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计算题1．试用牛顿法求 f X8x125x22的最优解，设 X 010 10T 。
初始点为 X 01010T，则初始点处的函数值和梯度分别为f X 01700f X 016x1 4 x2200 ，沿梯度方向进行一维找寻，有4x110 x2140X 1Xf X10200102000 0100 140101400为一维找寻最正确步长，应满足极值必要条件f X 1min f X 0f X 0min 81020024102001014051014020000 min1060000 0596000，59600从而算出一维找寻最正确步长0 1060000则第一次迭代设计点地址和函数值X 110200101400 0f X 124.4528302 ，从而完成第一次迭代。
按上面的过程依次进行下去，即可求得最优解。
2、试用黄金切割法求函数f 20的极小点和极小值，设找寻区间a, b0.2,1 （迭代一次即可）解：显然此时，找寻区间a,b0.2,1 ，第一插入两点1和 2 ，由式1b2a计算相应插入点的函数值f140.0626, f229.4962 。
由于 f1f 2 。
因此消去区间a, 1，获取新的找寻区间1 ,b ，即1 ,b a,b0.5056,1。
第一次迭代：插入点10.6944 ，2相应插入点的函数值f129.4962, f2，由于 f 1f2，故消去因此消去区间 a, 1，获取新的找寻区间1 ,b ，则形成新的找寻区间1 ,b a,b0.6944,1 。
至此完成第一次迭代，连续重复迭代过程，最后可获取极小点。
3．用牛顿法求目标函数 f X16x1225x22 +5 的极小点，设X022T 。
f解：由X 022Tf Xx132x164，则f50x2100x22 f 2 f2 f X 0x12x1 x2320，其逆矩阵为2 f 2 f050x2x1x22120132f X1501102010232640因此可得： X X f X Xf21100050f X 1 5 ，从而经过一次迭代即求得极小点X0T5 0 ， f X4.下表是用黄金切割法求目标函数f 20的极小值的计算过程，请完成下表。
1—1.简述优化设计问题数学模型的表达形式.答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式.求设计变量向量[]12Tn xx x x =使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练.设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=和()0(1,2,)k h x k l ==的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈"表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1—2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳） 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法.解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等）求出有化解.但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解;另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述,而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导,从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算）,并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解,也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题.因此，它是实际问题中常用的方法,很受重视。
其中具体方法较多,并且目前还在发展。
机械优化设计试题及答案### 机械优化设计试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 机械优化设计的最基本目标是什么？- A. 最小化成本- B. 最大化效率- C. 确保安全性- D. 以上都是2. 以下哪个是优化设计中常用的数学方法？- A. 线性代数- B. 微积分- C. 概率论- D. 几何学3. 在进行机械优化设计时，以下哪个因素通常不是设计变量？ - A. 材料选择- B. 尺寸参数- C. 工作温度- D. 制造工艺4. 机械优化设计中，约束条件通常包括哪些类型？- A. 应力约束- B. 位移约束- C. 速度约束- D. 所有上述5. 以下哪个软件不是用于机械优化设计的？- A. ANSYS- B. MATLAB- C. AutoCAD- D. SolidWorks#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述机械优化设计的基本步骤。
2. 解释什么是多目标优化，并举例说明其在机械设计中的应用。
#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有一个机械臂设计问题，需要优化其长度以获得最大的工作范围。
如果机械臂的长度 \( L \) 与工作范围 \( R \) 的关系为 \( R = L \times \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是机械臂与水平面的夹角，\( 0 \leq \theta \leq 90^\circ \)，求当 \( \theta = 45^\circ \) 时，机械臂的最佳长度 \( L \)。
2. 考虑一个简单的梁结构，其长度为 \( 10 \) 米，承受均布载荷\( q = 10 \) kN/m。
若梁的弯曲刚度 \( EI \) 为 \( 1 \times10^7 \) Nm²，求梁的最大挠度 \( \delta \)。
#### 四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述机械优化设计在现代制造业中的重要性。
精选文档你我共享《机械优化设计》复习题及答案一、填空题、用最速降落法求22212的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一1)+(1-x)1f(X)=100(x-x步迭代的搜寻方向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采纳数学规划法,其中心一是成立搜寻方向二是计算最正确步长因子。
3、当优化问题是__凸规划______的状况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确立搜寻区间时，最后获取的三点，即为搜寻区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋向。
5、包括n个设计变量的优化问题，称为n维优化问题。
、函数1X THX BTX C的梯度为HX+B。
627、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量0，d1，知足(d0T1，d)Gd=0则d0、d1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、拘束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本因素。
9、对于无拘束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处获得极小值，其必需条件是梯度为零，充足条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件能够表达为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各拘束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金切割法求一元函数f(x)x210x36的极小点，初始搜寻区间[a,b][10,10]，经第一次区间消去后获取的新区间为[-2.36,2.36]。
12、优化设计问题的数学模型的基本因素有设计变量、拘束条件目标函数、13、牛顿法的搜寻方向d k=，其计算量大，且要求初始点在极小点迫近位置。
14、将函数f(X)=x222-10x1-4x2+60表示成1XTHXTX C的形1+x2-x1x2B式。
15、存在矩阵H，向量d，向量d，当知足(d1)TGd2=0，向量d和向量d1212是对于H共轭。
16、采纳外点法求解拘束优化问题时，将拘束优化问题转变为外点形式时引入的处罚因子r数列，拥有由小到大趋于无量特色。
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
16、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
27、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间[a,b] =[-10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ,其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60表示成-X T HX - B T X C 的形2式 ________________________ 。
计算题1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010TX =。
初始点为()[]01010TX =，则初始点处的函数值和梯度分别为()()0120121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，沿梯度方向进行一维搜索，有()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件()()[]()()()(){}()αϕααααααααm i n 14010514010200104200108min min 200020001=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 0596000.05622641060000α==则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。
按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数()20f ααα=+的极小点和极小值，设搜索区间[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.6181.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。
因为()()12f f αα>。
所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。
机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（）A．()*0F X∇= B. ()*0F X∇=,()*H X为正定C．()*0H X= D. ()*0F X∇=,()*H X为负定2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n维问题来说，复合形的顶点数K应（）A．1K n≤+ B. 2K n≥ C. 12n K n+≤≤ D. 21n K n≤≤-3．目标函数F（x）=4x21+5x22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x1+3x2-6=0,则目标函数的极小值为（）A．1 B． 19.05 C．0.25 D．0.14.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M(k))为( )。
A. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递增正数序列B. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递减正数序列C. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递增正数序列hnD. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A0.186 C6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。
如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。
A.x 1 B.x 3 C.x 2D.x 47.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4221，则该二次型是( )的。
A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。
第一章习题答案1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/h,正确率为98%，计时工资为4元/ h;二级检验员标准为：速度为15件/h,正确率为95%，计时工资 3 元/h。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量；X-j 一级检验员根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = 1;x2二级检验员(2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 ( 8*25*0.02 X1 +8*15*0.05 X2 )=40x1+ 36x2(3)本问题的最优化设计数学模型：3 •min f (X) = 40X1+ 36X2 X€ Rs.t. g1(X) =1800-8*25 X1+8*15X2W 0g2( X) = x1 -8 < 0g3(X) = x2-10 w 0g4( X) = - X1 w 0 g5( X) = - x2w 01-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。
欲选择一组设计变量X [X1 X2 X3]T [d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n 3, 簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下k s 8FD32 , k s 1 1, c D2 (旋绕比)，s d3 s 2c d解：(1)确定设计变量；x-i d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= x2D2;X3 n(2)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：22f(X) = rx1 x2x343 本问题的最优化设计数学模型：8F n D；Gd423 •min f (X) = rx 1 x 2x 3 X € R4s.t.g i (X) =0.5- x i w 0 g 2( X) =10- x 2 w 0 g 3( X) = X 2-50 w 0 g 4( X) =3- X 3 w 0 g 5(X) =(1 丄)辱 w 02x 2 x 1w 0g 6(X)=38FX 2 x 3Gx 141-3某厂生产一个容积为 一优化问题的数学模型。
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
《机械优化设计》练习题及答案1. 单选题1. K-T条件是多元函数取得约束极值的（）条件。
A. 充分B. 必要C. 充分必要D. 不确定正确答案：B2. （）是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。
A. 外点法B. 内点法C. 混合法D. 抛物线法正确答案：A3. 在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互（）。
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 相异正确答案：B4. 动态问题分为约束问题和（）两种。
A. 一维问题B. n维性问题C. 无约束问题D. 约束问题正确答案：C5. 非线性问题分为一维问题和（）两种。
A. 静态问题B. n维性问题C. 无约束问题D. 约束问题正确答案：B6. 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作（）。
A. 可行条件B. 固定条件C. 约束条件D. 边界条件正确答案：C7. 下列说法不正确的一项是（）。
A. 变量轮换法的方法是依次沿相应的坐标轴方向进行的一维优化，收敛速度较慢B. 二维正定二次函数的等值线是同心的椭圆族，且椭圆中心就是以该函数为目标函数的极小点C. 用梯度法寻求目标函数的最小值时，就是沿目标函数方向上的一维搜索寻优法D. 利用复合形法进行优化设计时，构造初始复合形的全部顶点都必须在可行城内选取。
正确答案：C8. 下列优化设计的算法中，不属于无约束优化设计算法的一项是（）。
A. 牛顿法B. 鲍威尔法C. 罚函数法D. 变尺度法正确答案：C9. （）通常是指在解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
A. 正交化B. 规范化C. 最优化D. 正定化正确答案：C10. 有n个设计变量为坐标所组成的实空间称为（）。
A. 设计空间B. 行向量C. 列向量D. 集正确答案：A2. 多选题11. 机械优化设计的数学模型的三要素是（）。
A. 设计变量B. 目标函数C. 约束函数D. 定义公式正确答案：ABC12. 下列哪几项属于梯度法的特点？（）A. 理论明确，程序简单，对初始点要求不严格B. 对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快C. 在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢D. 梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关正确答案：ABCD13. 惩罚函数法有（）三种方法。
机械优化设计试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在机械优化设计中，目标函数通常代表的是（）。
A. 设计变量B. 约束条件C. 优化目标D. 优化方法答案：C2. 以下哪一项不是机械优化设计的约束条件？（）A. 几何约束B. 材料约束C. 经济约束D. 工艺约束答案：A3. 机械优化设计中，常用的优化算法有（）。
A. 梯度法B. 遗传算法C. 牛顿法D. 所有选项答案：D4. 在进行机械优化设计时，下列哪个因素不是设计者需要考虑的？（）A. 材料成本B. 制造工艺C. 产品重量D. 产品颜色答案：D5. 机械优化设计中，目标函数的最小化问题通常指的是（）。
A. 成本最小化B. 重量最小化C. 体积最小化D. 所有选项答案：D6. 以下哪个不是机械优化设计中常用的优化目标？（）A. 最小化成本B. 最大化寿命C. 最小化尺寸D. 最大化速度答案：D7. 在机械优化设计中，下列哪一项不是常用的设计变量？（）A. 尺寸B. 形状C. 材料D. 颜色答案：D8. 机械优化设计中，以下哪一项不是常用的优化方法？（）A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 静态规划答案：D9. 在机械优化设计中，以下哪一项不是常用的优化算法？（）A. 模拟退火B. 遗传算法C. 粒子群优化D. 牛顿迭代法答案：D10. 机械优化设计中，以下哪一项不是常用的约束条件？（）A. 强度约束B. 刚度约束C. 稳定性约束D. 颜色约束答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 机械优化设计中，常用的设计变量包括（）。
A. 尺寸B. 形状C. 材料D. 颜色答案：ABC2. 机械优化设计中，常用的优化目标包括（）。
A. 成本最小化B. 重量最小化C. 寿命最大化D. 速度最大化答案：ABC3. 机械优化设计中，常用的约束条件包括（）。
A. 几何约束B. 材料约束C. 经济约束D. 工艺约束答案：ABCD4. 机械优化设计中，常用的优化方法包括（）。
机械优化设计试题及答案一、选择题1. 机械优化设计中的“优化”指的是：A. 最小化成本B. 最大化效益B. 达到设计目标D. 以上都是答案：D2. 以下哪项不是机械优化设计的基本步骤？A. 确定设计变量B. 确定目标函数C. 确定约束条件D. 进行材料选择答案：D3. 在机械优化设计中，目标函数通常是用来衡量：A. 设计的可行性B. 设计的安全性C. 设计的经济性D. 设计的最优性答案：D二、填空题4. 机械优化设计通常采用的数学方法包括_______、_______和_______。
答案：线性规划；非线性规划；动态规划5. 机械优化设计中，约束条件可以是等式约束也可以是_______。
答案：不等式约束三、简答题6. 简述机械优化设计中目标函数的作用。
答案：目标函数在机械优化设计中的作用是量化设计目标，为设计提供评价标准，指导设计过程朝着最优解方向进行。
7. 描述机械优化设计中设计变量、目标函数和约束条件之间的关系。
答案：设计变量是优化设计中可以调整的参数；目标函数是设计过程中需要优化或最小化/最大化的量；约束条件是设计过程中必须满足的限制，它们共同定义了优化问题的边界和可行性。
四、计算题8. 假设有一个机械部件的重量W与其尺寸L和宽度H的关系为W = 2LH，成本C与重量W和材料单价P的关系为C = 10W + P。
若L和H 的取值范围均为[1,5]，材料单价P为常数，求在满足强度要求的前提下，如何确定L和H的值以最小化成本C。
答案：首先，根据题目给出的关系式，我们可以将成本C表示为C = 10 * 2LH + P = 20LH + P。
由于P为常数，我们只需考虑如何最小化20LH。
由于L和H的取值范围相同，我们可以令L = H，此时C = 20L^2。
在[1,5]的范围内，当L = 1时，C达到最小值，即C_min = 20。
五、论述题9. 论述机械优化设计在现代机械工程中的重要性及其应用前景。
机械优化设计试题及答案试题一：1. 请简述机械优化设计的定义及重要性。
答案：机械优化设计是通过数学模型和计算机仿真技术，以最优化的方式对机械结构进行设计和改进的过程。
机械优化设计的重要性在于能够提高机械产品的性能和效率，降低成本和能源消耗，并且缩短产品开发周期。
2. 请阐述机械优化设计的基本步骤及流程。
答案：机械优化设计的基本步骤包括：问题定义、数学建模、解的搜索、结果评价和优化、最优解验证等。
具体流程如下：(1) 问题定义：明确机械优化设计的目标和约束条件，例如提高某项指标、降低成本等。
(2) 数学建模：通过将机械系统抽象为数学模型，建立与优化目标和约束条件相关的函数关系。
(3) 解的搜索：采用合适的搜索算法，寻找函数的最优解或近似最优解。
(4) 结果评价和优化：对搜索得到的解进行评价和分析，进一步进行调整和改进，以得到更好的解。
(5) 最优解验证：通过实验或仿真验证最优解的可行性和有效性。
试题二：1. 请简述梯度下降法在机械优化设计中的应用原理。
答案：梯度下降法是一种常用的优化算法，其原理是通过求解函数的梯度向量，并采取沿着梯度方向逐步迭代优化的方法。
在机械优化设计中，可以将需要优化的机械结构的性能指标作为目标函数，通过梯度下降法不断调整结构参数，以寻找最优解。
2. 请列举至少三种机械优化设计的常用方法。
答案：常见的机械优化设计方法包括：遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
其中：(1) 遗传算法通过模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作，逐渐优化机械结构，以达到最优解。
(2) 粒子群优化算法模拟鸟群或鱼群的行为，通过不断迭代更新粒子的位置和速度，最终找到最优解。
(3) 模拟退火算法基于金属退火的原理，随机选择新解，并通过一定的准则接受或拒绝新解，以便在解空间中发现更优解。
试题三：1. 请解释有限元分析在机械优化设计中的作用。
答案：有限元分析是一种基于数值计算的方法，通过将复杂的结构划分成有限个单元，建立结构的有限元模型，并对其进行离散化求解，用于分析机械结构的应力、振动、热传导等特性。
《机械优化设计》试题及答案解析《机械优化设计》复习题及答案⼀、填空题1、⽤最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第⼀步迭代的搜索⽅向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采⽤数学规划法,其核⼼⼀是建⽴搜索⽅向⼆是计算最佳步长因⼦。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应⽤进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成⾼-低-⾼趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个⾮零向量d 0，d 1，满⾜(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、约束条件、⽬标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于⽆约束⼆元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极⼩值，其必要条件是梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处⽬标函数的梯度为起作⽤的各约束函数梯度的⾮负线性组合。
11、⽤黄⾦分割法求⼀元函数3610)(2+-=x x x f 的极⼩点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第⼀次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件⽬标函数、13、⽜顿法的搜索⽅向d k = ，其计算量⼤，且要求初始点在极⼩点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表⽰成C X B HX X T T ++21的形式。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满⾜ (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计题目答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn xx x x =L 使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。
设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=L 和()0(1,2,)k h x k l ==L 的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1-2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳）答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。
但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。
因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x fx f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
解：求目标函数的偏导数21221124,46x x x f x x x f +-=∂∂-=∂∂ 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-=-∇=====462446)(012121012102121x x x xx x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是：13]2,3[4)6(]4,6[T22T -=+--==P P e 新点是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+=132133101e X X 新点的目标函数值1321394)(1-=X f2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。
函数f(x ）为凸集定义域内的函数，若对任何的01α≤≤及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：称f （x ）是定义在图集上的一个凸函数。
对于约束优化问题若()j=j f x g x 、（） 1,2,...,m 都是凸函数，则称此问题为凸规划。
()()()121211f x x f x x αααα+-≤+-⎡⎤⎣⎦3-1.简述一维搜索区间消去法原理。
（要配图）答：搜索区间（a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。
假设搜索区间（a，b）内任取两点a1，b1 ，a1《b1，并计算函数值f（a1），f（b1）。
将有下列三种可能情形；1）f（a1）《f（b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，b1）内2）f（a1）》f（b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内3）f（a1）=f（b1），这是极小点应在（a1，b1）内3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。
1() b b aαλ=--2() a b aαλ=+-其中，λ为待定常数。
3-3.对函数ααα2)(2+=f ，当给定搜索区间55≤≤-α时，写出用黄金分割法求极小点*α的前三次搜索过程。
（要列表）3-4.使用二次插值法求f (x )=sin(x )在区间[2,6]的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点x 1=2，x 2=4，x 3=6， ε=10-4。
迭代次数K= 4 ，极小点为 4.71236 ，最小值为 -113131x x y y c --=，12122x x y y c --=，32123x x cc c --= )(213131c c x x x p -+=收敛的条件：ε<-22y y y p4-1.简述无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。
答：梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，使函数值下降最快，相邻两个迭代点上的函数相互垂直即是相邻两个搜索方向相互垂直。
这就是说在梯度法中，迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。
这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直，形成“之”字形的锯齿现象。
从直观上可以看到，在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。
可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短，因而收敛速度减慢。
这种情况似乎与“最速下降”的名称矛盾，其实不然，这是因为梯度是函数的局部性质。
从局部上看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体上看则走了许多弯路，因此函数的下降并不算快。
共轭梯度法是共轭方向法中的一种，因为在该方法中每一个共轭的量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。
该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向，这就是最速下降法。
其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。
所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。
鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法，这种方法是在研究其有正定矩阵G 的二次函数1()2TT f x x Gx b x c =++的极小化问题时形成的。
其基本思想是在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造G 的共轭方向。
在该算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”，这是产生向量组线性相关的原因所在。
因此在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。
如果需要替换，还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。
4-2.如何确定无约束优化问题最速下降法的搜索方向？答：优化设计是追求目标函数值最小，因此搜所方向d 取该点的负梯度方向-)(x f ∇。
使函数值在该点附近的范围下降最快。
按此规律不断走步，形成以下迭代的算法)(1kx f kk x k x∇-=+α（k=0，1,2，…）由于最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向，所以最速下降法有称为梯度法为了使目标函数值沿搜索方向-)(kx f ∇能获得最大的下降值，其步长因子ka 应取一维搜索的最佳步长。
即有)(min )(min)(1αϕ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+k x f a kx f k x f k a kx f k x f 根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式得；0)()1(=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇k x f T k x f 或写成01=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+kd T k d由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。
而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻的两个搜索方向相互垂直。
这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小点靠近的过程。
4-3. 给定初始值x 0=[-7,11]T ，使用牛顿法求函数2212121)2()2(),(x x x x x f -+-=的极小值点和极小值。
解： 梯度函数、海赛矩阵分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∇)2(4)2(2)2(2),(2121121x x x x x x x f （2分） []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-41414121,8444),(12212f x x f （4分） 假设初始值x 0=[-7,11]T则,11676)(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇x f （1分） []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇⋅∇-=-12)(01201x x x f f （2分）则,00)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇x f （1分）x 1满足极值的必要条件，海赛矩阵是正定的，所以是极小点1)(,11*1*-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==x x x f 。
（2分）4-4.以二元函数),(21x x f 为例说明单形替换法的基本原理。
答：如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点x1，x2，x3，以它们为顶点组成一单纯形。
计算各顶点函数值，设f （x1）>f （x2）>f （x3），这说明x3点最好，x1点最差。
为了寻找极小点，一般来说。
应向最差点的反对称方向进行搜索，即通过x1并穿过x2x3的中点x4的方向上进行搜索。
在此方向上取点x5使 x5=x4+α（x4-x1）x5称作x1点相对于x4点的反射点，计算反射点的函数值f （X5），可能出现以下几种情形；1）f （x5）<f （x3）即反射点比最好点好要好，说明搜索方向正确，可以往前迈一步， 也就是扩张。
2）f （x3）<f （x5）<f （x2）即反射点比最好点差，比次差点好，说明反射可行，一反射点代替最差点构成新单纯形3）f （x2）<f （x5）<f(x1)，即反射点比次差点差，比最差点好，说明x5走的太远，应缩回一些，即收缩。
4) f(x5)>f(x1)，反射点比最差点还差，说明收缩应该多一些。
将新点收缩在x1x4之间 5) f(x)>f(x1)，说明x1x4方向上所有点都比最差点还要差，不能沿此方向进行搜索。
5-1.简述约束优化方法的分类。
（简述约束优化问题的直接解法、间接解法的原理、特点及主要方法。
）答: 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思路是在m 个不等式约束条件所确定的可行域内选择一个初始点0x ，然后决定可行搜索方向d ，且以适当的步长α沿d 方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点1x ，即完成一个迭代。
再以新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。
所谓可行搜索方向是指，当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。
产生可行搜索方向的方法将由直接解法中的各种算法决定。
