PA B PB A PA
2024/8/23
概率论基础(续)
定理(全概率公式)
如果
n
Ai
,且 Ai Aj
i1
则对Ω中任一事件B,有:
n
P[B] P[B| Ai]P[Ai] i1
2024/8/23
概率论基础(续)
定理(贝叶斯定理)
如果 p[x] 0 , p[ y] 0 那么:
p[x| y] p[x]p[y| x] p[y]
测量多次,测得若干实测值1,, n ,然后用其平均值
1 n
n
i
i 1
来代替
。
2024/8/23
契比雪夫不等式与大数定理(续)
推 论 1 : 设 1,,n 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 且 具 有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差
E(i ) , D(i ) 2 i 1,2, ,则 0, 有
范围内的界。因此,利用马尔可夫不等式,可以得到一个 随机变量偏离其均值“更紧”的界。
20定理(契比雪夫不等式)令 X 为随机变量,且
>0,则有 p[|X-E(X)|
]
D(X ) 2
。
证明:
设随机变量 Y=[X-E(X)]2,并利用马尔可夫不等式可得:
p[|X-E(X)| ]=p[|X-E(X)| ]=p[(X-E(X))2 2]
与E( )之间的偏差大小,但由于绝对值对运算带来得不便,所以常用
( E())2
( E())2
代替之。又因为
仍是一随机变量,则用
E(E())2 来描述ξ与其E(ξ)的偏离程度的大小
2024/8/23
随机变量的方差(续)
定义(方差)