五年级思维训练7 枚举法
1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有个“对称年”。
2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。
3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）个。
428
+396
824
4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种不同选法。
5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。
6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？
7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg 有种不同的方案（每种砝码至少有一块）。
8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1）
9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、
5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。
10. 在3×3的方格纸上（如图a）），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和没竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图b）和图c）是相同类型的涂法。问最多有多少种不同类型的涂法，说明理由。
11.有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问：一共有多少种不同的订法？
12.由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列。2008排在第个。
13.将日期作为数考虑。比如，1月1日是101,10月12日是1012.
如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。请问：满足条件的数○有几种可能？（注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。）
14.节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不同的排法有种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿绿红绿红”类型算作一种）。
15.如果三位数m同时满足如下条件：(1)m的各位数字之和为7；（2）2m还是三位数，且各位数字之和为5.那么这样的三位数m共有个.
A.2
B.3
C.4
D.5
E.6
16．如果一个三位数从左到右的数码按严格递增的次序出现，则称为上升数。例如128、245、389都是上升数，而255、558、798则不是。请问在三位数中共有多少个上升数？
17.长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，
从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形？
18.将分母为60的最简假分数按从小到大的顺序排列，第2011个分数是。
19.小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法？
20. 9个大小相等的小正方形拼成了下图。现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）。那么从点A走到点B共有种不同的走法。
3
1
1
1
=
+
+
c
b
a 的整数a、b、c可组成不同的有序数组（a，b，c）共有个。
21.满足
4
五年级思维训练7 枚举法
参考答案
1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有 个“对称年”。 【答案】10
【分析】 2000年到2999年之间的“对称年”个位为2，十位和百位数字相同，可以是0、1、2···、9，共10个，所以从2000年到2999年之间共有10个“对称年”。 2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有 个。 【答案】66
【分析】方法一；按照百位数字进行分类
百位数字为1时，这样的三位数有；129,138,147，···，192共8个数； 百位数字为2时，这样的三位数有；219,228，···，291共9个数；
依次类推，可知当百位数字依次为3~9时，这样的三位数分别有10,9,8,7,6,5,4个，所有这样的三位数共有8+9+10+9+8+7+6+5+4=66个。
方法二：插板法，至少每位数字都是1的情况有 C 211=
1
210
11??=55个，其中包括10,1,1，的三种情况不符合要求，55-3=52；包含0的情况又有：309、390、408、480、507、570、606、660、705、750、804、840、903、930共14种，52+14=66（个）。
3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428） 个。 428 +396 824
【答案】49
【分析】设这样的三位数为abc ，则有396=-abc
cba ，有99（c-a)=396，则c-a=4，有
9-5=8-4=7-3=6-2=5-1=4，而十位数字可以从0~9中任意取，所以三位数共有5×10=50个，除去428还有49个。
4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种不同选法。
【答案】12
【分析】因为1+2+3+···+9=（1+9）÷2×9=45，所有这9个数的和是3的倍数，因此，只需要剩下2个数之和是3的倍数即可。
①从3、6、9中任选2个有3种不同选法。
②从1、2、4、5、7、8中选2个，其和为3的倍数的有(1,2)、（1,5）、（1，8）、（2，4）、（2,7）、（4,5）、（4,8）、（5，7）、（7，8），即有9种不同选法。因此，共有3+9=12种不同选法。
5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。【答案】12
【分析】用一个四位数表示田忌的马的出场顺序，按照顺序枚举出所有方法：1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4213、4312、4321，所有共有12种方法。
6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？
【答案】15
【分析】根据题意我们可以把邮票从上到下分成三层考虑，并标上相应数字如下图，按第一层所含邮票个数由多到少分类枚举。
9
第一层4张邮票的
第一层3张邮票的；
第一层2张邮票的；
第一层1张邮票的；
共有3+6+4+2=15（种）。
7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg 有种不同的方案（每种砝码至少有一块）。
【答案】6
【分析】枚举：100=17×1+11×1+3×24,100=17×1+11×4+3×13,100=17×1+11×7+3×2, 100=17×4+11×1+3×7,100=17×2+11×3＋3×11,100=17×3+11×2+3×9，一共有6种方法。
8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1）
【答案】4
【分析】本题实际上是求1到10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成几个乘积个位是1的数，显然，偶数不成，所以只能是1×1,3×7,7×3和9×9，共4对。
9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。
【答案】19
【分析】方法一：有序枚举，枚举与筛选；
从小到大去掉重复的和，共19种。
方法二：排除法，搭配的最小值是3，最大值是23,23-3+1=21（种）价格，其中无法搭配出4
和22这两种价格，所以共有21-2=19（种）不同的价格。
10. 在3×3的方格纸上（如图a）），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和没竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图b）和图c）是相同类型的涂法。问最多有多少种不同类型的涂法，说明理由。
【答案】3
【分析】不同类型的涂法有3种，如下图所示。
所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格。同样，仅有一列涂有3个阴影方格。
所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”。“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法。“特征阴影方格”在方格纸的角上（上左图）、外边中间的方格（上中图）和中心的方格（上右图）三个位置确定了只有3种类型的涂法。
11.有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问：一共有多少种不同的订法？
【答案】7
【分析】第一类情况：一个工厂订了99份，一个工厂订了100份，一个工厂订了101份，共有3！=6种订法，第二类情况：每个工厂订100份，共有1种订法，综上，共有7种订法。
12.由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列。2008
排在第个。
【答案】29
【分析】从小到大，一位数有2个，两位数有6个，三位数有2×3×3=18个，接着是2000，2002、2008···，因此2008排在第2+6+18+3=29个。
13.将日期作为数考虑。比如，1月1日是101,10月12日是1012.
如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。请问：满足条件的数○有几种可能？（注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。）
【答案】89
【分析】除了1月15日对应的数没有办法变成2月30日对应的数（由于2月只有28天），从1月到6月每个月前15天的日期数都可以作相应操作，所有满足条件的○有15×6-1=89种可能。
14.节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不同的排法有种（其中“红绿红绿绿绿”与“绿绿绿绿红绿红”类型算作一种）。【答案】6
【分析】红灯看做“1”，绿灯看做“0”则有：000101、001001、001010、010001、010010、100001这六种。
15.如果三位数m同时满足如下条件：(1)m的各位数字之和为7；（2）2m还是三位数，且各位数字之和为5.那么这样的三位数m共有个.
A.2
B.3
C.4
D.5
E.6
【答案】D
【分析】如果三位数乘以2的运算中没有进位，那么它的数字和应该是7×2=14.而实际上数字和是5，比14少了9，说明在运算过程中恰有一次进位，那么原先三位数中一定有一个数字不小于5。
又因为乘以2之后还是三位数，说明不小于5的那个数字不在首位，那么这样的三位数有
205、250、115、151、106、160，共6个。
16． 如果一个三位数从左到右的数码按严格递增的次序出现，则称为上升数。例如128、245、389都是上升数，而255、558、798则不是。请问在三位数中共有多少个上升数？ 【答案】84
【分析】方法一：可知百位数为1的上升数有7+6+5+4+3+2+1=28个，百位数为2的上升数有6+5+4+3+2+1=21个，百位数为3的上升数有5+4+3+2+1=15个，百位数为4的上升数有4+3+2+1=10个，百位数为5的上升数有3+2+1=6个，百位数为6的上升数有2+1=3个，百位数为7的上升数有1个，因此共有28+21+15+10+6+3+1=84个。
方法二：只需要从1~9选择3个数字，它们的大小顺序就随之确定了，所有方法数为
841
237
893
9=????=
C 。 17. 长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形？
【答案】36
【分析】一个三角形，任何两条边的长度之和，比余下的一条边长。在本题中，设底边是11厘米的三角形其余二边分别是a 及b ，则必有11 18. 将分母为60的最简假分数按从小到大的顺序排列，第2011个分数是 。 【答案】60 7601 【分析】将假分数化成带分数，求出第2011个分数，再把这个带分数化成假分数就可以了，分母是60的最简真分数共有16个，把它们从小到大排列起来。 依次是：， 、、、、、、、、、、、、、、、60 596053604960476043604160376031602960236019601760136011607601 由此可知，分母为60的最简假分数化成带分数后，由小到大依次排列，整数部分分别为1,2， 3,4，···也是各有16个，即 因此2011÷16=125······11， 所有第2011个带分数的整数部分是125+1=126，分数部分是第11个，就是60 41 ，那么第2011个带分数是12660 41 ，化成假分数是607601。 19. 小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法？ 【答案】6 【分析】由题目的条件可知，每对数必须由一个奇数和一个偶数组成，为了不遗漏，我们从小到大选取2,3，···，9中的数进行配对。 能够和2配对的数有3，5，9。下面分情况讨论； （a ）2和3配成一对。则剩下最小的数为4。在剩下的数中，能够和4配对的数有7,9； ①4和7配成一对，则5只能和6配对，8和9配对， ②4和9配成一对，则5只能和8配对，6和7配对。 所有这种情况一共有2种分法。 （b ）2和5配成一对，则剩下最小的数为3.在剩下的数中，能够和3配对的数有4、8. ①3和4配成一对，则6只能和7配对，8和9配对。 ②3和8配成一对，则4只能和9配对，6和7配对。 所有这种情况一共有2种分法。 （c ）2和9配成一对，则剩下最小的数为3.在剩下的数中，能够和3配对的倍数有4,8. ①3和4配成一对，则5只能和8配对，6和7配对。 ②3和8配成一对，则4只能和7配对，5和6配对。 所有这种情况一共有2种分法。 综上所述，一共有2+2+2=6种不同的分法。 20. 9个大小相等的小正方形拼成了下图。现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角 线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）。那么从点A 走到点B 共有 种不同的走法。 【答案】9 【分析】如右图所示，将相应顶点标上字母，那么走法有： A →G →L →B ， A →G →J →O →L →B ， A →G →D →I →L →B ， A →G →J →O →L →I →D →G →L → B ， A →G →D →I →L →O →J →G →L →B ， A →G →L →O →J →G →D →I →L →B ， A →G →L →I →D →G →J →O →L →B ， A →G →J →O →L →G →D →I →L →B ， A →G →D →I →L →G →J →O →L → B ，共有9种不同的走法。 21. 满足 4 3 111=++c b a 的整数a 、b 、c 可组成不同的有序数组（a ，b ，c ）共有 个。 【答案】25 【分析】4 3111=++c b a ，a 、b 、c 为整数 不妨设a ≤b ≤c ，则4 3 3≥a ，∴a ≤4 ①当a=4时，b=c=4 ②当a=3时，12 511=+c b 则12 52≥b ，b ≤4 b=4时，c=6 b=3时，c=12 ③当a=2时，4 111=+c b 则 4 1 2≥b ，4 即a 、b 、c 都取4时，有序数组有1个； a 、b 、c 取3、4、5时，有序数组有6个； a 、b 、c 取3、3、12时，有序数组有3个； a 、b 、c 取2、8、8时，有序数组有3个； a 、b 、c 取2、6、12时，有序数组有6个； a 、b 、c 取2、5、20时，有序数组有6个； 得不同有序数组共有1+6+3+3+6+6=25个。
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