同步奥数培优(四年级)

苏教版四年级下册同步奥数培优第二讲认识多位数（排列组合一）【知识概述】：生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理的知识去解决。

同样的，日常生活中常常会遇到这样一些间题:就是做一件事情时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有儿种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用到乘法原理的知识去解决。

把两种方法灵活地运用，考虑顺序关系，称为排列问题，只考虑选出来，不需要按一定的排列顺序去思考，称为组合，今天我们就来研究相关知识。

例1：从1到99的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?练习一：1.1～100的自然数中，一共有多少个数字0?2.从1到99的所有自然数中，含有数字5的自然数有多少个?3.从1到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?例2：由数字0，1，2，3组成三位数，问:可组成多少个没有重复数字的三位数。

练习二：1.用0，3，4，6可组成多少个没有重复数字的三位数?2.用1，3，5，2可组成多少个没有重复数字的三位数?3.用1，2，3，4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数?例3：用1，2，3，4，5可组成多少个没有重复数字的三位数?练习三：1.用数字3，4，5，6，7可组成多少个没有重复数字的三位数?2.用数字2，3，4，7，6可组成多少个个位上数字是6的没有重复数字的三位数?3.从黄、红、绿、蓝、紫、橙色这6种不同颜色的小信号旗中，每次取3种不同颜色作为一种信号，共有多少种不同的信号?例4：从1，3，4，6，8，9这六个数中，任意选取两个数作乘积，可以得到多少种不同的结果?练习四：1.从1，2，4，5，6，7这六个数中，任意选取两个数作乘积，可以得到多少种不同的结果?2.数字和是6的两位数总共有多少个?3.在两位整数中，十位数字小于个位数字的共有多少个?练习卷一、填空题。

四年级奥数培优专题第四章数与计算（二）第一讲定义新运算【专题导引】我们学过常用的运算有加、减、乘、除等。

如6+2=8,6×2=12等。

都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同,实质上是对应法则不同。

由此可见,一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。

对应法则不同就是不同的运算。

当然,这个对应法则应该是对任意两个数。

通过这个法则都有一个惟一确定的数与它们对应。

这一周,我们将定义一些新的运算形式,它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。

【典型例题】【例1】有a、b两个数,规定a◎b=a+(b-2)。

那么5◎2= ？【试一试】1、有a、b两个数,规定a※b=a+2-b。

那么2※3= ？2、有a、b两个数,规定a＃b=a+2-b+9。

那么6＃8= ？【例2】如果规定a◎b=a-b×2 ,那么a=8、b=3时,求8◎3= ？【试一试】1、如果规定a△b=a×3+b ,那么a=3、b=10时,求3△10= ？2、如果规定a△b=（a+b）÷4 ,那么a=1、b=7时,求1△7= ？【例3】设a、b都表示数,规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍,a△b=a×3－b×2。

试计算：①5△6,②6△5。

【试一试】1、设a、b都表示数,规定a○b=6×a－2×b。

试计算3○4。

2、设a、b都表示数,规定a*b=3×a＋2×b。

试计算①（5*6）*7,②5*（6*7）。

【例4】对于两个数a与b,规定a※b= a×b + a+b。

试计算6※2。

【试一试】1、对于两个数a与b,规定a※b=a×b－（a+b）。

试计算3※5。

2、对于两个数A与B,规定A※B=A×B÷2。

试计算6※4。

【例5】如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规律计算：3△5。

【试一试】1、如果5◎2=5×6,2◎3=2×3×4,按此规律计算：3◎4= ？2、如果2◎4=24÷（2+4）,3◎6=36÷（3+6）,按此规律计算：8◎4= ？【※例6】对于两个数a与b,规定a□b=a＋（a＋1）＋（a ＋2）＋……（a＋b －1）。

苏教版四年级上册奥数培优第十讲统计与可能性（游戏与对策）【知识概述】我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。

规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。

田忌的朋友孙膑给他出了个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

它告诉我们:在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。

这种思想在20世纪形成了对策这门新兴科学。

例1：有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。

规定谁拿走最后1颗棋子，谁获胜。

如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略?练习一：1.有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是:甲、乙两人轮流取，每人每次取1个或2个，取最后一个球的人为失败者。

甲想取胜，他应该如何安排?2.有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。

比赛的规则是:甲、乙轮流取球，每人每次取1个、2个或3个，取最后一个球的人为失败者。

如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略?3.有197粒棋子，甲、乙两人分别轮流取棋子，每次至少取1粒，至多取3粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取。

你认为先取的获胜，还是后取的获胜?例2：有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。

甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能获胜?练习二：1.有两个箱子分别装有63，108个球。

甲、乙两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一个球的为胜。

甲先取，他应如何取才能获胜?2.取两堆石子，游戏双方轮流从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子(甚至可以把这堆石子一次拿走)，但每次至少拿一粒，不准同时在两堆中拿，谁拿走最后一粒或几粒石子，谁就获胜，如何取胜?3.下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的□，每人每次画一个□，所画的□不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个□，谁就获胜。

目录第一章趣题与智巧（一）····························································第一讲找规律（一）··························································第二讲找规律（二）··························································第二章数与计算（一）······························································第一讲巧妙求和（一）························································第二讲变化规律（一）························································第三讲变化规律（二）························································第三章空间与图形·································································第一讲图形问题·····························································第二讲数数图形（一）························································第三讲数数图形（二）························································第四章实践与应用·································································第一讲应用题（一）··························································第二讲和倍问题·····························································第三讲植树问题·····························································第五章数与计算（二）······························································第一讲错中求解·····························································第二讲巧妙求和·····························································第六章趣题与智巧（二）····························································第一讲算式迷（一）··························································第二讲算式迷（二）··························································第七章组合与推理·································································第一讲简单推理·····························································第二讲最优化问题···························································第三讲简单列举·····························································第一章趣题与智巧（一）第一讲找规律（一）【一】找规律填数：2，4，6，8，，12练习1、1，3，5，7，，112、0，5，10，，20，25【二】找规律填数：18，15，，9，6，练习1、100，98，，，92，902、120，110，，，80，70【三】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

苏教版四年级上册奥数培优第九讲混合运算（一般的盈亏问题）【知识概述】日常生活中，我们常常要分配东西，一般有两种分配方法，按一种方法分配，东西有余(称作“盈”)；而按另一种方法分配，东西不足(称作“亏”)，求参加分配的份数及被分配的总量，我们称这样的应用题为盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是:(盈十亏)÷两次分配数的差＝份数每份个数×份数十盈数＝物品总数或每份个数×份数一亏数＝物品总数例1：幼儿园老师给每个小朋友分糖果，每个小朋友分5个糖果，就多出22个糖果；每个小朋友分7个糖果，就少18个糖果。

有多少个小朋友和多少个糖果?练习一：1.学校买来一些足球，若每个班借4个则多3个；若每个班借6个则少7个。

那么学校买来足球多少个?2.幼儿园买来一些苹果，若每个班分20个苹果，还多17个；若每班分25个苹果，就少18个。

那么幼儿园有多少个班?买来的苹果一共有多少个?3.一个植树小组植树，如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

这个植树小组有多少人?一共有多少棵树?例2：学校春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则有20人没船划；如果每条船坐5人，恰恰安排好，间共有学生多少人?共租了多少条船?练习二：1.小朋友分糖果，若每人分8粒，则剩下25粒，若每人分9粒，正好分完。

问:有多少个小朋友?多少粒糖果?2.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃，如果每人擦5块，则余20块；如果每人擦7块，正好擦完。

求擦玻璃的人数和玻璃的块数.3.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人；每个房间住5人，恰好安排完。

有多少房间?有多少人?例3：学校安排学生宿舍，如果每间安排4人，就有20人没床位；如果每间安排6人，就多4个空床位。

问有多少间宿舍?有多少名学生?练习三：1.有一批书分给阅读小组的同学，如果每人分7本书，就会剩6本书；如果每人分9本书，就缺8本书。

这批书一共有多少本?2.旅游团带游客到旅馆住宿，如果每个房间住5人，就有14名旅客没有床位；如果每个房间住7人，就会有4张床位空着。

解决问题例1、甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要4小时，骑自行车行完全程要20小时。

张强从甲地出发，先骑自行车，5小时后改乘汽车，还需几小时到达乙地?练一练1.甲、乙两地相距240千米，汽车行完全程要3小时，自行车行完全程要12小时。

军军从甲地出发先骑自行车4小时后改乘汽车，还要几小时到达乙地?2.一批零件共1800个，用手工做要20小时才能完成用机器生产要4小时完成，如果先用手工做了5小时，后改用机器生产，还要几小时才能完成?3.甲、乙两地相距320千米汽车行完全程要4小时，自行车行完全程要16小时。

小洁从甲地出发，先骑自行车，4小时后改乘汽车。

她从甲地到乙地共用了多少小时?例2、零件厂要加工2100个零件，原计划每人每天生产2个，21人正好完成任务，实际加工时增加了4人，可以提前几天完成任务?练一练1.工厂计划做4320个机器零件，18个工人工作8小时完成了计划的一半，其余的如果在4小时内完成，需要多少工人?2.某筑路队修一条长378米的公路，每人每天修3米，原计划派18人来完成。

如果每人的工作效率不变，要提前1天完成任务，实际需要多少人?。

3某洗衣机厂要组装192台洗衣机，每人每天组装2台原计划8人可以按时完成。

如果每人的工作效率不变，要提前4天完成任务，需要增加多少人?例3、自行车厂计划每天生产自行车100辆，可按期完成任务。

实际每天生产120辆，结果提前8天完成任务。

这批自行车有多少辆?练一练1.一辆汽车运一批水泥原计划每天运40吨，可以在预定的时间内完成任务。

实际每天多运10吨，结果提前6天完成。

这批水泥有多少吨?2.家具厂生产二批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成，实际只用原来时间的一半就完成了任务那么实际每天比计画划多生产多少套?3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了任务，这批机器有多少台?巩固练习1、某修路队要修一条公路计划每天修24米，30天修完，实际修路时先按计划修了25天，后来每天比原计划多修6米。

同步奥数培优（小学生四年级）用假设法解题【知识概述】同学们，假设是一种常用的重要的数学思想方法，当遇到较难的题或较复杂的题目时，用假设法常会使难题迎刃而解。

假设法是解应用题常用的一种思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以假设要求的两个或几个未知量相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题目中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以调整，最后找到答案。

例题精学例1鸡兔同笼，共有头34个，脚118只，鸡兔各有几只？【思路分析】假设一：假设笼里装的全部是兔子，由于每只兔子有4只脚，那么，34只兔子共有4×34=136（只）脚，比实际的118只脚多了18只，因为每只兔子比每只鸡多2只脚，就可以算出鸡的只数。

假设二：笼里装的全部是鸡，由于每只鸡有2只脚。

那么，34只鸡共有2×34=68（只），比实际的118只脚少了50只脚，因为每只鸡比每只兔少2只，就可以求出兔子的只数。

假设三：假设鸡兔各17只，17×2=34（只）,17×4=68（只）,34+68=82（只），比实际的118只少了吗，所以接着假设，鸡16只，兔18只，计算脚的只数，以此类推，直到找到最终结果。

方法四：（吹哨法）假设这是一群训练有素的鸡和兔，我现在吹一次口哨它们就各抬起一只脚，两次过后，34×2=68（只），就剩下了50只脚，剩下的都是兔子的脚，每只兔现在剩下2只脚，50÷2=25（只）兔，那么鸡就是9只。

方法五：方程（了解）同步精练1.笼子里的鸡和兔共有100个头，共有284只脚，那么鸡有多少只？兔有多少只？2.全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？3. 停车场上停了35辆小轿车和两轮摩托车，地面上数一上共有10个轮子，请问小轿车和摩托车各有多少辆？。

苏教版四年级上册奥数培优第八讲垂线和平行线（最优化问题）【知识概述】同学们都有这样的体会:从一个地方到另一个地方，两地之间有许多路，就有许多种走法从中选择一条最近的路，也就是要选择一条最短的路线；或者利用平行和垂直的知识，很快数出图形的个数，称为“最优化问题”。

在解决最优化问题时需要注意以下几点:一是两点之间线段最短；二是尽量不走回头路和重复路。

最优化问题有时只有一种，有时有许多种，可以按照一定的逻辑顺序来排列可能走的路线，借助图表用标数法完成，要求不重复也不遗漏，并要注意题中的特定要求。

例1：下图中，小冬和小李分别住在M，N两地，如果他们要步行到河边坐同一条船，请问，船停靠在何处，小冬和小李两人所走的路程和最短?练习一：1.李大妈家在A处，她要从A处去河边挑水，然后把水送到B处菜地浇菜。

请帮忙找一条最短的路线，在下图中表示出来。

2.如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问:这个码头的点选在何处，才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短?3.将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。

怎样走才能使行走的路线最短?例2：A，B两村中间隔了一条河(见下图)，现在要在小河上架一座桥，要求A，B两村之间行程最短，怎样在河两岸选择架桥地点?练习二：1.河的两岸住着王家和李家，如图所示，如何在河上铺一座桥，使两家串门方便，走的路程最短?2.A，B两村位于河的两岸，要在河上垂直于河岸建一座桥，桥应修在什么地方，才能使从A 经过桥到B的路最近?(河的宽度不变)3.如图甲、乙两人分别在公路的两侧，两人约好在公路上的某一处见面，要使两人到公路上的距离和最短，那么，他们应约在公路上的哪一处见面?例3：下图(1)中的线段表示的是某人从A 到B所能经过的路，某人从A到B共有多少条最短路线?练习三：1.小华从家上学，所经过的街道平面示意图如下，从家到学校所走的最近的路线有多少条?2.下面是一个小区的平面图，某人从A到B(只能从北到南及从西向东)，共有多少种不同的走法?3.小明假日要到奶奶家，A处正在修花坛，不能通过，那么，小明到奶奶家的最短路线有几条?例4：数出下面有多少个平行四边形?练习四：数出下面各图中分别有多少个平行四边形?练习卷1.如图，A，B两村分别在小河两侧，现在要在A，B两村之间找一条最短的路线，使两村人来往时走的路程最少。

四年级新课程小学《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》含答案整理格式，插入目录第二讲幻方和数阵图 (10)第三讲数学谜 (19)第四讲方阵问题 (27)第五讲长方形的面积 (28)第六讲平均数 (31)6.1简单平均数 (31)6.2平均数与个别数 (31)第七讲假设法解题 (34)下学期第八讲高斯求和 (37)第九讲计数问题 (41)第十讲简单规划问题 (44)第十一讲最大和最小（一） (48)第十二讲盈亏问题及对应法 (50)第十三讲行程问题 (52)13.1相遇问题 (52)13.2追及问题 (53)13.3流水行船问题 (54)13.4火车过桥问题 (55)参考答案及提示第一讲巧算 (60)第二讲幻方和数阵图 (64)第三讲数学谜 (72)第四讲方阵问题 (78)第五讲长方形的面积 (80)第六讲平均数6.1简单平均数 (82)第七讲假设法解题 (86)第八讲高斯求和 (90)第九讲计数问题 (95)第十二讲盈亏问题及对应法 (106)第十三讲行程问题 (109)13.1相遇问题 (109)13.2追及问题 (110)13.3流水行船问题 (111)13.4火车过桥问题 (113)上学期第一讲巧算[同步巩固演练]1、简算下列各题（1）1308—（308—159）（2）1999+999×999（3）54×102（4）75×27+19×25（5）0—1+2—3+4—5+6—7+………—99+100（6）1440×976÷488（7）5÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷35）（8）9999×7778+3333×6666（9）199999+19999+1999+199+19（10）2003×2005—2002×20062、简算下面各题（1）3600000÷125÷32÷25（2）5×96×125×25（3）3456×998（4）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）÷（6÷7）÷（7÷8）（5）22222×222223、简算下面各题（1）43÷23+3÷23（2）765×123÷27+765×327÷274、简算下面各题（1）×—×（2）×—×[能力拓展平台]1、计算下面各题（1）7+17+127+1237+12347+123457+1234567（2）1212—1111+1010—909+808—707+606（3）7×17+8×18+9×19+10×20+71×7+81×8+91×9+20×10（4）99×43+98×42+97×41（5）44327+22345+17252+49414+23212+43454+36987+29679（6）1392+2859+3646+4873+5237+6464+7251+8718（7）÷43（8）2001×2002×2003—1999×2000×2001（9）3+33+333+……（10）40404+5050+60606+7070+80808+9090+101010+11111+121212+13131[全讲综合训练]计算下面各题1、1234×9009142、123455+234566+345677+456788+5678993、376+385+391+380+377+389+383+374+366+3784、8642—7531+6420—5317+4208—3175+2084—17535、6472—（4476—2480）+5319—（3323—1327）+9354—（7358—5362）+6839—（4843—2847）6、567×142+426×811+8520×507、2375×3987+9207×6013+3987×68322—×9、99+99×99+99×99×9910、（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7 11、设N= 62000666个×9×72000777个，则N 的各位数字之和为多少？ 12、乘积 91999999个×91999999个的各位数字之和为多少？ 13、 919989999个× 91998999个＋919989199个第二讲幻方和数阵图2.1幻方 [同步巩固演练]1、用8—16这9个数排成一个三阶幻方2、用3—11这9个数补全图中的幻方，并求出幻和。

苏教版四年级上册奥数培优第十六讲等量代换【知识概述】小朋友们一定都知道曹冲(曹操的小儿子)称象的故事吧!曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。

把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断:船上的石块共有多重，大象就有多重。

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重(重量相等)时才会淹没得一样深。

“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法:两个完全相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常会用到这种思考方法。

例1：下面的四只天平都保持平衡。

想一想:1个西瓜和几根香蕉的重量相等?练习一：1.下图中每只梨重500克，那么，1根香蕉比1个苹果轻多少克?2.已知1头猪＝2只羊，1只羊＝8只兔子。

1头猪＝( )只兔子； 2头猪＝( )只兔子；3只羊＝( )只兔子； 24只兔子＝( )只羊；32只兔子＝( )头猪。

3.假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子?例2：△、○、口分别表示三个数，并且(1)△+△＝□+□+□，(2)□+□+□=○+○+○+○(3)△+□+○+○=400，则△＝( )，○＝( )，□＝( )。

练习二：1.△+☆+○＝24 ○+△＝15 ☆+○＝17☆＝( ) ○=( ) △＝( ）2.1筐梨+1筐苹果＝120千克 1筐梨＝( ）千克1筐梨+1筐橘子＝100千克 1筐苹果＝( )千克1筐苹果+1筐橘子＝80千克 1筐橘子＝( )千克3.1头大象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量等于3匹小马的重量，1匹小马的重量等于3头小猪的重量，1头大象的重量等于几头小猪的重量?例3：百货商店运来300双球鞋，分別装在2个木箱、6个纸箱里。

如果2个纸箱同1个本箱装的球鞋一样多，想一想:每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?练习三：1.买6千克荔枝和8千克桂圆，共付312元。

苏教版四年级上册奥数培优第十五讲用假设法解题【知识概述】同学们，假设是一种常用的重要的数学思想方法。

当遇到较难的题或较复杂的题目时，用假设法常会使难题迎刃而解。

假设法是解应用题时常用的一种思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知量相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当调整，最后找到答案。

例1:鸡兔同笼，共有头34个，脚118只，鸡兔各有几只?练习一：1.笼子里的鸡和兔共有100个头，共有284只脚，那么鸡有多少只?兔有多少只?2.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问:大、小和尚各有多少人?3.小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问:小梅家的鸡与兔各有多少只?例2：100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每人栽1棵树，总共栽树120棵，求老师和学生各栽多少棵树?练习一：1.超市卖水瓶和茶杯共136元，每只水瓶14元，每只茶杯2元，卖的茶杯比水瓶多36只。

卖水瓶和茶杯各多少只?2.小明从家去新华书店买书，去时每分钟走40米，返回时每分钟走60米，他往返一次平均每分钟走多少米?3.彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问:这两种文化用品各买了多少套?例3：学校买来3个排球和2个足球，共花去111元，每个足球比每个排球贵3元，每个排球和每个足球各多少元?练习三：1.小明、小华、小冬、小乐四人集邮票。

他们共集邮票80张。

小明比小华少集8张，小冬比小明少集14张，小冬和小乐集的同样多。

他们每人集邮多少张?2.冰箱厂第一车间42名员工到玄武湖公园组织划船活动，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好坐满，问大、小船各租几条？3.四(4)班同学45人在“抗震救灾”活动中共捐款100元，其中11名同学每人捐1元，其他同学捐2元和5元，捐2元、5元的各有多少人?例4：某次数学竞赛共20道题，比赛规定，每做对一题得5分，每做错一题倒扣1分。

乘法运算定律知识引入：一、乘法交换律和加法结合律例题1：填空。

（1）8×25＝25×（）（2）14×4＝（）×（）（3）35×（）＝6×（）（4）两个数相乘，交换( )的位置，( )不变，这叫做( )，用字母表示是( )。

（5）三个数相乘，先乘( )，或者先乘( )，积( )，这叫做( )，用字母表示是( )。

（6）7×25×4＝7×( × )（7）125×( ×41)＝( ×8)×（8）m×(n×t)＝(m×n)×t。

这个算式运用了( )律。

例题2：牛爷爷每天早上沿着一条长240米的小路慢跑5个来回后回家，你知道牛爷爷每天沿这条路跑多少米吗？知识精讲1：乘法交换律和乘法结合律1.乘法交换律：（1）两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。

（2）乘法交换律用字母表示为：a×b＝b×a（3）多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。

2.乘法结合律：（1）三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）（2）在运用乘法运算定律进行简算时，有时会同时用到乘法交换律和乘法结合律。

二、乘法分配律例题3：填空。

（1）①空白长方形的面积是( )，阴影长方形的面积是( )，所以大长方形的面积是( )。

②大长方形长是( )，宽是( )，面积也可以这样计算( )。

③大长方形的面积＝( )＝( )。

（2）两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别( )，再( )，用字母表示是( )。

例题4：算一算。

(下面各题怎样算简便就怎样算）(8＋4)×125 16×(10＋3) 35×75＋25×75 125×5＋125×3例题5：解决生活中的实际问题。

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题流水行船（一）船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到。

1. 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度＝船速＋水速（1）逆水速度＝船速－水速（2）这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。

公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。

这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之差。

2. 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：水速＝顺水速度－船速（3）船速＝顺水速度－水速（4）由公式（2）可得：水速＝船速－逆水速度（5）船速＝逆水速度＋水速（6）这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。

3. 已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。

因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2（7）水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（8）例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。

此船在静水中的速度是多少？分析与解：此船的顺水速度是25÷5＝5（千米/小时），因为“顺水速度＝船速＋水速”，所以，此船在静水中的速度＝顺水速度－水速，即5－1＝4（千米/小时）。

综合算式：25÷5－1＝4（千米/小时）。

答：此船在静水中每小时行4千米。