____.22．在平面直角坐标系X O y中，已知点P（2，2），Q（－1，2），函数m yx =.（1）当函数myx=的图象经过点P时，求m的值并画出直线y x m=+．※（2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组,myxy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m＞0），求m的取值范围．C BEOAD23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D. （1）已知∠A=α ，求∠D 的大小（用含α 的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若∠A=30°，MF=7，求⊙O 的半径.24．某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平， 开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据: 调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中， 合理的是___________（填字母）；A ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本.B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本.C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本.DA整理、描述数据: 抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：整理数据，如下表所示：分析数据、得出结论:调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比， 你能从中得到的结论是_____________，你的理由是___________________________.体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有 ________名同学参加此项目.25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量X 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分； 其次，分析解析式，得到y 随X 的变化趋势：当X ＞0时，随着X 值的增大，1x的值减小，且逐渐 接近于零，随着X 值的减小，1x 的值会越来越大L ，由此，可以大致画出1y x =在X ＞0时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y =的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图分2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A ； （画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________； ※（3）若关于X (1)a x =-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a 的取值范围：__________.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =X 2 –2aX +b 的顶点在X 轴上，P 〔X 1 , m 〕，Q 〔X 2 , m 〕 （X 1 ＜X 2 ）是此抛物线上的两点． （1）若a=1，④当m =b 时，求X 1 ,X 2的值；④将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；※（2）若存在实数c ，使得X 1 ≤ c–1，且X 2 ≥ c+7成立，则m 的取值范围是 ．27．如图，已知∠AOB=60°，点P 为射线OA在∠AOB 内，且满足∠DPA=∠OPE ， （1）当DP=PE 时，求DE 的长；※（2）在点P28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合， 使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为〔1，0〕，⊙A 的半径为2，④在点O 〔0，0〕，M 〔1，2〕，N 〔0，–3〕中，⊙A 的反射点是____________； ※ ④点P 在直线y =–X 上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；※（2）⊙C 的圆心在X 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标X 的 取值范围．北京市海淀区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准一、选择题〔每小题2分〕二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1510．×10811．2 12．11x=（答案不唯一）13．1118012030x x--=14．36 15．6016．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.※8．如图1，矩形的一条边长为X，周长的一半为y. 定义〔X,y〕为这个矩形的坐标.如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1， y=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域④C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域④时，矩形1可能和矩形2全等解析：可知双曲线中的K ＜3，∵矩形的一条边长为X ，周长的一半为y. 另一条边长为y–X ∴ y ＞X ① 矩形1的坐标的对应点A 〔X ,y 〕中Xy 应小于3; ④ 如果X ＞3，则y ＞3 K=Xy ＞9，④A 错 ② 矩形1是正方形时，y=2X, 据题意点A 〔X ,2X 〕应落在双曲线上, 而y=2X 图像在区域④与 双曲线无交点， ∴ B 错。

北京市海淀区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．用三角板作ABC △的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）2．图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能．．．是下面哪个组件的视图（ ）3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（ ）A.6B. 5C. 4D.34．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）5．如果1a b -=，那么代数式2222(1)b a a a b-⋅+的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A.0b c +>B.1ca >C.ad bc >D.a d >7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况.（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》） 根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理．．．的是（ ） A ．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D ．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%8．如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.2015-2017年中国在线教育用户规模统计图6月12月6月12月则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本题共16分，每小题2分）9． 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为 ．11．如图，AB DE ∥，若4AC =，2BC =，1DC =，则EC = ．12．写出一个解为1的分式方程： ．13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟．．（130小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x 千米，依题意，可列方程为__________．EDCBA14．如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 72°，则∠BAE = °.15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.图2图1E A请回答尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：11()3tan 30|2|3--︒+．18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=. （1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值； （2）若m 为负数．．，判断方程根的情况.21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数my x=. （1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． （2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值范围． FE DCB AC B EOAD23．如图，AB 是O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作O 的切线交AB 的延长线于点D .（1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求O 的半径.24． 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全. 收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）； A ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本 B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本 C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：DA整理数据，如下表所示：分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________.体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目. 25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量x 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x 值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x 值的减小，1x 的值会越来越大，由此，可以大致画出1y x=在0x >时的部分图象，如图1所示：分2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图利用同样的方法，我们可以研究函数y 的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A ；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________； （3）若关于x(1)a x =-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a 的取值范围：__________.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OAD 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．北京市海淀区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1510．87.5310⨯ 11．2 12．11x=（答案不唯一）13．1118012030x x--= 14．36 15．6016．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17.解：原式=332-+-………………4分=5-………………5分18.解：()5331,263.2x xxx+>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②解不等式①，得3x>-. ………………2分解不等式②，得2x<. ………………4分所以原不等式组的解集为32x-<<. ………………5分19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. ………………2分 ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠. ………………3分 ∴CBF ABC ∠=∠.∴BC 平分ABF ∠. ………………5分 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分∴13m =-. ………………3分(2)24125b ac m ∆=-=-+. ∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分 ∴此方程有两个不相等的实数根. ………………5分21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分(2) 正方形； ………………4分2. ………………5分 22．解：（1）∵函数my x=的图象经过点()22P ，， ∴2=2m，即4m =． ………………1分 图象如图所示. ………………2分（2）当点()22P ，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组2222m m⎧>⎪⎨⎪<+⎩，得04m <<． ………………3分 当点()12Q -，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组221m m>-⎧⎨<-+⎩，得3m >． ………………4分∵P Q ，两点中恰有一个点的坐标满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）， ∴m 的取值范围是：03m <≤，或4m ≥． ………………5分23．解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O 的直径，∴DOF DOE =∠∠． ∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分 ∵FD 为O 的切线， ∴OF FD ⊥.DA∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠. 902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O 的直径，∴O 为AB 中点， 90AEB ∠=︒． ∵M 为BE 的中点，∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒． ∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分∴222+OM OF MF =． 设O 的半径为r ． ∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴cos30AE AB ︒=⋅=.∴OM ． ………………5分∵FM∴222)+r =.解得=2r ．（舍去负根）∴O 的半径为2． ………………6分 24．C ………………1分………………2分DA（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可） ………………3分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可） ………………4分 （3）70． ………………6分 25．（1）如图： ………………2分（2）当1x >时，y 随着x 的增大而减小；（答案不唯一） ………………4分 （3）1a ≥. ………………6分26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ………………1分 ∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==………………3分 （2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠.∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.∴MK MD =. ………………5分 作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=，∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MK ME =. ∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ………………7分28．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为 点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ． 反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是22≤x --22≤x ． ………………4分 （2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． ………………7分。

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．22．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．104．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．11．（5分）直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．既是第i行中的最大值，也是第j列中的最若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i为数表A的一个“N﹣值”，，j对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．2【解答】解：∵集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，∴﹣1＜a＜2，∴a可以是1．故选：C．2．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）【解答】解：根据题意，向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则2＝（﹣2，0）则+2＝（﹣1，2）；故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．10【解答】解：当k＝0时，满足继续循环的条件，则S＝0，k＝1；当k＝1时，满足继续循环的条件，则S＝2，k＝2；当k＝2时，满足继续循环的条件，则S＝10，k＝3；当k＝3时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝10，故选：D．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（4，2），D（0，2）；设z＝y﹣x；平移目标函数z＝y﹣x，当目标函数过点D时，y﹣x取得最大值为2﹣0＝2．故选：B．5．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由lga+lgb＞0得lgab＞0，即ab＞1，当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，当a＝4，b＝，满足ab＞1，但b＞1不成立，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．【解答】解：由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和，其面积为1×＝；∴S的取值范围是[1，]；又＜，∴不可能的是选项D．故选：D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）【解答】解：函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①、②或④的区域，在A中，f（x）＝x3的图象位于③，④的部分区域，故A错误；在B中，f（x）＝的图象位于②③的部分区域，故B错误；在C中，f（x）＝e x﹣1的图象位于①②③④的部分区域，故C错误；在D中，f（x）＝ln（x+1）的图象位于②的区域，故D正确．故选：D．8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为【解答】解：∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM＝+1，ON＝+1时，取得最小值（+1）2cosπ＝﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴||2＝2cosαcosβ+2sinαsinβ+2＝2cos（α﹣β）+2，∴0≤||≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|＝2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤||≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝1+i．【解答】解：＝＝i+1．故答案为：1+i．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．【解答】解：根据题意，点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则a＝2，双曲线的方程为，则b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．11．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y＝0，曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2＝1，联立，得或．∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．【解答】解：△ABC中，若c＝2，，，利用正弦定理：，则：，所以：cos2C＝1﹣2sin2C＝1﹣＝．故答案为：．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有48种不同的站队方法．【解答】解：有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有＝24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：＝48种，故答案为：48．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣，]；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0，x＝﹣，符合题意；若a＜0，x＝0符合题意；若x＝﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；若a＞0，则x＝0和x＝﹣符合题意，可得a≤，综上可得，a的范围是（﹣，]；②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，f（x）的导数为3x2﹣3＞0，可得f（x）＜f（﹣2）＝﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9＝﹣18，即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，化为x3﹣3x2+x+5＞0，由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，可得g（x）＝x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）＝3x2﹣6x+1＞0，即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，且a3﹣3a2+a+5，而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣，]，（﹣1，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x ＝带入，可得：＝＝2．（Ⅱ）由＝因为函数y＝sin x 的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x ）的单调递增区间为（k∈Z）．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）若a +b ＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论） 【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用A i 表示事件抽取的月份为第i 月，则Ω＝{A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，A 9，A 10，A 11，A 12}共12个基本事件， A ＝{A 2，A 6，A 8，A 9，A 10，A 11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（4分）（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2．，，随机变量X的分布列为：（Ⅲ）a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．（13分）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为P A＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO所以△POA≌△POB≌△POC所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△P AC中，P A＝PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA＝OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△P AB中，P A＝PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ＝Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC解：（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1）由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为由，设平面PBC的法向量为，则由得：令x＝1，得y＝1，z＝1，即由二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为（9分）（Ⅲ）设，0≤μ≤1，，，令得（1﹣λ）•1+（﹣1）•（1﹣μ）+λ•μ＝0即，μ是关于λ的单调递增函数，当时，，所以．（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，，故，令f'（x）＞0，得0＜x＜e；故f（x）的单调递增区间为（0，e）（4分）（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，g（x0）＝0故当x∈（0，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0故故，解得（13分）故a的值为e2．（Ⅱ）方法2：f（x）的最大值为的充要条件为：对任意的x∈（0，+∞），且存在x0∈（0，+∞），使得，等价于对任意的x∈（0，+∞），a≥e2lnx﹣x且存在x0∈（0，+∞），使得a≥e2lnx0﹣x0，等价于g（x）＝e2lnx﹣x的最大值为a．∵，令g'（x）＝0，得x＝e2．x，g′（x），g（x）的变化如下：故g（x）的最大值为g（e2）＝e2lne2﹣e2＝e2，即a＝e2．（13分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：，，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2，﹣1），直线l的方程为，即．联立方程，得x2﹣4x+4＝0，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意．故直线TP和TQ的斜率存在．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线，直线故，由直线，设直线（t≠0）联立方程，当△＞0时，x1+x2＝﹣2t，，|OM|+|ON|＝＝＝＝＝4．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i，j为数表A的一个“N﹣值”，对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）A是“N﹣数表”，其“N﹣值”为3，B不是“N﹣数表”．（3分）证明：（Ⅱ）假设a i，j 和a i'，j'均是数表A的“N﹣值”，①若i＝i'，则a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＝a i'，j'；②若j＝j'，则a i，j＝min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'；③若i≠i'，j≠j'，则一方面a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＞a i，j'＞min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'，另一方面a i'，j'＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＞a i'，j＞min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝a i，j；矛盾．即若数表A是“N﹣数表”，则其“N﹣值”是唯一的．（8分）解：（Ⅲ）解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19．定义数表B＝（b j，i ）19×19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即b j，i ＝a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意，得：①数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素③数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素④若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值．定义数表C＝（c j，i ）19×19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即c j，i ＝362﹣b j，i（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意得：①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值即对任意的A∈Ω19，其“N﹣值”为a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19），则C∈Ω19，且其“N﹣值”为c j，i ＝362﹣b j，i＝362﹣a i，j．记C＝T（A），则T（C）＝A，即数表A与数表C＝T（A）的“N﹣值”之和为362，故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N﹣值”之和为362，故X的数学期望E（X）＝181．（13分）解法2：X所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X＝k的数表A的个数记作n k，k＝19，20，21，…，341，342，343，则．则，则，故，E（X）＝181．（13分）。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ⊆，则a 可以是 (A)1- (B) 0 (C) 1 (D) 2（2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b(A) (1,2)- (B) (1,4)- (C) (1,2) (D) (1,4) （3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为,M 且(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A) 1 (B) 2(C) 1- (D) 2-（5）已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( )(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是(A) 1 (B)65(C)43(D)32（7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是(A) 3()f x x = (B) ()f x = (C) ()e 1x f x =- (D) ()ln(1)f x x =+（8）已知点M 在圆221:(1)(1)1C x y -+-=上，点N 在圆222:(1)(1)1C x y +++=上，则下列说法错误的是（A ）OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为[3--（B ）||OM ON +u u u u r u u u r的取值范围为[0,（C ）||OM ON -u u u u r u u u r的取值范围为2,2]+（D ）若OM ON λ=u u u u r u u u r，则实数λ的取值范围为[33---+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4 本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合 A {0, a}, B { x | 1 x 2} ，且 A B ，则 a 可以是(A)1(B) 0 (C) 1(D) 2（2）已知向量a (1,2),b ( 1,0) ，则 a+2b(A) ( 1,2) (B) ( 1,4) (C) (1,2) (D) (1,4)（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A) 2 (B) 6(C)8(D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M , 且 P(x, y) 为 M 中任意一点，则 y x 的最大值为(A) 1(B) 2(C)1(D) 2（5）已知 a ， b 为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“ lg a lg b 0 ”的 ( )(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件第1 页共 15 页（6）如图所示，一个棱长为 1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则 S 的值不可能是(A) 16 4 3(B) (C) (D)5 3 2（7）下列函数f ( x) 中，其图象上任意一点P( x, y) 的坐标都满足条件yx 的函数是(A) f (x) x3 (B) f ( x)x (C) f ( x)e x 1(D)f( x)ln( x 1)（ 8）已知点 M 在圆 C1 :( x1)2( y1)2 1 上，点 N 在圆 C2 :( x 1)2( y 1)21上，则下列说法错误的是（A ） OM ON 的取值范围为[ 3 2 2,0]（B） | OM ON | 的取值范围为[0,2 2]（C） | OM ON |的取值范围为[2 2 2,2 2 2]（D）若OM ON ，则实数的取值范围为[ 3 2 2, 3 2 2]第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分。

数学 海淀区2018年数学(理科)高考一模试卷2018．4参考公式：三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2cos 2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin 2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为实数集R,集合A={x|x<2}，B={x|x ≥3}，则（ ）A ．RB A = B ．R B A =C ．φ=B AD ．φ=B A （2）在三角形ABC 中，若sinC ＝2cosAsinB ，则此三角形必是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 （3）曲线C 在直角坐标系中的参数方程为⎩⎨⎧α-=α=sin 22y cos 2x （a 为参数）．若以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是（ ）A ．ρ＝2cosB B ．ρ＝2sin θC ．ρ＝4cos θD ．ρ＝4sin θ（4）若p ，q ∈R ，则nn q p lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→存在的一个充分不必要条件是（ ） A ．q ＞p B ．|p|＝|q| C ． q ＜p ＜0 D ．0<q ＜p（5）已知平面α∩平面β=l ，m 是平面α内的一条直线，则在平面β内（ ） A ．一定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直 B ．一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直 C ．不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线m 垂直 D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直（6）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有（ ）A ．144B ．96C ．72D ．48（7）在平面直角坐标系内，将直线l 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线'l ，l 与'l 间的距离为13，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．32arctgB ．23arctgC ．32-πarctgD ．23-πarctg （8）已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当x ∈[1，m]时，f （x ＋t ）≤x 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． （9）圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为_________；它的体积为___________．（10）函数⎪⎭⎫⎝⎛3π+=x x f 61sin )(的最小正周期为_________；其图像的位于y 轴右侧的对称轴从左到右分别为1l ，2l ，3l ，…，则3l 的方程是_________．（11）不等式0214>-x的解集为__________；若关于x 的不等式a x x >-24的解集为R （实数集），则实数a 的取值范围是______________．（12）双曲线1322=-y x 的焦点坐标为___________；若曲线122=-my x 有一条准线方程为x ＝2，则实数m 为___________．（13）等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为_________；数列{}||n a 的前9项和等于___________．（14）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，到点P （-4，5）的距离大于2且小于3的整点共有_________个；将这些点按到原点的距离从小到大排列，分别记为点1P ，2P ，3P …，则点7P 的坐标为_________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分12分）已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是i z +θ=21sin ，θ+θ-=2cos cos 22i z ，其中θ∈（0, 2π），设→--AB 对应的复数为z ．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若复数z 对应的点P 在直线x y 21=上，求θ的值．（16）（本小题满分15分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN ．（Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小．（17）（本小题满分14分）已知数列{}n a 、{}n b 满足：11=a ，a a =2（a 为常数），且1+⋅=n n n a a b 其中n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？（18）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，长度为6的线段PQ 的一个端点P 在射线y=0（x ≤0）上滑动，另一端点Q 在射线x ＝0（y ≤0）上滑动，点M 在线段PQ 上，且21=MQ PM ． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若点M 的轨迹与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求四边形OAMB 面积的最大值（其中O 是坐标原点）．（19）（本小题满分13分）甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为215浬／小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发，朝北偏东θ（21=θarctg ）的方向作匀速直线航行，速度为510浬/小时．（如图所示）（Ⅰ）求出发后3小时两船相距多少浬？（Ⅱ）求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少浬？（20）（本小题满分13分）集合A 是由适合以下性质的函数f （x ）构成的：对于任意的x ＞0，y>0，且x ≠y ，都有⎪⎭⎫⎝⎛+>+323)(2)(y x f y f x f ．（Ⅰ）试判断x x f 21log )(=及22)1()(+=x x f 是否在集合A 中？说明理由；（Ⅱ）设f （x ）∈A ，且定义域是（0，+∞），值域是（1，2），23)1(>f ，写出一个满足以上条件的f （x ）的解析式；并证明你写出的函数f （x ）∈A ．参考答案及评分标准2018.4一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分） （9）2ππ33（10）12π；x=13π （11）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧->41,;21|x x ； （12）（±2，0）；34-（13）9； 41 （14）12；（-6，4） 三、解答题（共80分） （15）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：)2(cos sin cos 22121-θ+θ-θ-=-=i z z z …………………………3分θ--=2sin 21i …………………………………………………5分（Ⅱ）解：点P 的坐标为（-1，θ-2sin 2）…………………………………………6分由点P 在直线x y 21=上，得21-=θ-2sin 2．………………………………9分 ∴ 41=θ2sin 则21±=θsin ．∵ )π(∈θ2,0 ∴6π6π6ππ=θ11,7,5,6．…………………………………………12分 （16）（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：∵ ABCD 是正方形， ∴ CD ⊥AD ．∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥CD ．∴ CD ⊥平面PAD …………………………………………………………………………3分∵ PAD AM 底面⊂，∴ CD ⊥AM ．∵ PC ⊥平面AMN ，∴ PC ⊥AM ． ∴ AM ⊥平面PCD.∴ AM ⊥PD ．………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）解：∵ AM ⊥平面PCD （已证）， ∴ AM ⊥PM ，AM ⊥NM ．∴ ∠PMN 为二面角P —AM —N 的平面角．……………………………………………7分 ∵ PN ⊥平面AMN ，∴ PN ⊥NM ．在直角△PCD 中，CD=2，22PD =，∴ 32PC =． ∵ PA=AD ，AM ⊥PD ，∴ M 为PD 的中点，2PD 21PM == 由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴PCPM CD MN ⋅=．∴33322PC CD PM MN )PMN cos(====∠． ∴ 33arccosPMN =∠．……………………………………………………………10分 即二面角P —AM —N 的大小为33arccos． （Ⅲ）解：延长NM ，CD 交于点E ．∵ PC ⊥平面AMN ，∴ NE 为CE 在平面AMN 内的射影∴ ∠CEN 为CD （即CE ）与平面AMN 所成的角．……………………………………12分 ∵ CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴ ∠CEN ＝∠MPN ． 在Rt △PMN 中，33)sin(==∠PM MN MPN ． ∵ ⎪⎭⎫⎝⎛2π∈∠,0MPN ∴ 33arcsin =∠MPN ．∴ CD 与平面AMN 所成的角的大小为33arcsin．…………………………………15分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为{}n a 是等比数列，11=a ，a a =2，∴ a ≠0，1-=n n a a ．…………………………………………………………………2分又1+⋅=n n n a a b 则a a a b =⋅=211，21121211a aa a a a a a ab b n n n n n n n n n n ===⋅⋅=-++++++……………………………………………………………………………………………5分 即{}n b 是以a 为首项，2a 为公比的等比数列．∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==)1.(1)1()1( ,)1( ,22a a a a a n a n S n n ………………………………………………………9分（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确．理由如下：………………………………10分 解法一：设{}n b 的公比为q ，则q a a a a a a b b nn n n n n n n ===+++++21211且a ≠0 又11=a ，a a =2，1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是以1为首项，q 为公比的等比数列， 2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是以a 为首项，q 为公比的等比数列．……………………………………………………………………………………………11分即{}n a 为：1，a ，q ，aq ，2q ，2aq ，………………………………………………12分 当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列．……………………………………………………14分 解法二：{}n a 可能是等比数列，也可能不是等比数列、举例说明如下： 设{}n b 的公比为q（1）取a=q=1时，1=n a （n ∈N ），此时，11==+n n n a a b ，{}n a 、{}n b 都是等比数列．……………………………………………………………11分（2）取a=2，q=1时，⎩⎨⎧=)( 2)( 1为偶数为奇数n n a n ．2=n b ，（n ∈N ）．所以{}n b 是等比数列，而{}n a 不是等比数列…………………………………………14分 （18）（本小题满分13分）（1）解：设点P 、Q 、M 的坐标分别是P （1x ，0）、Q （0，1y ）、M （x ，y ）其中01≤x ，01≤y ， 依条件可得(*)362121=+y x …………………………………………………2分又依21==λMQ PM ，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2112121111y y x x ……………………………………………………4分 将⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 32311代入（*）式，得141622=+y x （x ，y ≤0）…………………………7分 即点M 的轨迹方程为141622=+y x （x ≤0，y ≤0） （Ⅱ）解：设M 点的坐标是（4cos α，2sin α）其中0≤α<2π依条件⎩⎨⎧<α<α0sin 20cos 4得23π<α<π……………………………………………………………………………9分 O BM O AM O AMB S S S ∆∆+=四边形而α-=α⋅⋅=⋅=∆sin 4|sin 2|421||||21M OAM y OA S α-=α⋅⋅=⋅=∆cos 4|cos 4|221||||21M OBM x OB S∴ )cos (sin 4α+α-=O AMB S 四边形………………………………………………11分 244sin 24≤⎪⎭⎫⎝⎛π+α-= 仅当)(452π3,π∈π=α时，四边形OAMB 的面积有最大值24． …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设在t 时刻甲，乙两船分别在),(11y x P ，),(22y x Q ．则⎩⎨⎧====tx y t t x 151545cos 215111 …………………………………………………………2分 由21arctg=θ可得，5sin ,5cos 5=θ52=θ， t t x 10=θ=sin 510240cos 5102-20=40-θ=t t y ……………………………………………………5分（Ⅰ）令t=3，P 、Q 两点的坐标分别为 （45，45），（30，20）．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解法过程易知：212212)()(||y y x x PQ -+-=220800)4(50160040050)154020()1510(2222≥+-=+-=--+-=t t t t t t t∴ 当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为220．…………………………………13分 即两船出发4小时，相距220里为两船最近距离．（20）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：取x=1，y=4则16log 4log 21log )4(2)1(22211=+=+f f ，16log 27log 39log 3342132221>==⎪⎭⎫⎝⎛⨯+f∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+<+323)(2)(111y x f y f x f ………………………………………………3分∴ A x f ∉)(1任取x>0，y>0且y x ≠，研究0)(321323)1(2)1(323)(2)(2222222>-=⎪⎭⎫⎝⎛++-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+y x y x y x y x f y f x f∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+>+323)(2)(222y x f y f x f ． ∴ A x f ∈)(2……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设函数132)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx f ，),0(+∞∈x ，满足其值域为（1，2） 且2335132)1(>=+=f …………………………………………………………9分 又任意取x>0，y>0且y x ≠则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++3231323332233232323322322322132)(2)(3232y x f y f x f y x y x y y x y x y x∴ A x f ∈)(…………………………………………………………………………13分。

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，则a可以是（）A.−1B.0C.1D.22. 已知向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则a→+2b→=()A.(−1, 2)B.(−1, 4)C.(1, 2)D.(1, 4)3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.6C.8D.104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P(x, y)为M中任意一点，则y−x的最大值为（）A.1B.2C.−1D.−25. 已知a，b为正实数，则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A.1B.65C.43D.327. 下列函数f(x)中，其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数是（ ）A.f(x)=x 3B.f(x)=√xC.f(x)=e x −1D.f(x)=ln(x +1)8. 已知点M 在圆C 1：(x −1)2+(y −1)2=1上，点N 在圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=1上，则下列说法错误的是（ ）A.OM →∗ON →的取值范围为[−3−2√2,0brackB.|OM →+ON →|取值范围为[0,2√2brackC.|OM →−ON →|的取值范围为[2√2−2,2√2+2brackD.若OM →=λON →，则实数λ的取值范围为[−3−2√2,−3+2√2brack二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．复数2i 1+i =________．已知点(2, 0)是双曲线C:x 2a 2−y 2=1的一个顶点，则C 的离心率为________．直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为________．在△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，则sinC =________，co s2C =________．一次数学会议中，有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有________种不同的站队方法．设函数f(x)={x,x ≥a x 3−3x,x <a． ①若f(x)有两个零点，则实数a 的取值范围是________；②若a ≤−2，则满足f(x)+f(x −1)>−3的x 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(I)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=−些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度殖和传播的概率；(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）已知三棱锥P−ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−PC−B的余弦值；(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMCP=λ，λ∈[13,23]，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求BNBP的取值范围．已知函数f(x)=lnxx+a．(I)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的最大值为1e2，求a的值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且点T(2, 1)在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．(I)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．设A=(a i,j)n×n={a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮a n,1a n,2⋯a n,n}是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N∗．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N−数表”a i,j为数表A的一个“N−值”，对任意给定的n，所有“N−数表”构成的集合记作Ωn．判断下列数表是否是“N−(2)数表”．若是，写出它的一个“N−(3)值”；A={123456789}，B={147825693}；(Ⅱ)求证：若数表A是“N−数表”，则A的“N−值”是唯一的；(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N−值”为X，求X的数学期望E(X)．参考答案与试题解析2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，得到−1<a<2，由此能求出结果．【解答】∵集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，∴−1<a<2，∴a可以是1．2.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式直接计算即可得答案．【解答】根据题意，向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则2b→=(−2, 0)则a→+2b→=(−1, 2)；3.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当k=0时，满足继续循环的条件，则S=0，k=1；当k=1时，满足继续循环的条件，则S=2，k=2；当k=2时，满足继续循环的条件，则S=10，k=3；当k=3时，不满足继续循环的条件，故输出的S=10，4.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】根据题意写出A、B、C、D点的坐标，设z＝y−x，平移目标函数z，找最优解，求出z的最大值．【解答】根据题意知，A(−2, −1)，B(2, −1)，C(4, 2)，D(0, 2)；设z＝y−x；平移目标函数z＝y−x，当目标函数过点D时，y−x取得最大值为2−0＝（2）5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据对数的运算法则以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由lga+lgb>0得lgab>0，即ab>1，当a>1，b>1时，ab>1成立，当a=4，b=1，满足ab>1，但b>1不成立，2则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的充分不必要条件，6.【答案】D【考点】平行投影及平行投影作图法【解析】由题意求得正方体在竖直墙面上投影面积的最小值和最大值即可．【解答】由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和√2，其面积为1×√2=√2；∴S的取值范围是[1, √2]；又√2<3，2∴不可能的是选项D．7.【答案】D【考点】函数的求值【解析】函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，由此能求出结果．函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，在A 中，f(x)=x 3的图象位于③，④的部分区域，故A 错误；在B 中，f(x)=√x 的图象位于②③的部分区域，故B 错误；在C 中，f(x)=e x −1的图象位于①②③④的部分区域，故C 错误；在D 中，f(x)=ln(x +1)的图象位于②的区域，故D 正确．8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的对称关系和OM ，ON 的范围进行判断．【解答】∵ M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴ ∠MON ≥90∘，∴ OM →∗ON →≤0，又OM ≤√2+1，ON ≤√2+1，∴ 当OM =√2+1，ON =√2+1时，OM →∗ON →取得最小值(√2+1)2cosπ=−3−2√2，故A 正确； 设M(1+cosα, 1+sinα)，N(−1+cosβ, −1+sinβ)，则OM →+ON →=(cosα+cosβ, sinα+sinβ)，∴ |OM →+ON →|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α−β)+2，∴ 0≤|OM →+ON →|≤2，故B 错误；∵ 两圆外离，半径均为1，|C 1C 2|=2√2，∴ 2√2−2≤|MN|≤2√2+2，即2√2−2≤|OM →−ON →|≤2√2+2，故C 正确； ∵ √2−1≤|OM|≤√2+1，√2−1≤|ON|≤√2+1，∴ 当OM →=λON →时，√2−1√2+1≤−λ≤√2+1√2−1，解得−3−2√2≤λ≤−3+2√2，故D 正确． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】1+i【考点】复数的运算【解析】利用复数的除法运算法则即可得出．【解答】2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i +1．√52【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的顶点坐标可得a 的值，结合b 的值计算可得c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，点(2, 0)是双曲线C:x 2a −y 2=1的一个顶点， 则a =2，双曲线的方程为x 2a 2−y 2=1，则b =1，则c =√a 2+b 2=√5，则双曲线的离心率e =c a =√52； 【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直线消去参数t ，得x −2y =0，曲线消去参数，得(x −2)2+y 2=1，联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1，能求出交点个数． 【解答】直线 {x =2t y =t（t 为参数）消去参数t ，得x −2y =0， 曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）消去参数，得(x −2)2+y 2=1， 联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1 ，得{x =2y =1 或{x =65y =35 ． ∴ 直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为2． 【答案】 √3, 【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，利用正弦定理：a sinA =c sinC ，则：sinC =√33， 所以：cos2C =1−2sin 2C =1−23=13．【答案】48【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．【解答】有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位． 现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：A 22∗A 42A22=48种，【答案】(−√3, √3],(−1, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】①讨论a =0，a >0，a <0，结合零点定义，解方程即可得到所求范围； ②若a ≤−2，讨论x <a ，x ≥a ，若x −1≥a ；a −1≤x −1<a ，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】①若a =0，则f(x)={x,x ≥0x 3−3x,x <0， 由f(x)=0，可得x =0，x =−√3，符合题意；若a <0，x =0符合题意；若x =−√3符合题意，则a >−√3，即为−√3<a <0；若a >0，则x =0和x =−√3符合题意，可得a ≤√3，综上可得，a 的范围是(−√3, √3]；②若x <a ≤−2，则x −1<a −1≤−3，f(x)的导数为3x 2−3>0，可得f(x)<f(−2)=−2，f(x −1)<−27+9=−18，即有f(x)+f(x −1)<−30，不符题意；则x ≥a ，若x −1≥a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +x −1>−3，解得x >−1；若a −1≤x −1<a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +(x −1)3−3(x −1)>−3，化为x 3−3x 2+x +5>0，由于a ≤−2，且a ≤x <a +1，可得g(x)=x 3−3x 2+x +5的导数g′(x)=3x 2−6x +1>0，即g(x)在[a, a +1)递增，g(a)取得最小值，且为a 3−3a 2+a +5，且a3−3a2+a+5，而在a≤−2时，a3−3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是(−1, +∞)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】（I）直接将x=π6带入计算即可．(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f(x)的单调递增区间．【解答】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【答案】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值．【解答】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【答案】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA=OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△PAB中，PA=PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ=Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角， 所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数， 当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，△POA≅△POB≅△POC，∠POA=∠POB=∠POC=90∘，进而PO⊥OB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．法三：设AC的中点为O，连接PO，推导出PO⊥AC，设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．推导出OQ⊥AB．PQ⊥AB．从而AB⊥平面OPQ，进而OP⊥AB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．(Ⅱ)由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设BN→=μBP→，0≤μ≤1，利用向量法能求出BN的取值范围．BP【解答】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为 在△OAB 中，OA =OB ，Q 为AB 的中点 所以 OQ ⊥AB ．因为 在△PAB 中，PA =PB ，Q 为AB 的中点 所以 PQ ⊥AB ．因为 PQ ∩OQ =Q ，PQ ，OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ 因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP ⊥AB因为 AB ∩AC =A ，AB ，AC ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC 因为 PO ⊂平面PAC所以 平面PAC ⊥平面ABC（2）由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，如图建立空间直角坐标系，则 O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角，所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0 即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数，当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【答案】（1）当a =0时，f(x)=lnx x，故f ′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，令f ′(x)>0，得0<x <e ； 故f(x)的单调递增区间为(0, e) （2）方法1:f ′(x)=x+ax−lnx (x+a)2=1+a x−lnx (x+a)2令g(x)=1+ax −lnx 则g ′(x)=−ax −1x =−x+a x <0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae a+1−(1+a)=a ⋅(1e a+1−1)<0 故存在x 0∈(e,e a+1)，g(x 0)=0故当x ∈(0, x 0)时，g(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a =1e 2，解得{x 0=e 2a =e 2故a的值为e2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e2的充要条件为：对任意的x∈(0, +∞)，lnxx+a ≤1e2且存在x0∈(0, +∞)，使得lnx0x0+a=1e2，等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a．∵g′(x)=e2x−1，令g′(x)=0，得x=e2．x，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e2)=e2lne2−e2=e2，即a=e2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，令g(x)=1+ax−lnx，求出存在x0∈(e,e a+1)，使得g(x0)=0，得到关于a，x0的方程组，解出即可；法二：分离参数a，问题等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a，求出g(x)的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】（1）当a=0时，f(x)=lnxx，故f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，令f′(x)>0，得0<x<e；故f(x)的单调递增区间为(0, e)（2）方法1:f′(x)=x+ax−lnx(x+a)2=1+ax−lnx(x+a)2令g(x)=1+ax−lnx则g′(x)=−ax2−1x=−x+ax2<0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae−(1+a)=a⋅(1e−1)<0故存在x0∈(e,e a+1)，g(x0)=0故当x∈(0, x0)时，g(x)>0；当x∈(x0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a=1e2，解得{x 0=e 2a =e 2 故a 的值为e 2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e 2的充要条件为： 对任意的x ∈(0, +∞)，lnx x+a≤1e且存在x 0∈(0, +∞)，使得lnx 0x 0+a=1e 2， 等价于对任意的x ∈(0, +∞)，a ≥e 2lnx −x 且存在 x 0∈(0, +∞)，使得a ≥e 2lnx 0−x 0，等价于g(x)=e 2lnx −x 的最大值为a ． ∵ g ′(x)=e 2x−1，令g ′(x)=0，得x =e 2． x ，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e 2)=e 2lne 2−e 2=e 2，即a =e 2．【答案】(Ⅰ)由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意． 故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质分析可得{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解可得a 、b 的值，将a 、b的值代入椭圆方程，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线l 与椭圆C 相切，不合题意，则直线TP 和TQ 的斜率存在，进而设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由此表示直线TP 或TQ 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示|OM|+|ON|的值，即可得答案． 【解答】(Ⅰ)由题意{4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2． 联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【答案】 （本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′； ③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19） 由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181． 【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，若i =i ′，则a i,j =a i ′,j ′；若j =j ′，则a i,j =a i ′,j ′；若i ≠i ′，j ≠j ′，一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ；矛盾．由此能证明数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19．定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值，由此能求出X 的数学期望E(X)． 法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．由此能求出E(X)．【解答】（本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′；③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362， 即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181．。

北京市中考2018海淀数学一模试卷（含答案）北京市海淀区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1 •用三角板作△ ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（2•图1是数学家皮亚特海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能是下面哪个• • •)B CA组件的视图（）A. 6B. 54 •下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形3 •若正多边形的一个外角是数是（）120°则该正多边形的边C. 4D.3DA.2B. 2C.1D. i6•实数a , b , c , d 在数轴上的对应点的位置如图所示 若b d 0，则下列结论中正确的是（ ）- ---- - --------------- - ----- - ------a b cd7 •在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育 资源.下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变 化情况.（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮5 •如果a b 1，那么代数式（1样）壬的值是（A. b c 0D. a dB.- 1aC. ad bc的是（A.赵跪弦图 0-000-000C.河图幻方2 2D,谢尔宾斷基三甬形书》）根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是• • •（）A・2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B・2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C・2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D. 2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%8.如图1,矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义（x,y）为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中，直线x 1,y3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是（）A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1是正方形时，点A位于区域②C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.从5张上面分别写着加” “”向”未”来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着加”字的概率是________________ .10•我国计划2023年建成全球低轨卫星星座一一鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务.20仃年12月，我国手机网民规模已达753000 000,将753 000 000用科学记数法表示为__________ 11•如图，AB//DE，若AC 4 ? BC 2 ‘DC 1，贝EC= _____________12 •写出一个解为1的分式方程：___________13•京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速•其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时.按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（丄小时）,30求清华园隧道全长为多少千米•设清华园隧道全长为x 千米，依题意，可列方程为___________ •14.如图，四边形ABCD是平行四边形，O O经过点A, C, D，与BC交于点E,连接AE，若/ D = 72 :则/ BAEB E C15•定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦定理：如图 1 , AB和BC组成圆的折弦, AB BC , M 是弧ABC 的中点，MF AB于F，贝AF FB BC .3女口图 2, △ ABC 中， ABC 60 , AB 8 , BC 6 , D 是 AB 上一点， BD 1 ,作DE AB 交△ ABC 的外接圆于E ,连接EA ,则 oEAC= °16•下面是 过圆上一点作圆的切线 ”勺尺规作图过程.已知：09和O0±点尹.求作：00的切线MV,使皿”经过点乩 (T)作法：如朗丿p⑴作肘线(2)臥点戸为圆心，小于莎的长为半径作弧父射线0P 于如丘两点，(3)分别汝点』，丘为禺心，次大于丄*45长为2X-、 /半径作弧，两弧交于」如斗两点』4(4)作直线fid 丄£■”就是所求作的QO 的切钱-/v请 回 答尺规作 图 的依 据是 ___E B三、解答题(本题共68分，第17〜22题，每小题5分; 第23〜26小题，每小题6分；第27〜28小题，每小题7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17 •计算：(3)1 12 3tan30 |、、3 2| .关于x 的一兀—次方程x 2(2m 3)x m 21 0.(1) 若m 是方程的一个实数根，求m 的值; (2) 若m 为负数，判断方程根的情况.• •5x 3 3 x 118 •解不等式组:6 3x.19. 如图，△ ABC 中，ACB 90 , D 为AB 的中点，连接 过点B 作CD 的平行线EF ,求证：BC 平分ABF .CD20.21・如图，6B CD的对角线AC,BD相交于点O ,且AE II BD , BE II AC, OE = CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AD =2,则当四边形ABCD的形状是时，四边形AOBE的面积取得最大值是22・在平面直角坐标系xOy中，已知点P( 2, 2)，Q (- 1, 2),函数y m.丿x(1)当函数y m的图象经过点P时，求m的值并画出直线x 丿y x m .(2)若P , Q两点中恰有一个点的坐标(x , y )满足不等式组丫？( m > 0),求m的取值范围.y x myi23.如图，AB 是00的直径，弦EF AB 于点C ，过点F 作00 的切线交AB 的延长线于点D .（1） 已知A （2） 取 BE 的中点MMF J ，求00的半径.24.某校九年级八个班共有 280名学生，男女生人数 大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展 了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据 调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是 ______________ （填 字母）；A •抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试 成，求D 的大小（用含的式子表示）； ，连接MF ，请补全图形；若A 30，D绩组成样本B •抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C •从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：77 S3 80 S4 86 90 75 92 83 S185 柚88 （52 65 85 97 光82 73S6 S4 S Q 86 92 73 57 77 S7 S291 31 &6 71 53 72时76 68 7S整理数据，如下表所示：201S分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图你能从中得到的结论是_______________ ，你的理由是■体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有____________ 名同学参加此项目•25•在研究反比例函数y 2的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析•首先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随X的变化趋势：当x 0时，随着X值的增大，2的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，;的值会越来越大，由此，可以大致画出y 1在X 0时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y*的图象与性质.通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A ；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：(3)若关于x的方程X11 a(x 1)有两个不相等的实数根，结合图1象，直接写出实数a的取值范围：___________________ 26 •在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y x2知b的顶点在x轴上，p(x i,m)，Q(X2,m)( x i x2)是此抛物线上的两点.(1)若 a 1,①当m b时，求x1 , x2的值；②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程；(2)若存在实数c，使得x1 c 1，且x2 c 7成立，则m的取值范围是_____ ・27 •如图，已知AOB 60，点P为射线OA上的一个动点, 过点P作PE OB，交OB于点E，点D在AOB内，且满足DPA OPE，DP PE 6 .(1)当DP PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M , 使得ME的值不变？并证明你的判断.28 •在平面直角坐标系xOy中，对于点P和0C,给出如下定义：若0C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在0C上，则称P为0C的反射点•下图为0C的反射点P的示意图.0A的半径为2 ,中，0A 的反射点是 ②点P 在直线y x 上，若P 为0A 的反射点，求点P 的横坐 标的取值范围；（2） 0C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是0C 的 反射点，直接写出圆心C的横坐标X 的取值范围.y(1)已知点A 的坐标为d,0), ①在点 0(0,0) , M (1,2) , N(0, 3)北京市海淀区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准，、选择题（本题共16分，每小题2 分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9 ・110 ・7.53 108 1 1 . 2512. X 1 （答案不唯一）13・△ J丄14・3680 120 3015 ・6016.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5 分; 第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7 分）17.解：原式= 3 2 3 3 — 2 335 2、33218. 解: 19. 不 等式① ，........ 2分不等式② ，.......... 4分以原不 等式组的解集25x 3 3x1, x 2 ①解x 3 解x 2 所 3 x 证明: ACB 90, D 为 AB 的中点，・ 1・・ CD —AB BDABC DCB...... 2分得 ■ 得 ■ 为・ DC//EF ,・・CBF DCB............................ 3 分CBF ABC.・・BC 平ABF.......... 5 分20 •解：(1)V m是方程的一个实数根，・・m2 2m 3 m m2 1 0............................ 1分. 1・・m -3............................ 3 分(2) b24ac 12m 5.*.* m 0 ,・•・12m 0■・・12m 5 0........................... 4 分・此方程有两个不相等的实根.•…..... 5分21. ( 1)证明：T AE//BD , BE/AC ,形. ................. 1分・・•四边形ABCD是平行四边形，m 4.1分2图象如图所示分(2)0 m 4 分m 3 .分> 0),m 4 .当点P 2,2满足yy m5x x m(m> 0) 时，解不等式组2 m ,22 2mm当点Q 1,2满足y?( m > 0)时，y x m解 不 等 式 组 2 得 (4)mI P Q 两点中恰有一个点的坐标满足丫( my x mm的取值范围是：0m3 ,或............................ 5 分23 .解：(1)连接 OE , OF .•J EF丄AB , AB是0 O的直径，• I Z DOF Z DOE .D T Z DOE 2Z A , Z A ,/. Z DOF 2 ・........... 1分T FD为©O的切线，• I OF 丄FD .二Z OFD 90■Z D + Z DOF 90■D 90 2 . ........... 2 分(2)图形如图所示.连接OM .T AB为©O的直径，・•・O为AB中点，AEB 90 .T M为BE的中点，D •I O M // AEOM=1A E . ........................... 3 分T A 30 ,•I MOB A 30 ・T DOF 2 A 60 , MOF 90 .2 2 2・・ OM +OF MF .设0O的半径为r .T AEB 90 , A 30 ,/. AE AB cos30 ,3r .• •OM = —:3r2................................5 分T FM =存,（丄T3r）2+r2（V7）2.2解得r=2 .（舍去负根）・0O的半径2 ............................ 6 分24 ................................. 1 分............................ 2分(2)去年的体质健康测试成绩比今年好. 不唯(答案一，合理即可) .................. 3分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大.（答案不唯一，合理即可）(3............................ 6 分・ ( 1 )当x 1时，y 随着X 的增大而减小；（答案不唯4分a 1 .......................................6 分26•解：抛物线y X 22ax b 的顶点在X 轴上，4b ( 2a)27025 图 (2)(3)b a 227. .解： (1 )作DE 交DE 于F .25P/F/(1) ：a 1 , b 1.抛物线的解析式为y x 22x 1.①；m b 1,X 2 2x 1 1,解得x 22. ........... 2 分②依题意，设平移后的抛物线为y (x 1)2k .•••抛物线的对称轴是x 1，平移后与x 轴的两个 点之间的距离是4 ,(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点. (3 1)2 k 0，即 k 4.变化过程是：将原抛物线向下平移............................ 4 分(m 16X i 0、交 卜单/ PE 丄 BO , AOB 60 , •. OPE 30■•. DPA OPE 30：. EPD 120.・ DP PE , DP PE 6 , ・ PDE 30,PD PE 3.始终为1.理由如下:・・DF PD cos30 — x/32・・DE 2DF 3、3.当M 点在射线OA 上且满足OM 时，观的值不 ME变，当点P 与点M 不重合时，延长EP 至U K 使得PK PDDPA OPE OPE KPAKPA DPA.KPM DPM・• PK PD,PM是公共边,/. △KPM = △DPM .・・MK MD. .................... 5分作ML OE 于L, MN EK于25•I 四边形MNEL 为矩形.EK ,・・MK ME ./. ME MK MD ,即與 1'ME '当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成 立. 7分 28 •解（1）①0A的反射点是M , N分 ②设直线y x 与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆 的交点从左至右依次为D , E , F , G ，过点D 作DH 丄x 轴于 点H ，如图. T MO 2 3, MOL60：， 二 ML MOsin60：3. ............................ 6 分 PEBO , ML EK ,OE ,MN _ ・・EN ML 3.EKPE PK PE PD 6 ,EN NK MN33可求得点D 的横坐标为竽•同理可求得点E , F , G 的横坐标分别为 ¥ , + ,写• 点P 是0A 的反射点，贝呵A 上存在一点T ,使点P 关于直线OT 的对称点P'在A 上，则OP OP'.K OP'<3 ,・°・ K 0P W 3 •反之，若1<0P <3 , A 上存在点Q ，使得OP 0Q ，故线段PQ 的 垂直平分线经过原点，且与0A 相交•因此点P 是0A 的反 射点..•.点P 的横坐标x 的取值范围是 竽< x <乎，或弓< x <竽• .......... 4分(2)圆心C 的横坐标x 的取值范围是4<x <4 • ........... 7 分。

市海淀区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．用三角板作ABC △的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）2．图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能．．．是下面哪个组件的视图（ ）3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（ ）A.6B. 5C. 4D.34．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）5．如果1a b -=，那么代数式2222(1)b a a a b-⋅+的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A.0b c +>B.1ca >C.ad bc >D.a d >7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况.（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》） 根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理．．．的是（ ） A ．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D ．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%bcad2015-2017年中国在线教育用户规模统计图6月12月6月12月8．如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9． 从5上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一，则这卡片上面恰好写着“加”字的概率是 ．10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为 ．11．如图，AB DE ∥，若4AC =，2BC =，1DC =，则EC = ．12．写出一个解为1的分式方程： ．13．京高铁是2022年冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟．．（130EDCBA小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x 千米，依题意，可列方程为__________．14．如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 72°，则∠BAE = °.15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.图2图1E A请回答尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：11()3tan 30|2|3--︒+．18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=. （1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值； （2）若m 为负数．．，判断方程根的情况.21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE∥BD ，BE∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数my x=. （1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． （2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值围．FE DCB AC B EOAD23．如图，AB 是O e 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作O e 的切线交AB 的延长线于点D . （1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求O e 的半径.24． 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全. 收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）； A ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本 B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本 C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：DA整理数据，如下表所示：分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________.体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目. 25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量x 的取值围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x 值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x 值的减小，1x 的值会越来越大L ，由此，可以大致画出1y x=在0x >时的部分图象，如图1所示：分2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图利用同样的方法，我们可以研究函数y 的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A ；（画出网格区域的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________； （3）若关于x的方程(1)a x =-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a 的取值围：__________.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点． （1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值围是 ．27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA点D 在AOB ∠，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C e 上，则称P 为C e 的反射点．下图为C e 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A e 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A e 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为A e的反射点，求点P 的横坐标的取值围；（2）C e 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C e 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值围．市海淀区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．1510．87.5310⨯ 11．2 12．11x=（答案不唯一）13．1118012030x x--= 14．36 15．6016．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17.解：原式=3323-⨯+-………………4分=5-分18.解：()5331,263.2x xxx+>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②解不等式①，得3x>-. ………………2分解不等式②，得2x<. ………………4分所以原不等式组的解集为32x-<<. ………………5分19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. ………………2分 ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠. ………………3分 ∴CBF ABC ∠=∠.∴BC 平分ABF ∠. ………………5分 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分∴13m =-. ………………3分(2)24125b ac m ∆=-=-+. ∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分 ∴此方程有两个不相等的实数根. ………………5分21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分(2) 正方形； ………………4分2. ………………5分 22．解：（1）∵函数my x=的图象经过点()22P ，， ∴2=2m，即4m =． ………………1分 图象如图所示. ………………2分（2）当点()22P ，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组2222m m⎧>⎪⎨⎪<+⎩，得04m <<． ………………3分 当点()12Q -，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组221m m>-⎧⎨<-+⎩，得3m >． ………………4分∵P Q ，两点中恰有一个点的坐标满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）， ∴m 的取值围是：03m <≤，或4m ≥． ………………5分23．解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O e 的直径， ∴DOF DOE =∠∠． ∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分 ∵FD 为O e 的切线， ∴OF FD ⊥.DA∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠. 902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O e 的直径，∴O 为AB 中点， 90AEB ∠=︒． ∵M 为BE 的中点， ∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分 ∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒． ∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分∴222+OM OF MF =． 设O e 的半径为r ． ∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴cos30AE AB ︒=⋅=.∴OM ． ………………5分∵FM∴222)+r =. 解得=2r ．（舍去负根）∴O e 的半径为2． ………………6分 24．C ………………1分………………2分DA（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可） ………………3分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可） ………………4分 （3）70． ………………6分 25．（1）如图： ………………2分（2）当1x >时，y 随着x 的增大而减小；（答案不唯一） ………………4分 （3）1a ≥. ………………6分26．解：Q 抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =Q ，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.① 1m b ==Q ，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分 ②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.Q 抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o. ………………1分 ∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=o,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==………………3分 （2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠.∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=o，∴sin 603ML MO =⋅=o. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ………………7分28．解（1）①A e 的反射点是M ，N ． ………………1分 ②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为 点P 是A e 的反射点，则A e 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A e 上，则'OP OP =. ∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A e 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A e 相交．因此点P 是A e 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值围是22≤x --22≤x ． ………………4分 （2）圆心C 的横坐标x 的取值围是44≤≤x -． ………………7分。

A BE
D O
C
※15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 组成圆的折弦，AB＞BC，M 是弧 ABC 的中点，
MF⊥AB
于 F，则 AF=FB+BC．
MB A
F C
如图 2，△ABC 中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6，
A
D 是 AB 上一点，BD=1，作 DE⊥AB 交△ABC 的
6.D 7.B 8.D
1
9．
10．7.53×108 11．2 12． 1 1 （答案不唯一）13． x 11 x 1
14．36 15．60
5
x
80 120 30
16．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
体育老师计划根据 2018 年的统计数据安排 75 分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有
北京市海淀区 2018 年中考一模数学试卷
________名同学参加此项目.
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y1 25．在研究反比例函数 x 的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.
首先，确定自变量 X 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被 y 轴分成两部分；
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一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1．用三角板作 ΔABC 的边 BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
2．图 1 是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方 体

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在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

小题，每小题分，共一、选择题共121432 分。

注：第题第一空均为、分，第二空均为680 分。

解答题应写出解答步骤。

三、解答题共小题，共15. 13 分）（本题满分????2?2coscos1??f()23sin（Ⅰ）66662??133?23???2??1???? 222???2·3 ····················································································分f(x)?3sin2x?cos2x（Ⅱ）?)?2sin(2x?6??????x?siny?,2k2?k k?Z，因为函数）的单调递增区间为（??22????????k?2?2x2k??k?Z，令）（226??????kk?x?k?Z，（）解得63??)x(f??]?,k[k?Z?k 1 3····························分（）故的单调递增区间为6313 16.分）（本题满分只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权A112有利于病毒繁殖和传月平均相对湿度：从上表个月，该月甲地空气个月中，随机取出（Ⅰ）设事件A i.月，则用表示事件抽取的月份为第播i},A,A,AAA,A,A,A,,A??{A,A,A,12 个基本事件，共1970468151213},A,A,AA?{A,A,A 6 个基本事件，共196218016?(A)?P. ·4···································································分所以，2126空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月（Ⅱ）在第一季度和第二季度的个月中，甲、乙两地02X126. ，所有可能的取值为月，故份只有，月和2121CCCC18262424???0)?2)?P(XP(X?1)??P(X??，，22215CC15C155666X的分布列为随机变量21X182P1515558%54%M.3 ·······1··········································，最小值为分的最大值为（Ⅲ）17.14 分）（本题满分1 ：（Ⅰ）方法PA OCB ACOBOPO. 由题意的中点为，设，连接AO?BO?CO?11PO?，，2PC?PA?PB??PACPA?PCOAC的中点因为中，在为，PO?AC，所以?POBOB?11PO?，中，在因为，2PB?OB?PO所以AC,OB?OACOB?ABC平面因为，PO?ABC平面所以PO?PAC4·································································平面分因为PACABC?平面平面所以只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权2：方法PA OCBPOBOACO . ，，连接设的中点为ACO?PACPA?PC的中点中，，因为为在AC?PO，所以CO?PCAO?BOPA?PB?POPO?PO?，，因为POC??POB?POA≌≌所以??90POB??POC?POA??所以OBPO?所以?,OBACOOB?ACABC平面，因为ABCPO?平面所以PAC?PO·4 ································································平面分因为ABCPAC?平面所以平面3：方法PAOQCB ACOPO?PACPA?PC，的中点为，因为在，连接中，设PO?AC所以QPQOQ OB AB. 及，的中点，连接设QOB?OABOA?AB的中点因为为在，中，OQ?AB. 所以Q AB?PB?PABPA的中点中，在，为因为PQ?AB. 所以PQOQ?QPQ,OQ?OPQ平面因为，OPQ?AB 平面所以OPQ?OP平面因为只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BAOP?所以?ACAB,A?ABAC ABC平面因为，ABC?PO平面所以PACPO?··4 ·······························································平面分因为ABCPAC?平面平面所以ACABCOB?PO?，如图建立空间直角坐标系，则，平面（Ⅱ）由zP(0,0,1)?1,0,0)P(1,0,0)B(0,1,0)A(O(0,0,0)C，，，，APCOB?APC(0,1,0)OB?的法向量为平面由，故平面1)(1,0,?(1,?1,0)PC?BC?，由PBC),z?(x,yn，则设平面的法向量为0y?x???0n?BC??得：由?0PC?n?0?x?z??1?y1x?(1,1,1)?n1z?，即，得，令n?OB13??cos?n,OB??3||OBn|?|13?A?PC?B是锐二面角，由二面角3B?A?PC············································9 分所以二面角的余弦值为3?10???BPBN?，则（Ⅲ）设，????)1,,?(?1,0,1)?(1?BM?BC?CM?BC?CP?(1,?1,0)?????),??1,1)(1,1BN?AB?BP?(1,1,0)??(0,?ANAB?令0AN?BM????????)?01)?(11)??(??(1得?1???1?μλ的单调递增函数，是关于即，???11?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1212??]?][,?[,，时，当53342BN1][,?·4 ······1·································································分所以5BP418. 13分）（本题满分xln?)(xf0a?时，（Ⅰ）当x1xln?x?xln1?故x??f'(x)0?f'(x)e?0?x，得22xx令)ex)(0,f(·4·······················································分故的单调递增区间为ax?ax??ln?lnx1 1 xx：（Ⅱ）方法?)?f'(x22)?a)a(x(x?ax??x)1?lng(令xax?a10??????g'(x)则22xxx1aa1a?0??(?1)?g(e)?1?(1?a?0g(e)?a)?，由0?(x)g0x)?g()x,??xx?(0,x)?(时，时，故当；当00 1?1?aa eee1?a0?(x)g)e?(e,x，故存在00)(0,x),??(xxx000?)xf'(0?)(xf↗↘极大值1?)f(x故02ea?0??lnx1??02?xe?x??0013···················································??，解得故分xln12ea????0??2e a?x?0a2.e的值为故只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1lnx1x?(0,??f(x))x?(0,??)?2，的最大值为，（Ⅱ）方法且存在：的充要条件为对任意的0x?(0,??))??x?(0,2xlnxa?e?的意价于对任得使，，且存在使得，等22e x?a e lnx10?20x?a e02lnx??e xa，00a2xlnx?)g(x?e.的最大值为等价于2e g'(x)??1，x g'(x)?02e?x.，得令)g(x↗↘极大值g(x)222222ee?elne?g(e)?ea?. ·13 ··························，即的最大值为故分1914 分）（（本小题）41???1?22ba??222a?b?c?，（Ⅰ）由题意?c3???e?a2?6?c，，解得：2b??22a22yx C??1·5 ···················································分的标准方程为故椭圆821(x?2)y?1?l1)PTPTQQ(2，的方程为－则点或，点的坐标为直线（Ⅱ）假设直线或，的斜率不存在，21xy??2. 即222?yx??1??822?04?4?x?x，联立方程，得1?x?y?2??2 lC. 相切，不合题意此时，直线与椭圆只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除TPTQ. 的斜率存在故直线和1 ：方法),y)Q(xP(x,y，则设，22111y?12)x:y?1??(TP，直线2x?11y?22)y?1?x?(TQ:直线2x?22??x2x21?2ON?|OM|2?|?|，故1?1yy?2111t?y?xxPQ:?OT:y0?t）由直线，设直线（2222?yx1????28220??tx?2t?x4?2?联立方程，1?t?xy??2?2t2??x?x4?2tx?x?0??，当时，21212x?x?221)(??4?|OM||?|ON1y?y?1212?xx?221)(??4?111?x?t1tx??21221)??4(t2)(x?x)(xx?t?2112?4?1121)t?x)?(?xx?(t?1)(x22112421)t?t)?4(4?(t?2)(?22t???411221)(t?(?2t)?1)(2t?4)?(t??24?4.4 (1)分只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2 ：方法TQ)yx,,y)Q(P(xkk TP和和，直线设的斜率分别为，21122111xPQ:y?x?tOT:y?t?0）由，设直线（2222?yx??1??8222?4?0tx?2?xt?2?联立方程，1?x??ty??22x?x??2tx?x?2t?40??，当时，2121y?1y?121??k?k21x?2x?22111x?t?1x?t?1 2122??x?2x?221xx?(t?2)(x?x)?4(t?1)2211?(x?2)(x?2)212?4?(t?2)(?2t)?2t4(t?1)?(x?2)(x?2)21?0TQ TP的斜率和为零故直线和直线?TMN??TNM故TM?TN故MNMNT2的中点横坐标为在线段故的中垂线上，即|OM|?|ON|?4·14·····································································故分20. 13 分）（本题满分N?N?N?BA”.3 ”“·“···········3 ”“·············数表数表，值分，其（Ⅰ）不是是为aa N?A”“，的值和均是数表（Ⅱ）假设ji,'',ji a?max{a,a,...,a}?max{a,a,...,a}?a'?ii；若，则①'i,j',1',ii,1',2i,2jni,ii',ni a?min{a,a,...,a}?min{a,a,...,a}?a'jj?；若②，则'jj1,''i2,ji,j'1,j',2,jnn,j,j j?j''i?i，则一方面，③若a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a，'ji',''ji,ni,1i,2i,ji,'j1,'2,j,nj另一方面只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a；j1,i',2jii',n',1j2,ji',j',ij',n,i N?N?A”““. ·····8 . ”··················是唯一的值，则其即若数表数表分是矛盾1 ：（Ⅲ）方法A?(a)1931936121.…列的数表行，组成的对任意的由，，，1919i,j?jj)bB?(iiBA列，即如下，将数表的第的第定义数表列的元素写在数表行，第行，第19j,i19?b?a1?j?1919i?1?），（其中jij,i,显然有：31919361B21…列的数表，组成的，①，数表行是由，jjAB列的元素数表行的元素，即为数表②的第的第iiAB 行的元素③列的元素，即为数表数表的第的第j a i A列中的最小值④是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j b i B. 行中的最小值则数表是第中，列中的最大值，也是第ij,C?(c)B362 ，即定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为19?,i19j c?362?b1?j?19191?i?），（其中ii,jj,显然有31919361C21…列的数表数表，是由，①，行，组成的j b i B列中的最小值中，若数表列中的最大值，也是第②是第ij,j c i C列中的最大值中，列中的最小值，也是第是第则数表ij,A?(a)1919336121…列的数表行，，特别地，对由，，组成的1919i,j?31919361C21…列的数表，组成的，，①，数表行是由j a i A列中的最小值②是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j c i C 列中的最大值是第则数表列中的最小值，也是第中，ij,a1?j?19C??A??N??N191?i?””““值，其），则，且其即对任意的值，为（其中ji,1919c?362?b?362?a.为jj,i,iij,C?T(A)T(C)?AC?T(A)N?362A“”，的，即数表值记，则与数表之和为?N?362“”，值中的数表两两配对，使得每对数表的之和为故可按照上述方式对19E(X)?181X. ·3 ·1 ·························································的数学期望故分2 ：方法19,20,21,...,341,342,343X.所有可能的取值为只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除k?19,20,21,...,341,342,343n?kX?A，则中使得的数表，记的个数记作k19181822?C?C?[(18n?19)!].k?k361k?1218182n?19?C?C?[(18)!]?n，则则k?361?k?k1k362343343343????(362?nnk?kn)?k k362k?k19??k?19k19k?)??(EX，???(362?nk)n?k kk19?k19k?E(X)?181362)(2EX???. ·············343343343???nnn kkk19k?19?k?19k343343···13 分故，343343??nn kk19k19?k?只供学习与交流．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x=-，且A B ⊆，则a 可以是(A)1- (B)0 (C)l (D)2(2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2) (D) (1，4）(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A)1 (B)2 (C) 1- (D) 2-（5）已知a ，b 为正实数，则“1a，1b ”是“lg lg 0a b +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转 动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是(A) 1 (B) 65 (C) 43 (D)32（7）下列函数()f x 中，其图像上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是 (A) 3()f x x =(B) ()f x =()1x f x e =- (D) ()ln(1)f x x =+（8）已知点M 在圆1C ：22(1)(1)1x y -+-=上，点在圆2C ：22(+1)(+1)1x y +=上，则下列说法错误的是(A) OM ON的取值范围为[3-- (B )OM ON +取值范围为(C)OM ON -的取值范围为2](D)若OM ON λ=，则实数λ的取值范围为[33---+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1i1i 2++等于（A ）1i 2+ （B ）1i 2- （C ）－21 （D ）21（2）右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两 名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有（A ）a 1>a 2 （B ）a 2>a 1（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关（3）下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π=+x y（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6π=-y x（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方 形；③圆；④椭圆. 其中正确的是 （A ）①② （B ） ②③ （C ）③④ （D ） ①④（5）在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2π=+-+f x x ax b 有零点的概率为 （A ）78 （B ）34 （C ）12 （D ）14（6）已知点(3,4)-P 是双曲线22221 (0, 0)x y a b a b-=>>渐近线上的一点，,E F 是左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为0795455184464793m甲 乙（A ）22134x y -= （B ）22143x y -=（C ）221916x y -= （D ）221169x y -= （7）设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =- ，则满足()1f x <的x 的集合为（A ） （B ）(0, +)¥ （C ）(0, 2)(16,)+?U （D ）1(, )16+?（8）一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC D AC B --的余弦值为13，则下列论断正确的是 （A ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π （B ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π（C ）空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 （D ）不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上其中真命题有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．（10）若12)a x的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________． （11）将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．（13）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________； 此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．（14）定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,(()52xf f x f x f f x =+-==， 且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1(2010f =_________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.18．（本小题满分13分）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.1A BCO A 1B 1C已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，32）在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心 且与直线l 相切的圆的方程.20.（本小题满分14分）设函数2()f x x ax b =++（a 、b 为实常数），已知不等式2()246f x x x ≤+-对任意的实数x 均成立.定义数列{}n a 和{}n b ：113,2()3(2,3,...),n n a a f a n -==+=n b ＝1(1,2,...),2nn a =+数列{}n b 的前n 项和n S . （I ）求a 、b 的值； （II ）求证：1(*);3n S n N <∈（III ）求证：1221(*).n n a n N ->-∈海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）1- （11）()2214x y -+= （12）13,21（13）11(1)(2)n nn T n b T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；()221(1)(2)1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（14）132三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+= ………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥. ………………1分又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1AO ⊂平面11AA C C ， 所以1AO ⊥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴==所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(0,1(1,1,0).AC AA AB ===………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n . ………………7分111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，1据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数， ………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解. ………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴==+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++ .……………8分又||AB ==即2212(1)||34k AB k+==+， .……………9分 又圆2F的半径r ==.……………10分所以2221112(1)||2234AF Bk S AB r k ∆+==⨯==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -===.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以21212121||||||2AF BS F F y y y y ∆=⋅⋅-=-==，解得21t =，所以r ==……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=..……………13分20.解：（I ）由2()2462(3)(1)f x x x x x ≤+-=+-得(3)0,(1)0,f f -==故22,3,()23a b f x x x ==-∴=+-………………………………(2分)（II ）由2111112()32(2)(2)n n n n n n a f a a a a a n -----=+=+=+≥得111(2),22n n na n a a --=≥+21111122111.2222n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a a a a a a +++++-∴=====-+…………(4分)1212231111111...()()...().n n n n S b b b a a a a a a +∴=+++=-+-++-1111111.3n n a a a ++=-=-21122(2),n n n a a a n --=+≥ 211220(2),n n n a a a n --∴-=≥≥1(2),n n a a n -∴≥≥从而121...30,n n a a a a -≥≥≥≥=>即10,n a +>1(*).3n S n N ∴<∈…………………………………………………(8分)（III ）由21122(2)n n n a a a n --=+≥得21(1)212(1)(2),n n n a a a n -+=+<+≥设1n n a c +=,则14,c =且212(2),n n c c n ->≥ 于是2211log 2log (2),n n c c n -+>≥…………………………………(10分)设2log ,n n d c =则12,d =且112(2),n n d d n -+>≥112(1)(2),n n d d n -∴->-≥2112112(1)...2(1)2(2),n n n n d d d n ---∴->->>-=≥……………(12分) 从而2n ≥时，111122212,22,12 1.n n n d n n n n n n d c a c ---->+>∴=>∴=->- 当1n =时，11213211,a -=>-=1221(*).n n a n N -∴>-∈……………………………………………(14分)。

北京市海淀区2018年中考一模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．用三角板作ΔABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）2．图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体 以面相连接构成的不规则形状组件组成. 图2不可能．．． 是下面哪个组件的视图（ ） 3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）5．如果1a b -=，那么代数式2222(1)b a a a b-⋅+的值是（ ）A.2 B.2- C.1 D.1-6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A.0b c +>B.1ca >C.ad bc >D.a d > 7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户 规模的变化情况.（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》） 根据统计图提供的信息，下列推断 一定不合理．．． 的是（ ） A ．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持 续上升C ．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D ．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70% ※8．如图1，矩形的一条边长为X ，周长的一半为y. 定义〔X ,y 〕为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1， y=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.bc a d则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取 一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是 ．10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用 科学记数法表示为 ．11．如图，AB ∥DE ，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC== ．12．写出一个解为1的分式方程：．13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道 和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下 隧道运行时间比地上大约多2分钟．．（130小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧 道全长为x 千米，依题意，可列方程为__________． 14．如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 72°， 则∠BAE = °.※15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF=FB+BC ．E DCBA E A如图2，△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，BD=1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC==________°．16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题， 每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：11()3tan 30|2|3-︒+．18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩19．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接CD ， 过点B 作CD 的平行线EF ， 求证：BC 平分∠ABF ．20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=. （1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值； （2）若m 为负数．．，判断方程根的情况. 21．如图，□ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD. （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是______时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_____. 22．在平面直角坐标系X O y 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数my x=. （1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． ※（2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D. （1）已知∠A=α ，求∠D 的大小（用含α 的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若∠A=30°，MF=7，求⊙O 的半径.24．某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平， 开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据: 调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中， 合理的是___________（填字母）；A ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本.B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本.C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本. 整理、描述数据: 抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下： 整理数据，如下表所示： 分析数据、得出结论:你能从中得到的结论是_____________，你的理由是 体育老师计划根据2018年的统计数据安排75 ________名同学参加此项目.25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.首先，确定自变量X 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分； 其次，分析解析式，得到y 随X 的变化趋势：当X ＞0时，随着X 值的增大，1x的值减小，且逐渐 接近于零，随着X 值的减小，1x 的值会越来越大，由此，可以大致画出1y x=在X ＞0时的部分图 象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y =的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2（1 （2分2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图※（3）若关于X(1)a x =-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a 的取值范围：__________.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =X 2 –2aX +b 的顶点在X 轴上，P 〔X 1 , m 〕，Q 〔X 2 , m 〕 （X 1 ＜X 2 ）是此抛物线上的两点． （1）若a=1，①当m =b 时，求X 1 ,X 2的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；※（2）若存在实数c ，使得X 1 ≤ c –1，且X 2 ≥ c+7成立，则m 的取值范围是 ．27．如图，已知∠AOB=60°，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE ⊥OB ，交OB 于点E ，点D 在 ∠AOB 内，且满足∠DPA=∠OPE ，DP+PE=6. （1）当DP=PE 时，求DE 的长；※（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M ，使得DMME的值不变？并证明你的判断. 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合， 使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图． （1）已知点A 的坐标为〔1，0〕，⊙A 的半径为2，①在点O 〔0，0〕，M 〔1，2〕，N 〔0，–3〕中，⊙A 的反射点是____________； ※ ②点P 在直线y =–X 上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；※（2）⊙C 的圆心在X 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标X 的 取值范围．北京市海淀区2018一、选择题〔每小题2分〕 1.A 2.C 3.D 4.B 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．15 10．7.53×108 11．2 12．11x=16．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 两点确定一条直线. ※ 8．如图1，矩形的一条边长为X ，周长的一半为y. 定义〔X ,y 〕为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线X=1， y=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. 则下面叙述中正确的是（ ） A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等解析：可知双曲线中的K ＜3，∵矩形的一条边长为X ，周长的一半为y. 另一条边长为y –X ∴ y ＞X ① 矩形1的坐标的对应点A 〔X ,y 〕中Xy 应小于3; ∴ 如果X ＞3，则y ＞3 K=Xy ＞9，∴A 错 ② 矩形1据题意点A 〔X ,2X 〕应落在双曲线上, 而y=2X 图像在区域②与 双曲线无交点， ∴ B 错。