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专题十一 几何、代数最值问题类型1 利用对称、线段公理求最小值1．(2017·临沂)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是( C )A ．6 2B ．10C ．226D ．229解：由已知得M(6，k 6)，N(k 6，6)，∴BN ＝6－k 6，BM ＝6－k 6，∵△OMN 的面积为：6×6－12×6×k 6－12×6×k 6－12×(6－k 6)2＝10，∴k ＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于P ，则NM′的长＝PM ＋PN 的最小值，∵AM ＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN ＝2，∴NM′＝BM′2＋BN 2＝102＋22＝226.2．(2017·枣庄)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0) 解：(方法一)作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D 关于x 轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y ＝－43x －2.令y ＝－43x －2中y ＝0，则0＝－43x －2，解得：x ＝－32，∴点P(－32，0)．(方法二)连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图2所示．3．(2017·贵港)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解：如图连接PC .在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB ＝4，∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12A ′B ′＝2，∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤PC ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3(此时P 、C 、M 共线)．4．(2017·菏泽)如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(－4，5)，D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( B )A ．(0，43)B ．(0，53)C ．(0，2)D ．(0，103)解：作A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′D 交y 轴于E ，则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∵A 的坐标为(－4，5)，∴A ′(4，5)，B (－4，0)，∵D 是OB 的中点，∴D (－2，0)，设直线DA ′的解析式为y ＝kx ＋b ，可求直线DA ′的解析式为y ＝56x ＋53，当x ＝0时，y ＝53，∴E (0，53)．5．(2017·天水)如图所示，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点，且BE ＝1，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是__6__．解：连接DE 于AC 交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E 的周长就是△PBE 周长的最小值，∵BE ＝1，BC ＝CD ＝4，∴CE ＝3，DE ＝5，∴BP′＋P′E ＝DE ＝5，∴△PBE 周长的最小值是5＋1＝6.6．(2017·徐州)如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD ，BE(如图1)，点O 为其交点．(1)探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若P ，N 分别为BE ，BC 上的动点．①当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图3，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，则QN ＋NP ＋PD 的最小值＝__10__．解：(1)AO ＝2OD ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝∠OBD ＝30°，∴AO ＝OB ，∵BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDO ＝90°，∴OB ＝2OD ，∴OA ＝2OD ；(2)如图2，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′N ⊥BC 于N 交BE 于P ，则此时PN＋PD 的长度取得最小值，∵BE 垂直平分DD′，∴BD ＝BD′，∵∠ABC ＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN ＝12BD ＝32，∵∠PBN ＝30°，∴BN PB ＝32，∴PB ＝3；(3)如图3，作Q 关于BC 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN ＋NP ＋PD 的最小值．在Rt △D′BQ′中，D′Q′＝32＋12＝10.∴QN ＋NP ＋PD 的最小值＝10.类型2 利用函数性质求最值7．(2017·济宁)已知函数y ＝mx 2－(2m －5)x ＋m －2的图象与x 轴有两个公共点．(1)求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C 1，①当n ≤x ≤－1时，y 的取值范围是1≤y ≤－3n ，求n 的值；②函数C 2：y ＝m(x －h)2＋k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为5的圆内或圆上，设函数C 1的图象顶点为M ，求点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式．解：(1)∵函数图象与x 轴有两个交点，∴m ≠0且[－(2m －5)]2－4m(m －2)＞0，解得：m ＜2512且m ≠0.∵m 为符合条件的最大整数，∴m ＝2.∴函数的解析式为y ＝2x 2＋x. (2)抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－14.∵n ≤x ≤－1＜－14，a ＝2＞0，∴当n ≤x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．∴当x ＝n 时，y ＝－3n.∴2n 2＋n ＝－3n ，解得n ＝－2或n ＝0(舍去)．∴n 的值为－2.(3)∵y ＝2x 2＋x ＝2(x ＋14)2－18，∴M(－14，－18)．如图所示：当点P 在OM 与⊙O 的交点处时，PM 有最大值．设直线OM 的解析式为y ＝kx ，将点M 的坐标代入解得：k ＝12.∴OM 的解析式为y ＝12x.设点P 的坐标为(x ，12x)．由两点间的距离公式可知：OP ＝x 2＋（12x ）2＝5，解得：x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴点P 的坐标为(2，1)．∴当点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式为y ＝2(x －2)2＋1.8．(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．解：(1)抛物线解析式为y ＝x 2－3x －4；(2)作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，∴PO ＝PC ，此时P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式可得x 2－3x －4＝－2，解得x ＝3－172(小于0，舍去)或x ＝3＋172，∴存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋172，－2)；(3)∵点P 在抛物线上，∴可设P(t ，t 2－3t －4)，过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，可求直线BC 解析式为y ＝x －4，∴F(t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t2＋4t，∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝12(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2－3t－4＝－6，∴当P点坐标为(2，－6)时，△PBC的最大面积为8.。
第三课时几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF.（1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值.（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由. 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD =，由勾股定理得：BD ===．∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ，∴AE===4．在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．（2）设平移中的三角形为△A ′B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3．①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3；②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′，∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ，∴△B ′F ′D 为等腰三角形，∴B ′D=B ′F ′=3，∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=5，A′Q=4+5=9．∴F′Q=F′A′＋在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ===．∴DQ=BQ﹣BD=﹣；②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：32+（4﹣BQ）2=BQ2，解得：BQ=，∴DQ=BD﹣BQ=﹣=；③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°﹣∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°﹣∠1．∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1，∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ===，∴DQ=BD﹣BQ=﹣；④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．G F C DA BE ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA ′=5，∴DQ =BD ﹣BQ=﹣5=．综上所述，存在4组符合条件的点P 、点Q ，使△DPQ 为等腰三角形；DQ 的长度分别为﹣、、﹣或．2.如图，在矩形ABCD 中，AB=5,AD=4,E 为AD 边上的一动点（不与点A 重合），A F ⊥BE ，垂足为F ，GF ⊥CF,交AB 于点G,连接EG,设AE=,，x y S BEG （1）求证：⊿AFG ∽⊿BFC （2）求Y 与X 的函数关系式，并求的最值（3）若⊿BFC 为等腰三角形，请写出x 的值。
代数几何综合1、〔2021年潍坊市压轴题〕如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不管k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . 〔2〕由〔1〕知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 〔3〕由〔1〕知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 那么〔1〕式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以〔t+2〕(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入〔2〕得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P 〔0,2〕，使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。
代几综合点睛提分4、动点与平行四边形问题兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．【解析】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0），则有⎪⎩⎪⎨⎧02440416 ＝＋＋＝＝＋－－c b a c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧4121－ ＝＝＝c b a ∴抛物线的解析式为y ＝21x2＋x －4 （2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，21m2＋m －4）则AD ＝m ＋4，MD ＝－21m2－m ＋4 ∴S＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO ＝21(m ＋4)(－21m2－m ＋4)＋21(－21m2－m ＋4＋4)(－m )－21×4×4 ＝－m2－4m （－4＜m ＜0）即S＝－m2－4m ＝－(m ＋2)2＋4∴S 最大值＝4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（－4，4），（4，－4） （－2＋52，2－52），（－2－52，2＋52）【例2】 如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1），∴设y ＝a (x －2)2－1将C （0，3）代入上式，得3＝a (0－2)2－1 ∴a ＝1 ∴该抛物线的函数关系式为y ＝(x －2)2－1即y ＝x2－4x ＋3（2）如图1，有两种情况：①当点P 为直角顶点时，点P 与点B 重合令y ＝0，得x2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 ·················· 4分∵点A 在点B 的右侧，∴B （1，0），A （3，0） ··············· 5分 ∴P 1（1，0） ······························································ 6分 ②当点A 为直角顶点时∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∴∠OAD 2＝45°当∠D 2AP 2＝90°时，∠OAP 2＝45°，∴AO 平分∠D 2AP 2 又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称 设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 将A （3，0），C （0，3）代入得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b 3＝b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3 ∴y ＝－x ＋3∵D 2在y ＝－x ＋3上，P 2在y ＝x2－4x ＋3上∴设D 2（x ，－x ＋3），P 2（x ，x2－4x ＋3）∴(－x ＋3)＋(x2－4x ＋3)＝0，即x2－5x ＋6＝0解得x 1＝2，x 2＝3（舍去）∴当x ＝2时，y ＝x2－4x ＋3＝22－4×2＋3＝－1∴P 2的坐标为P 2（2，－1）（即为抛物线顶点） ················· 9分 ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，－1） ··························· 10分 （3）由题（2）知，当点P 的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形 当点P 的坐标为P 2（2，－1）（即顶点Q ）时图1如图2，平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于点F当AP ＝FE 时，四边形APEF 是平行四边形 ∵P （2，－1），∴可令F （x ，1）∴x2－4x ＋3＝1，解得x 1＝2－2，x 2＝2＋2故存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形，点F 的坐标为： F 1（2－2，1），F 2（2＋2，1）【例3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】 设该抛物线的表达式为y ＝ax2＋bx ＋c ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧－－＝＝＋＋＝＋10390c c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧132 31 －－＝＝＝c b a∴所求抛物线的表达式为y ＝31x2－32x －1（2）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可图2又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个当x ＝4时，y ＝35；当x ＝－4时，y ＝7∴P 1（4，35），P 2（－4，7） ①当AB为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 ∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个当x ＝2时，y ＝－1∴P 3（2，－1）综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为： P 1（4，35），P 2（－4，7），P 3（2，－1）【例4】 已知抛物线y ＝x2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如图（2），点P 在直．线．OC ．．上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图【解析】 （1）∵B （3，－4），点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，A （0，－4）把A （0，－4）、B （3，－4）代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－49＋3b ＋c ＝－4 ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3c ＝－4 ∴抛物线的解析式为y ＝x2－3x －4（2）如图（1），连结AB ，作PD ⊥y 轴，则D （0，41x ） S 梯形ABPD＝21(x ＋3)(41x ＋4)＝81x2＋819x ＋6 S △AOB＝21×3×4＝6，S △DOP＝21×x ×41x ＝81x2∴y ＝S 梯形ABPD －S △AOB －S △DOP＝819x （3）平移线段OB ，使点B 落在直线y ＝41x 上，落点为P ，点落在抛物线上，落点为Q ，则四边形OBPQ 为平行四边形 设P （x ，41x ），∵O （0，0），B （3，－4）∴Q （x －3，41x ＋4）∵点Q 在抛物线上，∴41x ＋4＝(x －3 )2－3( x －3)－4整理得：4x2－37x ＋40＝0，解得：x ＝8或x ＝45∴P 1（8，2），P 2（45，165） 平移线段OB ，使点O 落在直线y ＝41x 上，落点为P ，点B 落在抛物线上，落点为Q ，则四边形OBQP 为平行四边形设P （x ，41x ），∵O （0，0），B （3，－4），∴Q （x ＋3，41x －4）∵点Q 在抛物线上，∴41x －4＝( x ＋3 )2－3( x ＋3)－4整理得：4x2＋11x ＝0，解得：x ＝0（舍去）或x ＝－411∴P 3（－411，－1611）平移线段OP 3，使点P 3与点O 重合，则点O 落在直线y ＝41x 上点P 4处，四边形OPBQ 为平行四边形∴P 4（411，1611）综上所述，符合条件的点P 有4个，分别是：P 1（8，2），P 2（45，165），P 3（－411，－1611），P 4（411，1611）图（2）图（1）【例5】 如图，抛物线交x 轴于点A （－2，0），点B （4，0），交y 轴于点C （0，－4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）若直线y ＝－x 交抛物线于M ，N 两点，交抛物线的对称轴于点E ，连接BC ，EB ，EC ．试判断△EBC 的形状，并加以证明； （3）设P 为直线MN 上的动点，过P 作PF ∥ED 交直线MN 下方的抛物线于点F ．问：在直线MN 上是否存在点P ，使得以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 及相应的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）∵点A 、B 、C 均在此抛物线上 ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝－4∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝21b ＝－1c ＝－4∴所求的抛物线的解析式为y ＝21x2－x －4 ，顶点D 的坐标为（1，－29） （2）△EBC 的形状为等腰三角形证明：（法一）∵直线MN 的函数解析式为y ＝－x ∴ON 是∠BOC 的平分线∵B 、C 两点的坐标分别为（4，0），（0，－4） ∴CO ＝BO ＝4∴MN 是BC 的垂直平分线 ∴CE ＝BE即△ECB 是等腰三角形（法二）∵直线MN 的函数解析式为y ＝－x ∴ON 是∠BOC 的平分线 ∴∠COE ＝∠BOE∵B 、C 两点的坐标分别为（4，0）、（0，－4） ∴CO ＝BO ＝4又∵OE ＝OE∴△COE ≌△BOE ∴CE ＝BE 即△ECB 是等腰三角形（法三）∵点E 是抛物线的对称轴x ＝1和直线y ＝－x 的交点 ∴E 点的坐标为（1，－1）∴利用勾股定理可求得CE ＝2213＋＝10，BE ＝2213＋＝10∴CE ＝BE即△ECB 是等腰三角形 （3）解：存在 ∵PF ∥ED∴要使以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF ＝ED ∵点E 是抛物线的对称轴x ＝1和直线y ＝－x 的交点 ∴E 点的坐标为（1，－1） ∴ED ＝－1－(－29)＝27 ∵点P 是直线y ＝－x 上的动点 ∴设P 点的坐标为（k ，－k ） 则直线PF 的函数解析式为x ＝k ∵点F 是抛物线和直线PF 的交点 ∴F 的坐标为（k ，21k2－k －4） ∴PF ＝－k －(21k2－k －4)＝－21k2＋4 ∴－21k2＋4＝27∴k ＝±1 当k ＝1时，点P 的坐标为（1，－1），F 的坐标为（1，－29） 此时PF 与ED 重合，不存在以P 、F 、D 、E 为顶点的平行四边形 当k ＝－1时，点P 的坐标为（－1，1），F 的坐标为（－1，－25） 此时，四边形PFDE 是平行四边形5、动点与梯形问题兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用一次函数与二次函数联立求交点坐标【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上． （1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t 的值．【解析】 （1）∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB ＝OC ＝4∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2代入y ＝41x2＋1，得A （2，2），B （－2，2） ∴M （0，2） （2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM 则QH ＝y ，PH ＝x －t由△PHQ ∽△COM ，得：2y ＝4tx ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝41x2＋1上∴t ＝－21x2＋x －2当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2 ∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ②分两种情况讨论：ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍 即2＝2(41x2＋1)，解得x ＝0 ∴t ＝－21×02＋0－2＝－2 ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上∵CM ∥PQ ，CM ＝21PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍 即41x2＋1＝2×2，解得：x ＝±32 当x ＝－32时，得t ＝－21×(－32)2－32－2＝－8－32 当x ＝32时，得t ＝－21×(32)2＋32－2＝32－8【例2】 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠BAD ＝60°，E 为CD 边中点，点P 从点A开始沿AC 方向以每秒32cm 的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时． ①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x ＝0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．【解析】 （1）①由题意得∠BAO ＝30°，AC ⊥BD∵AB ＝2，∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3∴OP ＝3－32x ②如图1，过点E 作EH ⊥BD 于H ，则EH 为△COD 的中位线 ∴EH ＝21OC ＝23，∵DQ ＝x ，∴BQ ＝2－xOEACQD B H图1POEACQD BP∴y ＝S △BPQ＋S △BEQ＝21(2－x )(3－32x ＋23)＝3x2－4311x ＋233（2）能成为梯形，分三种情况：ⅰ）如图2，当PQ ∥BE 时，∠PQO ＝∠DBE ＝30°∴OQ OP ＝tan30°＝33即x x --1323＝33，∴x ＝52 此时PB 不平行QE ，∴x ＝52时，四边形PBEQ 为梯形 ⅱ）如图3，当PE ∥BQ 时，P 为OC 中点∴AP ＝233，即32x ＝233，x ＝43此时，BQ ＝2－x ＝45≠PE ，∴x ＝43时，四边形PEQB 为梯形ⅲ）如图4，当QE ∥BP 时，△QEH ∽△BPO∴OP HE ＝OB HQ ，∴33223-x ＝121-x ，∴x ＝1（x ＝0舍去） 此时，BQ 不平行于PE ，∴x ＝1时，四边形PEQB 为梯形 综上所述，当x ＝52或43或1时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形是梯形图4OEACQ D B H P 图2OEACQ D B HP图3OE AC QD B HP【例3】 如图1，直线AB 交x 轴于点A （2，0），交抛物线y ＝ax2于点B （1，3），点C到△OAB 各顶点的距离相等，直线AC 交y 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式； （2）当x ＞0时，在直线OC 和抛物线上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 是特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，抛物线的解析式和点D 的坐标不变．当x ＞0时，在直线y ＝kx （0＜k ＜1）和抛物线上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 是以OD 为底的等腰梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 （1）∵抛物线y ＝ax2经过点B （1，3），∴3＝a ×12，∴a ＝3∴抛物线的解析式为y ＝3x2（2）设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∵它过点A （2，0），B （1，3）∴⎩⎨⎧0＝2k 1＋b 13＝k 1＋b 1 解得⎩⎨⎧k 1＝－3b 1＝32∴y ＝－3x ＋32又∵点C 到△OAB 各顶点的距离相等，即点C 是△OAB 三边的垂直平分线的交点 如图1，连结BC 并延长交OA 于A ，则BE ⊥OA ，OE ＝AE ∴点E 的坐标为（1，0）在Rt △OEC 中，CE ＝OE ²tan30°＝33，∴C （1，33） 设直线OC 的解析式为y ＝k 2x ，则33＝k 2×1，∴k 2＝33 ∴y ＝33x 设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ＋b 3，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 333＝k 3＋b 3解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－33b 3＝332∴y ＝－33x ＋332图2图1∵直线AC 交y 轴于点D ，则点D （0，332），∴OD ＝332 当OD ∥PQ 时，①DQ ＝OP 时，四边形DOPQ 为等腰梯形（如图1）由题意得，△OCD 为等边三角形，∴∠CDO ＝∠COD ∴Q 是直线AD 与抛物线的交点 由－33x ＋332＝3x2，解得x 1＝－1（舍去），x 2＝32 当x ＝32时，3x2＝934∴点Q 的坐标为（32，934）当x ＝32时，33x ＝932∴点P 的坐标为（32，932）②∠ODQ ＝90°时，四边形DOPQ 为直角梯形（如图2）过点D （0，332）且平行x 轴的直线交抛物线于点Q ∴332＝3x2，解得x 1＝－36（舍去），x 2＝36∴点Q 的坐标为（36，332） 把x ＝36代入直线y ＝33x 中，得y ＝32∴点P 的坐标为（36，32） 当DQ ∥OP 时，①OD ＝PQ 时，四边形DOPQ 为等腰梯形（如图1）过点D （0，332）且平行于OC 的直线为33x ＋332，交抛物线于点Q∴33x ＋332＝3x2，解得x 1＝－32（舍去），x 2＝1 把x ＝1代入y ＝3x2中，得y ＝3 ∴点Q 的坐标为（1，3）（与点B 重合） 又∵△OCD 为等边三角形，∴∠DOC ＝∠BPO ＝60° 设过点Q （1，3）且平行于AD 的直线为y ＝－33x ＋b ，交OC 于点P ， 则b ＝334∴y ＝－33x ＋334∴－33x ＋334＝33x ，解得x ＝2 把x ＝2代入y ＝－33x ＋334中，得y ＝332∴点P 的坐标为（2，332） ②∠OPQ ＝90°时，四边形DOPQ 为直角梯形由以上解法知，点Q 的坐标（1，3）（与点B 重合），过B 与OC 垂直的直线为AB ，设OC 与AB 的交点为P则⎩⎨⎧y ＝－3x ＋32y ＝33x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23∴点P 的坐标为（23，23）综上所述：当P 1（32，932），Q 1（32，934）和P 2（2，332），Q 2（1，3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P 3（36，32），Q 3（36，332）和P 4（23，23），Q 4（1，3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形（3）设OD 的中点为G ，则G （0，33） 如图3，过点G 作GH ⊥y 轴，交直线y ＝kx 于点H ，连结DH ，则H （k 33，33） 设直线DH 的解析式为y ＝k 4x ＋b 4，则⎩⎪⎨⎪⎧332＝b 433＝k 4×k33＋b 4解得⎩⎪⎨⎪⎧k 4＝－k b 4＝332∴直线DH 的解析式为y ＝－kx ＋332 ∵直线DH 与抛物线相交于点Q ，∴3x2＝－kx ＋332 解得x 1＝6832)(+--k k （舍去），x 2＝6832)(++-k k∴点Q 的坐标为（6832)(++-k k ，648322)(++-k k k ）点P 的坐标为（6832)(++-k k ，68322)(-++k k k ）【例4】 如图，四边形ABCO 是平行四边形，AB ＝4，OB ＝2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止． （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？【解析】 （1）∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC ＝AB ＝4∴A （4，2），B （0，2），C （－4，0），∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点B ，∴c ＝2由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－161b ＝41 ∴所求抛物线的解析式为y ＝－161x2＋41x ＋2（2）将抛物线的解析式配方，得y ＝－161(x －2)2＋49∴抛物线的对称轴为x ＝2 ∴D （8，0），E （2，2），F （2，0） 欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP ＝QE ，即BP ＝FQ ∴t ＝6－3t ，即t ＝23【例5】 如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）∵二次函数y ＝x2＋px ＋q 的图象与y 轴交于点C (0，－1)．∴－1＝02＋p ×0＋q ，∴q ＝－1． ∴y ＝x2＋px －1．设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1＜x 2． 则x 1、x 2是方程x2＋px －1＝0的两个实数根．方法一：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝－1．∵△ABC 的面积为45，∴21AB ²OC ＝45．即21(x 2－x 1)1⨯＝45，∴x 2－x 1＝25．∴(x 2－x 1)2＝425，即(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝425． ∴(－p )2＋4＝425，解得p ＝±23． ∵p ＜0，∴p ＝－23． ∴所求二次函数的关系式为y ＝x2－23x －1． 方法二：由求根公式得x 1＝242+--p p ，x 2＝242++-p p ．AB ＝x 2－x 1＝242++-p p －242+--p p ＝42+p ．∵△ABC 的面积为45，∴OC AB · 21＝45．即21(x 2－x 1)1⨯＝45，∴42+p ＝25，解得p ＝±23．∵p ＜0，∴p ＝－23． ∴所求二次函数的关系式为y ＝x2－23x －1． （2）令x2－23x －1＝0，解得x 1＝－21，x 2＝2． ∴A (－21，0)，B (2，0)． 如图1，在Rt △AOC 中，AC2＝OA2＋OC2＝(21)2＋12＝45．在Rt △BOC 中，BC2＝OB2＋OC2＝22＋12＝5．∵AB ＝42+p ＝25，∴AC2＋BC2＝45＋5＝425＝AB2．∴△ABC 是直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点．∴△ABC 的外接圆的半径r ＝21AB ＝45．∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点． ∴－45≤m ≤45． （3）存在．①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为(x 0，x 02－23x 0－1)(x 0＞0)． 过点D 作DE ⊥x 轴于E ，如图2．方法一：在Rt △AED 中，tan ∠DAE ＝AEDE＝)21(1230020----x x x ． 在Rt △BOC 中，tan ∠CBO ＝OB OC ＝21．∵∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．∴)21(1230020----x x x ＝21，即4x 02－8x 0－5＝0．解得x 0＝25或x 0＝－21． ∵x 0＞0，∴x 0＝25，∴x 02－23x 0－1＝(25)2－23×25－1＝23． ∴D (25，23)． ∵AD2＝AE 2＋DE2＝(21＋25)2＋(23)2＝445≠BC2．图1图2∴当AD ∥BC 时，在该二次函数的图象上存在点D (25，23)，使四边形ACBD 为直角梯形． 方法二：在Rt △AED 与Rt △BOC 中∵∠DAE ＝∠CBO ，∴Rt △AED ∽Rt △BOC ．∴AE DE ＝OBOC，即)21(1230020----x x x ＝21．以下同方法一．②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，x 02－23x 0－1)(x 0＜0)． 过点D 作DF ⊥x 轴于F ，如图3． 在Rt △DFB 中，tan ∠DBF ＝BF DF＝022123x x x ---． 在Rt △COA 中，tan ∠CAO ＝OAOC＝211＝2． ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ． ∴00202123x x x ---＝2，即2x 02＋x 0－10＝0．解得x 0＝－25或x 0＝2． ∵x 0＜0，∴x 0＝－25，∴x 02－23x 0－1＝(－25)2－23×(－25)－1＝9． ∴D (－25，9)．∵BD ≠AC ， ∴当AC ∥BD 时，在该二次函数的图象上存在点D (－25，9)，使四边形ACBD 为直角梯形．综上所述，在该二次函数的图象上存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形，并且点D 的坐标为(25，23)或(－25，9)．图36、动点与其他四边形【例1】 在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠COA ＝90︒，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝53．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 如图1，作BH ⊥x 轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形∴OH ＝CB ＝3∴AH ＝OA －OH ＝6－3＝3，在Rt △ABH 中，BH ＝22AH BA－＝22353－)(＝6∴点B 的坐标为（3，6）（2）如图1，作EG ⊥x 轴于点G ，则EG ∥BH ∴△OEG ∽△OBHOE ＝2EB ∴OB OE ＝32，∴32＝3OG ＝6EG∴OG ＝2，EG ＝4 ∴点E 的坐标为（2，4）又∵设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝4b ＝5 解得k ＝－21，b ＝5 ∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋5 （3）存在①如图1，当OD ＝DM ＝MN ＝NO ＝5时，四边形ODMN 为菱形 作MP ⊥y 轴于点P ，则MP ∥x 轴，∴△MPD ∽△FOD ∴OF MP ＝OD PD ＝FD MD ，又∵当y ＝0时，－21x ＋5＝0，解得x ＝10图1备用图∴F 点的坐标为（10，0），∴OF ＝10在Rt △ODF 中，FD ＝22OF OD＋＝22105＋＝55∴10MP ＝5PD＝555，∴MP ＝52，PD ＝5 ∴点M 的坐标为（－52，5＋5）∴点N 的坐标为（－52，5） ②如图2，当OD ＝DN ＝NM ＝MO ＝5时，四边形ODNM 为菱形 延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴 ∵点M 在直线y ＝－21x ＋5上，∴设M 点坐标为（a ，－21a ＋5） 在Rt △OPM 中，OP 2＋PM 2＝OM 2，∴a2＋(－21a ＋5)2＝52 解得a 1＝4，a 2＝0（舍去），点M 的坐标为（4，3） ∴点N 的坐标为（4，8）③如图3，当OM ＝MD ＝DN ＝NO 时，四边形OMDN 为菱形 连接NM ，交OD 于点P ，则NM 与OD 互相垂直平分∴y M＝y N＝OP ＝25，∴－21x M＋5＝25∴x M＝5，∴x N＝－x M＝－5 ∴点N 的坐标为（－5，25） 综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为N 1（－52，5），N 2（4，8），N 3（－5，25）【例2】 如图，□ABCD 在平面直角坐标系中，AD ＝6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2－7x ＋12＝0的两个根，且OA ＞OB ． （1）求sin ∠ABC 的值．（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE＝316，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）解方程x2－7x ＋12＝0，得x 1＝3，x 2＝4．∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3． 在Rt △AOB 中，AB ＝22OB OA ＋＝5．∴sin ∠ABC ＝AB OA ＝54（2）∵点E 在x 轴上，S △AOE＝316， ∴21OA ²OE ＝316，即21×4OE ＝316，∴OE ＝38． ∴E （38，0）或E （－38，0）由已知可知D （6，4）设经过D 、E 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b 当E （38，0）时，有⎪⎩⎪⎨⎧0b k 384b k 6 ＝＝＋＋ 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧516b 56k － ＝＝当E （－38，0）时，有⎪⎩⎪⎨⎧0b k 384b k 6 ＝＝＋－＋ 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1316b 136k ＝＝∴经过D 、E 两点的直线的解析式为y ＝516x 56－或y ＝1316x 136＋在△AOE 中，∠AOE ＝90°，OA ＝4，OE ＝38．在△DAO 中，∠DAO ＝90°，OA ＝4，AD ＝6． ∴OA OE ＝AD OA ＝32∴△AOE ∽△DAO ． （3）存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形，点F 的坐标分别为： F 1（3，8），F 2（－3，0），F 3（2542-，2544），F 4（1475-，722-）． ············· 10分 ⅰ）当AC 为菱形的边长时，有三种情形：如图1，当点F 1在BA 的延长线上，且AC ＝CD ＝DF 1＝F 1A 时，点M 与点D 重合，四边形ACMF 1为菱形，易知此时点F 1的坐标为F 1（3，8）；如图2，当点F 2与点B 重合，且AC ＝CM ＝MF 2＝F 2A 时，四边形ACMF 2为菱形，此时点F 2的坐标为F 2（－3，0）；如图3，当AC ＝CF 3＝F 3M ＝MA 时，四边形ACF 3M 为菱形． 由已知可求得直线AB 的解析式为y ＝4x 34+，设点F 3的坐标为（x ，4x 34+）． ∵CF 32＝AC 2＝32＋42＝25∴22)4x 34()3x (++-＝25，解得x 1＝0（即点A 的横坐标），x 2＝2542-（即点F 3的横坐标）． ∴点F 3的纵坐标为：4)2542(34+-⨯＝2544，∴F 3（2542-，2544）． ⅱ）当AC 为菱形的对角线时，设AC 与F 4M 相交于点N ，F 4M 交y 轴于点G ，如图4．由已知可求得点N 的坐标为（23，2） ∵Rt △ANG ∽Rt △AOC ，∴AN AG ＝AO AC ，即25AG ＝45，∴AG ＝825．∴OG ＝8254-＝87，∴G （0，87）． 设直线F 4M 的解析式为y ＝n m x +，则78322n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==87n 43m ，∴直线F 4M 的解析式为y ＝87x 43+． 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=87x 43y 4x 34y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=722y 1475x ，∴F 4（1475-，722-）．图1图2图3M【例3】 如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （－1，0）、B （0，2），抛物线y ＝ax2＋ax －2经过点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形，若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 （1）由Rt △AOB ≌Rt △CDA ，得OD ＝2＋1＝3，CD ＝1∴C 点坐标为（－3，1）∵抛物线经过点C ，∴1＝a (－3)2＋a (－3)－2 ∴a ＝21∴抛物线的解析式为y ＝21x2＋21x －2 （2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形 方法一：以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABPQ ，过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ，可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO∴PE ＝AG ＝BO ＝2，BE ＝QG ＝AO ＝1 ·············· 8分 ∴P 点坐标为（2，1），Q 点坐标为（1，－1）由（1）抛物线y ＝21x2＋21x －2 当x ＝2时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝－1 ∴P 、Q 在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，使四边形ABPQ 是正方形（2）方法二：延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P ，连结PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y ＝k 1x ＋b 1、y ＝k 2x ＋b 2 ∵A （－1，0），C （－3，1），∴CA 的解析式为y ＝－21x －21同理可得BP 的解析式为y ＝－21x ＋2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－21x －21y ＝21x2＋21x －2得Q 点坐标为（1，－1），同理得P 点坐标为（2，1）由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，又∠BAQ ＝90°，∴四边形ABPQ 是正方形 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，－1），使四边形ABPQ 是正方形方法三：将线段CA 沿CA 方向平移至AQ∵C （－3，1）的对应点是A （－1，0），∴A （－1，0）的对应点是Q （1，－1）；再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2，1） ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴四边形ABPQ 是正方形由（1）抛物线y ＝21x2＋21x －2 当x ＝2时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝－1 ∴P 、Q 在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2，1）、Q （1，－1），使四边形ABPQ 是正方形【例4】 已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD 是一次函数y ＝x ＋1图像的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y ＝x ＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y ＝xk（k ＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，点D （2，m ）（m ＜2）在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式； （3）若某函数是二次函数y ＝ax2＋c （a ≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写【解析】 （1）如图，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时，正方形ABCD 的边长为2；当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时，设正方形的边长为a ，易得3a ＝2 解得a ＝32，所以正方形的边长为32（2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ．易知△ADE ≌△BAO ≌△CBF此时m ＜2，DE ＝OA ＝BF ＝m ，OB ＝CF ＝AE ＝2－m ． ∴OF ＝BF ＋OB ＝2∴点C 的坐标为（2－m ，2）∵点C 、D 在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图像上 ∴2m ＝2(2－m )，解得m ＝1．∴点D 的坐标为（2，1），代入y ＝x k，得k ＝2．∴反比例函数的解析式为y ＝x2 （3）（－1，3）；（7，－3）；（－4，7）；（4，1） （写对1个1分，2个或3个2分，4个3分）对应的抛物线分别为y ＝81x2＋823；y ＝－407x2＋40223；y ＝73x2＋71；y ＝－73x2＋755．（写对其中任何1个即可）所求出的任何抛物线的伴侣正方形的个数是偶数．图2【例5】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝10，AD ＝BC ＝5，点M 、N 分别在边AD 、BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥DC ，NF ⊥DC ，垂中分别为E 、F ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；（3）探究二：四边形MNFE 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．【解析】 （1）过点A 作AH ⊥DC 于H ，交MN 于点G在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝10，AD ＝BC ＝5 ∴DH ＝21(10－2)＝4，AH ＝2245－＝3 ∴S 梯形ABCD＝21(AB ＋DC )²AH ＝21×(2＋10)×3＝18 （2）四边形MNFE 的面积有最大值 ∵AB ∥CD ，MN ∥AB ，∴MN ∥CD ，即MN ∥EF ∵ME ⊥DC ，NF ⊥DC ，∴ME ∥NF ，∠MEF ＝90° ∴四边形MNFE 是矩形 设ME ＝x ，则AG ＝3－x∵∠MED ＝∠AHD ＝90°，∠MDE ＝∠ADH∴△MDE ∽△ADH ，∴DH DE ＝AH ME 即4DE ＝3x ，∴DE ＝34x ∴MN ＝DC －2DE ＝10－38x∴S 矩形MNFE＝ME ²MN ＝x (10－38x )＝－38x2＋10x ＝－38(x －815)2＋875∴当x ＝815时，四边形MNFE 的面积有最大值，S 最大＝875（3）四边形MNFE 能为正方形 设ME ＝x ，则由（2）知MN ＝10－38x当ME ＝MN ，即x ＝10－38x ，即x ＝1130时，四边形MNFE 为正方形S 正方形MNFE＝x2＝(1130)2＝121900C A BDMNFE CA BD MNF E H G。
2018年数学中考代数几何综合问题（1）专项练习1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2+8+16+6y ax ax a =经过点B （0，4）。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为4-，连接BC 、AC 。
求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ′、B ′，是否存在直线l ，使△A ′B ′C 是直角三角形，若存在，求出直线l 的解析式，若不存在，请说明理由。
2. 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示。
已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）。
（1）试求a ，b 所满足的关系式；所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值； （3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形。
若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。
请说明理由。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图象经过点A （4，0）、B （-1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD =t ，点E 在第二象限，∠ADE =90°，12tan DAE Ð=，EF ⊥OD ，垂足为F 。
（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；的值。
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。
代数几何综合问题（1）专项练习参考答案1. （1）解：由题意知：16a+6=4解得：a=81-故抛物线的解析式为：4812+--=x x y 。
⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D 坐标为（－4，6）∵点C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C 点坐标为（－4，－4） 设直线BD 解析式为：()40y kx k =+¹，有：644k =-+，∴12k =-∴直线BD 解析式为142y x =-+ ∴直线BD 与x 轴的交点A 的坐标为（8，0） 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE =4，BE =8 又∵OB =4，OA =8，∴CE =OB ，BE =OA ，∠CEB =∠BOA =90° ∴△CEB ≌△BOA （SAS ） ∴CB =AB ，∠CBE =∠BAO∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE +∠ABO =90° 即∠ABC =90° ∴△ABC 是等腰直角三角形。
中考专题复习----代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BO P PAC 90∴∆∆BO P PAC ~∴=P O A CB O P A，∴=+||||||x y x 22，x y x yx<<∴=-0022，，∴=-+y xx 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=C A 32BO a BOQ CAQ OQ AQBO CA//~,，∴∴=∆∆设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m mm 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．（2005年玉溪）如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
