2020中考数学：初中数学知识点总结之对称轴轴对称定义:把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线就是它的对称轴。
折叠后重合的点叫对称点。
轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是它的对称轴轴对称的性质:①轴对称的两个图形是全等图形;轴对称图形的两个部分也是全等图形。
②轴对称(轴对称图形)对应线段相等，对应角相等。
③如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
⑤两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上。
常见图形的对称轴:①线段有两条对称轴，是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线。
②角有一条对称轴，是角平分线所在的直线。
③等腰三角形有一条对称轴，是顶角平分线所在的直线。
④等边三角形有三条对称轴，分别是三个顶角平分线所在的直线。
⑤矩形有两条对称轴，是相邻两边的垂直平分线。
⑥正方形有四条对称轴，是相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线。
⑦菱形有两条对称轴，是对角线所在的直线。
⑧等腰梯形有一条对称轴，是两底垂直平分线。
⑨正多边形有与边数相同条的对称轴。
⑩圆有无数条对称轴，是任何一条直径所在的直线。
对称轴的画法:①找出一对对称点②连对称点线段③做出对称点所连线段的垂直平分线。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A.此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5 B.篮圈中心的坐标是（4，3.05） C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D.篮球出手时离地面的高度是2m2．如图，点E 为△ABC 的内心，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若AB ＝7，AC ＝5，BC ＝6，则MN 的长为（ ）A.3.5B.4C.5D.5.53．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,连接,OA OC .若OA CB ∥,70BCO ∠=︒.则∠ABC 的度数为（ ）A.110ºB.120ºC.125ºD.135º4．下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是( ) A.2(1)20x ++= B.2251010x x -+= C.230x x -=D.22230x x -+=5．如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝26°，则∠COB 的度数是（ ）A.52°B.64°C.48°D.42°6．下列四个实数中，最大的实数是（ ） A.2-B.-1C.0D.27．已知关于x 的一元二次方程（k-2）x 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．1k >B ．1k >-且0k ≠C ．1k >且2k ≠D ．1k <8．如图，数轴上的点A ，B ，C ，D 表示的数分别为3-，1-，1，2，从A ，B ，C ，D 四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（ ）A ．16B ．14C ．23D ．139．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO ，A （0，3），点D 为x 轴上一动点，以AD 为边在AD 的右侧作等腰Rt △ADE ，∠ADE ＝90°，连接OE ，则OE 的最小值为（ ）A ．322B ．2C ．22D ．3210．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥﹣2且m≠111．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝6，点O 是边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的⊙O ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是（ ）A.4＜OC≤133B.4≤OC≤133C.4＜OC 143≤D.4≤OC 143≤12．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，1），将点A 绕原点O 旋转180°得到点A′，则点A′的坐标是（ ） A ．（－1，－2） B ．（1，－2）C ．（－2，－1）D ．（2，－1）二、填空题13．已知一组正数1234,,,a a a a 的平均数为2，则12341,2,3,4a a a a ++++的平均数为__________．14．若22116,10,22x y xy x y xy +==+=则_____. 15．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．16．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，对角线AC 平分角∠BAD ，点P 是△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，若PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则菱形ABCD 的面积等于______．17．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2+(a 2﹣1)x ﹣a 的图象与x 轴的一个交点坐标为(m ，0)．若﹣4＜m ＜﹣3，则a 的取值范围是_____．18．如图，已知90ACB ∠=︒，直线//MN AB ，若133∠=︒，则2∠=___________.三、解答题19．九（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调査结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 a 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计b1根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）直接写出：a ＝ ．b ＝ m ＝ ；（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．20．2017年我国“十二五”规划圆满完成，“十三五”规划顺利实施，经济社会发展取得历史性成就，发生历史性变革．这五年来，经济实力跃上新台阶，国内生产总值达到82.7万亿元，2018年，我国国内生产总值达到900309亿元人民币，首次迈过90万亿元门槛，比上一年同比增长66%，实现了65%左右的预期发展目标．下面的统计图反映了我国2013年到2018年国内生产总值及其增长速度情况，其中国内生产总值绝对数按现价计算，增长速度按不变价格计算根据以上信息，回答下列问题（1）把统计图补充完整；（2）我国2013年到2018年这六年的国内生产总值增长速度的中位数是%；（3）2019年政府工作报告提出，今年的预期目标是国内生产总值比2018年增长6‰﹣6.5%，通过计算说明2019年我国国内生产总值至少达到多少亿元，即可达到预期目标．21．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线kyx交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．22．荆州市精准扶贫工作进入攻坚阶段．某村在工作组长期的技术资金支持下，成立了果农合作社，大力发展经济作物，其中樱桃和枇杷两种果树的种植已初具规模，请阅读以下信息．信息1：该村小李今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍．信息2：小李今年樱桃销量比去年减少了m%，枇杷销量比去年增加了2m%．若樱桃售价与去年相同，枇杷售价比去年减少了m%，则今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同．项目年份樱桃销量（千克）樱桃售价（元）枇杷销量（千克）枇杷售价（元）去年100 30 200 20今年信息3：该村果农合作社共收获樱桃2800千克，经市场调研，樱桃市场需求量y （千克）与售价x （元/千克）之间的关系为：y ＝﹣100x+4800（8≤x≤38），因保质期和储存条件方面的原因剩余水果将被无偿处理销毁． 请解决以下问题：（1）求小李今年收获樱桃至少多少千克？ （2）请补全信息2中的表格，求m 的值．（3）若樱桃种植成本为8元/千克，不计其它费用．求今年该果农合作社出售樱桃所获得的最大利润？ 23．已知：如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE ＝BF ，CE 与AF 相交于点G ．（1）求证：∠FGC ＝∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：B E•CH＝AF•AC．24．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 与点B 在AC 同侧，DAC BAC ∠>∠，且DA DC =，过点B 作//BE DA 交DC 于点,E M 为AB 的中点，连接,MD ME .（1）如图1，当90ADC ∠=时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；（2）如图2，当ADC 60∠=时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当ADC α∠=时，求MEMD的值.25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下 分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜9060n90≤x≤100 20 0.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数m ＝ ，n ＝ ； （2）请在图中补全频数分布直方图；（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是 ； （4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C A A C D A C BC二、填空题 13．5 14．30 15．真 16．3+72 17．34a <<或1134a -<<- 18．57°. 三、解答题19．（1）20、40、15；（2）16【解析】 【分析】（1）先由散文对应的频数及其频率可得总人数b ，再用总人数乘以小数对应频率求得其人数a ，用其他人数除以总人数可得m 的值；（2）利用树状图法展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）∵被调查的总人数b＝10÷0.25＝40（人），∴a＝40×0.5＝20，m%＝640×100%＝15%，即m＝15，故答案为：20、40、15；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，所以选取的2人恰好是甲和乙的概率＝21 126=．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比.20．（1）见解析（2）6.9%（3）可达到预期目标【解析】【分析】（1）根据题意把统计图补充完整即可；（2）根据中位线的定义即可得到结论；（3）根据题意列式计算即可．【详解】（1）把统计图补充完整，如图所示；（2）我国2013年到2018年这六年的国内生产总值增长速度的中位数是6.9%；（3）900309×（1+6%）＝954327.54亿元，答：2019年我国国内生产总值至少达到954327.54亿元，即可达到预期目标．【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（1）①k=2；点C为（1,-2）.②直线l 的表达式为12y x =. （2）301-3t ≤≤ 或31+23t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）①将B 点坐标带入ky x=，得到k 值，再将A 点带入双曲线，得到m 值，由对称性得到点C. ②由①可知A ，B 两点坐标，将它们带入y=ax ＋b ，列方程组得到直线l 的表达式. （2）结合题意根据三角函数关系即可得到答案. 【详解】（1）①将B 点坐标带入k y x=， 则12k -=-， 得到k=2，则双曲线为2y x=， 再将A 点带入双曲线， 则21m =得到m=2值，则点A 为（1，2），由对称性得到点C 为（1,-2）. ②由①可知A ，B 两点坐标，将它们带入y=ax ＋b ，列方程组1212a b a b -=-+⎧⎨=+⎩两式相加得b=0,则a=12.故直线l 的表达式为12y x =. （2）由题意可知C 到BD 的距离为1，因为3045CED ︒≤∠≤︒，当45CED ∠=︒时，DE 1=DE 4=1,∴t=0或t=2;当30CED ∠=︒时，DE 2=DE 3=33可得t=31-3 或t=31+3，∴301-3t ≤≤ 或31+23t ≤≤.【点睛】本题考查二元一次函数、双曲线函数和三角函数，解题的关键是熟练掌握二元一次函数、双曲线函数和三角函数.22．（1）小李今年收获樱桃至少50千克；（2）m的值为12.5；（3）今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利润为35200元【解析】【分析】（1）设小李今年收获樱桃a千克，根据题意，列出不等式即可；（2）根据信息2可填空上表的数据，注意到等量关系“今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同”即可列出方程；（3）根据市场的需求进行分情况讨论，①当y=2800；②当y≥2800时；③当y＜2800时，三种情况根据x的取值范围，进行计算相应的w值．【详解】（1）设小李今年收获樱桃a千克，根据题意得：400﹣a＜7a，解得：a≥50，答：小李今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）＝100×30+200×20，令m%＝1，原方程可化为：3000（1﹣t）+4000（1+2t）（1﹣t）＝7000，整理可得：8t2﹣t＝0，解得t1＝0，t2＝0.125，∴m1＝0（舍去），m2＝12.5，∴m的值为12.5；（3）设利润为w元，①当y＝2800，﹣100x+4800＝2800，则x＝20，此时w＝33600元；②当y≥2800时，﹣100x+4800≥2800，则x≤20，此时，w ＝2800（x ﹣8）＝2800x ﹣22400；∵2800＞0，∴w 随着x 的增大而增大，∴x ＝20时，w 的最大值为33600；③当y ＜2800时，﹣100x+4800＜2800，则x ＞20，∵8≤x≤38，∴20＜x≤38，此时，w ＝（﹣100x+4800）x ﹣2800×8＝﹣100x 2+4800x ﹣22400，整理得w ＝﹣100（x ﹣24）2+35200，∵﹣100＜0，20＜x≤38，∴x ＝24时，w 的最大值为35200.综上所述，今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利利润为35200元.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．23．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质判断△ABC 为等边三角形得到∠B ＝∠BAC ＝60°，再证明△ABF ≌△CAE 得到∠BAF ＝∠ACE ，然后利用角度代换可得到结论；（2）如图，先证明△BCE ∽△DHC 得到BE CE CD CH=，然后利用等线段代换可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，而AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝60°，在△ABF 和△CAE 中 AB CA B CAE BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CAE （SAS ），∴∠BAF ＝∠ACE ，∵∠FGC ＝∠GAC+∠ACG ＝∠GAC+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∴∠FGC ＝∠B ；（2）如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠BCE ＝∠H ，∴△BCE ∽△DHC ，BE CE CD CH∴=， ∵△ABF ≌△CAE ，∴CE ＝AF∵CA ＝CB ＝CD ， ∴BE AF AC CH=， ∴BE•CH＝AF•AC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．24．(1) MD ME =;(2)见解析：（3）tan2α. 【解析】【分析】（1）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，又由DA=DC ，∠ADC=90°，得出∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=45°，得出CE=BE=AF ，DF=DE ，得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，∠MDE=45°，即可得出MD=ME.（2）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，又由DA=DC ，∠ADC=60°，得出∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=30°，得出CE=BE=AF ，DF=DE ，得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，∠MDE=30°，在Rt △MDE 中，即可得出3MD ME =（3）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，再延长BE 交AC 于点N ，得出∠BNC=∠DAC ，又由DA=DC ，得出∠DCA=∠DAC=∠BNC ，∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC ，CE=BE=AF ，DF=DE ，从而得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，在Rt △MDE 中，即可得出ME MD的值. 【详解】（1）MD ME =．如图，延长EM 交AD 于F ，//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，，AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME ∴∆∆≌AF BE MF ME ∴==，90DA DC ADC =∠=︒，，9045BED ADC ACD ∴∠=∠=︒∠=︒，，9045ACB ECB ∠=︒∴∠=︒，，45EBC BED ECB ECB ∴∠=∠∠=︒=∠﹣，CE BE AF CE ∴=∴=，，DA DC DF DE =∴=，，DM EF DM ∴⊥，平分45ADC MDE ∠∴∠=︒，，MD ME ∴=，故答案为：MD ME =；（2）3MD ME =，理由：如图，延长EM 交AD 于F ，//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME AF BE MF ME ∴∆∆∴==≌，，，60DA DC ADC =∠=︒，，6060BED ADC ACD ∴∠=∠=︒∠=︒，，9030ACB ECB ∠=︒∴∠=︒，，30EBC BED ECB ECB ∴∠=∠∠=︒=∠﹣，CE BE AF CE ∴=∴=，，DA DC DF DE =∴=，，DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠，30MDE ∴∠=︒，在Rt MDE ∆中，33ME tan MDE MD ∠==， 3MD ME ∴=．（3）如图，延长EM 交AD 于F ，//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，，AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME ∴∆∆≌，AF BE MF ME ∴==，，延长BE 交AC 于点,N BNC DAC ∴∠=∠，DA DC DCA DAC =∴∠=∠，，BNC DCA ∴∠=∠，90ACB ECB EBC ∠=︒∴∠=∠，，CE BE AF CE DF DE ∴=∴=∴=，，，DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠，2ADC MDE αα∠=∴∠=，， 在Rt MDE ∆中， tan tan 2ME MDE MD α=∠=． 【点睛】此题考查了平行的性质，等角互换，三角函数的问题，熟练运用，即可解题.25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人【解析】【分析】（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m 、n 的值；（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．【详解】解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，则m ＝200×0.45＝90，n ＝60÷200＝0.3，故答案为：200、90、0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；（4）600×6020200＝240，答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 与双曲线(0)k y x x=>交于D 、E 两点，将△OCD 沿OD 翻折，点C 的对称C'恰好落在边AB 上，已知OA=3，OC=5，则AE 长为（ ）A ．4B ．259C ．269D ．32．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH ，设AB ＝a ，BC ＝b ，若AH ＝1，则（ ）A ．a 2＝4b ﹣4B ．a 2＝4b+4C ．a ＝2b ﹣1D ．a ＝2b+13．请你估计一下，22222222222(21)(31)(41)(991)(1001)123499100-----∙∙±∙∙ 的值应该最接近于（ ） A.1 B.12 C.1100 D.12004．下列计算正确的是（ ）A.B.C. D.5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A （-1，0），B （3，0），交y 轴的负半轴于C ，顶点为D ．下列结论：①2a+b=0；②2c ＜3b ；③当m≠1时，a+b ＜am 2+bm ；④当△ABD 是等腰直角三角形时，则a=12；其中正确的有（ ）个．A.4B.3C.2D.17．如图，己知点A 是双曲线y=kx -1(k>0)上的一个动点，连AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y=mx -1(m<0)上运动，则m 与k 的关系是（ ）A ．m= -kB ．m=3-kC ．m= -2kD ．m= -3k8．如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1、BB 1、CC 1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．199．下列计算正确的是（ ）A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=10．计算2231366x x x x x+-⋅-+的结果为( ) A.6x x+ B.6x x - C.6x x + D.6x + 11．如图，将曲线c 1：y ＝k x （x ＞0）绕原点O 逆时针旋转60°得到曲线c 2，A 为直线y ＝3x 上一点，P 为曲线c 2上一点，PA ＝PO ，且△PAO 的面积为63，直线y ＝3x 交曲线c 1于点B ，则OB 的长（ ）A．26B．5 C．33D．53 212．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABC沿AD 折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为_____．14．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）15．已知a2+1=3a，则代数式a+1a的值为．16．因式分解：27a3﹣3a＝_____．17．关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____．18．已知实数x，y，a满足x+3y+a＝4，x﹣y﹣3a＝0．若﹣1≤a≤1，则2x+y的取值范围是_____．三、解答题19．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了20名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：整理上面数据，得到条形统计图；样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值19.2 m n根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中m、n的值分别为，；（2）为调动积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让60%左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适（填“平均数”、“众数”或“中位数”）；（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过21个的工人为生产能手若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数；（4）现决定从小王、小张、小李、小刘中选两人参加业务能手比赛，直接写出恰好选中小张、小李两人的概率．20．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若tan ∠PAO ＝12，求边AB 的长．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：b 2+c 2＝2a 2+16a+14①bc ＝a 2﹣4a ﹣5②．求a 的取值范围．23．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，历时7min 同时到达C 点，甲机器人前3分钟以a m/min 的速度行走，乙机器人始终以60m/min 的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y(m)与他们的行走时间x(min)之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：(1)A、B两点之间的距离是____m，A、C两点之间的距离是____m，a=____m/min；(2)求线段EF所在直线的函数解析式；(3)设线段FG∥x轴.①当3≤x≤4时，甲机器人的速度为____m/min；②直接写出两机器人出发多长时间相距28m.24．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上，P为BC与网格线的交点，连接AP.(Ⅰ)BC的长等于________；(Ⅱ)Q为边BC上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段AQ，使45 PAQ∠=︒，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______．25．在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点(2,0),(0,4)A B，以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD.（Ⅰ）如图①，当旋转后满足//DC x轴时，求点C的坐标.（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P'，当DP AP'+取得最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C D B D B D A A C 二、填空题13．514．答案不唯一，如：AD15．316．3a(3a+1)(3a﹣117．k＜2且k≠118．0≤2x+y≤6三、解答题19．（1）18，19；（2）中位数；（3）90（人）；（4）1 6【解析】【分析】（1）根据条形统计图中的数据，结合众数和中位数的概念可以得到m、n的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．（4）根据题意先画出树状图，得出所有等可能性的结果，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）由条形图知，数据18出现的次数最多，所以众数m＝18；中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据都是19，所以中位数n＝19+192＝19，故答案为：18，19；（2）由题意可得，如果想让60%左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）若该部门有300名工人，估计该部门生产能手的人数为300×2+420＝90（人）；（4）将小王、小张、小李、小刘分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下：∵共有12种等可能性的结果，恰好选中乙、丙两位同学的有2种，∴恰好选中小张、小李两人的概率为21= 126．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）见解析；（2）AB＝10．【解析】【分析】（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP＝4，设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），即可解答【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠CPO＝90°．∵∠APD+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPO，∴△OCP∽△PDA；（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝POAP＝BOAB＝12．∵△OCP∽△PDA，∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD＝8，∴CP＝4．设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，解得：x＝5，∴AB＝10．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题，解题关键在于证明全等21．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠A=∠C，由ASA证明△DAE≌△DCF，即可得出DE=DF；（2）由全等三角形的性质得出DA=DC，即可得出结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，在△DAE和△DCF中，A CAE CFAED CFD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE≌△DCF（ASA），∴DE=DF；（2）由（1）可得△DAE≌△DCF∴DA=DC，又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．a的取值范围为a＞﹣1且56a≠-且1214a±≠．【解析】【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值．【详解】∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5，∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2，即有b+c＝±2（a+1）．又bc＝a2﹣4a﹣5，所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根，故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0，解得a＞﹣1．若当a＝b时，那么a也是方程③的解，∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0，即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0，解得，121a4±=或56a=-．当a＝c 时，同理可得121a4±=或56a=-．所以a 的取值范围为a ＞﹣1且56a ≠-且121a 4±≠． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的求根公式：()224402b b ac x b ac a -±-=-，…同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式b 2-4ac 和根与系数的关系．23．(1)70；490；95；(2)y=35x-70；(3)①60；②两机器人出发1.2min 、2.8min 或4.6min 时相距28m.【解析】【分析】(1)根据图象可直接读出A 、B 两点间的距离；A 、C 两点间的距离=A 、B 两点间的距离+B 、C 两点间的距离，代入计算即得；先求出甲在2分钟所走的路程=70+60×2，根据速度=路程÷时间，即可求出a.(2)结合(1)中数据，计算1×(95-60)=35，所以可得点F(3，35)，设线段EF 所在直线的函数解析式为y=kx+b ，然后将点E 、F 坐标代入解析式中，解出k 、b 的值即得.(3)①由线段FG ∥x 轴，可得在FG 这段时间内甲、乙的速度相等 ，即得3≤x≤4时的速度.②分三种情况讨论：当0≤x≤2时 ，根据70-甲行路程+乙行路程=28列出方程，解出即得；当2<x≤3时，甲行路程-70-乙行路程=28列出方程，解出即得；当4<x≤7时 ，先求出直线EF 的解析式，然后令y=28，解出x 即得.【详解】解：(1)由图象，得A 、B 两点之间的距离是70m ，A 、C 两点间的距离为70+60×7=490(m)，a=(70+60×2)÷2=95(m/min).故答案为：70；490；95.(2)解：由题意，得点F 的坐标为(3，35)，设线段EF 所在直线的函数解析式为y=kx+b ，把E 、F 的坐标代入解析式，可得 20335k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得 3570k b =⎧⎨=-⎩ ， 即线段EF 所在直线的函数解析式是y=35x-70.(3)①线段FG ∥x 轴，∴在FG 这段时间内甲、乙的速度相等，∴当3≤x≤4时，甲机器人的速度为60m/min.②当0≤x≤2时，则70-(95-60)x=28，得x=1.2；当2<x≤3时，则95x-70-60x=28，得x=2.8；当4<x≤7时，设甲、乙两机器人之间的距离y(m)与他们的行走时间x(min)之间函数关系式为y=mx+n ，354353,702453m m n m n n ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得，即y=-335x+2453， 令y=28，得28=-335x+2453，解得x=4.6， 答：两机器人出发1.2min 、2.8min 或4.6min 时相距28m.【点睛】此题考查二元一次方程的解和函数图象，解题关键在于看懂图中数据24．(Ⅰ)213；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)根据网格特点，利用勾股定理即可求出BC 的长；（Ⅱ）如图，在网格上取格点M 、N ，连接MN ，交BC 于点Q ，连接AQ ，∠PAQ 即为所求.【详解】(Ⅰ)BC=2246+=213. 故答案为：213(Ⅱ)如图，BC=213,AB=AC=26 ,∴AB 2+AC 2=BC 2,∴∠B=∠C=45°.∴若使∠PAQ=45°，只要△PAQ ∽△PCA ，此时有=AP PQ PC AP,即2AP PC PQ =⨯ ,取格点D,E,F ，H 可知△BDP ∽△CEP ，得15BP BD PC CF == ,则1113563BP PC BC === ,1351321333PC =-= , △BDP ∽△BEC,则16PD BP CE BC == ,且CE=4，得23DP = ,求的22222134133AP AH PH ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭,则216931313915513AP PQ PC ==⨯= ,进而求得4135CQ PC PQ =-= ,所以32BQ CQ = .作法：根据上述分析的比例关系，可以取格点M,N,使得BM ∥CN ，并且32BM CN = ,可找到满足条件的格点M,N,如下图，连接MN 交BC 于点Q ，连接AQ 即可.。
