高考数学二轮复习每日一题规范练(第六周)理

所以 λ≤16，即实数 λ 的最大值为 16.
[题目 3] (本小题满分 12 分)如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中，AC＝6，现沿对角
线 AC 把△ADC 翻折到△APC 的位置得到四面体 P­ABC，如图 2 所示．已知 PB＝4 2.
图 1 图 2 (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)若 Q 是线段 AP 上的点，且A→Q＝13A→P，求二面角 Q­BC­A 的余弦值．
( ) 所以
sin
∠BAD＋2π
＝2 2， 3
所以 cos ∠BAD＝2 2， 3
由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD＝(3 2)2＋32－2×3 2×3×232＝
3.
Байду номын сангаас
所以 BD＝ 3.
(2)在△ABD 中，由余弦定理得
cos ∠ADB＝BD2＋2BADD·A2－D AB2＝23＋× 9－3 ×183＝－ 33，
因为 K2＞10.828，所以有 99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关
系． [题目 5] (本小题满分 12 分)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点 F( 3，0)，长
半轴长与短半轴长的比值为 2.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设不经过点 B(0，1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，若点 B 在以线段 MN
{ 联立 yx＝2＋k4x＋y2＝m，4，消去 y 可得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝4－k82＋km1，x1x2＝44mk22＋－14. 因为点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，
不太主动参 加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？
抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否
设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 BCQ 的一个法向量，
{ { n1·B→C＝0， －4x1＋3y1＝0，
由 n·B→Q＝0， 得 －4x1－2y1＋43z1＝0，
{解得
x1＝34y1， y1＝145z1，
取 z1＝15，则 n1＝(3，4，15)．
取平面 ABC 的一个法向量为 n2＝(0，0，1)．
有关，并说明理由．
解：(1)积极参加班级工作的学生有 24 名，总人数为 50 名，概率为24＝12. 50 25
不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 名，概率为19. 50
(2)由 K2 公式得 K2＝50 × （18 × 19－6 × 7）2≈11.5. 25 × 25 × 24 × 26
2
(1)证明：取 AC 的中点 O，连接 PO，BO 得到△PBO. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 PA＝PC，PO⊥AC. 因为 DC＝5，AC＝6，所以 OC＝3，PO＝OB＝4， 因为 PB＝4 2，所以 PO2＋OB2＝PB2， 所以 PO⊥OB. 因为 OB∩AC＝O，所以 PO⊥平面 ABC. 因为 PO⊂平面 PAC，所以平面 PAC⊥平面 ABC. (2)解：因为 AB＝BC，所以 BO⊥AC. 易知 OB，OC，OP 两两垂直．
所以 cos ∠ADC＝ 33，
所以在 Rt△DAC 中，cos
∠ADC＝D3C＝
3，所以 3
DC＝3
3，
所以 AC＝ DC2－AD2＝ （3 3）2－32＝3 2，
所以 S△ABC＝12AB·AC·sin ∠BAC＝12×3 2×3 2×232＝6 2.
1
[题目 2] (本小题满分 12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4＝14，且
a1，a3，a7 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
{ } (2)设
Tn
为数列
1 anan＋1
的前
n
项和，若
λTn≤an＋1
对一切
n∈N*恒成立，求实数
λ
的最
大值．
{ 解：(1)设数列{an}的公差为
d(d≠0)，由已知得，
4a1＋6d＝14， （a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），
{ 解得
3
因为 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
15
＝3 10，
32＋42＋152 10
所以二面角 Q­BC­A 的余弦值为3 10. 10
[题目 4] (本小题满分 12 分)某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作
的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
学习积极性
积极参加 班级工作
a1＝2， d＝1.
所以 an＝n＋1.
(2)由(1)知ana1n＋1＝n＋1 1－n＋1 2，
( ) ( ) ( ) 所以 Tn＝ 12－13 ＋ 13－14 ＋…＋ n＋1 1－n＋1 2
＝12－n＋1 2＝2（nn＋2）. 又 λTn≤an＋1 恒成立，所以 λ≤2（n＋n 2）2＝
( ) 2 n＋4n ＋8， ( ) 而 2 n＋4n ＋8≥16，当且仅当 n＝2 时，等号成立．
以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系 O­xyz.
则 B(4，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，4)，A(0，－3，0)．
( ) 设点 Q(x，y，z)，由A→Q＝13A→P，得 Q 0，－2，43 .
所以B→C＝(－4，3，0)，B→Q＝(－4，－2，43)．
为直径的圆上，证明：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
4
(1)解：由题意得，c＝ 3，ab＝2，a2＝b2＋c2， 联立解得 a＝2，b＝1，
所以椭圆 C 的标准方程为x2＋y2＝1. 4
(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)．
每日一题 规范练(第六周)
[题目 1] (本小题满分 12 分)在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝ 2 2，
3 AB＝3 2，AD＝3.
(1)求 BD 的长；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)因为 AD⊥AC，
所以∠DAC＝2π，
因为 sin ∠BAC＝2 2， 3