均匀传输线

均匀传输线1 分布参数电路分布参数电路与集总参数电路不同，描述这种电路的方程是偏微分方程，它有两个自变量即时间t 和空间x 。

这显示出分布参数电路具有电磁场的特点。

集总参数电路的方程是常微分方程，只有一个自变量。

均匀传输线是分布参数电路的一种。

均匀传输线何时采用分布参数电路，何时采用集总参数电路，是与均匀传输线的长短有关的。

均匀传输线的长短是个相对的概念，取决于它的长度与它上面通过的电压、电流波波长之间的相对关系。

当均匀传输线的长度远远小于工作波长)100/(λ<l 时，可当作集总电路来处理，否则，应作为分布参数电路处理。

对于集总参数电路，电压、电流的作用，从电路的始端到终端是瞬时完成的，但在分布参数电路中则需要一定的时间。

集总参数电路的连接线，只起到“连接”的作用，若电源通过连接线接在负载上，则负载端的电压、电流，也就是电源端的电压、电流；而均匀传输线不同，沿线的电压电流都在发生变化。

2 均匀传输线及其方程2.1 均匀传输线上的电压和电流传输线上的电流和来回两线之间的电压不仅是时间的函数，还是距离的函数。

()()x t i i x t u u ,,==传输线的电压情况：是连续变化的。

电流在导线的电阻中引起沿线的电压降；电流在导线的周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变动的电流沿线产生电感电压降。

传输线的电流情况：沿线各处的电流不同。

线间有分布电容的效应，存在电容电流；导体间还有漏电导，当两线间电压较高时，则漏电流也不容忽视。

2.3 均匀传输线的原参数0R ----两根导线每单位长度具有的电阻。

其单位为m /Ω，km /Ω。

0L ----两根导线每单位长度具有的电感。

其单位为H/m ，H/km 。

0G ----每单位长度导线之间的电导。

其单位为S/m ，S/km 。

0C ----每单位长度导线之间的电容。

其单位为F/m ，F/km 。

这几个参数称为传输线的原参数。

2.4 均匀传输线方程⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+=∂∂-∂∂+=∂∂-tu C u G xi t i L i R x u0000 这就是均匀传输线方程，它是一组对偶的常系数线性偏微分方程。

方程中的负号“-”号说明随着X 的增加电压电流在减小。

第一个方程表明，由于均匀传输线上连续分布的电阻和电感分别引起相应的压降，致使线间电压沿线变化；第二个方程表明，由于均匀传输线导线间连续分布的电导和电容分别在线间引起相应的泄漏电流和电容电流，致使电流沿线变化。

这是我们研究均匀传输线工作状态的基本依据。

3 均匀传输线的正弦稳态解3.1 正弦稳态解在外加正弦电压激励下，求解均匀传输线方程的稳态解可以采用相量法。

(1)已知始端电压电流11,∙∙I U ，0=x传输线上与始端的距离为x 处的电压和电流：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∙∙-∙∙∙∙∙-∙∙∙xc x c xc x c e I Z U e I Z U I e I Z U e I Z U U γγγγ1111111121212121 或写成()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∙∙∙∙∙∙x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ1111 (2)已知终端电压电流22,∙∙I U ，l x =传输线上与终端的距离为'x 处的电压和电流：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∙∙∙∙∙-∙∙∙∙∙''''2222222221212121xc x c x c x c e I Z U e I Z U I e I Z U e I Z U U γγγγ 或写成()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∙∙∙∙∙∙'2'2'2'2x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ 3.2 均匀传输线的副参数传播常数： ()000000)(C j G L j R Y Z j ωωβαγ++==+=， 实部α为衰减常数，虚部β为相位常数。

特性阻抗（又称波阻抗）：=C Z 000000C j G L j R Y Z ωω++=，是复数，也是均匀传输线的一个副参数。

3.3 均匀传输线的行波把上面所得到的均匀传输线的稳态解写成两项之和，即：∙-∙+∙∙-∙+∙-=+=II I U U U以电压行波为例：可以导出电压相量的表达式如下：=∙U +0U ()x j x e e βψα--++-0U ()x j x e e βψα+--把电压相量化为时间函数形式，得=u 2+0U ()+-+-ψβωαx t e x cos +2-0U ()-++ψβωαx t e x cos =-++u u这样，u 可看成是上面两个电压分量的叠加。

第一项称为正向行波，第二项为反向行波。

3.4 反射系数反射系数：在线上距终端'x 的反射系数定义为该处反射波与入射波电压相量或电流相量之比。

是一个复数，用n 表示。

''22222222x cc x c c eZ Z Z Z e I Z U I Z U II UUn γγ--∙∙∙∙∙+∙-∙+∙-+-=+-===式中∙∙=222I U Z 为传输线终端的负载阻抗。

反射系数反映了反射波和入射波在幅值和相位上的差异。

（1） 当终端负载c Z Z =2时，在线上任何处均有n=0，即不存在反射波，称为终端阻抗和传输阻抗匹配。

（2） 当0'=x 时，即终端的反射系数比以2n 表示。

第一种情况：∞=2Z ，即终端开路时，12=n ； 第二种情况：02=Z ，即终端短路时，12-=n 。

1||2=n 称为全反射。

所以上述两种情况均为全反射，但相位不同。

4 终端接负载阻抗的均匀传输线4.1 工作于匹配状态下的均匀传输线匹配的概念：如果在均匀传输线的终端接入的负载2Z 和特性阻抗c Z 是相等的，这时反射系数为0，也就是反射波不存在。

即传输线工作于匹配状态。

沿线的电压和电流：⎪⎩⎪⎨⎧==∙∙∙∙xxeI I e U U γγ22 沿线任一点的输入阻抗当终端接特性阻抗后，沿线任一点的电压相量和电流相量之比值都等于特性阻抗，即有c Z I U I U IU ===∙∙∙∙∙∙1122因此，对于匹配的传输线，从沿线任何处向终端看的输入阻抗in Z 总等于特性阻抗c Z 。

4.2 终端开路的均匀传输线，即∞=2Z沿线的电压和电流：当终端开路时，02=∙I ，则可求得距终端x 处的电压∙oc U ，∙oc I 为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∙∙∙∙x sh Z UI x ch U U c oc oc γγ22始端的输入阻抗为()l x =()()()l cth Z l sh l ch Z I U Z c cl x ococ oc γγγ====∙∙4.2 终端短路的均匀传输线，即02=Z沿线的电压和电流：当终端短路时，02=∙U ，则可求得距终端x 处的电压∙sc U ，∙sc I 为：()()⎪⎩⎪⎨⎧==∙∙∙∙x ch I I x sh Z I U sc c sc γγ22 始端的输入阻抗为()l x =()()()l th Z l ch l sh Z I U Z c cl x scsc sc γγγ====∙∙4.3 终端接任意阻抗2Z沿线的电压和电流,距终端x 处的电压电流为：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∙∙∙∙∙∙x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ2222 始端的输入阻抗为()l x =()()()()l th Z Z l th Z Z Z x Sh Z U x Ch I l Sh I Z l Ch U IU Z ccccc lx in γγγγγγ++=++==∙∙∙∙=∙∙22222215 无损耗传输线5.1无损耗传输线的定义把原参数0,000==G R 的均匀传输线称为无损耗线。

5.2 无损耗线的副参数传播常数： ()00000000)(C L j C j L j C j G L j R ωωωωωγ=⨯=++=，虚数。

即：00,0C L ωβα==。

特性阻抗（又称波阻抗）：=c Z 0000000C L C j G L j R Y Z =++=ωω，实数，为纯电阻。

5.3 驻波无损耗现在终端开路、短路和接有纯电抗负载的情况下，线路上的电压和电流是纯驻波。

（1） 终端开路时，在终端和离终端的距离为2λkx = （k 为整数）的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。

而在离开终端的距离为()412λ+=k x （k 为整数）的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。

终端开路时始端的输入阻抗为：l ctgZ j I U Z c lx ocococ λπ2-===（2） 终端短路时，在终端和离终端的距离为2λkx = （k 为整数）的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。

而在离开终端的距离为()412λ+=k x （k 为整数）的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。

终端短路时始端的输入阻抗为：l tgZ j I U Z c lx scsc sc λπ2===5.4 无损耗线的应用（1） 长度为l 的终端开路的无损耗线，当4λ<l 时，为纯容抗，可以用作电容元件；当24λλ<<l 时，为纯感抗，可以用作电感元件。

当所要求的电容元件的容抗c X 为已知，用无损耗开路线代替，可得线路的长度πλ21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c c Z X ctg l（2） 长度为l 的终端短路的无损耗线，当4λ<l 时，为纯感抗，可以用作电感元件；当24λλ<<l 时，为纯容抗，可以用作电容元件。

当所要求的电容元件的容抗L X 为已知，用无损耗短路线代替，可得线路的长度πλ21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c L Z X ctg l（3）4λ长无损耗线作为阻抗变换器 设无损耗线的特性阻抗为1c Z ，负载阻抗为2Z ，且设2Z 为纯电阻。

要求设法使2Z 和1c Z 匹配，为此需在传输线的终端与负载之间插入一段4λ=l 的无损耗线。

无损耗线的特性阻抗c Z 为21Z Z Z c c ⋅=因此4λ长无损耗线相当于一个阻抗变换器。